2020年云南省高中毕业生4月复习统一检测理科数学试题（解析版）

2020 年云南省高中毕业生复习统一检测 理科数学 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．已知集合 S＝{x|2x＝1}，T＝{x|ax＝1}．若 S∩T＝T，则常数 a 的值为（　　） A．0 或 2 B．0 或1 2 C．2 D．1 2 2．已知 i 为虚数单位，若（2+3i）z＝1+i，则复数 z 在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．为得到函数 y＝6sin（2x + 휋 3）的图象，只需要将函数 y＝6cos2x 的图象（　　） A．向右平行移动휋 6个单 B．向左平行移动휋 6个单 C．向右平行移动 휋 12个单位 D．向左平行移动 휋 12个单位 4．某班星期三上午要上五节课，若把语文、数学、物理、历史、外语这五门课安排在星期 三上午，数学必须比历史先上，则不同的排法有（　　） A．60 种 B．30 种 C．120 种 D．24 种 5．执行如图所示的程序框图．若输入的 S＝0，则输出的 S＝（　　）A．20 B．40 C．62 D．77 6．一个几何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一圆周），则该几何体的体积 为（　　） A．32﹣4π B．32﹣2π C．64﹣4π D．64﹣2π 7．已知实数 x，y 满足约束条件{ -3 ≥ x - 4y 3푥 + 5푦 ≤ 25 푥 ≥ 1 ，则 z＝2x+y 的最大值等于（　　） A．10 B．12 C．16 D．22 8．已知抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，经过点 Q（﹣1，0）作直线 l，l 与抛物线 C 在第一 象限交于 A、B 两点．若点 F 在以 AB 为直径的圆上，则直线 l 的斜率为（　　）A． 3 3 B． 2 2 C．1 2 D．1 9．已知 tan（π﹣α）＝2，则 푠푖푛4훼 푠푖푛(휋 2 + 2훼) = （　　） A．±8 5 B．8 5 C． - 8 5 D． - 6 5 10．已知正△ABC 的顶点都在球 O 的球面上，正△ABC 的边长为 2 3．若球心 O 到△ABC 所在平面的距离为 5，则球 O 的表面积为（　　） A．36π B．32π C．36 3π D．32 3π 11．已知双曲线 C：푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，点 A 是双曲线 C 的右顶点，点 M 是双曲线 C 的右支上一点，|MF1|＝5a．若△F2MA 是以∠AMF2 为顶 角的等腰三角形，则双曲线 C 的离心率为（　　） A．3 B． 5 2 C． 31 ― 1 2 D． 33 ― 1 2 12．已知平行四边形 ABCD 的面积为 9 3，∠BAD = 2휋 3 ，E 为线段 BC 的中点．若 F 为线 段 DE 上的一点，且 → AF = λ → AB + 5 6 → AD，则| → AF|的最小值为（　　） A． 11 B．3 C． 7 D． 5 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．在（3 푥 ― 1 푥）8 的二项展开式中，x 的系数等于　 　（用数字作答）． 14．已知离散型随机变量 X 的分布列如下： X 0 1 2 3 4 P a 1 3 1 12 b 5 12 若 X 的数学期望等于41 18，则 a＝　 　． 15 ． 已 知 f （ x ） = 1 3x3 + 푚 2x2 ﹣ 6x+1 在 （ ﹣ 1 ， 1 ） 单 调 递 减 ， 则 m 的 取 值 范 围 为　 　． 16．在锐角△ABC 中，内角 A，B，C 对的边分别为 a，b，c．若 a2+b（b - 3a）＝1，c＝ 1，则 3a﹣b 的取值范围为　 　． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共 60 分． 17．某老师为了研究某学科成绩优良是否与学生性别有关系，采用分层抽样的方法，从高二 年级抽取了 30 名男生和 20 名女生的该学科成绩（单位：分），得到如图所示男生成绩的 频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定不低于 80 分为成绩优良． 其中 30 名男生该学科成绩分成以下六组： [40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]． （1）请完成下面的列联表（单位：人）： 成绩优良人数 成绩非优良人数 总计 男生 30[来源:Z.Com] 女生 20 总计 50 （2）根据（1）中的列联表，能否有 90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系？ 附：K2 = 푛(푎푑 ― 푏푐)2 (푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑)其中 n＝a+b+c+d． P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 18．