专题07 应用题-2020年江苏省高三高考数学三轮冲刺专项突破（解析版）

1 2020 年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破 专题 07 应用题 2020 年江苏高考核心考点 1.在江苏高考的试题中，应用题属于必考的题型，近几年来应用题以几何背景呈现的居多，因此，在复习中 要特别重视以几何题为背景的函数应用题。解决此类问题的关键明确各个量之间的关系，运用立体几何的 知识点求出各种量，然后表示出面积、体积建立目标函数。 2.与正余弦定理有关的应用题：运用正余弦定理有关的应用题的解题关键就是在图形中选择条件尽量多的三 角形，也要注意合理的设角，然后运用正余弦定理解决。 3.以分段函数为载体的应用题是应用题中一种重要的题型，可以更多的考查多个函数，由于参数的范围不同 得到的函数的解析式不同，但要注意无论分成几段，都是一个函数。 专项突破 一、解答题：本大题共 16 小题，共计 160 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤． 1.（2019—2020 学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）） 某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道 l1 和 l2 通过一段抛物线形状的栈道 AB 连通 （道路不计宽度），l1 和 l2 所在直线的距离为 0.5（百米），对岸堤岸线 l3 平行于观光道且与 l2 相距 1.5（百米） （其中 A 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于 l3，且交 l3 于 M ），在堤岸线 l3 上的 E，F 两处建造建筑 物，其中 E，F 到 M 的距离为 1 （百米），且 F 恰在 B 的正对岸（即 BF⊥l3）． （1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道 AB 的方程； （2）游客（视为点 P）在栈道 AB 的何处时，观测 EF 的视角(∠EPF)最大？请在（1）的坐标系中，写 出观测点 P 的坐标．2 【解析】（1）以 A 为原点，l1 为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建系 由题意知：B(1，0.5)，设抛物线方程为 代入点 B 得：p＝1，故方程为 ，x [0，1]； （2）设 P( ， )，t [0， ]，作 PQ⊥l3 于 Q，记∠EPQ＝ ，∠FPQ＝ ， ， 令 ， ，则： 当且仅当 即 ，即 ，即 时取等 故 P( ， )时视角∠EPF 最大， 答：P( ， )时，视角∠EPF 最大． 2. （江苏省南京市、盐城市 2020 届高三年级第二次模拟考试） 如图，湖中有一个半径为 1 千米的圆形小岛，岸边点 A 与小岛圆心 C 相距 3 千米．为方便游人到小岛 观光，从点 A 向小岛建三段栈道 AB，BD，BE．湖面上的点 B 在线段 AC 上，且 BD，BE 均与圆 C 相切， 切点分别为 D，E，其中栈道 AB，BD，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆 C 的优弧（圆 C 上实线部分）上 再修建栈道 ．记∠CBD 为 ． 2 2x py= 2 2x y= ∈ 2t 2t ∈ 2 2 α β 2 1EQ t= + 22PQ t= − 1 2FQ t= − 22 2 2 4 2 2 2 2 1 1 2 tan tan 2(2 )2 2tan tan( ) 1 21 tan tan 2 31 (2 ) t t tt tEPF t t t t α βα β α β + −++ −− −∠ = + = = =−− − +− − 2 32 [ 2]2t x− = ∈ ， 2 2t x= − 2 2 2 2 2 3 1tan 3(2 ) 2 1 2 3 22 x xEPF x x x x x x +∠ = = = ≤− + − − + + − 3x x = 3x = 2 2 3t = − 6 3 2t −= 3 1− 2 3− 3 1− 2 3− DE θ3 （1）用 表示栈道的总长度 ，并确定 sin 的取值范围； （2）求当 为何值时，栈道总长度最短． 【解析】（1）连接 CD，在 Rt△CBD 中，CD＝1，CB＝ ，BD＝ ， 当 B 与 A 重合时，sin ，∴sin [ ，1)， （2）∵sin [ ，1)，∴cos (0， ]， 求得 ∴ 时，即 cos ， 答： 时，即 cos ， . 