山东省青岛市西海岸新区(黄岛区)2019-2020学年高三4月模拟考试数学试题 带详细答案及评分标准

青岛西海岸新区高中 4 月模拟试题 数 学 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ，集合 ，则 =( ) A． (2,+ ) B． C． D．(3,+ ) 2. 已知复数 ，则复数 z 的虚部是（ ） A. 4i B. 2i C. 2 D. 4 3．已知向量 、 均为非零向量， ， ，则 、 的夹角为（ ） A． B． C． D． 4．中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为 难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为； “有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半， 走了 6 天后到达目的地，请问第一天走了（ ） A．24 里 B．48 里 C．96 里 D．192 里 5．在 中，内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 ，且 a>b,则 ( ) A． B． C． D． 6．过抛物线 的焦点 F 作倾斜角为 的直线 交抛物线于 A,B 两点，且 { }）（）（ 2x-x 2 2 logxf| == xM }13{ x >= xN M N ∞ )2,0( [ )∞+，2 ∞ ii iz 31 1 +− += a b ( )2a b a− ⊥  a b=  a b 6 π 3 π 2 3 π 5 6 π ABC∆ bABcCBa 2 3cossincossin =+ =∠B 3 π 6 π 2 3 π 5 6 π )0(22 >= ppxy 60 l,则 ( ) A. 2 B．3 C． D． 7.考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字 ，因为 ， ，…所以这组数字又叫走马灯数.该组数字还有如下规律： ， ，…若从 ， ， ， ， ， 这 个数字中任意取 出 个数字构成一个三位数 ，则 的结果恰好是剩下 个数字构成的一个三位数的 概率为（ ） A. B. C. D. 8．如图所示的三棱柱 ，其中 ，若 ，当四棱锥 体积最大时，三棱柱 外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9.习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献,无怨无悔,让我感到千千万万普通人最伟大,同 时让我感到幸福都是奋斗出来的”.某企业 年 个月的收入与支出数据的折线图如下： BFAF > = BF AF 3 4 2 3 142857 142857 2 285714× = 142857 3 428571× = 142 857 999+ = 571 428 999+ = 1 4 2 8 5 7 6 3 x 999 x− 3 4 5 3 5 2 5 3 10 1 1 1ABC A B C− AC BC⊥ 1 2AA AB= = 1 1B A ACC− 1 1 1ABC A B C− 16 3 π 4 2 3 π 8 2 3 π 4 3 π 2019 12已知：利润 收入 支出,根据该折线图,下列说法正确的是（ ） A. 该企业 年 月至 月的总利润低于 年 月至 月的总利润 B. 该企业 年第一季度的利润约是 万元 C. 该企业 年 月至 月的月利润持续增长 D. 该企业 年 月份的月利润最大 10.声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数 ,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是 函数 ,则下列结论正确的是（ ） A. 是 的一个周期 B. 在 上有 个零点 C. 的最大值为 D. 在 上是增函数 11.在平面直角坐标系 中，如图放置的边长为 的正方形 沿 轴滚动（无滑动 滚动），点 恰好经过坐标原点，设顶点 的轨迹方程是 ，则对函数 的判断正确的是( ) = − 2019 1 6 2019 7 12 2019 60 2019 4 7 2019 11 siny A tω= ( ) 1sin sin 22f x x x= + 2π ( )f x ( )f x [ ]0,2π 3 ( )f x 3 3 4 ( )f x 0, 2 π     xOy 2 ABCD x D ( ),B x y ( )y f x= ( )y f x=A. 函数 是奇函数 B. 对任意的 ，都有 C. 函数 的值域为 D. 函数 在区间 上单调递增 12．如图,正方形 中, 分别是 的中点将 分别沿 折起,使 重合于点 .则下列结论正确的是（ ） A． B．平面 C．二面角 的余弦值为 D．点 在平面 上的投影是 的外心 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且满足 ，则 _______ 14．已知 的展开式中 的系数为 24，则 __________． 15．双曲线 的左焦点为 ，过点 作斜率为 的直线与 轴及双 曲线的右支分别交于 两点，若 ，则双曲线的离心率为 ． 16．