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝2，Sn＝an+1，设 bn = 푆푛 (1 + 푆푛)(1 + 푆푛+1)，数列{bn} 的前 n 项和为 Tn． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求证：Tn＜1 3． 19．如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AB＝AC，M、N、D 分别是 A 1B1、A1C1、BC 的中 点． （1）求证：AD⊥MN； （2）若三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱，AB＝AA1，∠ABC = 휋 6，求二面角 M﹣AD﹣N的正弦值． 20．已知 e 是自然对数的底数，函数 f（x）＝ax 2﹣（a+1）x（lnx﹣1），g（x）＝e x2 ― ax2． （1）若 a＝e，求曲线 y＝f（x）g（x）在点（1，0）处的切线方程； （2）若 g（x）在（﹣1，0）单调递增，判断函数 f（x）是否有零点．若有，有多少个？ 若没有，说明理由． 21．已知椭圆 E 的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为 3 2 ，F1，F2 分别为椭圆 E 的左、右焦点，点 P 在椭圆 E 上，以线段 F1F2 为直径的圆经过点 P，线段 F1P 与 y 轴交 于点 B，且|F1P|•|F1B|＝6． （1）求椭圆 E 的方程； （2）设动直线 l 与椭圆 E 交于 M、N 两点，且 → OM• → ON = 0．在平面直角坐标系 xOy 中，是 否存在定圆 Q，动直线 l 与定圆 Q 都相切？若存在，求出圆 Q 所有的方程；若不存在， 说明理由． （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一 题计分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为{x = 2 + 2cosα 푦 = 푠푖푛훼 （α 为参数）．以原 点 O 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 ρ = 3 + 푐표푠2휃 ― 푠푖푛2휃． （1）直接写出曲线 C2 的普通方程； （2） 设 A 是曲线 C1 上的动点，B 是曲线 C2 上的动点，求|AB|的最大值． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知 f（x）＝|2x+1|+|2x+3|，m 是 f（x）的最小值． （1）求 m；（2）若 a＞0，b＞0，且 a+b = 3ab，求证： 1 푎2 + 2 푏2 ≥ m．一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．已知集合S＝{x|2x＝1}，T＝{x|ax＝1}．若 S∩T＝T，则常数 a 的值为（　　） A．0 或 2 B．0 或1 2 C．2 D．1 2 根据 S∩T＝T 可得出 T⊆S，并得出S = {1 2}，从而可讨论 a 是否为 0：a＝0 时，显然满足 条件；a≠0 时，可得出1 푎 = 1 2，从而可得出 a 的值． ∵S∩T＝T， ∴T⊆S，且S = {1 2}，T＝{x|ax＝1}， ∴①a＝0 时，T＝∅，满足 T⊆S； ②a≠0 时，T = {1 푎}，则1 푎 = 1 2，解得 a＝2， 综上得，a 的值为 0 或 2． 故选：A． 本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，子集的定义，分类讨论的思想 方法，考查了计算能力，属于基础题． 2．已知 i 为虚数单位，若（2+3i）z＝1+i，则复数 z 在复平面 内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求得 z 的坐标得答案． 由（2+3i）z＝1+i，得 z = 1 + 푖 2 + 3푖 = (1 + 푖)(2 ― 3푖) (2 + 3푖)(2 ― 3푖) = 5 13 ― 1 13푖， ∴复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（ 5 13， ― 1 13），位于第四象限． 故选：D． 本题考查复数的代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础 题． 3．为得到函数 y＝6sin（2x + 휋 3）的图象，只需要将函数 y＝6cos2x 的图象（　　） A．向右平行移动휋 6个单位 B．向左平行移动휋 6个单位 C．向右平行移动 휋 12个单位D．向左平行移动 휋 12个单位 由诱导公式先将 y＝6cos2x 转化成 y＝6sin2x，然后在将 y＝6sin2x 平移得到 y＝6sin（2x + 휋 3），先向右平移휋 4，再向左平移휋 6，即向右平移 휋 12． ∵y＝6cos2x， ∴6cos2（x - 휋 4）＝6cos（2x - 휋 2）＝6cos（휋 2 ― 2x）＝6sin2x∴y＝6cos2x 先向由平移휋 4 个单位得到 y＝6sin2x， ∵y＝6sin（2x + 휋 3）＝6sin2（x + 휋 6）是将 y＝6sin2x 向作平移휋 6个单位， 综上所述将 y＝6cos2x 向右平移 휋 12个单位得到 y＝6sin（2x + 휋 3）， 故选：C． 