3.（江苏省苏北七市 2020 届高三第二次调研考试） 某公园有一块边长为 3 百米的正三角形 ABC 空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种 花卉．方案是：先建造一条直道 DE 将△ABC 分成面积之比为 2：1 的两部分（点 D，E 分别在边 AB，AC 上）；再取 DE 的中点 M，建造直道 AM （如图）．设 AD＝x，DE＝ ，AM＝ （单位：百米）． 0 极小值 θ ( )f θ θ θ 1 sinθ 1 tanθ DE ( 2 ) 1 2π θ π θ= + ⋅ = + 1 2( ) 3 2sin tanf θ π θθ θ= − + + + 1 3 θ = θ ∈ 1 3 θ ∈ 1 3 θ ∈ 2 2 3 2 cos (2cos 1)( ) sinf θ θθ θ − −′ = 3 πθ = 1 2 θ = min 5( ) ( ) 33 3f f π πθ = = + 3 πθ = 1 2 θ = min 5( ) ( ) 33 3f f π πθ = = + 1y 2y θ )3,( 0 πθ 3 π )2,3( ππ )(θf ′ − + )(θf4 （1）分别求 ， 关于 x 的函数关系式； （2）试确定点 D 的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值． 【解析】（1）因为 ，△ABC 是边长为 3 的等边三角形，又 AD = x， 所以 ，所以 ． 由 ，得 ． 法 1：在 中，由余弦定理，得 ． 所以，直道 DE 长度 y1 关于 x 的函数关系式为 ． 在 和 中，由余弦定理，得 ① ② 因为 M 为 DE 的中点，所以 ． 由①+②，得 ， 所以 ， 所以 ． 所以，直道 AM 长度 y2 关于 x 的函数关系式为 ． 法 2：因为在 中， ， 所以 ． 所以，直道 DE 长度 y1 关于 x 的函数关系式为 ． 1y 2y 2 3ADE ABCS S=△ △ ( )21 2 1sin = 3 sin2 3 3 2 3AD AE π π⋅ ⋅ × × 6AE x = 0 3 60 3 AD x AE x < = < = ≤ ， ≤ 2 3x≤ ≤ ADE△ 2 2 2 2 2 362 cos 63DE AD AE AD AE x x π= + − ⋅ ⋅ = + − [ ]2 1 2 36 6 2 3y x xx = + − ∈， ， ADM△ AEM△ 2 2 2 2 cosAD DM AM DM AM AMD= + − ⋅ ⋅ ∠ ( )2 2 2 2 cosAE EM AM EM AM AMD= + − ⋅ ⋅ π − ∠ 1 2DM EM DE= = 2 2 2 2 2 2 212 22AD AE DM EM AM DE AM+ = + + = + ( ) ( )2 2 2 2 2 6 1 36 6 22x x AMx x + = + − + 22 2 9 3 4 2 xAM x = + + [ ]2 2 2 9 3 2 34 2 xy xx = + + ∈， ， ADE△ DE AE AD= −   ( )22 2 2 2 2 2 6 6 362 2 cos 63DE AE AE AD AD x x xx x x π= − ⋅ + = − ⋅ + = + −     [ ]2 1 2 36 6 2 3y x xx = + − ∈， ，5 在△ADE 中，因为 M 为 DE 的中点，所以 ． …8 分 所以 ． 所以，直道 AM 长度 y2 关于 x 的函数关系式为 ． （2）由（1）得，两条直道的长度之和为 （当 时取 ）． 答：当 百米时，两条直道的长度之和取得最小值 百米． 4.(江苏省海安中学高三数学模拟考试数学试卷) 如图，长方形材料 ABCD 中，已知 AB＝2 3，AD＝4．点 P 为材料 ABCD 内部一点，PE⊥AB 于 E，PF⊥AD 于 F，且 PE＝1，PF = 3．现要在长方形材料 ABCD 中裁剪出四边形材料 AMPN，满足∠MPN＝150°， 点 M，N 分别在边 AB，AD 上． （1）设∠FPN＝θ，试将四边形材料 AMPN 的面积 S 表示为 θ 的函数，并指明 θ 的取值范围； （2）试确定点 N 在 AD 上的位置，使得四边形材料 AMPN 的面积 S 最小，并 求出其最小值． 【解析】（1）在直角△NFP 中，因为 PF = 3，∠FPN＝θ， 所以 NF = 3tanθ， 所以 S△APN = 1 2NA•PF = 1 2（1 + 3tanθ） × 3． 