2020 届江苏省苏州市吴江区汾湖中学高三下数学试题
参考公式:
样本数据 的方差 ,其中 .
柱体的体积 ,其中 是柱体的底面积, 是柱体的高.
锥体的体积 ,其中 是锥体的底面积, 是锥体的高.
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请把答案
直接填在答题卡相应位置上.
1.已知集合 ,集合 ,则 ▲ .
2.复数 ,(其中 i 为虚数单位)的实部为 ▲ .
3.函数 的定义域为 ▲ .
4.已知某地连续 5 天的最低气温(单位:摄氏度)依次是 18, 21,22,24,25,那么这组数
据的方差为 ▲ .
5.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题:“今有北乡若干人,西乡七千四百八十
八人,南乡六千九百一十二人,凡三乡,发役三百人,而北乡需遣一百零八人,问北乡
人数几何?”其意思为:“今有某地北面若干人,西面有 7488 人,南面有 6912 人,这
1 2, , , nx x x… ( )22
1
1 n
i
i
s x xn =
= −∑
1
1 n
i
i
x xn =
= ∑
V Sh= S h
1
3V Sh= S h
{ }1,2,3,4A = { }4,5B = A B =
( )i 1 4iz = +
( ) ln 1f x x x= + −
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题−第 14 题)、解答题(第 15 题−第 20 题).本卷满分 160 分,
考试时间为 120 分钟.考试结束后,请将答题卡交回.
2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡
的规定位置.
3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须用 0.5
毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚.
4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
5.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠
笔.(第 7 题)
三面要征调 300 人,而北面征调 108 人(用分层抽样的方法),则北面共有 ▲ 人.”
6.已知椭圆 的长轴在 轴上,若焦距为
4,则 ▲ .
7.如图是一个算法的程序框图,当输入的值 x 为 8 时,则
其输出的结果是 ▲ .
8.已知角 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,
终边经过点 P(-1,2),则 = ▲ .
9.已知函数 ,若 ,
则实数 a 的值是 ▲ .
10.如图,正方体 ABCD —A1B1C1D1 的棱长为 1,E 为棱 DD1 上的点,F 为 AB 的中点,则
三棱锥 B1 — BFE 的体积为 ▲ .
11.已知 x,y 为正数,且 ,则 x+y 的最小值为 ▲ .
12.如图所示,平行四边形 ABCD 中,AB=2AD=2,∠BAD=60o,E 是 DC 中点,那么向
量 与 所成角的余弦值等于 ▲ .
13.设△ABC 的三边 a,b,c,所对的角分别为 A,B,C.若 ,则 的最大
22
110 2
yx
m m
+ =− − y
m =
α
sin 2α
2( ) log ( )af x x a x b= + − + (3) ( 3) 1f f− − = −
1 4 12 x y
+ =+
AC EB
2 2 23b a c+ = tan A
A
A1
B
CD
F
E
B1
C1D1值是
▲ .
14.任意实数 a,b,定义 ,设函数 ,正项数列 是公
比大
于 0 的等比数列,且 ,则
=
▲ .
二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 14 分)
△ABC 中的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 .
(1)求边 c 的值;
(2)求 的值.
16.(本小题满分 14 分)
在直三棱柱 ABC — A1B1C1 中,AB=AC,BB1=BC,点 P,Q,R 分别是棱 BC,CC1,B1C1
的中点.
(1)求证:A1R//平面 APQ;
(2)求证:直线 B1C⊥平面 APQ.
0
0
ab ab
a b a abb
≥⊗ = > 2
2
1
3
−
( ) 2exf x x x= + − ( ) 2g x x ax b= + + ,a b∈R(1)当 时,求函数 的单调区间;
(2)若曲线 在点(1,0)处的切线为 l : x+y-1=0,求 a,b 的值;
(3)若 恒成立,求 的最大值.
20.(本小题满分 16 分)
记无穷数列 的前 n 项 , ,…, 的最大项为 ,第 n 项之后的各项 ,
,…的最小项为 , .
(1)若数列 的通项公式为 ,写出 , , ;
(2)若数列 的通项公式为 ,判断 是否为等差数列,若是,求出
公差;若不是,请说明理由;
(3)若数列 为公差大于零的等差数列,求证: 是等差数列.