本题主要考查由函数 y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数 y＝Asin（ωx+φ）的 图象变换规律，属于基础题． 4．某班星期三上午要上五节课，若把语文、数学、物理、历史、外语这五门课安排在星期 三上午，数学必须比历史先上，则不同的排法有（　　） A．60 种 B．30 种 C．120 种 D．24 种 根据题意，先计算五门课程任意排列的情况数目，又由数学排在历史之前和数学排在历 史之后的情况数目是相同的，据此分析可得答案． 根据题意，把语文、数学、物理、历史、外语这五门课安排在星期三上午， 将五门课程任意排列，有 A55＝120 种情况，[ 其中数学排在历史之前和数学排在历史之后的情况数目是相同的， 则数学比历史先上的排法有120 2 = 60 种； 故选：A． 本题考查排列组合的应用，涉及倍分法的使用，属于基础题． 5．执行如图所示的程序框图．若输入的 S＝0，则输出的 S＝（　　）A．20 B．40 C．62 D．77 本题是一个直到型循环结构，算法功能是对数列{2n}、{n}求前 4 项的和．套公式计算即 可． 由题意可知，框图的算法功能是对数列{2n}、{n}求前 4 项的和， ∴S = 2(1 ― 24) 1 ― 2 +1 + 2 + 3 + 4 = 40． 故选：B． 本题考查了程序框图与数列求和问题，同时考查了学生的运算能力和逻辑推理能力．难 度不大． 6．一个几何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一圆周），则该几何体的体积 为（　　）A．32﹣4π B．32﹣2π C．64﹣4π D．64﹣2π 由三视图还原原几何体，可知该几何体为棱长为 4 的正方体挖去一个四分之一圆柱，圆 柱的底面半径为 2，高为 4．再由棱柱与圆柱的体积公式求解． 由三视图还原原几何体如图， 该几何体为棱长为 4 的正方体挖去一个四分之一圆柱， 圆柱的底面半径为 2，高为 4． 则该几何体的体积为4 × 4 × 4 - 1 4 × 휋 × 22 × 4 = 64 ― 4휋． 故选：C． 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 7．已知实数 x，y 满足约束条件{ -3 ≥ x - 4y 3푥 + 5푦 ≤ 25 푥 ≥ 1 ，则 z＝2x+y 的最大值等于（　　） A．10 B．12 C．16 D．22 先根据约束条件画出可行域，设 z＝2x+y，再利用 z 的几何意义求最值，只需求出直线 z＝ 2x+y 可行域内的点 B 时，从而得到 z＝2x+y 的最值即可． 如图：作出可行域， 目标函数：z＝2x+y，则 y＝﹣2x+z， 当目标函数的直线过点 A 时，Z 有最大值．A 点坐标由方程组{ -3 = x - 4y 3푥 + 5푦 = 25 解得 A（5，2）Zmax＝2x+y＝12． 故 z＝2x+y 的最大值为：12； 故选：B． 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想， 属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出 可行域、求出关键点、定出最优解．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题， 体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定． 8．已知抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，经过点 Q（﹣1，0）作直线 l，l 与抛物线 C 在第一 象限交于 A、B 两点．若点 F 在以 AB 为直径的圆上，则直线 l 的斜率为（　　） A． 3 3 B． 2 2 C．1 2 D．1 设出直线 AB 的方程，与抛物线联立，利用点 F 在以 AB 为直径的圆上，结合韦达定理转 化求解即可． 设 AB 的斜率为 k，直线方程为：y＝k（x+1），与抛物线 y2＝4x 联立，可得 k2x2+（2k2﹣ 4）x+k2＝0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），可得 x1+x2 = 4 ― 2푘2 푘2 ， x1x2＝1，则 y1y2 = 16푥1푥2 = 4， 点 F 在以 AB 为直径的圆上， → FA ⋅ → 퐹퐵 = 0， 可得（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）＝0， 即 x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＝0， 即 1 + 2푘2 ― 4 푘2 + 1+4＝0，解得 k＝± 2 2 ，l 与抛物线 C 在第一象限交于 A、B 两点．所以 k = 2 2 ． 故选：B． 本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线的简单性质的应用，考查转化思 想以及计算能力，是中档题． 9．已知 tan（π﹣α）＝2，则 푠푖푛4훼 푠푖푛(휋 2 + 2훼) = （　　） A．