在直角△MEP 中，因为 PE，∠EPM = 휋 3 ― θ， 所以 ME＝tan（휋 3 ― θ）， ( )1 2AM AD AE= +   ( ) ( )2 2 2 2 2 1 1 362 64 4AM AD AE AD AE x x = + + ⋅ = + +     [ ]2 2 2 9 3 2 34 2 xy xx = + + ∈， ， 22 1 2 2 2 36 9 3+ 6 4 2 xDE AM y y x x x = + = + − + + + 22 2 2 36 9 32 6 2 4 2 xx x x ⋅ − + ⋅ +≥ 3 26 2 = + 6x = =“ ” 6AD = ( )3 26 2 +6 所以 S△APM = 1 2MA•PE = 1 2（ 3 + 3tan（휋 3 ― θ））×1． 所以 S＝S△APN+S△APM = 3 2tanθ + 1 2tan（휋 3 ― θ） + 3，θ∈[0，휋 3]， （2）因为 S = 3 2tanθ + 1 2tan（휋 3 ― θ） + 3 = 3 2tanθ + 3 ― 푡푎푛휃 2(1 + 3푡푎푛휃) + 3． 令 t＝1 + 3tanθ，由 θ∈[0，휋 3]，得 t∈[1，4]， 所以 S = 3 + 3푡2 ― 4푡 + 4 2 3푡 = 3 2 （t + 4 3푡） ≥ 3 2 × 2 × 푡 × 4 3푡 + 3 3 = 2 + 3 3 ． 当且仅当 t = 2 3 3 时，即 tanθ = 2 ― 3 3 时等号成立． 此时，AN = 2 3 3 ，Smin＝2 + 3 3 ． 答：当 AN = 2 3 3 时，四边形材料 AMPN 的面积 S 最小，最小值为 . 5. （2019- 2020 学年苏州第二学期调研试卷） 如图，PQ 为某公园的一条道路，一半径为 20 米的圆形观赏鱼塘与 PQ 相切，记其圆心为 O，切点为 G．为 参观方便，现新修建两条道路 CA、CB，分别与圆 O 相切于 D、E 两点，同时与 PQ 分别交于 A、B 两点， 其中 C、O、G 三点共线且满足 CA＝CB，记道路 CA、CB 长之和为 L． （1）①设∠ACO＝θ，求出 L 关于 θ 的函数关系式 L（θ）；②设 AB＝2x 米，求出 L 关于 x 的函数关系 式 L（x）． （2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路 造价最少． 3 3+ 3 32 +7 【解析】 （1）①在 Rt△CDO 中，∠ACO＝θ，所以 CO＝ ， 所以 CG＝ +20， 在 Rt△AGC 中，AC＝ ＝ ＝ ， 所以 L（θ）＝2AC＝ ，其中 θ∈（0， ）， ②设 AC＝y，则在 Rt△AGC 中，CG＝ ， 由 Rt△AGC 和 Rt△CDO 相似可得 ＝ ，即 ＝ ，即 x ﹣20x＝20y， 即 x ＝20（x+y） 即 x ＝20 ， 即 x2（y﹣x）＝400（x+y）， 化简可得 AC＝y＝ ， L（x）＝ ．其中 x∈（20，+∞）； （2）选择（1）中的第一个函数关系式，以 L（θ）＝2AC＝ ，其中 θ∈（0， ）， 在 L′（θ）＝ [cos2θsinθ﹣（1+sinθ）（cos2θ﹣sin2θ）]， ＝ （1+sinθ）[（1﹣sinθ）sinθ﹣（cos2θ﹣sin2θ）]， ＝ （1+sinθ）（sin2θ+sinθ﹣1），8 令 L′（θ）＝0，解得 sinθ＝ ， 令 sinθ0＝ ， 当 θ（0，θ0）时，L′（θ）＜0，函数 L（θ）单调递减， 当 θ（θ0， ）时，L′（θ）＞0，函数 L（θ）单调递增， ∴当 sinθ＝ 时，L（θ）取得最小值，新建道路造价最少. 6.（江苏沭阳高级中学 2020 届高三年级第二学期阶段测试） 如图，某市管辖的海域内有一圆形离岸小岛，半径为 1 公里，小岛中心 O 到岸边 AM 的最近距离 OA 为 2 公里．该市规划开发小岛为旅游景区，拟在圆形小岛区域边界上某点 B 处新建一个浴场，在海岸上某点 C 处新建一家五星级酒店，在 A 处新建一个码头，且使得 AB 与 AC 满足垂直且相等，为方便游客，再建一 条跨海高速通道 OC 连接酒店和小岛，设∠AOB＝α（0＜α＜π）． （1）设∠BAO＝β，试将 sinβ 表示成 α 的函数； （2）若 OC 越长，景区的辐射功能越强，问当 α 为何值时 OC 最长，并求出该最大值． 【解析】（1）在三角形 AOB 中，由正弦定理： ＝ ， 即 ＝ ，而 OA＝2，OB＝1，所以 AB＝ ， 由 题 意 可 得 由 余 弦 定 理 可 得 AB2 ＝ OA2+OB2﹣2OA•OBcosα ＝ 4+1﹣2×2×1cosα＝5﹣4cosα，所以 AB＝ ， 所以 ＝ ， 所以 sinβ＝ ； （ 2 ） AB ＝ AC ， OC2 ＝ OA2+AC2﹣2OA•AC•cos （ 90°+β ） ＝ 4+5﹣4cosα+2× •sinβ ＝ 9﹣4cosα+4sinα＝9+4 sin（ ） ，9 答：OC 的最大值为 ＝2 ． 