江西九江市2020年高三二模试题理科数学 解析版

第 1 页 绝密 ★ 启封并使用完毕前 九江市 2020 届第二次高考模拟统一考试 理科数学答案 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上. 2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号，第 II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回. 第Ⅰ卷（选择题 60 分） 一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合 { | 1}A x x ³= Î -Z ， 2{ | 2}B x x= < ，则 A B =I (C) A.{ | 1 2}x x£- < B.{ | 1 2}x x- £ < C.{ , , }1 0 1- D.{ }0 1， 解: { | }2 2B x x= - < 上一点，抛物线C 的焦点为 F ，则| |PF = (B) A. 2 B. 5 2 C.3 D. 7 2 解:将 (2, 2)P 代入抛物线C 的方程，可得 1p = ，则 0 1 5| | 22 2 2 pP xF = + = + = ，故选 B. 5.将函数 2cos(2 )6y x p= + 的图像向左平移 6 p 个单位得到函数 ( )f x ，则函数 ( ) sin f xy x x= 的图像大致为(D) B x y O 2p p 1- -p 2- 2- p 1 2 A x y O 2p p 1- -p 2- 1 2 2- p 第 2 页 解:依题意得 ( ) 2cos[ ( ) ] 2cos( ) 2sin 22 26 6 2f x x x xp p p= + + = + = - ，则 ( ) 2sin2 4cos sin sin f x x xy x x x x x - -= = = ， x k¹ p， k ÎZ，显然该函数为奇函数，且当 π(0, )2xÎ 时， 0y < ，故选 D. 6.已知0 1a b< < < ，则下列结论正确的是(C) A. log 2 log 2a b< B. log loga bb a> C. b aa b< D. a ba b< 解:法一：对于选项 A: 2 2 2 2 1 10 1 log log 0 log 2 log 2log log b aa b a b b a< < < Þ < < Þ < Û < ，错误；对于选项 B: 0 1 log log ,log log log 1 loga a b b a ba b a b a b b a< < < Þ > > Þ < < ，错误；对于选项 C： 0 1a< Q ， ay x\ = 在 ( , )0 +¥ 上单调递增，由 a b< 得， a aa b< ； b aa b\ < ，正确；故选 C. 法二：取 1 4a = ， 1 2b = ，则 1log 2 2a = - ，log 2 1b = - ，显然 log 2 log 2a b> ，故 A 选项错误； 1log 2a b = ， log 2b a = ，显然 log loga bb a< ，故 B 选项错误； 1 2 ba = ， 1 41( )2 ab = ，显然 b aa b< ，故 C 选项正确； 2 2 aa = ， 2 2 bb = ，显然 a ba b= ，故 D 选项错误；故选 C. 7.若 254 a+ ( Ra Î )能被9 整除，则| |a 的最小值为(B) A.3 B. 4 C.5 D. 6 解: 25 25 25 1 24 23 2 24 25 25 254 (3 1) 3 C 3 C 3 C 3 1a a a+ = + + = + + + + + +Q L ，其中 25 1 24 23 2 25 253 C 3 C 3+ + +L 能被9 整 除， 24 25C 3 1 25 3 1 76a a a\ + + = ´ + + = + 能被9 整除，则当 4a=- 时，| |a 最小，且能被9 整除,故选 B. 8.第 41 届世界博览会于 2010 年 5 月 1 日至 10 月 31 日，在中国上海 举行，气势磅礴的中国馆──“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东 方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文 化的精神与气质.其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱.它有四根高33.3 米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3 米，上方的“斗冠” 类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9 米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为(C) A. 20° B. 28° C.38° D. 48° 解:依题意得“斗冠”的高为 60.3 33.3 27- = 米，如图， 27PE = ， 1 1 139( ) (139.4 69.9)2 2 4ME MN EF= - = ´ - = , PMEÐ 为“斗冠” 的侧面与上底面的夹角， 27 108tan 0.78139 139 4 PEPME MEÐ = = = » ， 3tan 30 0.583° = » ， tan 45 1° = ， 0.58 0.78 1< > )的左右焦点分别为 1 2,F F ，以原点O 为圆心， 1OF 为半径的圆与 双曲线 E 的右支相交于 ,A B 两点，若四边形 2AOBF 为菱形，则双曲线 E 的离心率为(A) A. 3 1+ B. 3 C. 2 D. 2 1+ 解:如图，Q四边形 2AOBF 为菱形， 2 2AF OA OF c\ = = = ，又 1 2F FQ 是圆O 的直径， 1 3AF c\ = , 1 2 2 ( 3 1)AF AF a c\ - = = - , 2 3 13 1e\ = = +- ，故选 A. 10.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档 中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁 下部分叫下珠.例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表 示数字65 .若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档 位各拨一颗下珠，则所拨数字大于 200 的概率为(D) A. 3 8 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 解:依题意得所拨数字共有 1 2 4 4C C 24= 种可能.若上珠拨的是千位档或百位档，则有 1 2 2 4C C 12= 种；若上珠拨的 是个位档或十位档，则有 1 2 2 3C C 6= 种，则所拨数字大于 200 的概率为12 6 3 24 4 + = ，故选 D. 11.现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周， 它们的中心的运动轨迹长分别为 1 2 3 4, , ,l l l l ，则(B) A. 1 2 3 4l l l l< < < B. 1 2 3 4l l l l< < = C. 1 2 3 4l l l l= = = D. 1 2 3 4l l l l= = < 解:正 n 边形的中心运动轨迹是由 n 段圆弧组成，每段圆弧的圆心角为 2 n p ，每段圆弧的半径 r 为顶点到中 心的距离，所以当它们滚动一周时，中心运动轨迹长 2 2l n r rn p= × × = p ，圆的中心运动轨迹长也为 2 rp ，依 题意得边长均为1的正方形、正五边形、正六边形的顶点到中心距离及圆的半径满足 1 2 3 4r r r r< < = ， 1 2 3 4l l l l\ < < = ，故选 B. 12.已知函数 ( ) ln 1f x x x= - - ， ( ) lng x x= ， ( ) [ ( )]gF x f x= ， ( ) [ ( )]G x g f x= ，给出以下四个命题: ① ( )y F x= 为偶函数；② ( )y G x= 为偶函数；③ ( )y F x= 的最小值为0 ；④ ( )y G x= 有两个零点.其中真 命题的是(C) A.②④ B.①③ C.①③④ D.①④ 解: ( ) ln ln(ln ) 1F x x x= - -Q ， ( ) ln ln(ln ) 1 ( )F x x x F x- = - - - - = ， ( )F x\ 为偶函数，①正确； ( ) ln ln 1G x x x= - -Q 的定义域不关于原点对称， ( )y G x\ = 为非奇非偶函数，②错误； 1 1( ) 1 xf x x x -¢ = - =Q ，\当 ( , )0 1xÎ 时， ( ) 0f x¢ < ；当 ( , )1xÎ + ¥ 时， ( ) 0f x¢ > . ( )f x\ 在( , )0 1 上单调递 减，在( , )1 +¥ 上单调递增， ( ) (1) 0f x f\ ³ = .考查函数 ( )y F x= ，令 lnt x= ， ( )y f t= ，则 1x < - 或 1x > ， 当 ( ,e)1xÎ 时， lnt x= 单调递增， ( )y f t= 单调递减， ( )y F x\ = 单调递减；当 (e, )+xÎ ¥ 时， lnt x= 单 调递增， ( )y f t= 单调递增， ( )y F x\ = 单调递增， 1x\ > 时， min( ) (e) 0F x F\ = = ，又 ( )F x 为偶函数， ( , 1) (1, )x\ Î -¥ - +¥U 时， min( ) 0F x\ = ，③正确.考查函数 ( )y G x= ，令 ( ) 0G x = 得 ln 1 1x x- - = ± ， x y O 1F A 2F B第 4 页 ( ) 0f x ³Q ， ln 1 1x x\ - - = ，又 2 2 1 1( ) 1 1e ef = + > ， 2 2(e ) e 3 1f = - > ，\直线 1y = 与函数 ( )y f x= 恰有 两个交点，故 ( )y G x= 有两个零点，④正确.