2020 届云南省高考数学理科二模试题
一、选择题
1．已知集合 A＝{x|y＝lg（2﹣x）}，集合 B＝{x| ≤2x≤4}，则 A∩B＝（ ）
A．{x|x≥﹣2} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{x|﹣2≤x＜2} D．{x|x＜2}
2．若复数 （α∈R）是纯虚数，则复数 2a+2i 在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．定义运算： ，则函数 f（x）＝1⊗2x 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．抛物线方程为 y2＝4x，一直线与抛物线交于 A、B 两点，其弦 AB 的中点坐标为（1，1）
，则直线的方程为（ ）
A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣1＝0 C．2x﹣y+1＝0 D．﹣2x﹣y﹣1＝0
5．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃
苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了
牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，
牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1 斗＝10
升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一
半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？
（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，6．若 p 是￢q 的充分不必要条件，则￢p 是 q 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．阅读程序框图，为使输出的数据为 31，则①处应填的数字为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．已知 x，y 满足 ，则 的取值范围为（ ）
A．[ ，4] B．（1，2]
C．（﹣∞，0]∪[2，+∞） D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）
9．已知点 A（﹣3，0），B（0，3），若点 P 在曲线 上运动，则△PAB 面积的
最小值为（ ）
A．6 B． C．3 D．
10．已知双曲线Γ： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为 F，过原点的直线 l 与双曲线Γ
的左、右两支分别交于 A，B 两点，延长 BF 交右支于 C 点，若 AF⊥FB，|CF|＝3|FB|，
则双曲线Γ的离心率是（ ）
A． B． C． D．
11．已知 的值域为[m，+∞），当正数 a，b 满足 时，
则 7a+4b 的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．912．已知函数 （x∈R），若关于 x 的方程 f（x）﹣m+1＝0 恰好有 3 个不相等
的实数根，则实数 m 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共 4 小题）
13．（x2+ ）5 的展开式中 x4 的系数为
14．如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＝2，AD＝1．则 的值为 ．
15．在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 内有一个与其各面都相切的球 O1，同时在三棱柱 ABC﹣
A1B1C1 外有一个外接球 Q2．若 AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，则球 Q2 的表面积为
16．在数列{an}中，a1＝1，an+1＝2n﹣an，则数列{an}的通项公式 an＝ ．
三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，
每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.）
17．已知函数 ．
（1）当 x∈[0，π]时，求函数的值域；
（2）△ABC 的角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 且 ，求 AB 边上的高
h 的最大值．
18．如图，三棱锥 P﹣ABC 中，PA＝PB＝PC＝ ，CA＝CB＝ ，AC⊥BC．
（1）证明：面 PAB⊥面 ABC；
（2）求二面角 C﹣PA﹣B 的余弦值．19．2018 年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药
研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品 A
的研发费用 x（百万元）和销量 y（万盒）的统计数据如下：