7.（江苏省南通市通州区 2020 届高三第二学期第一次测试） 如图，一条小河岸边有相距 的 两个村庄（村庄视为岸边上 两点），在小河另一侧有一集镇 （集镇视为点 ）， 到岸边的距离 为 ，河宽 为 ，通过测量可知， 与 的正切值之比为 ．当地政府为方便村民出行，拟在小河上建一座桥 （ 分别为两岸上的点， 且 垂直河岸， 在 的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知 两村的人 口数分别是 人、 人，假设一年中每人去集镇的次数均为 次．设 ．（小河河岸视为两 条平行直线） （1）记 为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用 表示 ； （2）试确定 的余弦值，使得 最小，从而符合建桥要求． 【 解 析 】（ 1 ） 与 的 正 切 值 之 比 为 则 ， ， ， ， （2）由（1）知： ， 8km ,A B ,A B P P P PQ 2km QH 0.05km PAB∠ PBA∠ 1:3 MN ,M N MN M Q ,A B 1000 500 m PMQ θ∠ = L θ L θ L PAB∠ PBA∠ 1:3 : 1:3PH PH PA PB ⇒ = : 3:1PA PB⇒ = 6PA = 2PB = 2PQ = 2 sinPM θ⇒ = 2 tanMQ θ= ( ) ( )1000 500L AN MN MP BN MN MP∴ = + + + + + 2 2 2 21000 6 0.05 500 2 0.05tan sin tan sinm mθ θ θ θ    = − + + + + + +       3 17075 1000 sin tanm m θ θ  = + −   0, 2 πθ  ∈   3 17075 1000 sin tanL m m θ θ  ∴ = + −   0, 2 πθ  ∈   3 cos7075 1000 sinL m m θ θ − = +    0, 2 πθ  ∈  10 ， 令 ，解得： 令 ，且 当 时， ， ；当 时， ， 函数 在 上单调递减；在 上单调递增； 时，函数 取最小值，即当 时，符合建桥要求. 8.如图，某市一学校 位于该市火车站 北偏东 方向，且 ，已知 是经过火车 站 的两条互相垂直的笔直公路，CE,DF 及圆弧 都是学校道路，其中 ， ，以学 校 为圆心，半径为 的四分之一圆弧分别与 相切于点 .当地政府欲投资开发 区 域发展经济，其中 分别在公路 上，且 与圆弧 相切，设 ， 的面积 为 . （1）求 关于 的函数解析式； （2）当 为何值时， 面积 为最小，政府投资最低？ 【解析】（1）以点 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，在 中，设 ， 又 ，故 ， . ( ) ( )( ) 2 2 3 cos sin 3 cos sin 1 3cos1000 1000sin 1 cosL m m θ θ θ θ θ θ θ ′ ′− − − −∴ = ⋅ = − ′ ⋅ 0, 2 πθ  ∈   0L′ = 1cos 3 θ = 0 1cos 3 θ = 0 0, 2 πθ  ∈   ( )00,θ θ∈ 1cos 3 θ > 0L′ < 0 , 2 πθ θ ∈   1cos 3 θ < 0L′ > ∴ ( )L θ ( )00,θ 0 , 2 πθ     0 θ θ∴ = ( )L θ 1cos 3 θ = H O 45° 4 2OH km= , OM ON O CD / /CE OM / /DF ON H 2km , CE DF , C D AOB ,A B , OM ON AB CD OAB θ∠ = AOB 2Skm S θ θ AOB S O (4,4)H Rt ABO AB l= OAB θ∠ = cosOA l θ= sinOB l θ=11 所以直线 的方程为 ，即 . 因为直线 与圆 相切， 所以 . 因为点 在直线 的上方， 所以 ， 所以 式可化为 ，解得 . 所以 ， . 所以 面积为 . （2）令 ，则 ， 且 ， 所以 ， . 