备战高考数学技巧：50个公式，50种快速做题方法！

备战高考数学技巧：50 个公式，50 种快速做题方法！ 今 天 ， 为 大 家 整 理 了 高 中 数 学 50 个 快 速 解 题 的 公 式 ， 一 定 要 记 住 ！ 1 . 适 用 条 件 [直 线 过 焦 点 ]，必 有 ecosA=(x-1)/(x+1)，其 中 A 为 直 线 与 焦 点 所 在 轴 夹 角 ，是 锐 角 。x 为 分 离 比 ，必 须 大 于 1。 注 ： 上 述 公 式 适 合 一 切 圆 锥 曲 线 。 如 果 焦 点 内 分 (指 的 是 焦 点 在 所 截 线 段 上 )， 用 该 公 式 ;如 果 外 分 (焦 点 在 所 截 线 段 延 长 线 上 )， 右 边 为 (x+1)/(x-1)， 其 他 不 变 。 2 . 函 数 的 周 期 性 问 题 (记 忆 三 个 ) (1)若 f(x)=-f(x+k)， 则 T=2k; (2)若 f(x)=m/(x+k)(m 不 为 0)， 则 T=2k; (3)若 f(x)=f(x+k)+f(x-k)， 则 T=6k。 注 意 点：a.周 期 函 数 ， 周 期 必 无 限 b.周 期 函 数 未 必 存 在 最 小 周 期 ， 如：常 数 函 数 。 c.周 期 函 数 加 周 期 函 数 未 必 是 周 期 函 数 ， 如 ： y=sinxy=sin 派 x 相 加 不 是 周 期 函 数 。 3 . 关 于 对 称 问 题 (无 数 人 搞 不 懂 的 问 题 )总 结 如 下 (1)若 在 R 上 (下 同 )满 足 ： f(a+x)=f(b-x)恒 成 立 ， 对 称 轴 为 x=(a+b)/2 (2)函 数 y=f(a+x)与 y=f(b-x)的 图 像 关 于 x=(b-a)/2 对 称 ; (3)若 f(a+x)+f(a-x)=2b， 则 f(x)图 像 关 于 (a， b)中 心 对 称 4 . 函 数 奇 偶 性 (1)对 于 属 于 R 上 的 奇 函 数 有 f(0)=0; (2)对 于 含 参 函 数 ， 奇 函 数 没 有 偶 次 方 项 ， 偶 函 数 没 有 奇 次 方 项 (3)奇 偶 性 作 用 不 大 ， 一 般 用 于 选 择 填 空 5 . 数 列 爆 强 定 律 (1)等 差 数 列 中 ： S 奇 =na 中 ， 例 如 S13=13a7(13 和 7 为 下 角 标 ); (2)等 差 数 列 中 ： S(n)、 S(2n)-S(n)、 S(3n)-S(2n)成 等 差 (3)等 比 数 列 中 ， 上 述 2 中 各 项 在 公 比 不 为 负 一 时 成 等 比 ， 在 q=-1 时 ， 未 必 成 立 (4)等 比 数 列 爆 强 公 式 ： S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可 以 迅 速 求 q 6 . 数 列 的 终 极 利 器 ， 特 征 根 方 程 首 先 介 绍 公 式 ： 对 于 an+1=pan+q(n+1 为 下 角 标 ， n 为 下 角 标 )，a1 已 知 ， 那 么 特 征 根 x=q/(1-p)， 则 数 列 通 项 公 式 为 an=(a1-x)p²(n-1)+x， 这 是 一 阶 特 征 根 方 程 的 运 用 。 二 阶 有 点 麻 烦 ， 且 不 常 用 。 所 以 不 赘 述 。 希 望 同 学 们 牢 记 上 述 公 式 。 当 然 这 种 类 型 的 数 列 可 以 构 造 (两 边 同 时 加 数 ) 7 . 函 数 详 解 补 充 1、 复 合 函 数 奇 偶 性 ： 内 偶 则 偶 ， 内 奇 同 外 2、 复 合 函 数 单 调 性 ： 同 增 异 减 3、 重 点 知 识 关 于 三 次 函 数 ： 恐 怕 没 有 多 少 人 知 道 三 次 函 数 曲 线 其 实 是 中 心 对 称 图 形 。 它 有 一 个 对 称 中 心 ，求 法 为 二 阶 导 后 导 数 为 0，根 x 即 为 中 心 横 坐 标 ，纵 坐 标 可 以 用 x 带 入 原 函 数 界 定 。另 外 ， 必 有 唯 一 一 条 过 该 中 心 的 直 线 与 两 旁 相 切 。 8 . 常 用 数 列 bn=n×(2²n)求 和 Sn=(n-1)×(2²(n+1))+2 记 忆 方 法 前 面 减 去 一 个 1， 后 面 加 一 个 ， 再 整 体 加 一 个 2 9 . 适 用 于 标 准 方 程 (焦 点 在 x 轴 )爆 强 公 式 k 椭 =-{(b²)xo｝ /{(a²)yo｝ k 双 ={(b²)xo｝ /{(a²)yo｝ k 抛 =p/yo 注 ： (xo， yo)均 为 直 线 过 圆 锥 曲 线 所 截 段 的 中 点 。 10 . 