±8 5 B．8 5 C． - 8 5 D． - 6 5 由已知利用诱导公式可求 tanα，进而根据二倍角公式，诱导公式，同角三角函数基本 关 系式化简所求即可计算得解． ∵tan（π﹣α）＝﹣tanα＝2， ∴tanα＝﹣2， ∴ 푠푖푛4훼 푠푖푛(휋 2 + 2훼) = 2푠푖푛2훼푐표푠2훼 푐표푠2훼 = 4sinαcosα = 4푠푖푛훼푐표푠훼 푠푖푛2훼 + 푐표푠2훼 = 4푡푎푛훼 1 + 푡푎푛2훼 = 4 × ( ― 2) 1 + ( ― 2)2 = ― 8 5． 故选：C． 本题主要考查了二倍角公式，诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值 中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 10．已知正△ABC 的顶点都在球 O 的球面上，正△ABC 的边长为 2 3．若球心 O 到△ABC 所在平面的距离为 5，则球 O 的表面积为（　　） A．36π B．32π C．36 3π D．32 3π 由已知结合正弦定理可先求出三角形 ABC 外接圆的半径，然后结合球的性质 R2＝r2+d2 可求 R，代入球的表面积公式即可求． 解；设正△ABC 的外接圆半径 r， 由正弦定理可得， 2 3 푠푖푛60° = 2r，故 r＝2， 由球的性质可知，R2＝r2+d2＝4+5＝9， 所以球的表面积 S＝4π×9＝36π． 故选：A． 本题主要考查了球的性质及球的表面积公式的简单应用，属于基础试题．11．已知双曲线 C：푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，点 A 是双曲线 C 的右顶点，点 M 是双曲线 C 的右支上一点，|MF1|＝5a．若△F2MA 是以∠AMF2 为顶 角的等腰三角形，则双曲线 C 的离心率为（　　） A．3 B． 5 2 C． 31 ― 1 2 D． 33 ― 1 2 椭圆双曲线的定义，结合三角形是等腰三角形，列出关系式求解双曲线的离心率即可． 双曲线 C：푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，点 A 是双曲线 C 的 右顶点，点 M 是双曲线 C 的右支上一点，|MF1|＝5a．若△F2MA 是以∠AMF2 为顶角的 等腰三角形， 可得： 25푎2 ― ( 3푐 + 푎 2 )2 = 9푎2 ― ( 푐 ― 푎 2 )2， 可得：8a2＝c2+ac，e2+e﹣8＝0，e＞1， 解得 e = 33 ― 1 2 ． 故选：D． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是中档题． 12．已知平行四边形 ABCD 的面积为 9 3，∠BAD = 2휋 3 ，E 为线段 BC 的中点．若 F 为线 段 DE 上的一点，且 → AF = λ → AB + 5 6 → AD，则| → AF|的最小值为（　　） A． 11 B．3 C． 7 D． 5 可根据条件得出 → AF = 휆 → 퐴퐸 +( 5 6 ― 1 2휆) → 퐴퐷，然后根据 E，F，D 三点共线即可得出 λ = 1 3， 从而得出 → AF = 1 3 → 퐴퐵 + 5 6 → 퐴퐷，然后根据条件可得出| → 퐴퐵|| → 퐴퐷| = 18，从而可得出 → AF 2 = ( 1 3| → 퐴퐵 |)2 +( 5 6| → 퐴퐷|)2 ― 5，然后根据不等式 a2+b2≥2ab 即可求出| → 퐴퐹|的最小值． 如图，连接 AE，则： → BE = 1 2 → 퐴퐷， → AE = → 퐴퐵 + 1 2 → 퐴퐷， ∴ → AF = 휆( → 퐴퐵 + 1 2 → 퐴퐷) + ( 5 6 ― 1 2휆) → 퐴퐷 = λ → 퐴퐸 +( 5 6 ― 1 2휆) → 퐴퐷，且 E，F，D 三点共线， ∴λ + 5 6 ― 1 2휆 = 1，解得λ = 1 3，∴ → AF = 1 3 → 퐴퐵 + 5 6 → 퐴퐷， ∵平行四边形 ABCD 的面积为 9 3，∠BAD = 2휋 3 ， ∴| → 퐴퐵|| → 퐴퐷|푠푖푛 2휋 3 = 3 2 | → 퐴퐵|| → 퐴퐷| = 9 3， ∴| → 퐴퐵|| → 퐴퐷| = 18， ∴ → AF 2 = 1 9 → 퐴퐵 2 + 25 36 → 퐴퐷 2 + 5 9| → 퐴퐵|| → 퐴퐷|푐표푠 2휋 3 = (1 3| → 퐴퐵|)2 +( 5 6| → 퐴퐷|)2 ― 5 ≥ 2 ⋅ 1 3 ⋅ 5 6 ⋅ | → 퐴퐵|| → 퐴퐷| ― 5 = 5 9 × 18 ― 5 = 5，当且仅当1 3| → 퐴퐵| = 5 6| → 퐴퐷|，即| → 퐴퐵| = 5 2| → 퐴퐷| = 3 5时取等号， ∴| → 퐴퐹|的最小值为 5． 故选：D． 本题考查了向量加法、数乘的几何意义，三点 A，B，C 共线，且 → OB = 휆 → 푂퐴 + 휇 → 푂퐶时，可 得出 λ+μ＝1，三角形的面积公式，向量数量积的运算及计算公式，不等式 a2+b2≥2ab 的 应用，考查了计算能力，属于中档题． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．在（3 푥 ― 1 푥）8 的二项展开式中，x 的系数等于　28　（用数字作答）． 