令 ， ，所以 在 上单调递 AB 1cos sin x y l lθ θ+ = sin cos sin cos 0x y lθ θ θ θ+ − = AB H 2 2 | 4sin 4cos sin cos | 2 sin cos lθ θ θ θ θ θ + − = + (*) H AB 4sin 4cos sin cos 0lθ θ θ θ+ − > (*) 4sin 4cos sin cos 2lθ θ θ θ+ − = 4(sin cos ) 2 sin cosl θ θ θ θ + −= 4(sin cos ) 2 sinOA θ θ θ + −= 4(sin cos ) 2 cosOB θ θ θ + −= AOB 21 [2(sin cos ) 1]2 , 0,2 sin cos 2S OA OB θ θ πθθ θ + −  = ⋅ = ⋅ ∈   2(sin cos ) 1t θ θ= + − 2 2 3sin cos 8 t tθ θ + −= 2(sin cos ) 1 2 2 sin 1 (1,2 2 1]4t πθ θ θ = + − = + − ∈ −   2 2 2 162 3 22 3 1 8 tS t t t t = ⋅ =+ − − + + (1,2 2 1]t ∈ − 1 2 2 1,17m t  += ∈    2 2 1 4( ) 3 2 1 3 3 3g m m m m = − + + = − − +   ( )g m 2 2 1,17  +   12 减. 所以，当 ，即 时， 取得最大值， 取最小值. 答：当 时， 面积 为最小，政府投资最低. 9.从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币。 如图 1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同 心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”。某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品， 其小圆内部图纸设计如图 2 所示，小圆直径 1 厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边 长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上 的字．设 ，五个正方形的面积和为 ． （1）求面积 关于 的函数表达式，并求 的范围； （2）求面积 最小值． 【解析】⑴过点 分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为 ， 因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合， 所以点 分别为小正方形和大正方形边的中点. 所以小正方形的边长为 ， 大正方形的边长为 所以五个正方形的面积和为 2 2 1 7m += 4 πθ = ( )g m S 4 πθ = AOB S OAB θ∠ = S S θ tanθ S O E F ,E F 1 sin 2 sin2 θ θ × =   1 cos sin 2 cos 2sin2 θ θ θ θ − × = −   ( )224sin cos 2sinS θ θ θ= + − O BA13 因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长， 所以 ，所以 ， 所以 的取值范围为 ， 答：面积 关于 的函数表达式为 ， 的取值范围为 ， . 10.请你设计一个包装盒，ABCD 是边长为10 2푐푚的正方形纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角 形，在沿虚线折起，使得 A，B，C，D 四个点重合于图 2 中的点 P，正好形成一个正四棱锥形状的包装 盒（图 2 所示），设正四棱锥 P﹣EFGH 的底面边长为 x（cm）． （1）若要求包装盒侧面积 S 不小于 75cm2，求 x 的取值范围； （2）若要求包装盒容积 V（cm3）最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的容积． 