研发费用 x（百万元） 2 3 6 10 13 15 18 21
销量 y（万盒） 1 1 2 2.5 3.5 3.5 4.5 6
（Ⅰ）求 y 与 x 的相关系数 r（精确到 0.01），并判断 y 与 x 的关系是否可用线性回归方
程模型拟合？（规定：|r|≥0.75 时，可用线性回归方程模型拟合）；
（Ⅱ）该药企准备生产药品 A 的三类不同的剂型 A1，A2，A3，并对其进行两次检测，当
第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型 A1，A2，A3 合格的
概率分别为 ， ， ，第二次检测时，三类剂型 A1，A2，A3 合格的概率分别为 ， ，
．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后 A1，A2，A3 三类剂型合格的种类数为 X
，求 X 的数学期望．
附：（1）相关系数
（2） ， ， ， ．
20．设椭圆 ，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为 F1，F2，离心率 ，右准线
为 l，M，N 是 l 上的两个动点，
（Ⅰ）若 ，求 a，b 的值；
（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时， 与 共线．
21．设函数 f（x）＝（1+e﹣2）ex+kx﹣1，（其中 x∈（0，+∞）），且函数 f（x）在 x＝2处的切线与直线（e2+2）x﹣y＝0 平行．
（1）求 k 的值；
（2）若函数 g（x）＝﹣xlnx，求证：f（x）＞g（x）恒成立．
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则
按所做的第一题计分.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．已知直线 l 的参数方程： （t 为参数）和圆 C 的极坐标方程：ρ＝2sinθ．
（1）将直线 l 的参数方程化为普通方程，圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）已知点 M（1，3），直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，求|MA|+|MB|的值．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|x+a|+|x﹣b|，（其中 a＞0，b＞0）．
（1）求函数 f（x）的最小值 M．
（2）若 2c＞M，求证： ．2020 届云南省高考数学理科二模试题答案
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中，只有一项符合
要求.）
1．已知集合 A＝{x|y＝lg（2﹣x）}，集合 B＝{x| ≤2x≤4}，则 A∩B＝（ ）
A．{x|x≥﹣2} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{x|﹣2≤x＜2} D．{x|x＜2}
【分析】求出集合的等价条件，利用交集的定义进行求解即可．
解：∵A＝{x|x＜2}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，
∴A∩B＝{x|﹣2≤x＜2}，
故选：C．
2．若复数 （α∈R）是纯虚数，则复数 2a+2i 在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】化简复数 ，根据纯虚数的定义求出 a 的值，写出复数 2a+2i 对应复平面
内点的坐标，即可得出结论．
解：复数 ＝ ＝（a+1）+（﹣a+1）i，
该复数是纯虚数，∴a+1＝0，解得 a＝﹣1；
所以复数 2a+2i＝﹣2+2i，
它在复平面内对应的点是（﹣2，2），
它在第二象限．
故选：B．
3．定义运算： ，则函数 f（x）＝1⊗2x 的图象是（ ）
A． B．C． D．
【分析】本题需要明了新定义运算 a⊗b 的意义，即取两数中的最小值运算．之后对函数
f（x）＝1⊗2x 就可以利用这种运算得到解析式再来求画图解．
解：由已知新运算 a⊗b 的意义就是取得 a，b 中的最小值，因此函数 f（x）＝1⊗2x＝
，因此选项 A 中的图象符合要求．
故选：A．
4．抛物线方程为 y2＝4x，一直线与抛物线交于 A、B 两点，其弦 AB 的中点坐标为（1，1）
，则直线的方程为（ ）
A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣1＝0 C．2x﹣y+1＝0 D．﹣2x﹣y﹣1＝0
【分析】设 A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法得到 ，所以直线 AB
的斜率为 2，又过点（1，1），再利用点斜式即可得到直线 AB 的方程．
解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2＝2，
又 ，两式相减得： ，
∴（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2），
∴ ，
∴直线 AB 的斜率为 2，又∴过点（1，1），
∴直线 AB 的方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即 2x﹣y﹣1＝0，