故选 C. 第Ⅱ卷（非选择题 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22-23 题为选考题， 学生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知向量 ,a b 满足 1=a ， 2=b ， ( )^ -a a b ，则a 与 b 的夹角为60° . 解: ( )^ -Qa a b ， 2 0\ - × =a a b ，1 1 2cos , 0- ´ < >=a b ， 1cos , 2\ =< >a b ，\a 与b的夹角为60° . 14.设 ,x y 满足约束条件 2 2 0 2 2 0 x y x y y x + -ìï - +í ïî ≤ ≥ ≥ ，则 3 2z x y= - 的最大值是 2 3 . 解:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数过 2 2( , )3 3 时 取得最大值，即 max 2 2 23 23 3 3z = ´ - ´ = . 15.如图，在一个底面边长为 2 ,侧棱长为 10 的正四棱锥 P ABCD- 中，大球 1O 内切于该四棱锥，小球 2O 与大球 1O 及四棱锥的四个侧面相切，则小球 2O 的体积为 2 24 p . 解:设O 为正方形 ABCD 的中心，AB的中点为 M ，连接 , ,PM OM PO ，则 1OM = ， 2 2 10 1 3PM PA AM= - = - = ， 9 1 2 2PO = - = ，如图，在截面 PMO 中， 设 N 为球 1O 与平面 PAB 的切点，则 N 在 PM 上，且 1O N PM^ ，设球 1O 的半径 为 R ，则 1O N R= ， 1sin 3 OMMPO PMÐ = =Q ， 1 1 1 3 NO PO\ = ，则 1 3PO R= ， 1 1 4 2 2PO PO OO R= + = = ， 2 2R\ = ，设球 1O 与球 2O 相切于点Q ，则 PQ = 2 2PO R R- = ，设球 2O 的半径为 r ，同理可得 4PQ r= ， 2 2 4 Rr\ = = ，故小球 2O 的体积 34 2 3 24V r= p = p . 16.已知单调数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，若 2 1n nS S n n++ = + ，则首项 1a 的取值范围是 1(0, )2 . 解:当 1n = 时, 1 2 2S S+ = ， 2 12 2a a\ = - ，当 2n ³ 时， 2 1n nS S n n++ = + ， 2 1 ( 1) ( 1)n nS S n n- + = - + - ， 两式相减得 1 2n na a n++ = ………①. 2 3 4a a+ = ， 13 2 2a a= + ， 当 3n ³ 时， 1 2( 1)n na a n- + = - ………②，①-②得 11 2nna a -+ - = ， \数列{ }na 从第 2 项起，偶数项成公差为 2 的等差数列，从第 3 项起，奇数项成公差为 2 的等差数列， \数列{ }na 单调递增，则满足 1 2 3 2 2a a a a< < < + ， 1 1 1 12 2 2 2 4 2a a a a\ < - < + < - ，解得 1 10 2a< < . 三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分） 在 ABCD 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，且 a b c> > .已知sin cos cos sin sin 2 sinA B C B B A- = - ． (Ⅰ)求证: , ,a b c 成等差数列； O 1O 2O P M Q N y x–1–2 1 –1 1 2 O 1O P 2O C B A D 第 5 页 (Ⅱ)若 5b = ， 5 3sin 14B = ，求 ,a c 的值． 解:(Ⅰ)证明: sin cos cos sin sin 2 sinA B C B B A- = -Q ， sin cos cos sin sin 2 sin( )A B C B B B C\ - = - + ………1 分 sin cos cos sin sin 2 sin cos cos sinA B C B B B C B C\ - = - - ………2 分 sin cos 2sin cos cos sinA B B B B C\ = - ………3 分 a b c> >Q ， cos 0B\ ¹ ………4 分 sin 2sin sinA B C\ = - ，即 2sin sin sinB A C= + ………5 分 由正弦定理得 2b a c= + ，即 , ,a b c 成等差数列………6 分 (Ⅱ) 5 3sin 14B =Q ， B 为锐角， 11cos 14B\ = ………7 分 5b =Q ， 10a c\ + = ， 由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B= + - 得 2 2( ) 2 (1 cos )b a c ac B= + - + ，即 2 2 115 10 2 (1 )14ac= - + ………9 分 21ac\ = ………10 分 由 10 21 a c ac a c + =ì ï =í ï >î 得 7, 3a c= = ………12 分 18.