强 烈 推 荐 一 个 两 直 线 垂 直 或 平 行 的 必 杀 技 已 知 直 线 L1： a1x+b1y+c1=0 直 线 L2： a2x+b2y+c2=0 若 它 们 垂 直 ： (充 要 条 件 )a1a2+b1b2=0; 若 它 们 平 行 ： (充 要 条 件 )a1b2=a2b1 且 a1c2≠a2c1[ 这 个 条 件 为 了 防 止 两 直 线 重 合 ) 注 ： 以 上 两 公 式 避 免 了 斜 率 是 否 存 在 的 麻 烦 ， 直 接 必 杀 ! 11 . 经 典 中 的 经 典 相 信 邻 项 相 消 大 家 都 知 道 。 下 面 看 隔 项 相 消 ： 对 于 Sn=1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+…+1/[n(n+2)]=1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)] 注 ： 隔 项 相 加 保 留 四 项 ， 即 首 两 项 ， 尾 两 项 。 自 己 把 式 子 写 在 草 稿 纸 上 ， 那 样 看 起 来 会 很 清 爽 以 及 整 洁 ! 12 . 爆 强 △面 积 公 式S=1/2∣ mq-np∣ 其 中 向 量 AB=(m， n)， 向 量 BC=(p， q) 注 ： 这 个 公 式 可 以 解 决 已 知 三 角 形 三 点 坐 标 求 面 积 的 问 题 13 . 你 知 道 吗 ?空 间 立 体 几 何 中 ： 以 下 命 题 均 错 (1)空 间 中 不 同 三 点 确 定 一 个 平 面 (2)垂 直 同 一 直 线 的 两 直 线 平 行 (3)两 组 对 边 分 别 相 等 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 (4)如 果 一 条 直 线 与 平 面 内 无 数 条 直 线 垂 直 ， 则 直 线 垂 直 平 面 (5)有 两 个 面 互 相 平 行 ， 其 余 各 面 都 是 平 行 四 边 形 的 几 何 体 是 棱 柱 (6)有 一 个 面 是 多 边 形 ， 其 余 各 面 都 是 三 角 形 的 几 何 体 都 是 棱 锥 注 ： 对 初 中 生 不 适 用 。 14 . 一 个 小 知 识 点 所 有 棱 长 均 相 等 的 棱 锥 可 以 是 三 、 四 、 五 棱 锥 。 15 . 求 f(x)=∣ x-1∣ +∣ x-2∣ +∣ x-3∣ +…+∣ x-n∣ (n 为 正 整 数 )的 最 小 值 答 案 为 ： 当 n 为 奇 数 ， 最 小 值 为 (n²-1)/4， 在 x=(n+1)/2 时 取 到 ; 当 n 为 偶 数 时 ， 最 小 值 为 n²/4， 在 x=n/2 或 n/2+1 时 取 到 。 16 . √〔 (a²+b²)〕 /2≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b)(a、 b 为 正 数 ， 是 统 一 定 义 域 ) 17 . 椭 圆 中 焦 点 三 角 形 面 积 公 式 S=b²tan(A/2)在 双 曲 线 中 ： S=b²/tan(A/2) 说 明 ： 适 用 于 焦 点 在 x 轴 ， 且 标 准 的 圆 锥 曲 线 。 A 为 两 焦 半 径 夹 角 。 18 . 爆 强 定 理 空 间 向 量 三 公 式 解 决 所 有 题 目 ： cosA=|{向 量 a.向 量 b｝ /[向 量 a 的 模 ×向 量 b 的 模 ] (1)A 为 线 线 夹 角 (2)A 为 线 面 夹 角 (但 是 公 式 中 cos 换 成 sin) (3)A 为 面 面 夹 角 注 ： 以 上 角 范 围 均 为 [0， 派 /2]。 19 . 爆 强 公 式1²+2²+3²+…+n²=1/6(n)(n+1)(2n+1);1²3+2²3+3²3+…+n²3=1/4(n²)(n+1)² 20 . 爆 强 切 线 方 程 记 忆 方 法 写 成 对 称 形 式 ， 换 一 个 x， 换 一 个 y 举 例 说 明 ： 对 于 y²=2px 可 以 写 成 y×y=px+px 再 把 (xo， yo)带 入 其 中 一 个 得 ： y×yo=pxo+px 21 . 爆 强 定 理 (a+b+c)²n 的 展 开 式 [合 并 之 后 ]的 项 数 为 ： Cn+22， n+2 在 下 ， 2 在 上 22 . 转 化 思 想 切 线 长 l=√(d²-r²)d 表 示 圆 外 一 点 到 圆 心 得 距 离 ， r 为 圆 半 径 ， 而 d 最 小 为 圆 心 到 直 线 的 距 离 。 23 . 对 于 y²=2px 过 焦 点 的 互 相 垂 直 的 两 弦 AB、 CD， 它 们 的 和 最 小 为 8p。 