育才学校 2019—2020 学年度第二学期 4 月月考
高二数学（理科）试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.已知 是不同的两个平面，直线 ，直线 ，条件 与 没有公共
点，条件 ，则 是 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要
条件
2.下列命题是真命题的是
A. 命题“若 ，则 或 ”为真命题
B. 命题“若 ，则 或 ”的逆命题为真命题
C. 命题“若 ，则 或 ”的否命题为“若 ，则 或
”
D. 命题“若 ，则 或 ”的否定形式为“若 ，则 或 ”
3.当点 在圆 上变动时，它与定点 的连结线段 的中点的轨迹
方程是
A. B.
C. D.
4.已知命题 ， ；命题 ，使 则
下列命题中为真命题的是
A. B. p∧( q) C.
D.
,α β a α⊂ b β⊂ :p a b
: / /q α β p q
8a b+ ≠ 2a ≠ 6b ≠
8a b+ ≠ 2a ≠ 6b ≠
2 2 0x x− = 0x = 2x = 2 2 0x x− ≠ 0x ≠
2x ≠
2 2 0x x− = 0x = 2x = 2 2 0x x− ≠ 0x ≠ 2x ≠
P 2 2 1x y+ = ( )3 0Q ， PQ
( )2 23 4x y+ + =
( )2 22 3 4 1x y− + =
( )2 23 1x y− + =
( )2 22 3 4 1x y+ + =
p x R∀ ∈： 1x+ 2x
≥ 0q: x 0, 2
π ∃ ∈ 0 0sin x +cos x 2=
( )p q∨ ¬ ¬ ( )p q∧ ¬ ( ) ( )p q¬ ∧ ¬
( )p q¬ ∧5.已知椭圆 ： ，双曲线 ： ，若以 的长轴为
直径的圆与 的一条渐近线交于 A、B 两点，且椭圆 与该渐近线的两交点将线
段 AB 三等分，则 的离心率是
A. B. 3
C. D. 5
6.命题“ ，有 成立”的否定形式是
A. ，有 成立 B. ，有 成立
C. ，有 成立 D. ，有 成立
7.已知 ，则方程是 与 在同一坐标系内的图形可能是
8.若点 和点 分别为椭圆 的中心和左焦点，点 为椭圆上的任意一点，
则 的最大值为
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
9.已知 两点均在焦点为 的抛物线 上，若 ，线段 的
中点到直线 的距离为 1，则 的值为
A. 1 B. 1 或 3 C. 2
D. 2 或 6
10.如图所示，点 是抛物线 的焦点，点 分别在抛物线 及圆
的实线部分上运动，且 总是平行于 轴，则 的周长的取值
1C
2
2 113
x y+ = 2C
2 2
2 2 1( , 0)x y a ba b
− = > 1C
2C 1C
2C
3
5
0x∀ ≥ ( ) 0f x ≥
0x∃ < ( ) 0f x < 0x∃ < ( ) 0f x ≥
0x∀ ≥ ( ) 0f x < 0x∃ ≥ ( ) 0f x <
O F
2 2
14 3
x y+ = P
F 2 4y x= ,A B 2 4y x=
( )2 21 4x y− + = AB x FAB∆范围
A. B.
C. D.
11.已知椭圆 左右焦点分别为 ，直线 与椭圆 交
于 两点（ 点在 轴上方），若满足 ，则 的值等于
A. B. 3 C. 2
D.
12.如图，设椭圆 （ ）的右顶点为 ，右焦点为 ， 为椭
圆 在第二象限上的点，直线 交椭圆 于点 ，若直线 平分线段 于
，则椭圆 的离心率是
A. B. C.
D.
二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
( )4,6 [ ]4,6
( )2,4 [ ]2,4
2 2
: 19 5
x yC + = 1 2F F、 ( ): 3 2l y x= + C
A B、 A x λ
2 3
3
2 2
2 2: 1x yE a b
+ = 0a b> > A F B
E BO E C BF AC
M E
1
2
1
3
2
3
1
413.若“x∈[2,5]或 x∈{x|x4}”是假命题，则 x 的范围是____________．
14.命题“对任何 ， ”的否定是__________．
15.设圆 ，过原点 作圆的任意弦，则所作弦的中点的轨迹方程
为__________．
16.设 分别为椭圆 的左,右焦点， 是椭圆上一点，点 是 的内
心，线段 的延长线交线段 于点 ，则 ______.
三、解答题(共 6 小题,共 70 分)
17. （10 分）设命题 ，命题 ：关于 不等式 的解集为
.