1a = ( ) ( ) ( )F x f x g x= −
( ) ( )y f x g x= −
( ) ( )f x g x≥ a b+
{ }na 1a 2a na nA 1na +
2na + nB n n nb A B= −
{ }na 22 7 6na n n= − + 1b 2b 3b
{ }nb 1 2nb n= − { }1n na a+ −
{ }nb { }1n na a+ −2020 届江苏省苏州市吴江区汾湖中学高三下数学试题答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请把答案
直接填在答题卡相应位置上.
1. 2. 3. 4.6 5.8100 6.8 7. 2
8. 9.7 10. 11.7 12. 13.
14.
二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 14 分)
解:(1)因为 ,所以 即 ,
因此 ①,
……………2 分
又因为 由余弦定理, ②,
由①②及 ,可得 , ……………4 分
所以 或 (舍),因此 .
……………6 分
(2)由(1)知 ,代入②,
即 又 ,因此 , ……………8 分
又由余弦定理得 .
因为 ,所以 ,
{ }4 4− (0,1]
4
5
−
12
1 7
14
2
4
1
e
6AB AC⋅ = cos 6,bc A = 2 2 2
62
b c abc bc
+ −⋅ =
2 2 2 12b c a+ − =
π ,3B = 2 2 2 2 22 cosb a c ac B a c ac= + − = + −
2a = 2 6 0c c− − =
3c = 2c = − 3c =
3c =
2 4 9 2 3 7,b = + − × = 0b > 7b =
2 2 2 2 77 9 4cos 2 76 7
b c aA bc
+ − + −= = =
(0,π)A∈ 2 21sin 1 cos 7A A= − =则 . ……………10
分
又 ,所以
……………14
分
16.(本小题满分 14 分)
证明:(1)在直三棱柱 中, 且 ,
因点 分别是棱 的中点,所以 且 ,
所以四边形 是平行四边形,即 且 , ……………2
分
又 且 ,所以 且 ,
即四边形 是平行四边形,所以 , ……………4 分
又 平面 , 平面 ,
所以 平面 . ……………6 分
(2)因为直三棱柱 ,所以四边形 是平行四边形,
又因 ,所以四边形 是菱形,所以 ,
又点 分别是棱 的中点,
即 ,所以 . ……………9 分
因为 ,点 是棱 的中点,所以 ,
由直三棱柱 ,知 底面 ,即 ,
又 平面 , 平面 ,且 ,
所以 平面 ,又 平面 ,则 ,……………12
分
又 平面 , 平面 ,且 ,
2 4 31cos2 2cos 1 ,sin 2 2sin cos7 7A A A A A= − = = =
2π π3C A B A= − − = − 2πsin( ) sin[ ( )]3A C A A− = − − 2sin(2 π)3A= −
2 2sin 2 cos π cos2 sin π3 3A A= − 4 3 31 1
2 7 2 7
= − × − × 5 3.14
= −
1 1 1ABC A B C− 1 1//BC B C 1 1BC B C=
,P R 1 1,BC B C 1//BP B R 1BP B R=
1BPRB 1//PR BB 1PR BB=
1 1//AA BB 1 1AA BB= 1//PR AA 1PR AA=
1APRA 1//AP A R
AP ⊂ APQ 1A R ⊄ APQ
1 //A R APQ
1 1 1ABC A B C− 1 1BCC B
1BB BC= 1 1BCC B 1 1B C BC⊥
,P Q 1 1,BC C C
1//PQ BC 1B C PQ⊥
AB AC= P BC AP BC⊥
1 1 1ABC A B C− 1BB ⊥ ABC 1BB AP⊥
BC ⊂ 1 1B C CB 1BB ⊂ 1 1B C CB BC 1=BB B
AP ⊥ 1 1BCC B 1B C ⊂ 1 1B C CB 1AP B C⊥
AP ⊂ APQ PQ ⊂ APQ AP =PQ P所以 平面 ……………14 分
17.(本小题满分 14 分)
(1)在 中,由余弦定理得,
,
所以线段 的长度为 3 千米. ……………4 分
(2)设 ,因为 ,所以 ,
在 中,由正弦定理得,
. ……………6 分
所以 , ,
因此 ……………9 分
,
因为 ,所以 .