已知函数 ，数列 中， ，则数列 的前 100 项之和 ____． ( )y f x= x∈R ( ) ( )4 4f x f x+ = − ( )y f x= 0,2 2   ( )y f x= [ ]6,8 ABCD E F、 AB BC、 , ,ADE CDF BEF∆  DE DF EF、 、 、 、A B C P PD EF⊥ PDE PDF⊥ 平面 P EF D− − 1 3 P DEF DEF∆ ( ) ( )2f x f x+ = − ( )2f − = 6(2 1)( )x x a− + 5x a = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1F 1F 2 y ,A B 1F A AB=  2( ) cos 2 xf x x π= { }na ( )*( ) ( 1)na f n f n n N= + + ∈ { }na 100S =四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在各项均不相等的等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列，数列 的 前 n 项和 ． （1）求数列 、 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 n 项和 ． 18.在① ,② ,③ 这三个条件中任 选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题. 已知 的内角 , , 的对边分别为 , , ______________, , ,求 的面积. 19.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。近年来，移动支付已成为主要支付方 式之一。为了解某校学生上个月 A,B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机 抽取了 100 人，发现样本中 A,B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本仅使用 A 和仅使 用 B 的学生的支付金额分布情况如下： { }na 1 1a = 1a 2a 5a { }nb 12 2n nS += − { }na { }nb 22 logna n nc b= + { }nc nT 2 2 22b ac a c+ = + cos sina B b A= sin cos 2B B+ = ABC∆ A B C a b c 3A π= 2b = ABC∆（Ⅰ）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A,B 两个支付方式都使用的概率； （Ⅱ）从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中上个月支付 金额大于 1000 元的人数，求 X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用 A 的学生中，随机 抽查 3 人，发现他们本月的支付金额大于 2000 元。根据抽查结果，能否认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由。 20.已知△ABC 的各边长为 3，点 D，E 分别是 AB，BC 上的点，且满足 CE EA＝ 1 2，D 为 AB 的三等 分点（靠近点 A），(如图(1))，将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使二面角 A1－DE－B 的 平面角为 90°，连接 A1B，A1C(如图(2))． (1)求证：A1D⊥平面 BCED； (2)在线段 BC 上是否存在点 P，使直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角为 6 0°？若存在，求 出 PB 的长；若不存在，请说明理由． 支付金额(元) 支付方式 (0,1000] (1000,2000] 大于 2000 仅使用 A 18 人 9 人 3 人 仅使用 B 10 人 14 人 1 人21.如图：在平面直角坐标系中，已知椭圆 的离心率为 ，点 在 椭 圆 C 上 ， 是 椭 圆 C 上 的 一 点 ， 从 原 点 O 向 圆 作两条切线，分别交椭圆于 P,Q. (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 若直线 OP,OQ 的斜率存在，并记为 ，求 的值； (3) 试问 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由。 22. 已知函数 (1) 求 的极值； (2) 若 对任意的 均成立，求 K 的取值范围； )0(1: 2 2 2 2 >>=+ bab y a xC 2 1 )2 3,3(M ), 00 yxR（ 7 12)()(: 2 0 2 0 =−+− yyxxR 21,kk 21 kk ⋅ 22 OQOP + Rax xaxf ∈+−= ,ln1)( )(xf 0ln x xyo R PQ(3) 已知 且 ，求证：0,0 21 >> xx exx +青岛西海岸新区高中 4 月模拟试题 数学答案 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.A 2.D 3. B 4.D 5. A 6. B 7.C 8.C 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9. AC 10.ABC 11. BCD 12.ABC 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 0 14. 1 或 15. 16. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1 7.解:（1）设数列 的公差为 d，则 ， ， ∵ ， ， 成等比数列， ，即 ， 整理得 ，解得 （舍去）或 ， . ………….........…………3 分 当 时， ， 当 时， ． 验证：当 时， 满足上式， ∴数列 的通项公式 为 ． ………….........