利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 x 的指数为 2 求出展开式中 x2 项的系数． 根据二项式定理（3 푥 ― 1 푥）8 的通项为 Tr+1＝C8r•（﹣1）r•x 16―5푟 6 ， 16 ― 5푟 6 = 1，即 r＝2 时，可得 T3 = ∁28x＝28x； 即 x 项的系数为 28， 故答案为：28． 本题考查二项式定理的运用，注意二项式系数与某一项的系数的区别． 14．已知离散型随机变量 X 的分布列如下： X 0 1 2 3 4 P a 1 3 1 12 b 5 12 若 X 的数学期望等于41 18，则 a＝　 7 54　． 先根据数学期望的计算方法求得 b 的值，再根据分布列的性质，即概率和为 1，即可求得 a 的值．由分布列的性质可知，a + 1 3 + 1 12 + 푏 + 5 12 = 1， 数学期望 E（X） = 0 × a +1 × 1 3 +2 × 1 12 +3 × 푏 +4 × 5 12 = 41 18， 解得，b = 1 27，푎 = 7 54， 故答案为： 7 54． 本题考查分布列的性质和数学期望的计算方法，考查学生的运算能力，属于基础题． 15．已知 f（x） = 1 3x3 + 푚 2x2﹣6x+1 在（﹣1，1）单调递减，则 m 的取值范围为　[﹣5， 5]　． f′（x）＝x2+mx﹣6，根据 f（x）在（﹣1，1）单调递减，可得 f′（x）≤0 在（﹣1， 1）上恒成立 ．利用二次函数的单调性即可得出． f′（x）＝x2+mx﹣6， ∵f（x） = 1 3x3 + 푚 2x2﹣6x+1 在（﹣1，1）单调递减， ∴f′（x）＝x2+mx﹣6≤0 在（﹣1，1）上恒成立． {m ≤ 0 1 + 푚 ― 6 ≤ 0，{m ≥ 0 1 ― 푚 ― 6 ≤ 0， 解得：﹣5≤m≤5， 则 m 的取值范围为[﹣5，5]． 故答案为：[﹣5，5]． 本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、二次函数的单调性，考 查了推理能力与计算能力，属于中档题． 16．在锐角△ABC 中，内角 A，B，C 对的边分别为 a，b，c．若 a2+b（b - 3a）＝1，c＝ 1，则 3a﹣b 的取值范围为　（1， 3）　． 先根据余弦定理求得角 C，结合正弦定理把 3a﹣b 转化为 2（ 3sinA﹣sinB），再结合 AB 之间的关系求出角 A 的范围，与正弦函数相结合即可求得结论． 因为在锐角△ABC 中，内角 A，B，C 对的边分别为 a，b，c． ∵a2+b（b - 3a）＝1，c＝1⇒a2+b2 - 3ab＝c2⇒2cosC = 3⇒cosC = 3 2 ⇒C＝30°， ∴ 푐 푠푖푛퐶 = 푎 푠푖푛퐴 = 푏 푠푖푛퐵 = 1 푠푖푛30° = 2； ∴a＝2sinA，b＝2sinB；∴ 3a﹣b＝2（ 3sinA﹣sinB）＝2[ 3sinA﹣sin（150°﹣A）]＝2[ 3sinA﹣（1 2cosA + 3 2 sinA）]＝2（ 3 2 sinA - 1 2cosA）＝2sin（A﹣30°）； ∵0°＜A＜90°，0°＜B＜90°，A+B＝150°； ∴60°＜A＜90°； ∴30°＜A﹣30°＜60°⇒2sin（A﹣30°）∈（1， 3）； 故 3a﹣b∈（1， 3）； 故答案为：（1， 3）． 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运 用． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题： 共 60 分． 17．某老师为了研究某学科成绩优良是否与学生性别有关系，采用分层抽样的方法，从高二 年级抽取了 30 名男生和 20 名女生的该学科成绩（单位：分），得到如图所示男生成绩的 频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定不低于 80 分为成绩优良． 其中 30 名男生该学科成绩分成以下六组： [40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]． （1）请完成下面的列联表（单位：人）： 成绩优良人数 成绩非优良人数 总计 男生 30 女生 20 总计 50 （2）根据（1）中的列联表，能否有 90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系？附：K2 = 푛(푎푑 ― 푏푐)2 (푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑)其中 n＝a+b+c+d． P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 （1）根据题意填写列联表即可； （2）根据列联表中数据计算 K2，对照临界值得出结论． （1）根据题意填写列联表如下； 成绩优良人数 成绩非优良人数 总计[来源:学.科.网 Z.X.X.K] 男生 9 21 30 女生 11 9 20 总计 20 30 50 （2）根据列联表中数据，计算 K2 = 50 × (9 × 9 ― 21 × 11)2 20 × 30 × 30 × 20 = 25 8 = 3.125＞2.706， 所以有 90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系． 