2020届淮安市淮阴区高三下数学模拟训练试题五及答案

（第6题） E P D CB A 2020 届江苏省淮安市淮阴区高三下数学模拟训练试题五 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案直接填写在答题卡相应位 置上． 1．已知集合 ，则 ． 2．若复数 （i 为虚数单位）为纯虚数，则实数 ． 3．双曲线 的离心率为 ． 4．在一次满分为 160 分的数学考试中，某班 40 名学生的考试成绩分布如下： 成绩（分） 80 分以下 [80，100） [100，120） [120，140） [140，160] 人数 8 8 12 10 2 在该班随机抽取一名学生，则该生在这次考试中成绩在 120 分以 上的概率 为 ． 5．函数 的定义域为 ． 6．如图，四棱锥 P－ABCD 中， ⊥底面 ， 底面 是矩形， ， ， ， 点 E 为棱 CD 上一点，则三棱锥 E－PAB 的体积为 ． 7．右图是一个算法流程图，则输出的 的值为 ． 8．已知等比数列 的各项均为正数，若 ， ，则 ． 9．若曲线 与曲线 在 { } { }1 1 , 0A x x B x x= − < < = > A B = 5 1 2i m+− m = 2 2 12 yx − = 2ln( 2)y x= − PA ABCD ABCD 2AB = 3AD = 4PA = x { }na 2 4 2a a= 2 4 5 16a a+ = 5a = 3 2 1 : 6 12C y ax x x= − + 2 : exC y = 1x = 结束 开始 n←1 ，x←1 x← 푥 푥 + 1 y ← 2y + 1 输出 x N （第 7 题） n > 5 Y n ← n + 1 处的两条切线互相垂直，则实数 的值为 ． 10．设函数 的最小正周期为 ，且满足 ，则函数 的单调增区间为 ． 11．如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 DC 的中点， AE 与 BD 交于点 M， , ，且 ，则 ． 12．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C： ，点 A 是 轴上的一个动点，AP， AQ 分别切圆 C 于 P，Q 两点，则线段 PQ 长的取值范围为 ． 13．已知直线 与曲线 恰有四个不同的交点，则实数 k 的取值 范围为 ． 14．已知实数 满足 ，且 ，则 的最小值为 ． 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．已知向量 ， ， ． （1）若 ⊥ ，求 的值； （2）若 ∥ ，求 的值． a π( ) sin( ) 3cos( )( 0, )2f x ωx φ ωx φ ω φ= + + + > < π ( ) ( )f x f x− = ( )f x 2AB = 1AD = 1 6MA MB⋅ = −  AB AD⋅ =  2 2( 3) 2x y+ − = x 1y kx= + 1 1( )f x x xx x = + − − ,x y 0x y> > 2x y+  2 1 3x y x y ++ − πsin( ),36α = +  a (1,4cos )a=b (0,π)α ∈ a b tanα a b α　　　 16．如图，四边形 为矩形，四边形 为菱形，且平面 ⊥平面 ， D，E 分别为边 ， 的中点． （1）求证： ⊥平面 ； （2）求证：DE∥平面 ． 17．如图，有一段河流，河的一侧是以 O 为圆心，半径为 米的扇形区域 OCD，河的另 一侧是一段笔直的河岸 l，岸边有一烟囱 AB（不计 B 离河岸的距离），且 OB 的连线恰好与 河岸 l 垂直，设 OB 与圆弧 的交点为 E．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点 C，点 O 和点 E 处测得烟囱 AB 的仰角分别为 ， 和 ． （1）求烟囱 AB 的高度； （2）如果要在 CE 间修一条直路，求 CE 的长． 1 1AAC C 1 1CC B B 1 1CC B B 1 1AAC C 1 1A B 1C C 1BC 1AB C 1AB C 10 3 CD 45° 30° 60° （第 17 题） l C1 B1 A1 （第16题） E C B A D18．在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 的离心率为 ，且过 点 ，过椭圆的左顶点 A 作直线 轴，点 M 为直线 上的动点，点 B 为椭圆右 顶点，直线 BM 交椭圆 C 于 P． （1）求椭圆 C 的方程； （2）求证： ； （3）试问 是否为定值？