(本小题满分 12 分） 如图所示的几何体 1 1 1ABC A B C- 中，四边形 1 1ABB A 是矩形，四边形 1 1BCC B 是梯形， 1 1//B C BC ，且 1 1 1 2B C BC= ， AB AC= ，平面 1 1ABB A ^ 平面 ABC. (Ⅰ)求证:平面 1 1AA C ^ 平面 1 1BCC B ； (Ⅱ)若 120CABÐ = ° ，二面角 1 1 1C AC B- - 为120°，求 1AA AB 的值. 解:(Ⅰ)取 BC 的中点 E ，连接 1,AE C E ， AB AC=Q ， AE BC\ ^ ………1 分 1 1ABB AQ 是矩形， 1BB AB\ ^ ，又平面 1 1ABB A ^ 平面 ABC， 1BB\ ^ 平面 ABC………2 分 又 AEQ Ü平面 ABC， 1AE BB\ ^ ………3 分 又 1,BC BB Ü平面 1 1BCC B ， 1BC BB B=I ， AE\ ^ 平面 1 1BCC B ………4 分 1 1//B C BCQ ，且 1 1 1 2B C BC= ， 1 1 //B C BE\ ，\四边形 1 1BB C E 为平行四边形， 1 1 1// //C E B B A A\ ，\四边形 1 1AAC E 为平行四边形， 1 1//AE AC\ ………5 分 1 1A C\ ^ 平面 1 1BCC B ,又 1 1AC Ü平面 1 1AAC ，\平面 1 1AA C ^ 平面 1 1BCC B ………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得，以 E 为原点， 1, ,EC AE EC 所在的直线分别为 , ,x y z 轴建立空间直角坐标系，设 2AB AC= = ， 1AA a= ， 120CABÐ = °Q ， 1AE\ = ， 3CE = ，则 ( 3,0,0)C , 1(0, 1, )A a- , 1(0,0, )C a , 1 ( 3,1, )AC a= -uuuur ， 1 1 (0,1,0)AC =uuuur ………7 分 易知平面 1 1 1A B C 的一个法向量为 (0,0,1)=m ………8 分 设 ( , , )x y z=n 为平面 1 1CA C 的法向量，由 1 1 1 0 0 AC AC ì × =ïí × =ïî uuuur uuuur n n 得 3 0 0 x y az y ì + - =í =î ， A B C 1A 1B 1C x y z A B C 1A 1B 1C E第 6 页 令 x a= ，得 ( ,0, 3)a=n ………10 分 2 | | 3 1cos , = = =| | | | 23a ×\ × + < > nmm n m n ，解得 3a = ， 1 3 2 AA AB\ = ………12 分 19.(本小题满分 12 分） 在直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 2 2 2 2: 1yxC a b+ = ( 0a b> > )的离心率为 2 2 ，左右焦点分别为 1 2,F F ，过 1F 且 斜率不为0 的直线l与椭圆C 交于 ,A B 两点， 1 1,AF BF 的中点分别为 ,E F ， OEFD 的周长为 2 2 ． (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程； (Ⅱ)设 2ABFD 的重心为G ，若 2| | 6OG = ，求直线l 的方程． 解:(Ⅰ) 2 2 ce a= =Q ， 2a c=Q ………2 分 连接 2 2,AF BF ， ,E OQ 分别为 1 1 2,AF F F 的中点， 1 1 1 2EF AF\ = ， 2 1 2OE AF= ， 同理 1 1 1 2FF BF= ， 2 1 2OF BF= ………3 分 OEF\D 的周长为 1 1 2 2 1 ( ) 2 2 22 AF BF AF BF a+ + + = = ， 2a\ = ， 1c = ………4 分 又 2 2 2b a c= - ， 1b\ = ，\椭圆C 的标准方程为 2 2 12 x y+ = ………5 分 (Ⅱ) lQ 过点 1( 1,0)F - 且斜率不为0 ，\可设l的方程为 1x my= - ，设 1 1 2 2( , ), ( , )x y x yA B ， 由 2 2 1 12 x my x y = -ìïí + =ïî 得 2 2( 2) 2 1 0m y my+ - - = ………7 分 1 2 2 2 2 my y m\ + = + ， 1 2 2 1 2y y m× = - + ………8 分 1 2 1 2 2 4( ) 2 2x x m y y m\ + = + - = - + ，又 2 ( , )1 0FQ ， 1 2 1 2+1( , )3 3 x x y yG + +\ ,即 2 2 2 2 2( , )3( 2) 3( 2) m mG m m - + + ………9 分 42 22 22 2 2 2 ( 2) (2 ) 4| | 9( 2) 9( 2) 3( 2) m m mOG m m m - +\ = + =+ + + ………10 分 令 4 2 24 3( 2) 6 m m + =+ ，解得 2m = ± ………11 分 \直线l 的方程为 2 1 0x y+ + = 或 2 1 0x y- + = ………12 分 20.