所以当 ,即 时, 取到最大值 6. ……………13 分
答:两条观光线路距离之和的最大值为 6 千米. ……………14 分
18.(本小题满分 16 分)
(1)因为点 是椭圆的右项点,所以 .
又 ,所以 ,又 ,所以
所以椭圆的方程为 . ……………4 分
(2)若直线 与 轴垂直,则 ,则 ,
所以直线 的斜率存在.
设直线 的方程为 ,
联立 ,消去 ,得
1B C ⊥ APQ
AMN∆
2 2 2 2 cos120MN AM AN AM AN= + − ⋅ ° 13 3 2 3 3 9, 32 MN = + − × × × − = =
MN
PMN α∠ = 60MPN∠ = ° 120PNM α∠ = °−
PMN∆
( )sin sin 120 sinM
MN P
P
M P
N
N
α α= =∠ ° −
3 2 3sin 60
= =°
( )2 3sin 120PM α= ° − 2 3sinPN α=
( )2 3sin 120 2 3sinPM PN α α+ = ° − +
3 12 3 cos sin 2 3sin2 2
α α α = + +
( )3 3sin 3cos 6sin 30α α α= + = + °
0 120α° < < ° 30 30 150α° < + ° < °
30 90α + ° = ° 60α = ° PM PN+
(2,0)N 2a =
2
2
c
a
= 2c = 2 2 2b c a+ = 2 2b =
2 2
14 2
x y+ =
l x (0, 2), (0, 2)A B − 4
2 2 1, ,2 2 3NA NB N NBk k k k= − = + ≠ −
l
l ( ) ( )1 1 2 22, , , ,y kx A x y B x y= +
2 2
2
14 2
y kx
x y
= + + =
y ( )2 22 1 8 4 0k x kx+ + + =则有
……………8 分
直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,
所以 .
又
,
化简得 . ……………12 分
又 ,
所以 ,
化简得 ,解得 或 ,又 时,过点 ,故舍去,
所以直线 的方程为 . ……………16 分
19.(本小题满分 16 分)
(1)由题意知 ,则 . ……………1 分
令 得 ,所以 在 上单调递增.
令 得 ,所以 在 上单调递减.
所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减. ……………3 分
(2)因为 ,得 , ……………4 分
由曲线在 处的切线为 ,可知 ,且
,
所以 ……………6
1 2 1 22 2
8 4,2 1 2 1
kx x x xk k
−+ = =+ +
( )2 2 2 1(8 ) 4 2 1 4 0 2k k k= − × + × > ⇒ >△
NA 1
1 2
y
x − NB 2
2 2
y
x −
( ) ( )
( )( )
1 2 2 11 2
1 2 1 2
2 2 1
2 2 2 2 3
y x y xy y
x x x x
− + −+ = = −− − − −
1 1 2 22, 2y kx y kx= + = +
( )( ) ( )( )
( )( )
1 2 2 11 2
1 2 1 2
2 2 2 2
2 2 2 2
kx x kx xy y
x x x x
+ − + + −+ =− − − −
( )
( )
1 2 1 2
1 2 1 2
2 (2 2 ) 8 1
2 4 3
kx x k x x
x x x x
+ − + −= = −− + +
( )1 2 1 2(6 1) (4 6 ) 20 0k x x k x x+ + − + − =
1 2 1 22 2
8 4,2 1 2 1
kx x x xk k
−+ = =+ +
2 2
4 8(6 1) (4 6 ) 20 02 1 2 1
kk kk k
−+ × + − × − =+ +
2 2 0− − =k k 1 2k = 2 1k = − 2 1k = − N
l 2 2y x= +
( ) e 2xF x x b= − − ( ) e 2xF x′ = −
( ) e 2 0,xF x′ = − > ln2x > ( )F x ( )ln2,+∞
( ) e 2 0,xF x′ = − < ln2x < ( )F x ( ),ln2−∞
( )F x ( )ln2,+∞ ( ),ln2−∞
( ) e) ( 1)( = x ay f bx xg x − +− −= ' (=e 1)xy a− +
( )1,0 : 1 0l x y+ - = e ( 1) =0a b− + −
e ( 1)= 1a− + −
e, 1.a b= = −分
(3)设 ,则 恒成立.