若是定值， 请求出该定值；若不是定值，请说明理由． 19．已知函数 ． （1）当 时，求 的单调减区间； （2）若方程 恰好有一个正根和一个负根，求实数 的最大值． 20 ． 已 知 数 列 的 前 n 项 和 为 ， 设 数 列 满 足 ． （1）若数列 为等差数列，且 ，求数列 的通项公式； （2）若 ， ，且数列 ， 都是以 2 为公比的等比数列，求满足不等 式 的所有正整数 n 的集合． 2 2 2 2 1x y a b + = ( 0)a b> > 2 2 6(1, )2 l x⊥ l AP OM⊥ OP OM⋅  2( ) e ( 0)xf x x a a= −  1a = ( )f x ( )f x m= m { }na nS { }nb 1 12( ) ( )( )n n n n n nb S S S n S S n ∗ + += − − + ∈N { }na 0nb = { }na 1 1a = 2 3a = { }2 1na − { }2na 2 2 1n nb b − 2 2 2 22a c= 2 22a b= 6(1, )2 2 2 1 3 12a b + = 2 4a = 2 2b = 2 2 14 2 x y+ = ( 2)y k x= − 1 1( , )P x y ( 2)y k x= − 2 2 14 2 x y+ = 2 2 2 2(2 1) 4 8 4 0k x k x k+ − + − = 2 1 2 4 2 2 1 kx k −= + 2 2x = 1 1 2 4( 2) 2 1 ky k x k −= − = + 2 2 2 4 2 4( , )2 1 2 1 k kP k k − − + + 2x = − 4y k= − ( 2, 4 )M k− − ( 2, 4 )OM k= − − 2 2 2 4 2 4( 2, )2 1 2 1 k kAP k k − −= ++ +  2 2 2 8 4( , )2 1 2 1 k k k k − + + 2 2 2 2 16 16 02 1 2 1 k kAP OM k k −⋅ = + =+ +   AP OM⊥ 2 2 2 4 2 4( , ) ( 2, 4 )2 1 2 1 k kOP OM kk k − −⋅ = ⋅ − −+ +   2 2 2 2 2 8 4 16 8 4 42 1 2 1 k k k k k − + + += =+ + OP OM⋅  1a = 2 2 1,e ( 1),( ) 1,e (1 ), x x xxf x xx  >−=  − 　　当 时， ， 　　由 ，解得 ， 　　所以 的单调减区间为 ， 　　当 时， ， 　　由 ，解得 或 ， 　　所以 的单调减区间为 ， 　　综上： 的单调减区间为 ， ． （2） 当 时， ，则 ， 令 ，得 或 ， x 0 + 0 － 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以 有极大值 ，极小值 ， 当 时， 同（1）的讨论可得， 在 上增，在 上减， 在 上增，在 上减，在 上增， 　　且函数 有两个极大值点， 1x > 2( ) e ( 2 1)xf x x x′ = + − ( ) 0f x′  1 2 1+ 2x− − −  ( )f x [ 1 2, 1]− − − 1x  2( ) e ( 2 1)xf x x x′ = − + − ( ) 0f x′  1 2x − − 1+ 2x − ( )f x [ 1+ 2,1]− ( )f x [ 1+ 2,1]− [ 1 2, 1]− − − 0a = 2( ) exf x x= ⋅ 2( ) e 2 e e ( 2)x x xf x x x x x′ = ⋅ + ⋅ = + ( ) 0f x′ = 0x = 2x = − ( , 2)−∞ − 2− ( 2,0)− (0, )+∞ ( )f x′ ( )f x ( )f x 2 4( 2) ef − = (0) 0f = 0a > 2 2 ,e ( ),( ) e ( ), , x x x ax af x a x x a  >−=  −  ( )f x ( , 1 1)a−∞ − + − ( 1 1, )a a− + − − ( , 1 1)a a− + − ( 1 1, )a a+ − ( , )a +∞ ( )y f x=　　 ， 　　 ， 　　且当 时， ， 所以若方程 恰好有正根， 则 （否则至少有二个正根）． 　　又方程 恰好有一个负根，则 ． 　　