【解析】（1）图（1）中，AC，BD 交于点 O，BD 与 FG 交于 M，图（2）中，连接 OP， 2 28sin cos 4sin cosθ θ θ θ= + − sin cos 2sinθ θ θ< − 1tan 3 θ < θ ( )00,θ 0 0 1tan , 0,3 2 πθ θ  = ∈   S θ 2 28sin cos 4sin cosS θ θ θ θ= + − θ ( )00,θ 0 0 1tan , 0,3 2 πθ θ  = ∈  14 因为 ABCD 是边长为 10 2的正方形，所以 OB＝10（cm）， 由 FG＝x 得 OM = 1 2푥，PM＝BM＝10 ― 1 2푥， 因为 PM＞OM，即 10 ― 1 2푥＞ 1 2푥， 所以 0＜x＜10， 因为 S＝4 × 1 2퐹퐺 ⋅ 푃푀 = 2x（10 ― 1 2푥）＝20x﹣x2， 由 20x﹣x2＞75，可得 5≤x≤15， 所以，5≤x＜10， 答：x 的取值范围[5，10）， （2）因为在 Rt△OMP 中，OM2+OP2＝PM2， 所以 OP = 푃푀2 ― 푂푀2 = 100 ― 10푥， V = 1 3퐹퐺2 ⋅ 푂푃 = 1 3푥2 100 ― 10푥 = 1 3 100푥4 ― 10푥5，（0＜x＜10）， 设 f（x）＝100x4﹣10x5，0＜x＜10， 则 f′（x）＝400x3﹣50x4＝50x3（8﹣x）， 当 0＜x＜8 时，f′（x）＞0，函数单调递增，当 x＞8 时，f′（x）＜0，函数单调递减，15 所以，当 x＝8 时，函数取得极大值，也是极大值，此时 V 取得最大值128 5 3 ． 答：当 x＝8 时，包装盒的容积最大为128 5 3 ．[来源:Z.Com] 11.如图，一块弓形薄铁片 EMF，点 M 为弧 EF 的中点，其所在圆 O 的半径为 4 dm(圆心 O 在弓形 EMF 内)，∠EOF＝2π 3 .将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片 ABCD(不计损耗)，AD∥EF，且点 A，D 在EF上， 设∠AOD＝2θ. (1) 求矩形铁片 ABCD 的面积 S 关于 θ 的函数关系式； (2) 当裁出的矩形铁片 ABCD 面积最大时，求 cosθ 的值． 【解析】 (1) 设矩形铁片的面积为 S，∠AOM＝θ. 当 0＜θ＜π 3时(如图 1)，AB＝4cosθ＋2，AD＝2×4sinθ， S＝AB×AD＝(4cosθ＋2)(2×4sinθ)＝16sinθ(2cosθ＋1)．(3 分) 当π 3≤θ＜π 2时(如图 2)，AB＝2×4cos θ，AD＝2×4sin θ，故 S＝AB×AD＝64sinθcosθ＝32sin 2θ. 综上得，矩形铁片的面积 S 关于 θ 的函数关系式为 S＝Error!(7 分)16 (2) 当 0＜θ＜π 3时，求导，得 S′＝16[cosθ(2cosθ＋1)＋sinθ(－2sinθ)] ＝16(4cos2 θ＋cos θ－2)． 令 S′＝0，得 cosθ＝ 33－1 8 .(10 分) 记区间(0，π 3 )内余弦值等于 33－1 8 的角为 θ0(唯一存在)，列表： θ (0，θ0) θ0 (θ0，π 3) S′ ＋ 0 － S  极大值  又当π 3≤θ＜π 2时，S＝32sin2θ 是单调减函数，所以当 θ＝θ 0，即 cosθ＝ 33－1 8 时，矩形铁片的面积最 大． 12.一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡 屋面 ABFE 和 CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面 EAD 和 FBC 是全等的三角形．点 F 在平面 ABCD 和 BC 上的射影分别为 H，M.已知 HM＝5 m，BC＝10 m，梯形 ABFE 的面积是△FBC 面积的 2.2 倍．设∠FMH ＝θ(0 < θ < π 4). (1) 求屋顶面积 S 关于 θ 的函数关系式； (2) 已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为 k(k 为正的常数)，下部主体造价与其高度成正比， 比例系数为 16k.现欲造一栋上、下总高度为 6 m 的别墅，试问：当 θ 为何值时，总造价最低？ 【解析】(1) 由题意 FH⊥平面 ABCD，FM⊥BC，又因为 HM⊂平面 ABCD，得 FH⊥HM. 在 Rt△FHM 中，HM＝5，∠FMH＝θ， 所以 FM＝ 5 cosθ.17 因此△FBC 的面积为1 2×10× 5 cosθ＝ 25 cosθ. 从而屋顶面积 S＝2S△FBC＋2S 梯形 ABFE＝2× 25 cosθ＋2× 25 cosθ×2.2＝ 160 cosθ. 所以 S 关于 θ 的函数关系式为 S＝ 160 cosθ(0 < θ < π 4). (2)在 Rt△FHM 中，FH＝5tanθ，所以主体高度为 h＝6－5tanθ. 所以别墅总造价为 y＝S·k＋h·16k＝ 160 cosθk－80sinθ cosθ k＋96k＝80k·(2－sinθ cosθ )＋96k. 记 f(θ)＝2－sinθ cosθ ，0