本题考查了列联表与独立性检验的问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 18．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝2，Sn＝an+1，设 bn = 푆푛 (1 + 푆푛)(1 + 푆푛+1)，数列{bn} 的前 n 项和为 Tn． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求证：Tn＜1 3． （1）由数列的递推式和等比数列的通项公式可得 Sn＝2n，再由 a1＝S1，当 n≥2 时，an＝ Sn﹣Sn﹣1，计算可得所求通项公式； （2）求得 bn = 2푛 (1 + 2푛)(1 + 2푛+1) = 1 1 + 2푛 ― 1 1 + 2푛+1，由数列的裂项相消求和和不等式 的性质，即可得证． （1）Sn＝an+1，即为 Sn＝Sn+1﹣Sn，即 Sn+1＝2Sn， 则 Sn＝S1•2n﹣1＝a1•2n﹣1＝2n；又 a1＝S1＝2，当 n≥2 时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1， 则数列{an}的通项公式为 an = {2，푛 = 1 2푛―1，푛 ≥ 2，푛 ∈ 푁 ∗ ； （2）证明：由（1）可得 Sn＝2n， bn = 푆푛 (1 + 푆푛)(1 + 푆푛+1) = 2푛 (1 + 2푛)(1 + 2푛+1) = 1 1 + 2푛 ― 1 1 + 2푛+1，则 Tn = 1 1 + 2 ― 1 1 + 22 + 1 1 + 22 ― 1 1 + 23 +⋯ + 1 1 + 2푛 ― 1 1 + 2푛+1 = 1 3 ― 1 1 + 2푛+1， 由 n 为正整数，可得 1 1 + 2푛+1＞0，即1 3 ― 1 1 + 2푛+1＜ 1 3， 则 Tn＜1 3． 本题考查数列的递推式的运用，等比数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查化简 运算能力和推理能力，属于基础题． 19．如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AB＝AC，M、N、D 分别是 A 1B1、A1C1、BC 的中 点． （1）求证：AD⊥MN； （2）若三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱，AB＝AA1，∠ABC = 휋 6，求二面角 M﹣AD﹣N 的正弦值． （1）推导出 AD⊥BC，MN∥B 1C1，BC∥B 1C1，从而 MN∥BC，由此能证明 AD⊥ MN． （2）设 AA1＝2，作 AH∥BC，由 AD⊥BC，得 AD⊥AH，以 A 为坐标原点，建立如图所 示的空间直角坐标系 A﹣xyz，利用向量法能求出二面角 M﹣AD﹣N 的正弦值． （1）证明：∵D 是 BC 的中点，AB＝AC，∴AD⊥BC， ∵M，N 分别是 A1B1、A1C1 的中点，∴MN∥B1C1， 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，BC∥B1C1， ∴MN∥BC，∴AD⊥MN． （2）解：如图，设 AA1＝2，作 AH∥BC， 由（1）知 AD⊥BC，∴AD⊥AH， 由已知得 AH，AD，AA1 两两互相垂直， 由∠ABC = 휋 6，得∠BAH = 휋 6，∠BAD = 휋 3， 以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A﹣xyz，则 A（0，0，0），A1（0，0，2），D（0，1，0），B（ 3，1，0），B1（ 3，1，2）， C（ - 3，1，0），C1（ - 3，1，2），M（ 3 2 ，1 2，2），N（ - 3 2 ，1 2，2）， → AD = （0，1，0）， → AM = （ 3 2 ，1 2，2）， → AN = （ - 3 2 ，1 2，2）， 设平面 ADM 的一个法向量为 → n = （x，y，z）， 则{→ n ⋅ → 퐴퐷 = 푦 = 0 → 푛 ⋅ → 퐴푀 = 3 2 푥 + 1 2푦 + 2푧 = 0 ，取 z = - 3，得 → n = （4，0， - 3）， 设平面 ADN 的法向量 → m = （a，b，c）， 则{→ m ⋅ → 퐴퐷 = 푏 = 0 → 푚 ⋅ → 퐴푁 = ― 3 2 푎 + 1 2푏 + 2푐 = 0 ，取 c = 3，得 → m = （4，0， 3）， 设二面角 M﹣AD﹣N 的平面角的大小为 θ， 则|cosθ| = | → 푚 ⋅ → 푛| | → 푚| ⋅ | → 푛| = 13 19， ∵0＜θ＜π，∴sinθ = 1 ― 푐표푠2휃 = 8 3 19 ， ∴二面角 M﹣AD﹣N 的正弦值为8 3 19 ． 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查运 算求解能力，是中档题． 20．已知 e 是自然对数的底数，函数 f（x）＝ax 2﹣（a+1）x（lnx﹣1），g（x）＝e x2 ― ax2． （1）若 a＝e，求曲线 y＝f（x）g（x）在点（1，0）处的切线方程； （2）若 g（x）在（﹣1，0）单调递增，判断函数 f（x）是否有零点．