（1）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；
（2）若命题 或 是真命题， 且 是假命题，求实数 的取值范围.
18. （12 分）已知椭圆 的两焦点为 ， ， 为椭圆上一点，
且到两个焦点的距离之和为 6．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若已知直线 ，当 为何值时，直线与椭圆 有公共点？
（3）若 ，求 的面积．
19. （12 分）已知椭圆 的方程为 ，双曲线 的一条
渐近线与 轴所成的夹角为 ，且双曲线的焦距为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 分别为椭圆 的左，右焦点，过 作直线 (与 轴不重合)交椭圆于 ，
x R∈ 2 4 3x x− + − >
( )2 2: 1 1C x y− + = O
2 1: 01
cp c
−
R
q c
p q p q c
C ( )1 2,0F − ( )2 2,0F P
C
y x m= + m C
1 2 90F PF∠ = ° 1 2PF F∆
C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
2 2
2 2 1x y
a b
− =
x 30° 4 2
C
1 2,F F C 2F l x A两点，线段 的中点为 ，记直线 的斜率为 ，求 的取值范围.
20. （12 分）已知过抛物线 （ ）的焦点，斜率为 的直线交抛物
线于 ， （ ）两点，且 .
（1）求该抛物线的方程；
（2） 为坐标原点， 为抛物线上一点，若 ，求 的值.
21. （12 分）已知 ， ，动点 满足 .设动点 的轨
迹为 .
（1）求动点 的轨迹方程，并说明轨迹 是什么图形；
（2）求动点 与定点 连线的斜率的最小值；
（3）设直线 交轨迹 于 两点，是否存在以线段 为直径的圆经
过 ？若存在，求出实数 的值；若不存在，说明理由.
22. （12 分）已知抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过 F 的
直线与抛物线的两个交点，求证：
(1)y1y2＝－p2， ；(2) 为定值；
(3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.
B AB E 1F E k k
2 2y px= 0p > 2 2
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2x x< 9AB =
O C λ
( )1,0A − ( )2,0B ( ),M x y 1
2
MA
MB
= M
C
M C
M B
:l y x m= + C ,P Q PQ
A m参考答案
1.B 2.A 3.B 4.D 5.A 6.D 7.A 8.C 9.B 10.A
11.C 12.B
13.[1,2) 14.存在 ， 15.
16.
17.（1）当 为真时， ；（2） 的取值范围是 。
解析：（1）当 为真时，
∵不等式 的解集为 ，
∴当 时， 恒成立.
∴ ，∴
∴当 为真时，
（2）当 为真时，
∵ ，∴当 为真时， ；
当 为真时， ，
由题设，命题 或 是真命题， 且 是假命题，
真 假可得，
假 真可得 或
综上可得 或
则 的取值范围是 .
18.（1） ；（2） ；（3）7．
解析:（1）∵椭圆的焦点是 和 ，椭圆上一点到两个焦点的距离
x R∈ 2 4 3x x− + − ≤
2
21 1 (0 1)2 4x y x − + = < ≤
q 5
8c > c ( )1 5, 1,2 8
∪ +∞
q
( )22 1x x c+ − > R
x R∈ ( ) ( )2 24 1 4 1 0x c x c− − + − >
( ) ( )2 24 1 4 4 1 0c c∆ = − − ⋅ − < 8 5 0c− + <
q 5
8c >
p
2 1 01
c
c
−
p q p q
p q 1 5
2 8c< ≤
p q 1
2c ≤ 1c ≥
5
8c ≤ 1c ≥
c ( )1 5, 1,2 8
∪ +∞
2 2
19 7
x y+ = [ ]4,4m∈ −
( )1 2,0F − ( )2 2,0F之和为 6，
∴设所求的椭圆方程为 ，
∴依题意有 ， ，∴ ，
∴所求的椭圆方程为 ．
（2）由 得 ，
由 得 ，则 ，
∴当 时，直线与椭圆 有公共点．
（3）∵点 是椭圆 上一点，
∴由椭圆定义有 ，①
又 中， ，
∴由勾股定理有 ，即 ，②
①2 ②，得 ，∴ ．
19.（1） ；（2） .
解析：(1)一条渐近线与 轴所成的夹角为 知 ，即 ，
又 ，所以 ，解得 ， ，
所以椭圆 的方程为 .
(2)由(1)知 ，设 ， ，设直线 的方程为 .