令 ，则 ， 　 所以 在 时单调减，即 ， 等号当且仅当 时取到． 　　所以 ，等号当且仅当 时取到． 且此时 ， 即 ， 　　所以要使方程 恰好有一个正根和一个负根， 的最大值为 ． 20．解：（1）设等差数列 的公差为 ， 所以 ， ， 由 ，得 ，及由 ， 又由 ，得 1 1 1 2e ( 1 1)( 1 1) 2e ( 1 1) e a a af a a − + − + − + +− + − = + + = 1 1 1 2e ( 1 1)( 1 1) 2e ( 1 1) e a a af a a + + − + −+ − = + − = 1x a= + 1 1 2 1 2e ( 1 1)( 1) e ( 1) e ( 1 1) e a a a af a a a a + + + + −+ = + + > + − > ( )f x m= ( 1 1)m f a> + − ( )f x m= ( 1 1)m f a= − + − ( ) e ( 1), 1xg x x x−= +  ( ) e 0xg x x −′ = − < ( ) e ( 1)xg x x−= + 1x  2( ) (1) eg x g = 1x = 22( 1 1) ( )ef a− + −  0a = 1 1( 1 1) 2e ( 1 1) 0af a a+ −+ − = + − = ( 1 1)f a− + − > ( 1 1)f a + − ( )f x m= m 2 4 e { }na d 1 1na a nd+ = + 1 ( 1) 2n n nS na d −= + 1 12( ) ( )( )n n n n n nb S S S n S S n ∗ + += − − + ∈N 1 12 (2 )n n n n nb a S n S a+ += − + 0nb = 0nb = [ ]1 1 1 1 ( 1)2( ) 2 ( 1) 02 n na nd na d n na n n d a nd − + + − + − + + =  对一切 都成立, 即 对一切 都成立． 令 ， ，解之得 或 　经检验，符合题意， 所以 的通项公式为 或 ． （2）由题意得 ， ， ， ． ． ． ． 记 ，即 ， 记 ， 则 ， n ∗∈N ( )2 2 2 2 1 1 1 1 1(3 2 ) 2 0d d n a d d a n a a d a− + − − + − − = n ∗∈N 1n = 2n = 1 0, 0, d a =  = 1 1, 1, d a =  = { }na 0na = na n= 1 2 1 2n na − − = 1 2 3 2n na −= × 2 2 1 3(2 1) 4 2 4n n n nS = − + − = × − 1 1 2 1 2 2 4 2 4 3 2 5 2 4n n n n n nS S a − − − = − = × − − × = × − 2 2 1 2 2 2 12 2 (2 )n n n n nb a S n S a+ += − + 2 2 (4 2 4) 2 (8 2 8 2 )n n n nn= × × × − − × − + 1 22 (2 9 4) 16n n n n+ += − − + 2 1 2 2 1 2 1 22 (2 1)(2 )n n n n nb a S n S a− − −= − − + 1 1 1 16 2 (5 2 4) (2 1)(10 2 8 3 2 )n n n nn− − − −= × × × − − − × − + × 1 12 (30 2 26 11) 16 8n n n n− −= × − − + − 1 2 1 1 2 2 1 2 (2 9 4) 16 [2 (30 2 26 11) 16 8]n n n n n nb b n n n n+ + − − −− = − − + − × − − + − 1 2 15 52 (2 5 ) 8 2 8 2 (5 )2 2 n n n nn n− −= − − + = + − + 2 1 52 8 2) ( )2( 5n n nf n −= + − + 1 5( ) 2 [ 2 (5 )]2 2 8n nf n n= × − + + 1 5( ) 2 (5 )2 2 ng n n= × − + 11 15 1 5( 1) ( ) 2 (5 ) 2 52 2 2 2 n ng n g n n n++ − = × − + − × + + 1 2 52 n= × −当 ，2，3 时， ， 当 时， ， ， 因为 时， ，所以 ；且 ； ． 所以 在 时也是单调递增， 时， ； 时， ； 时， ； 时， ； 时， ； 时， ； 时， ， 所以满足条件的正整数 n 的集合为｛1，2，3，4，5，6｝． 