若有，有多少个？若没有，说明理由． （1）若 a＝e，可得 y′＝[ex2﹣（e+1）x（lnx﹣1）]′（ex2 ― ex2）+[ex2﹣（e+1）x（lnx ﹣1）]（2xex2 ― 2ex），由 x＝1 时，k＝y′|x＝1＝0，即可求得曲线 y＝f（x）g（x）在点 （1，0）处的切线方程； （2）依题意，g（x）在（﹣1，0）单调递增⇒a ≥ 푒푥2，由 f′（x）＝2ax﹣（a+1）lnx 且 x＞0，设 h（x）＝2ax﹣（a+1）lnx，通过求导后，对 x 分 0＜x＜푎 + 1 2푎 ，x＞푎 + 1 2푎 及 x = 푎 + 1 2푎 三类讨论，可求得[h（x）]min＝h（푎 + 1 2푎 ）＝a+1﹣（a+1）ln 푎 + 1 2푎 ，再进一步分 析即可得到函数 f（x）没有零点． （1）若 a＝e，y＝f（x）g（x）＝[ex2﹣（e+1）x（lnx﹣1）]（ex2 ― ex2）， ∴y′＝[ex2﹣（e+1）x（lnx﹣1）]′（e x2 ― ex2）+[ex2﹣（e+1）x（lnx﹣1）]（e x2 ― ex2）′ ＝[ex2﹣（e+1）x（lnx﹣1）]′（ex2 ― ex2）+[ex2﹣（e+1）x（lnx﹣1）]（2xex2 ― 2ex）， ∴当 x＝1 时，y′＝0，…2 分 ∴曲线 y＝f（x）g（x）在点（1，0）处的切线的斜率 k＝0， ∴曲线 y＝f（x）g（x）在点（1，0）处的切线方程为 y＝0…4 分 （2）函数 f（x）没有零点． ∵g（x）在（﹣1，0）单调递增，∴当 x∈（﹣1，0）时，g′（x）＝2xe푥2 ― 2ax≥0，即 a ≥ 푒푥2． ∴a≥e…6 分 由 f（x）＝ax2﹣（a+1）x（lnx﹣1）得 f′（x）＝2ax﹣（a+1）lnx 且 x＞0， 设 h（x）＝2ax﹣（a+1）lnx，则 h′（x）＝2a - 푎 + 1 푥 = 2푎(푥 ― 푎 + 1 2푎 ) 푥 ， ∴当 0＜x＜푎 + 1 2푎 时，h′（x）＜0，h（x）单调递减； 当 x＞푎 + 1 2푎 时，h′（x）＞0，h（x）单调递增； ∴当 x = 푎 + 1 2푎 时，h（x）取得最小值，即[h（x）]min＝h（푎 + 1 2푎 ）＝a+1﹣（a+1）ln 푎 + 1 2푎 ⋯9 分∵a≥e，∴푎 + 1 2푎 ＜ 푎 + 푎 2푎 ，即 0＜푎 + 1 2푎 ＜1， ∴[h（x）]min＝h（푎 + 1 2푎 ）＝a+1﹣（a+1）ln 푎 + 1 2푎 ＞0． ∴h（x）＞0，即 f′（x）＞0，∴f（x）在定义域（0，+∞）单调递增． ∵f（1）＝2a+1＞0， ∴当 a＞1 时，f（x）＞0， 当 0＜x＜1 时，x（lnx﹣1）＜0，f（x）＝ax2﹣（a+1）x（lnx﹣1）＞0． ∴当 x∈（0，+∞）时，f（x）＞0， ∴f（x）＝0 无实根，即函数 f（x）没有零点．…12 分 本题考查了利用导数研究函数的单调性及导数的几何意义，突出考查等价转化思想、分 类讨论思想的应用，考查了抽象思维、逻辑推理能力与综合运算能力，属于难题． 21．已知椭圆 E 的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为 3 2 ，F1，F2 分别为椭圆 E 的左、右焦点，点 P 在椭圆 E 上，以线段 F1F2 为直径的圆经过点 P，线段 F1P 与 y 轴交 于点 B，且|F1P|•|F1B|＝6． （1）求椭圆 E 的方程； （2）设动直线 l 与椭圆 E 交于 M、N 两点，且 → OM• → ON = 0．在平面直角坐标系 xOy 中，是 否存在定圆 Q，动直线 l 与定圆 Q 都相切？若存在，求出圆 Q 所有的方程；若不存在， 说明理由． （1）作图，根据条件结合圆的性质可证得△F1BO∽△F1F2P，则可得 2c2＝6，再结合离 心率可得 a 的值； （2）考虑当直线 l 的斜率不存在或者为 0 时，Q 存在，此时 Q 的方程为 x2+y2 = 4 5，下 面证明方程为 x2+y2 = 4 5的圆满足题设要求，①当直线 l 的斜率不存在时，显然直线 l 与 圆 x2+y2 = 4 5相切，②当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝kx+m，利用根与系 数关系已经点到直线距离证明即可． （1）设椭圆 E 的方程为푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1（a＞b＞0），|F1F2|＝2c， ∵∠BF1O＝∠PF1F2，∠F1OB＝∠F1PF2 = 휋 2， ∴△F1BO∽△F1F2P，∴ |퐹1퐵| |퐹1퐹2| = |퐹1푂| |퐹1푃|，即|F1P||F1B|＝|F1O||F1 F2|＝2c2＝6， ∴c = 3，根据 e = 푐 푎 = 3 2 ，解得 a＝2，所以 b2＝a2﹣c2＝1， 则椭圆 E 的方程为푥2 4 + 푦2 = 1； （2）当动直线 l 的斜率为 0 或不存在时，根据图象的对称性不难发现，若满足条件的定 圆 Q 存在， 则圆心 Q 只能为原点 O，设圆 Q 的半径为 r，则斜率为 0 的动直线 l 有两条，方程分别 为 y＝r，y＝﹣r， 斜率不存在的动直线 l 有两条 ，方程分别为 x＝r 和 x＝﹣r，这四条直线与定圆 Q 都相切， 则点（r，r）在椭圆 E 上，∴푟2 4 + 