江苏省南通市基地学校2020届高三第二次大联考数学试题 含答案及评分标准

1 江苏省南通市 2020 届高三基地学校第二次大联考 数学试题 第 I 卷（必做题，共 160 分） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上．） 1．已知集合 A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1}，则集合 A B 中元素的个数为 个． 2．复数 （i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于实轴上，则实数 a 的值 为 ． 3．一组数据 3，6，x，5，7，6 的平均数为 6，则该组数据的方差为 ． 4．根据如图所示的伪代码，最后输出的 i 的值为 ． 5．若 a，b {﹣1，1，2}， 则函数 有零点的概 率为 ． 6．在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 (a＞0，b＞0) 的右焦点为 F，过点 F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为 E． 若 EF＝2OE，则双曲线的离心率为 ． 第 4 题 7．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 4，面积为 4π 的扇形，则该圆锥的高为 ． 8．若将函数 (0＜ ＜4) 的图象向左平移 个单位后，所得图象关于 y 轴对 称，则实数 的值为 ． 9．已知函数 的图象在点 P( ，n) 处的切线与直线 x﹣y＝0 平行，则 n 的值为 ． 10 ． 设 为 等 差 数 列 的 前 n 项 和 ， 若 ， ， 则 的 值 为 ． 11．已知函数 ，则不等式 的解集为 ． 12．已知 ， ， ，则 的最大值为 ． 13．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4， BC＝6，E，F 分别是 BC 和 CD 的中点，若 P 是矩形 ABCD 内一点（含边界），满足 ，且 ， 则 的最小值为 ． 第 13 题 14．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：x2＋y2＝1，点 A(﹣1，0)，过圆 C 外一点 P(a，b) 作圆C的切线，切点为T．若PA≥ PT，则 的取值范围是 ．  i 1 i az −= + ∈ 2( ) 2f x ax x b= + + 2 2 2 2 1x y a b − = ( ) sinf x xω= ω 3 π ω (cos 3)y m x= − 5 6 π nS { }na 2 8 4a a+ = 2 2 7 3 32a a− = 10S 2 2 2 0( ) ( ) 0 x x xf x f x x  + − ≥= − − 1b > 4ab = 2 2 2 log log log (2 ) a b a ⋅ AP AEλ µ= +  AF 4 8 3λ µ+ = PE PF⋅  2 2 8 2a b a b+ + − −2 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分 14 分） 如图，在三棱柱 ABC—A1B1C1 中，侧面 ABB1A1⊥底面 ABC，AB⊥AC，E，F 分别是 棱 AB， BC 的中点．求证： （1）A1C1∥平面 B1EF； （2）AC⊥B1E． 16．（本小题满分 14 分） 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知 a，b，c 成等差数列，且 3asinC﹣4csinB＝0． （1）求 cos A 的值； （2）求 sin(2A＋ )． 3 π3 17．（本小题满分 14 分） 如图，要利用一半径为 5cm 的圆形纸片制作三棱锥形包装盒．已知该纸片的圆心为 O， 先以 O 为中心作边长为 2x（单位：cm）的等边三角形 ABC，再分别在圆 O 上取三个点 D， E，F，使△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪 开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得 D，E，F 重合于点 P，即可得到正三棱锥 P—ABC． （1）若三棱锥 P—ABC 是正四面体，求 x 的值； （2）求三棱锥 P—ABC 的体积 V 的最大值，并指出相应 x 的值． 18．（本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，己知 F 是椭圆 C： (a＞0)的右焦点，P 是 椭圆 C 上位于 x 轴上方的任意一点，过 F 作垂直于 PF 的直线交其右准线 l：x＝2 于点 Q． （1）求椭圆 C 的方程； （2）若 ，求证：直线 PQ 与椭圆 C 相切； （3）在椭圆 C 上是否存在点 R，使四边形 OQPR 是平行四边形？若存在，求出所有符 合条件的点 R 的坐标：若不存在，请说明理由． 2 2 2 1x ya + = 9PQ PF 8 ⋅ = 4 19．（本小题满分 16 分） 已知数列 满足 ， ． （1）若 (n )．①设 ，求证：数列 是等比数列；② 若数列 的前 n 项和 满足 (n )，求实数 m 的最小值： （ 2 ） 若 数 列 的 奇 数 项 与 偶 数 项 分 别 成 等 差 数 列 ， 且 (n ) ， ，求数列 的通项公式． 20．（本小题满分 16 分） 己知函数 ， (a R)， 是 的导函数． （1）若 ，求 a 的值； （2）设 ．①若函数 在定义域上单调递增，求 a 的取值范围；② 若函数 在定义域上不单调，试判定 的零点个数，并给出证明过程． { }na 1 6a = 2 3a = − 1 22n n na a a+ ++ = N∗∈ 1n n nb a a+= − { }nb { }na nS nS m≤ N∗∈ { }na 1n na a +> N∗∈ 3 4 33a a+ = − { }na ln( ) xf x x = 1 2 1( ) 2 2 ag x x ax += − + ∈ ( )f x′ ( )f x (1) (2)f g′ = ( ) ( ) ( )h x f x g x= + ( )h x ( )h x ( )h x5 第 II 卷（附加题，共 40 分） 21．【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分， 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A．选修 4—2：矩阵与变换 点 P(2，1)经矩阵 M＝ 变换后得到点 P′在直线 l：2x﹣y﹣2＝0 上，且矩阵 M 不 存在逆矩阵，求实数 a，b 的值． B．选修 4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，圆 C 的方程为 (m≠0)，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴 正半轴建立平面直角坐标系．设直线 l 的参数方程为 （t 为参数），若直线 l 与圆 C 恒有公共点，求 m 的取值范围． C．选修 4—5：不等式选讲 已知不等式 的解集为 ，求实数 的值． 1 4 a b −     2 cosmρ θ= 1 2 3 32 x t y t  =  = + 2 2x x λ− − + < − 3 2x x  >    λ6 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程 或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分） 一个均匀的正四面体的四个面分别涂有 1，2，3，4 四个数字，现随机投掷两次，正四 面体底面上的数字分别为 ， ，记 ． （1）记 X 取得最大值时的概率； （2）求 X 的概率分布及数学期望 E(X)． 23．（本小题满分 10 分） 如图，已知抛物线 (p＞0)，在 x 轴正半轴上有一点 M(t，0)(t＞0)，过点 M 作 直线 l1，l2 分别交抛物线于点 A，B，C，D，过点 M 作 l3 垂直于 x 轴分别交 AD，BC 于点 P，Q．当 t＝ p，直线 l1 的斜率为 1 时，AB＝4． （1）求抛物线的方程； （2）判断 是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 1x 2x 2 2 1 2( 3) ( 3)X x x= − + − 2 2y px= 1 2 MP MQ78910111213141516