故选：A．
5．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃
苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了
牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，
牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1 斗＝10
升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（
）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【分析】设羊、马、牛吃的青苗分别为 a1，a2，a3，则{an}是公比为 2 的等比数列，由此
利用等比数列的性质能求出羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食．
解：设羊、马、牛吃的青苗分别为 a1，a2，a3，
则{an}是公比为 2 的等比数列，
∴a1+a2+a3＝a1+2a1+4a1＝7a1＝50，
解得 ，
∴羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿 升， 升， 升粮食．
故选：D．
6．若 p 是￢q 的充分不必要条件，则￢p 是 q 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可．
解：由 p 是¬q 的充分不必要条件知“若 p 则¬q”为真，“若¬q 则 p”为假，
根据互为逆否命题的等价性知，“若 q 则¬p”为真，“若¬p 则 q”为假，
故选：B．
7．阅读程序框图，为使输出的数据为 31，则①处应填的数字为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序
的作用是利用循环求 S 的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，
不难给出答案．
解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
S i 是否继续循环
循环前 1 1/
第一圈 3 2 是
第二圈 7 3 是
第三圈 15 4 是
第四圈 31 5 否
故最后当 i＜5 时退出，
故选：B．
8．已知 x，y 满足 ，则 的取值范围为（ ）
A．[ ，4] B．（1，2]
C．（﹣∞，0]∪[2，+∞） D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）
【分析】设 k＝ ，则 k 的几何意义为点（x，y）到点（2，3）的斜率，利用数形结
合即可得到结论．
解：设 k＝ ，则 k 的几何意义为点 P（x，y）到点 D（2，3）的斜率，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由图可知当过点 D 的直线平行与 OA 时是个临界值，此时 k＝KOA＝1 不成立，需比 1 小；
当过点 A 时，k＝ 取正值中的最小值， ⇒A（1，1），此时 k＝ ＝ ＝
2；
故 的取值范围为（﹣∞，1）∪[2，+∞）；
故选：D．
9．已知点 A（﹣3，0），B（0，3），若点 P 在曲线 上运动，则△PAB 面积的
最小值为（ ）
A．6 B． C．3 D．
【分析】曲线 表示单位圆 x2+y2＝1 的下半部分， ，直线 AB 的方
程为 x﹣y+3＝0，设出点 P 的坐标，求出点 P 到直线 AB 的最小距离，即可三角形 PAB
面积的最小值．
解：依题意， ，直线 AB 的方程为 x﹣y+3＝0，
曲线 表示单位圆 x2+y2＝1 的下半部分，
要使△PAB 面积的最小，则需点 P 到直线 AB 的距离最小，不妨设 P（cosθ，sinθ）（π
≤θ≤2π），
∴点 P 到直线 AB 的距离为 ，
∵π≤θ≤2π，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．10．已知双曲线Γ： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为 F，过原点的直线 l 与双曲线Γ
的左、右两支分别交于 A，B 两点，延长 BF 交右支于 C 点，若 AF⊥FB，|CF|＝3|FB|，
则双曲线Γ的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】记双曲线的左、右焦点分别为 F'、F，设双曲线的实半轴长为 a，半焦距为 c．
连接 AF'、BF'、CF'．由双曲线的对称性和定义，运用勾股定理，离心率公式可得所求．
解：记双曲线的左、右焦点分别为 F'、F，设双曲线的实半轴长为 a，半焦距为 c．连接
AF'、BF'、CF'．
∵AF⊥FB，结合双曲线的对称性可知四边形 AFBF'是矩形，∴ ．
设|FB|＝x，则|CF|＝3x，|BF'|＝2a+x，|CF'|＝2a+3x．
在 Rt△CBF'中，|BF'|2+|BC|2＝|CF'|2，即（2a+x）2+16x2＝（2a+3x）2 可得 x＝a，
从而|BF'|＝2a+x＝3a，|FB|＝a，在 Rt△BFF'中，|BF'|2+|FB|2＝|FF'|2，即（3a）2+a2＝（