…………6 分 4 5 − 3 2+ 10200 { }na 2 1a a d= + 5 1 4a a d= + 1a 2a 5a 2 2 1 5a a a∴ = ( ) ( )2 1 1 1 4a d a a d+ = + 2 12d a d= 0d = 12 2d a= = ( )1 1 2 1na a n d n∴ = + − = − 1n = 1 2b = 2n ≥ ( )1 1 2 2 2 2n n n n nb S S + −= − = − − − 12 2 2 2 2 2n n n n n+= − = × − = 1n = 1 2b = { }nb 2n nb =（2）由（1）得， ， ………….........…………7 分 ∴ ………….........…………8 分 . ………….........…………12 分 18.解：（1）若选择① , 由余弦定理 ,………….........4 分 因为 ,所以 ;………….........………5 分 由正弦定理 ,得 ,…………........7 分 因为 , ,所以 ,………….........8 分 所以 ………10 分 所以 .………….........12 分 （2）若选择② ,则 ,………….........3 分 因为 ,所以 ,………….........4 分 2 1 22 log 2na n n nc b n−== + + ( ) ( ) ( )3 5 2 1(2 1) 2 2 2 3 2 n nT n−= + + + + + + + + ( )3 5 2 12 2 2 2 (1 2 3 )n n−= + + + + + + + + +  2(1 4 ) (1 ) 1 4 2 n n n− += +− 2 1 22 2 3 2 n n n+ − += + 2 2 22b ac a c+ = + 2 2 2 2 2cos 2 2 2 a c b acB ac ac + −= = = (0, )B π∈ 4B π= sin sin a b A B = 2 sinsin 3 3sin 2 2 b Aa B π⋅ = = = 3A π= 4B π= 5 3 4 12C π π ππ= − − = 5 6 2sin sin sin sin cos cos sin12 4 6 4 6 4 6 4C π π π π π π π + = = + = + =   1 1 6 2 3 3sin 3 22 2 4 4ABCS ab C∆ + += = × × × = cos sina B b A= sin cos sin sinA B B A= sin 0A ≠ sin cosB B=因为 ,所以 ;………….........5 分 由正弦定理 ,得 ,………….........7 分 因为 , ,所以 ,………….........8 分 所以 ,.........10 分 所以 .…………........12 分 （3）若选择③ , 则 ,所以 ,………….....3 分 因为 ,所以 , 所以 ,所以 ;………….........5 分 由正弦定理 ,得 ,………….........7 分 因为 , ,所以 ,………….........8 分 所以 (0, )B π∈ 4B π= sin sin a b A B = 2 sinsin 3 3sin 2 2 b Aa B π⋅ = = = 3A π= 4B π= 5 3 4 12C π π ππ= − − = 5 6 2sin sin sin sin cos cos sin12 4 6 4 6 4 6 4C π π π π π π π + = = + = + =   1 1 6 2 3 3sin 3 22 2 4 4ABCS ab C∆ + += = × × × = sin cos 2B B+ = 2 sin 24B π + =   sin 14B π + =   (0, )B π∈ 5,4 4 4B π π π + ∈   4 2B π π+ = 4B π= sin sin a b A B = 2 sinsin 3 3sin 2 2 b Aa B π⋅ = = = 3A π= 4B π= 5 3 4 12C π π ππ= − − =,…….......10 分 所以 .………….........12 分 19. 解：（Ⅰ）由题意知，样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人，仅使用B的学生有10+14+1=25 人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人. 故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人.………….........2分 所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为 .………….........4分 （Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2. 记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”， 事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”. 由题设知，事件C，D相互独立，且 . 所以 ，………….........5分 =0.4×（1−0.6）+（1−0.4）×0.6 =0.52，………….........6分 .………….........7分 所以X的分布列为 5 6 2sin sin sin sin cos cos sin12 4 6 4 6 4 6 4C π π π π π π π + = = + = + =   1 1 6 2 3 3sin 3 22 2 4 4ABCS ab C∆ + += = × × × = 40 0.4100 = 9 3 14 1( ) 0.4, ( ) 0.630 25P C P D + += = = = ( 2) ( ) ( ) ( ) 0.24P X P CD P C P D= = = = ( 1) ( )P X P CD CD= =  ( ) ( ) ( ) ( )P C P D P C P D= + ( 0) ( ) ( ) ( ) 0.24P X P CD P C P D= = = =X 0 1 2 P 0.24 0.52 0.24 故X的数学期望E（X）=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.