21A 解：设点 为曲线 上的任一点，在矩阵 对应的变换作 用下得到的点为 ， 则由 ，得： 　即 1n = ( 1) ( ) 0g n g n+ − < *n∈N 4n ≥ ( 1) ( )g n g n+ − 1 2 5 02 n= × − > 1n = 13(1) 02g = − < (4) 0g < 1(6) 02g = − < 53(7) 02g = > 1 5( ) 2 [ 2 (5 )]2 2 8n nf n n= × − + + 7( *)n n∈≥ N 1n = (1) 5 0f = − < 2n = (2) 34 0f = − < 3n = (3) 100 0f = − < 4n = (4) 224 0f = − < 5n = (5) 360 0f = − < 6n = (6) 24 0f = − < 7n = (7) 3400 0f = > 0 0( , )x y 1x y+ = 1 0 10 3 M    =     ( , )x y′ ′ 0 0 1 0 10 3 x x y y   ′     =     ′     0 0 , 1 ,3 x x y y ′ = ′ = 0 0 , 3 , x x y y ′=  ′=所以曲线 在矩阵 对应的变换作用下得到的曲线为 ，所 围成的图形为菱形，其面积为 ． B．解：曲线 C 的直角坐标方程为 ， 圆心为 ，半径为 ， 直线的直角坐标方程为 ， 所以圆心到直线的距离为 ， 所以弦长 ． 22．解：（1）设 AC 与 BD 交于点 O，以 O 为顶点，向量 ， 为 x，y 轴，平行于 AP 且方向向上的向量为 轴建立直角坐标系． 则 ， ， ， ， ， 所以 ， ， ， ． 所以异面直线 PB 与 MD 所成的角为 ． （2）设平面 PCD 的法向量为 ，平面 PAD 的法向量为 ， 因为 ， ， ， 由 令 ，得 ， 由 令 ，得 ， 1x y+ = 1 0 10 3 M    =     3 1x y+ = 1 2 222 3 3 × × = 2 2 2 2 0x y x y+ − − = (1,1) 2 3 3 0x y− − = 3 1 3 1 2 2d − − = = 12 2 74 = − = OC OD z ( 1,0,0)A − (1,0,0)C (0, 3,0)B − (0, 3,0)D ( 1,0, 6)P − 6(0,0, )2M 6(0, 3, )2MD = − (1, 3, 6)PB = − − 3 3cos , 0 33 1 3 62 MD PAMD PA MD PA ⋅ − +< >= = = + ⋅ + +      90° 1 1 1 1( , , )x y z=n 2 2 2 2( , , )x y z=n ( 1, 3,0)CD = − (1, 3, 6)PD = − (0,0, 6)PA = − 1 1 1 1 1 1 1 3 0, 3 6 0, CD x y PD x y z  ⋅ = − + = ⋅ = + − = n n   1 1y = 1 ( 3,1, 2)=n 2 2 2 2 2 2 6 0, 3 0, PA z PD x y z  ⋅ = − = ⋅ = + − = n n   2 1y = − 2 ( 3, 1,0)= −n所以 ，所以 ． 23．解：（1）当 时，取数 ， ，因为 ， 　　当 时，取数 ， ， ，则 ， ， ，即 ， ， 可构成三个好数． （2）证：①由（1）知当 时均存在， ②假设命题当 时，存在 个不同的正整数 ，其中 ， 　　使得对任意 ，都有 成立， 　　则当 时，构造 个数 ， ，（*） 　　其中 ， 　　若在（*）中取到的是 和 ，则 ，所以成立， 　　若取到的是 和 ，且 ， 　　则 ，由归纳假设得 ， 　　又 ，所以 是 A 的一个因子，即 ， 　　所以 ， 所以当 时也成立． 所以对任意正整数 ，均存在“ 个好数” 1 2 1 2 1 2 3 1 6cos , 66 2 ⋅ −< >= = = × n nn n n n 1 2 30sin , 6 < >=n n 2n = 1 1a = 2 2a = 2 1 31 2 + = − ∈− Z 3n = 1 2a = 2 3a = 3 4a = 1 2 1 2 5a a a a + = − ∈− Z 2 3 2 3 7a a a a + = − ∈− Z 1 3 1 3 3a a a a + = − ∈− Z 1 2a = 2 3a = 3 4a = 2,3n = ( 2, )n k k k Z= ≥ ∈ k 1 2, , , ka a a 1 2 ka a a< <