2c）2，
∴10a2＝4c2，即有 e＝ ＝ ．
故选：D．11．已知 的值域为[m，+∞），当正数 a，b 满足 时，
则 7a+4b 的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．9
【分析】利用 的值域为[m，+∞），求出 m，再变形，利用 1 的代
换，即可求出 7a+4b 的最小值．
解：∵ ＝ 的值域为[m，+∞），
∴m＝4，
∴ + ＝4，
∴7a+4b＝ [（6a+2b）+（a+2b）]（ + ）＝ [5+ + ]≥
＝ ，
当且仅当 ＝ 时取等号，
∴7a+4b 的最小值为 ．
故选：A．
12．已知函数 （x∈R），若关于 x 的方程 f（x）﹣m+1＝0 恰好有 3 个不相等
的实数根，则实数 m 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【分析】讨论 x 的范围，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．
解：当 x≤0 时， 为减函数，f（x）min＝f（0）＝0；
当 x＞0 时， ， ，
则 时，f'（x）＜0， 时，f'（x）＞0，即 f（x）在 上递增，
在 上递减，
．
其大致图象如图所示，
若关于 x 的方程 f（x）﹣m+1＝0 恰好有 3 个不相等的实数根，
则 ，即 ，
故选：A．
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.）
13．（x2+ ）5 的展开式中 x4 的系数为 40
【分析】运用二项展开式的通项可得结果．
解：根据题意得，Tr+1＝ （x2）5﹣r（ ）r＝ 2rx10﹣3r
令 10﹣3r＝4，得 r＝2
∴（x2+ ）5 的展开式中 x4 的系数为 22＝40；
故答案为 40．
14．如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＝2，AD＝1．则 的值为 ﹣3 ．【分析】根据 ABCD 是平行四边形可得出 ，然后代入 AB＝2，AD＝
1 即可求出 的值．
解：∵AB＝2，AD＝1，
∴
＝
＝
＝1﹣4
＝﹣3．
故答案为：﹣3．
15．在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 内有一个与其各面都相切的球 O1，同时在三棱柱 ABC﹣
A1B1C1 外有一个外接球 Q2．若 AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，则球 Q2 的表面积为 29π
【分析】三棱柱的内切圆的半径等于底面三角形的内切圆的半径，由题意求出三角形的
内切圆的半径，可知三棱柱的高为内切圆的直径，求出三棱柱的高，然后将三棱柱放在
长方体内，求出长方体的对角线，再根据长方体的对角线等于外接球的直径，进而求出
外接球的表面积．
解：由题意知内切球的半径为 R 与底面三角形的内切圆的半径相等可得，而三角形 ABC
为直角三角形，AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，所以 AC＝5，
设三角形内切圆的半径为 r，由面积相等可得： r（3+4+4）＝ 3•4，所以 r＝ ，
所以 R＝ ＝1，由题意可知三棱柱的高 h 为 2R＝2，
将该三棱柱放在长方体中，设三棱柱的外接球的半径为 R'则（2R）2＝32+42+22＝29，
所以外接球的表面积 S＝4πR'2＝29π，
故答案为：29π．16．在数列{an}中，a1＝1，an+1＝2n﹣an，则数列{an}的通项公式 an＝ ．
【分析】由题意可得 an+1﹣an﹣1＝2 （n≥2），又 a1＝1，数列{an}的奇数项为首项为 1
，公差为 2 的等差数列，对 n 分奇数和偶数两种情况，分别求出 an，从而得到数列{an}
的通项公式 ．
解：∵an+1＝2n﹣an，
∴an+1+an＝2n①，an+an﹣1＝2（n﹣1）（n≥2）②，
①﹣②得：an+1﹣an﹣1＝2 （n≥2），又∵a1＝1，
∴数列{an}的奇数项为首项为 1，公差为 2 的等差数列，
∴当 n 为奇数时，an＝n，
当 n 为偶数时，则 n﹣1 为奇数，∴an＝2（n﹣1）﹣an﹣1＝2（n﹣1）﹣（n﹣1）＝n﹣1
，
∴数列{an}的通项公式 ，
故答案为： ．
三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，
每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.）
17．已知函数 ．
（1）当 x∈[0，π]时，求函数的值域；
（2）△ABC 的角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 且 ，求 AB 边上的高
h 的最大值．【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和
值域，得出结论．
（2）由题意利用余弦定理、三角形的面积公式、基本不等式求得 ab 的最大值，可得 AB
边上的高 h 的最大值．
解：（1）∵函数 f（x）＝ sinx+ ﹣ ＝ sinx+ ﹣ ＝sin（x+ ）
，
当 x∈[0，π]时，x+ ∈[ ， ]，sin（x+ ）∈[﹣ ，1]．
（2）△ABC 中， ＝sin（C+ ），∴C＝ ．