………….........9分 （Ⅲ）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000 元”. 假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本 数据得 .………….........10分 答案示例1：可以认为有变化.理由如下： P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为本月的支付金 额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.………….........12分 答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下： 事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定 有没有变化.………….........12分 20.(1)证明　由图(1)可得：AE＝2，AD＝1，A＝60°. 从 而 DE ＝ 12＋22－2 × 1 × 2 × cos 60°＝ 3 …………………………2 分 故得 AD2＋DE2＝AE2，∴AD⊥DE，BD⊥DE. ∴A1D⊥DE，BD⊥DE， ∴∠A1DB 为二面角 A1－DE－B 的平面角， ………………………4 分 又二面角 A1－DE－B 为直二面角，∴∠A1DB＝90°，即 A1D⊥DB， ∵DE∩DB＝D 且 DE，DB⊂平面 BCED， ∴A1D⊥平面 BCED. …………………6 分 (2)存在．由(1)知 ED⊥DB，A1D⊥平面 BCED. 3 30 1 1( ) C 4060P E = =以 D 为坐标原点，以射线 DB、DE、DA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐 标系 D－xyz，如图， 过 P 作 PH∥DE 交 BD 于点 H， 设 PB＝2a(0≤2a≤3)，则 BH＝a，PH＝ 3a，DH＝2－a， 易知 A1(0，0，1)，P(2－a， 3a，0)，E(0， 3，0)，所以PA1→ ＝(a－2，－ 3a，1)． 因为 ED⊥平面 A1BD，所以平面 A1BD 的一个法向量为DE→ ＝(0， 3，0)．………8 分 因 为 直 线 PA1 与 平 面 A1BD 所 成 的 角 为 60° ， 所 以 sin 60° ＝ |PA1→ ·DE→ | |PA1→ ||DE→ | ＝ 3a 4a2－4a＋5 × 3＝ 3 2 ，解得 a＝ 5 4. ∴PB＝2a＝ 5 2，满足 0≤2a≤3，符合题 意．………………………11 分 所以在线段 BC 上存在点 P，使直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角为 60°，此时 PB＝ 5 2. ---12 分 21.解：（1）因为离心率为 ， 所以 ，所以 ，…………..1 分 椭圆方程可化为 ，代入点 得 …………......2 分 所以椭圆方程为 ………….........3 分 （2）因为直线 和 都与圆 R 相切， 所以 ， ，........4 分 2 1 4 1 2 22 2 2 =−= a ba a c 22 4 3 ab = 1 4 3 2 2 2 2 =+ a y a x )2 3,3(M 42 =a 134 22 =+ yx xkyOP 1=： xkyOQ 2=： 7 84 1 2 1 001 = + − k yxk 7 84 1 2 2 002 = + − k yxk所以 是方程 的两根........5 分 所以 -------------------------6 分 因为点 在椭圆上所以 ---------------7 分 所以 ----------------8 分 （3）①当直线 OP、OQ 不落在坐标轴上时，设 ， 联立 得 ， -------------9 分 所以 ，同理 因为 所以 ------------10 分 所以 ------------11 分 ②当直线 OP、OQ 落在坐标轴上时，显然有 综上， -----------12 分 22.解：（1） -----1 分 得 ， 得 -----3 分 21,kk 07 122)7 12( 2 000 2 0 2 =−+−− yyk 7 12 7 12 2 0 2 0 21 − − =⋅ x y kk ), 00 yxR（ 2 0 2 0 4 33 xy −= 4 3- 7 12 )7 12(4 3- 7 12 7 12 2 0 2 0 2 0 2 0 21 = − − = − − =⋅ x x x y kk ),( 11 yxP ),( 22 yxQ    =+ = 1243 22 yx kxy 2 1 2 1 43 12 kx += 2 1 2 12 1 43 12 k ky += 2 1 2 12 1 2 1 43 )1(12 k kyx + +=+ 2 2 2 22 2 2 2 43 )1(12 k kyx + +=+ 4 3-21 =⋅kk 2 1 2 1 2 2 2 22 2 2 2 43 961 43 )1(12 k k k kyx + +=+ +=+ 743 )43(7 2 1 2 12 2 2 2 2 1 2 1 22 =+ +=+++=+ k kyxyxOQOP 722 =+ OQOP 722 =+ OQOP 2 ln)( x xaxf −=′ 0)( >′ xf aex 0,0 21 >> xx exx