爆 强 定 理 的 证 明 ： 对 于 y²=2px， 设 过 焦 点 的 弦 倾 斜 角 为 A 那 么 弦 长 可 表 示 为 2p/〔 (sinA)²〕 ， 所 以 与 之 垂 直 的 弦 长 为 2p/[(cosA)²] 所 以 求 和 再 据 三 角 知 识 可 知 。 (题 目 的 意 思 就 是 弦 AB 过 焦 点 ， CD 过 焦 点 ， 且 AB 垂 直 于 CD) 24 . 关 于 一 个 重 要 绝 对 值 不 等 式 的 介 绍 爆 强 ∣ |a|-|b|∣ ≤∣ a±b∣ ≤∣ a∣ +∣ b∣ 25 . 关 于 解 决 证 明 含 ln 的 不 等 式 的 一 种 思 路 举 例 说 明 ： 证 明 1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1) 把 左 边 看 成 是 1/n 求 和 ， 右 边 看 成 是 Sn。 解 ： 令 an=1/n， 令 Sn=ln(n+1)， 则 bn=ln(n+1)-lnn， 那 么 只 需 证 an>bn 即 可 ， 根 据 定 积 分 知 识 画 出 y=1/x 的 图 。 an=1×1/n=矩 形 面 积 >曲 线 下 面 积 =bn。 当 然 前 面 要 证 明 1>ln2。注 ： 仅 供 有 能 力 的 童 鞋 参 考 !!另 外 对 于 这 种 方 法 可 以 推 广 ， 就 是 把 左 边 、 右 边 看 成 是 数 列 求 和 ， 证 面 积 大 小 即 可 。 说 明 ： 前 提 是 含 ln。 26 . 爆 强 简 洁 公 式 向 量 a 在 向 量 b 上 的 射 影 是 ： 〔 向 量 a×向 量 b 的 数 量 积 〕 /[向 量 b 的 模 ]。 记 忆 方 法 ： 在 哪 投 影 除 以 哪 个 的 模 27 . 说 明 一 个 易 错 点 若 f(x+a)[a 任 意 ]为 奇 函 数 ， 那 么 得 到 的 结 论 是 f(x+a)=-f(-x+a)〔 等 式 右 边 不 是 -f(-x-a)〕 同 理 如 果 f(x+a)为 偶 函 数 ， 可 得 f(x+a)=f(-x+a) 牢 记 28 . 离 心 率 爆 强 公 式 e=sinA/(sinM+sinN) 注 ： P 为 椭 圆 上 一 点 ， 其 中 A 为 角 F1PF2， 两 腰 角 为 M， N 29 . 椭 圆 的 参 数 方 程 也 是 一 个 很 好 的 东 西 ， 它 可 以 解 决 一 些 最 值 问 题 。 比 如 x²/4+y²=1 求 z=x+y 的 最 值 。 解 ： 令 x=2cosay=sina 再 利 用 三 角 有 界 即 可 。 比 你 去 =0 不 知 道 快 多 少 倍 ! 30 . 仅 供 有 能 力 的 童 鞋 参 考 的 爆 强 公 式 和 差 化 积 sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ- φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 积 化 和 差 sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ =[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 31 . 爆 强 定 理 直 观 图 的 面 积 是 原 图 的 √2/4 倍 。 32 . 三 角 形 垂 心 爆 强 定 理(1)向 量 OH=向 量 OA+向 量 OB+向 量 OC(O 为 三 角 形 外 心 ， H 为 垂 心 ) (2)若 三 角 形 的 三 个 顶 点 都 在 函 数 y=1/x 的 图 象 上 ， 则 它 的 垂 心 也 在 这 个 函 数 图 象 上 。 33 . 维 维 安 尼 定 理 (不 是 很 重 要 (仅 供 娱 乐 )) 正 三 角 形 内 (或 边 界 上 )任 一 点 到 三 边 的 距 离 之 和 为 定 值 ， 这 定 值 等 于 该 三 角 形 的 高 。 34 . 爆 强 思 路 如 果 出 现 两 根 之 积 x1x2=m， 两 根 之 和 x1+x2=n 我 们 应 当 形 成 一 种 思 路 ， 那 就 是 返 回 去 构 造 一 个 二 次 函 数 再 利 用 △大 于 等 于 0， 可 以 得 到 m、 n 范 围 。 35 . 常 用 结 论 过 (2p， 0)的 直 线 交 抛 物 线 y²=2px 于 A、 B 两 点 。 O 为 原 点 ， 连 接 AO.BO。 必 有 角 AOB=90 度 36 . 爆 强 公 式 ln(x+1)≤x(x>-1)该 式 能 有 效 解 决 不 等 式 的 证 明 问 题 。 举 例 说 明 ： ln(1/(2²)+1)+ln(1/(3²)+1)+…+ln(1/(n²)+1)