易得
(i)当 时,因为 ,所以此时 在 上单调递增.
①若 ,则当 时满足条件,此时 ; ……………7 分
②若 ,取 即 且 ,
此时 ,所以 不恒成立.
不满足条件; ……………10 分
(ii)当 时,令 ,得 由 ,得 ;
由 ,得
所以 在 上单调递减,在 上单调递增.
要使得“ 恒成立”,必须有
“当 时, ”成立.
所以 .则 ……13
分
令 则
令 ,得 由 ,得 ;
由 ,得 所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以,当 时,
从而,当 时, 的最大值为 . ……………16 分
20.(本小题满分 16 分)
(1)由题知数列 的通项公式为 ,
( ) ( ) ( ) ( )e 1xh x f x g x a x b= − = − + − ( ) 0h x ≥
( ) ( )e 1 .xh x a=′ − +
1 0a + ≤ ( ) 0h x′ > ( )h x ( ),−∞ +∞
1 0a + = 0b ≤ 1a b+ ≤ −
1 0a + < 0
1 ( ) 0h x′ = ( )ln 1 .x a= + ( ) 0h x′ > ( )ln 1x a> +
( ) 0h x′ < ( )ln 1 .x a< +
( )h x ( )( ),ln 1a−∞ + ( )( )ln 1 ,a + +∞
( ) ( )e 1 0xh x a x b= − + − ≥
( )ln 1x a= + ( ) ( ) ( ) ( )min 1 1 ln 1 0h x a a a b= + − + + − ≥
( ) ( ) ( )1 1 ln 1b a a a≤ + − + + ( ) ( ) ( )2 1 1 ln 1 1.a b a a a+ ≤ + − + + −
( ) 2 ln 1, 0,G x x x x x= − − > ( ) 1 ln .G x x= −′
( ) 0G x′ = e.x = ( ) 0G x′ > 0 ex< <
( ) 0G x′ < e.x > ( )G x ( )0,e ( )e,+∞
ex = ( )max e 1.G x = −
e 1, 0a b= − = a b+ e 1−
{ }na 22 7 6na n n= − +可知 , , , 且当 时是单调递增数列,
所以 , , ,
所以 , , 分别为 1,-2,-7. ……………3 分
(2)由题知数列 的通项公式为 ,
所以数列 是单调递减的数列,且 ,
由题知 , ,
因为 ,
故数列 是单调递增数列,
所以当 时, , , ……………6 分
故 ,
所以数列 的通项公式是 ,
即数列 是等差数列,公差 . ……………8 分
(3)由题知数列 为公差大于零的等差数列,
故设 且公差 ,
当 时,有 ,
整理得 ,
若 ,则有 ,
故 , ……………10 分
因为 ,所以当 时 ,
当 时 ,
类似的可以证明 , ……………12 分
因为 ,
1 1a = 2 0a = 3 3a = 4 10a = 2n ≥
1 1 1 1 0 1b A B= − = − = 2 2 2 1 3 2b A B= − = − = − 3 3 3 3 10 7b A B= − = − = −
1b 2b 3b
{ }nb 1 2nb n= −
{ }nb 0nb <
nnA a≥ 1nnB a +≤
1 1 10n n n n n n n n nb A B a a a a a a+ + += − ≥ − ⇒ − < ⇒ <
{ }na
1n ≥ n nA a= 1n nB a +=
1 1( ) 1 2n n n n n n nb A B a a a a n+ += − = − = − − = −
{ }1n na a+ − 1 2 1n na a n+ − = −
{ }1n na a+ − 2d =
{ }nb
1 ( 1)nb b n d= + − 0d >
1n ≥ 1 1 1n n n n n nb b d A B A B d+ + += + ⇒ − = − +
1 1n n n nA A B B d+ +− = − +
1nB m+ = nB m≤
1 10n n n nB B d A A+ +− + > ⇒ >
1 1A a= 1n= 2 1 2 2A A A a> ⇒ =
2n = 3 2 3 3A A A a> ⇒ =
n nA a=
1n nA A+ >故有 ,
故数列 是单调递增数列, ……………14 分
所以当 时, , ,
故 ,
所以数列 的通项公式是 ,
即数列 是等差数列,公差为 . ……………16 分
1 2 3 1n na a a a a +< < < < <