푟2 = 1，解得 r2 = 4 5，解得 r = 2 5 5 ， ∴若满足条件的定圆 Q 存在，则其方程只能是 x2+y2 = 4 5， 下面证明方程为 x2+y2 = 4 5的圆满足题设要求， ①当直线 l 的斜率不存在时，显然直线 l 与圆 x2+y2 = 4 5相切， ②当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝kx+m，即 kx﹣y+m＝0， M（x1，kx1+m），N（x2，kx2+m）， 联立{y = kx + m 푥2 4 + 푦2 = 1 得 x2+4（kx+m）2﹣4＝0，即（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0， ∵动直线 l 与椭圆 E 交于 M，N 两点， ∴△＝64k2m2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）＞0，即 4k2+1﹣m2＞0，且{x1 + 푥2 = ― 8푘푚 4푘2 + 1 푥1푥2 = 4푚2 ― 4 4푘2 + 1 ， ∵ → OM ⋅ → 푂푁 = 0， ∴ → OM ⋅ → 푂푁 = x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝（1+k2）x1x2+mk（x1+x2）+m2 = (1 + 푘2)(4푚2 ― 4) 4푘2 + 1 ― 8푚2푘2 4푘2 + 1 + m2＝0， ∴k2+1 = 5푚2 4 ，∵圆心 Q 即原点 O 到直线 l 的距离 d = |푚| 푘2 + 1 = |푚| 5푚2 4 = 2 5 5 = r， ∴直线 l 与圆 Q：x2+y2 = 4 5相切， 综上，存在一个定圆 Q，动直线 l 都与圆 Q 相切，且圆 Q 的方程为 x2+y2 = 4 5． 本题是直线与椭圆、圆的综合，涉及 圆的相关性质，直线与椭圆相交，直线与圆相切等 知识点，属于中档偏难题． （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一 题计分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为{x = 2 + 2cosα 푦 = 푠푖푛훼 （α 为参数）．以原 点 O 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 ρ = 3 + 푐표푠2휃 ― 푠푖푛2휃． （1）直接写出曲线 C2 的普通方程； （2）设 A 是曲线 C1 上的动点，B 是曲线 C2 上的动点，求|AB|的最大值． 1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果． （2）利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出最值． （1）曲线 C2 的极坐标方程 ρ = 2 3 + 푐표푠2휃 ― 푠푖푛2휃 ．整理得：3ρ2+3ρ2cos2θ＝4，转换为 直角坐标方程为x2 + 푦2 4 = 1． （2）曲线 C1 的参数方程为{x = 2 + 2cosα 푦 = 푠푖푛훼 （α 为参数）．转换为直角坐标方程为（x﹣ 2）2+y2＝4，所以该曲线是以 C（2，0）为圆心 2 为半径的圆． A 是曲线 C1 上的动点，B 是曲线 C2 上的动点， 设 B（cosθ，2sinθ），则|BC| = (푐표푠휃 ― 2)2 + 4푠푖푛2휃 = cos2휃 ― 4푐표푠휃 + 4 + 4푠푖푛2휃 = -3푐표푠2휃 ― 4푐표푠휃 + 8[来源:Z§xx§k.Com] = ―3(푐표푠휃 + 2 3)2 + 28 3 ， 当cosθ = - 2 3时．|BC|푚푎푥 = 28 3 = 2 21 3 ， 所以求|AB|的最大值为2 21 3 +2． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系 式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维 能力，属于中档题型． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知 f（x）＝|2x+1|+|2x+3|，m 是 f（x）的最小值． （1）求 m； （2）若 a＞0，b＞0，且 a+b = 3ab，求证： 1 푎2 + 2 푏2 ≥ m． （1）利用绝对值不等式的性质可得 m＝2； （2）根据题意1 푏 = 3 ― 1 푎，进而 1 푎2 + 2 푏2 = 3 푎2 ― 4 3 푎 +6 = ( 3 푎 ― 2)2 +2 ≥ 2，由此得证． （1）由绝对值不等式的性质得 f（x）＝|2x+1|+|2x+3|≥|（2x+1）﹣（2x+3）|＝2， 又∵f（﹣1）＝2， ∴m＝2； （2）证明：∵a＞0，b＞0，a + b = 3푎푏， ∴1 푎 + 1 푏 = 3， ∴1 푏 = 3 ― 1 푎， ∴ 1 푏2 = 1 푎2 ― 2 3 푎 +3， ∴ 1 푎2 + 2 푏2 = 3 푎2 ― 4 3 푎 +6 = ( 3 푎 ― 2)2 +2 ≥ 2， ∴ 1 푎2 + 2 푏2 ≥ 2 = 푚． 本题考查绝对值不等式的性质，以及利用配方法证明不等式，考查了换元思想，函数思 想的运用，属于基础题．