由余弦定理可得 c2＝3＝a2+b2﹣2ab•cosC＝a2+b2﹣ab≥ab，当且仅当 a＝b 时，取等号，
即 ab 的最大值为 3．
再根据 S△ABC＝ • •h＝ ab•sin ，故当 ab 取得最大值 3 时，h 取得最大值为 ．
18．如图，三棱锥 P﹣ABC 中，PA＝PB＝PC＝ ，CA＝CB＝ ，AC⊥BC．
（1）证明：面 PAB⊥面 ABC；
（2）求二面角 C﹣PA﹣B 的余弦值．
【分析】（1）由已知可得三角形 ABC 为直角三角形，取 AB 中点 O，再由 PA＝PB＝PC
，可得 PO⊥底面 ABC，从而得到面 PAB⊥面 ABC；
（2）在平面 PAB 内，过 O 作 OE⊥PA，垂足为 E，连接 EC，由平面与平面垂直的性质
证明 OC⊥PA，进一步得到 PA⊥EC，可得∠OEC 为二面角 C﹣PA﹣B 的平面角，然后
求解三角形得答案．
【解答】（1）证明：由 AC⊥BC，得△ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形，
取 AB 的中点 O，则 O 为△ABC 的外心，连接 PO，
∵PA＝PB＝PC，可得△POA≌△POB≌△POC，可得∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，则 PO⊥AB，PO⊥OC，
又 AB∩OC＝O，∴PO⊥底面 ABC，
而 PO⊂平面 PAB，则面 PAB⊥面 ABC；
（2）解：在平面 PAB 内，过 O 作 OE⊥PA，垂足为 E，连接 EC，
∵面 PAB⊥面 ABC，面 PAB∩面 ABC＝AB，OC⊥AB，∴OC⊥平面 PAB，得 OC⊥PA
，
∵OE∩OC＝O，∴PA⊥平面 OEC，则 PA⊥EC．
即∠OEC 为二面角 C﹣PA﹣B 的平面角．
在 Rt△ACB 中，由 CA＝CB＝ ，得 OC＝1，
在 Rt△POA 中，由 PA＝ ，OA＝1，PO＝ ，求得 OE＝ ，
在等腰三角形 PAC 中，由 PA＝PC＝ ，AC＝ ，求得 EC＝ ．
由余弦定理可得：cos∠OEC＝ ＝ ．
∴二面角 C﹣PA﹣B 的余弦值为 ．
19．2018 年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药
研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品 A
的研发费用 x（百万元）和销量 y（万盒）的统计数据如下：
研发费用 x（百万元） 2 3 6 10 13 15 18 21
销量 y（万盒） 1 1 2 2.5 3.5 3.5 4.5 6
（Ⅰ）求 y 与 x 的相关系数 r（精确到 0.01），并判断 y 与 x 的关系是否可用线性回归方
程模型拟合？（规定：|r|≥0.75 时，可用线性回归方程模型拟合）；（Ⅱ）该药企准备生产药品 A 的三类不同的剂型 A1，A2，A3，并对其进行两次检测，当
第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型 A1，A2，A3 合格的
概率分别为 ， ， ，第二次检测时，三类剂型 A1，A2，A3 合格的概率分别为 ， ，
．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后 A1，A2，A3 三类剂型合格的种类数为 X
，求 X 的数学期望．
附：（1）相关系数
（2） ， ， ， ．
【 分 析 】 （ I ） 由 题 意 分 别 求 出 ＝ 11 ， ＝ 3 ， 由 公 式
＞0.75，从而 y 与 x 的关系可用线性回归模型拟合
．
（II）求出药品 A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率，推导出 ，由此
能求出 X 的数学期望．
解：（I）由题意可知 ＝ （2+3+6+10+21+13+15+18）＝11，
＝ （1+1+2+2.5+6+3.5+3.5+4.5）＝3，
由公式 ，
∵|r|≈0.98＞0.75，∴y 与 x 的关系可用线性回归模型拟合．
（II）药品 A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为：
，
，
，
由题意， ，
∴ ．20．设椭圆 ，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为 F1，F2，离心率 ，右准线
为 l，M，N 是 l 上的两个动点，
（Ⅰ）若 ，求 a，b 的值；
（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时， 与 共线．
【 分 析 】 （ Ⅰ ） 设 ， 根 据 题 意 由 得
， 由 ， 得 ，
，由此可以求出 a，b 的值．
（Ⅱ）|MN|2＝（y1﹣y2）2＝y12+y22﹣2y1y2≥﹣2y1y2﹣2y1y2＝﹣4y1y2＝6a2．当且仅当
或 时，|MN|取最小值 ，由能够推导出 与
共线．
解：由 a2﹣b2＝c2 与 ，得 a2＝2b2， ，l 的方
程为
设
则
由 得 ①
（Ⅰ）由 ，得 ②
③
由①、②、③三式，消去 y1，y2，并求得 a2＝4故
（Ⅱ）证明：|MN|2＝（y1﹣y2）2＝y12+y22﹣2y1y2≥﹣2y1y2﹣2y1y2＝﹣4y1y2＝6a2
当且仅当 或 时，|MN|取最小值