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
2c = 3a = 22 2 2 23 2 7b a c= − = − =
2 2
19 7
x y+ =
2 2
1,{ 9 7
,
x y
y x m
+ =
= +
2 216 18 9 63 0x mx m+ + − =
( ) ( )2 218 4 16 9 63 0m m∆ = − × − ≥ 2 16m ≤ 4 4m− ≤ ≤
[ ]4,4m∈ − C
P
2 2
19 7
x y+ =
1 2 2 6PF PF a+ = =
1 2F PF∆ 1 2 90F PF∠ = °
2 2 2
1 2 1 2| | | |PF PF F F+ = 2 2
1 2| | 8PF PF+ =
− 1 2 14PF PF =
1 2 1 2
1 72F PFS PF PF∆ = ⋅ =
2 2
16 2
x y+ = 6 6,12 12
−
x 30° 3tan30 3
b
a
= ° = 2 23a b=
2 2c = 2 2 8a b+ = 2 6a = 2 2b =
C
2 2
16 2
x y+ =
( )2 2,0F ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB 2x ty= +联立 得 ，
由 得 ，
∴ ，
又 ，所以直线 的斜率 .
①当 时， ；
②当 时， ，即 .
综合①②可知，直线 的斜率 的取值范围是 .
20.(1) (2)0 或 2.
解析：
（1）设直线 AB 方程为：y=
联立 得
由韦达定理得：
由抛物线定理知：
|AB|=|AF|+|BF|=
得： 即 p=4
∴抛物线方程为：
(2)由 p=4，方程： 化为
解得 x1=1, x2=4.即 A（1，-2 ） B（4，4 ）
2 2
1{ 6 2
2
x y
x ty
+ =
= +
( )2 23 4 2 0t y ty+ + − =
1 2 2
4
3
ty y t
−+ = + 1 2 2
12
3x x t
+ = +
2 2
6 2,3 3
tE t t
−
+ +
( )1 2,0F − 1F E
2
2
2
2
3
6 62 3
t
ttk t
t
−+= = +− − +
0t = 0k =
0t ≠ 2
1 1
6 2 66
tk
t t t
= = ≤
+ +
60, 12k
∈
1F E k 6 6,12 12
−
2 8 .y x=由 2 ）+ （4，4 ）
知 代入抛物线方程
.
解得： =0 或 =2 .
21. （ 1 ） 轨 迹 是 以 为 圆 心 ， 2 为 半 径 的 圆 ； （ 2 ）
；（3） .
解析：（1） ，
化简可得： ，轨迹 是以 为圆心，2 为半径的圆
（2）设过点 的直线为 ，圆心到直线的距离为
∴ ，
（3）假设存在，联立方程 ，得 ，
设 ，则 ， ，
，∴
，得 ，
且满足 ，
∴ .
22.解析： (1)由已知得抛物线焦点坐标为( ，0).由题意可设直线方程为 x＝my＋
，
( ) ( )2
4 2 2 2 8 1 4λ λ− = +
λ λ
( )2 22 4x y+ + = C ( )2,0−
min
3
3k = − 3 13
2m
±=
( )
( )
2 2
2 2
1 1
22
x y
x y
+ +
=
− +
( )2 22 4x y+ + = C ( )2,0−
B ( )2y k x= −
2
4 2
1
kd
k
−= ≤
+
3 3
3 3k− ≤ ≤ min
3
3k = −
( )2 2{
2 4
y x m
x y
= +
+ + =
( )2 22 2 2 0x m x m+ + + =
( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y 1 2 2x x m+ = − −
2
1 2 2
mx x =
PA QA⊥ ( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 21 1 1 1 0x x y y x x x m x m+ + + = + + + + + =
( )( ) 2
1 2 1 22 1 1 0x x m x x m+ + + + + = 2 3 1 0m m− − =
3 13
2m
±= 0∆ >
3 13
2m
±=代入 y2＝2px，得 y2＝2p(my＋ )，即 y2－2pmy－p2＝0.(*)
则 y1，y2 是方程(*)的两个实数根，所以 y1y2＝－p2.
因为 y＝2px1，y＝2px2，所以 yy＝4p2x1x2，
所以 x1x2＝ ＝ ＝ .
(2) ＋ ＝ ＋ ＝ .
因为 x1x2＝ ，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，
得 ＋ ＝ ＝ (定值).
(3)设 AB 的中点为 M(x0，y0)，分别过 A，B 作准线的垂线，垂足为 C，D，过 M 作
准线的垂线，垂足为 N，则|MN|＝ (|AC|＋|BD|)＝ (|AF|＋|BF|)＝ |AB|.所以以 AB
为直径的圆与抛物线的准线相切
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