此 时 ，
故 与 共线．
21．设函数 f（x）＝（1+e﹣2）ex+kx﹣1，（其中 x∈（0，+∞）），且函数 f（x）在 x＝2
处的切线与直线（e2+2）x﹣y＝0 平行．
（1）求 k 的值；
（2）若函数 g（x）＝﹣xlnx，求证：f（x）＞g（x）恒成立．
【分析】（1）先求导，再根据导数的几何意义即可求出切线方程；
（2）设 F（x）＝f（x）﹣g（x）＝（1+e﹣2）ex+x+xlnx﹣1，原问题转化为证明函数 F（
x）＞0 恒成立，再根据导数和函数的最值的关系，即可证明．
解：（1）∵f（x）＝（1+e﹣2）ex+kx﹣1，x∈（0，+∞），
∴f′（x）＝（1+e﹣2）ex+k，x∈（0，+∞），
∵函数 f（x）在 x＝2 处的切线与直线（e2+2）x﹣y＝0 平行，
∴f′（2）＝e2+1+k＝e2+2，解得 k＝1．
（2）由（1）得 f（x）＝（1+e﹣2）ex+x﹣1，
设 F（x）＝f（x）﹣g（x）＝（1+e﹣2）ex+x+xlnx﹣1，原问题转化为证明函数 F（x）＞
0 恒成立，
∴F′（x）＝（1+e﹣2）ex+lnx+2，x＞0，
令 h（x）＝F′（x）＝（1+e﹣2）ex+lnx+2，则 h'（x）＝（1+e﹣2）ex+ ＞0 在（0，+∞
）上恒成立，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．
∵h（e﹣4）＝（1+e﹣4） ＞0；当 x→0 时，h（x）→﹣∞，
∴∃x0∈（0，e﹣4），使得 h（x0）＝0 即 ，
∴当 x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即 F′（x）＜0，函数 F（x）单调递减；当 x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即 F′（x）＞0，函数 F（x）单调递增；
∴F（x）min＝F（x0）＝ ＝x0+x0lnx0﹣lnx0﹣3，
令 t（x0）＝x0+x0lnx0﹣lnx0﹣3，x0∈（0，e﹣4），则 ，
∵y＝lnx 和 y＝ 在（0，e﹣4）上均为增函数，
∴t'（x0）在（0，e﹣4）上单调递增，
又 t'（e﹣4）＝﹣e4＜0，
∴t'（x0）＜t'（e﹣4）＜0，即 t（x0）在（0，e﹣4）上单调递减，
∴t（x0）＞t（e﹣4）＝e﹣4+e﹣4lne﹣4﹣lne﹣4﹣3＝1﹣ ＞0，
故 f（x）＞g（x）恒成立．
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则
按所做的第一题计分.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．已知直线 l 的参数方程： （t 为参数）和圆 C 的极坐标方程：ρ＝2sinθ．
（1）将直线 l 的参数方程化为普通方程，圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）已知点 M（1，3），直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，求|MA|+|MB|的值．
【分析】（1）把直线参数方程中的参数 t 消去，可得直线的普通方程；把 ρ＝2sinθ 两边
同乘以 ρ，得 ρ2＝2ρsinθ，代入 ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ，可得圆 C 的直角坐标方程；
（2）化直线方程为参数方程的标准形式，代入圆的方程，化为关于 t 的一元二次方程，
再由此时 t 的几何意义即根与系数的关系求解|MA|+|MB|的值．
解：（1）把直线 l 的参数方程 （t 为参数）消去参数 t，得直线 l 的普通方程为
y＝2x+1；
将 ρ＝2sinθ 两边同乘以 ρ，得 ρ2＝2ρsinθ，将 ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ 代入，
得 x2+（y﹣1）2＝1，
∴圆 C 的直角坐标方程为 x2+（y﹣1）2＝1；
（2）经检验点 M（1，3）在直线 l 上，
化直线方程为 ，代入圆 C 的直角坐标方程 x2+（y﹣1）2＝1，得 ，即 ．
设 t1，t2 是方程 的两根，
则 ．
∵t1t2＝4＞0，∴t1 与 t2 同号，
由 t 的几何意义得|MA|+|MB|＝ ．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|x+a|+|x﹣b|，（其中 a＞0，b＞0）．
（1）求函数 f（x）的最小值 M．
（2）若 2c＞M，求证： ．
【分析】（1）利用绝对值不等式的性质即可求得最小值 M；
（2）利用分析法，只需证明 ，两边平方后结合 2c＞a+b，a＞0 即可得
证．
解：（1）f（x）＝|x+a|+|x﹣b|≥|（x+a）﹣（x﹣b）|＝|a+b|＝a+b，当且仅当（x+a）（
x﹣b）≤0 时取等号，
∴f（x）的最小值 M＝a+b；
（2）证明：依题意，2c＞a+b＞0，
要证 ，即证 ，即证 a2﹣2ac+c2＜c2﹣ab，
即证 a2﹣2ac+ab＜0，即证 a（a﹣2c+b）＜0，
又 2c＞a+b，a＞0 可知，a（a﹣2c+b）＜0 成立，故原不等式成立．
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