(本小题满分 12 分） 已知函数 2( ) lnf x x x x ax= + - ( Ra Î ). (Ⅰ)若 3a = ，求 ( )f x 的单调性和极值； (Ⅱ)若函数 1( ) exy f x= + 至少有1个零点，求 a 的取值范围. 解:(Ⅰ)法一:当 3a = 时， 2( ) ln 3f x x x x x= + - , ( ) ln 2 2f x x x¢\ = + - ………1 分 当0 1x< < 时，ln 0x < ， 2 2 0x - < ， ( ) ln 2 2 0f x x x¢\ = + - < ， 当 1x > 时，ln 0x > ， 2 2 0x - > ， ( ) ln 2 2 0f x x x¢\ = + - > ………2 分 ( )f x\ 在(0,1) 上单调递减，在(1, )+¥ 上单调递增………3 分 ( )f x 在 1x = 处取得极小值，极小值为 ( ) 21f = - ，无极大值………4 分 第 7 页 法二：当 3a = 时， 2( ) ln 3f x x x x x= + - ， ( ) ln 2 2f x x x¢\ = + - ………1 分 ( )f x¢Q 在 (0, )+¥ 上单调递增，且 (1) ln1 2 2 0f ¢ = + - = ， \当 ( , )0 1xÎ 时， ( ) 0f x¢ < ；当 ( , )1xÎ +¥ 时， ( ) 0f x¢ > ………2 分 ( )f x\ 在 ( , )0 1 上单调递减，在(1, )+¥ 上单调递增………3 分 ( )f x 在 1x = 处取得极小值，极小值为 ( ) 21f = - ，无极大值………4 分 (Ⅱ) 21 1( ) lne ex xf x x x x ax+ = + - +Q ，由 2 1ln 0exx x x ax+ - + = 得 1ln exa x x x= + + ………5 分 令 1( ) ln exg x x x x= + + ，则 2 2 2 2 1 1 e e 1 ( e 1)( 1)( ) 1 e e e x x x x x x x x x x x xg x x x x x + + - - - +¢ = + - = = ………6 分 由 ( ) 0g x¢ = 得 e 1xx = . 令 ( ) exh x x= ，当 0x > 时， ( ) ( )e 01 xh x x¢ = + > ， ( ) exh x x\ = 在( , )0 +¥ 单调递增， 1 e( ) 12 2h = ，\存在 0 1( , )12x Î ，使得 0 0e 1xx = ………7 分 且当 0(0, )x xÎ 时， ( ) 1h x < ，即 e 1 0xx - < ，当 0( , )x xÎ +¥ 时， ( ) 1h x > ，即 e 1 0xx - > ………8 分 1 0x + >Q ， 2e 0xx > ，\当 0(0, )x xÎ 时， ( ) 0g x¢ < ；当 0( , )x xÎ +¥ 时， ( ) 0g x¢ > ， ( )g x\ 在 0(0, )x 上单调递减，在 0( , )x +¥ 上单调递增………9 分 ( )g x\ 在 0x x= 处取得最小值 00 0 0 0 1( ) ln exg x x x x= + + ………10 分 0 0e 1xx =Q ， 0 0ln( e ) ln1 0xx\ = = ，即 0 0ln 0x x+ = ， 00 0 0 1 1ln 0 1e 1xx x x\ + + = + = ，即 0( ) 1g x = ………11 分 \当 1a < 时，函数 1( ) exy f x= + 无零点， 当 1a ³ 时， 1( ) ln eag a a a aa= + + >Q ，\函数 1( ) exy f x= + 至少有1个零点， 故 a 的取值范围是[1, )+¥ ………12 分 21.(本小题满分 12 分） 羽毛球比赛中，首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球，在每回合争夺中，赢方得1分且获得发 球权.每一局中，获胜规则如下:①率先得到 21分的一方赢得该局比赛；②如果双方得分出现 20:20，需要 领先对方 2 分才算该局获胜；③如果双方得分出现 29:29，先取得30分的一方该局获胜.现甲、乙两名运 动员进行对抗赛，在每回合争夺中，若甲发球时，甲得分的概率为 p ；乙发球时，甲得分的概率为 q . (Ⅰ)若 2 3p q= = ，记“甲以 21:i ( 19i £ , NiÎ )赢一局”的概率为 ( )iP A ，试比较 9( )P A 与 10( )P A 的大小； (Ⅱ)根据对以往甲、乙两名运动员的比赛进行数据分析，得到如右 2 2´ 列联表部分数据.若不考虑其它因 素对比赛的影响，并以表中两人发球时甲得分的频率作为 ,p q 的值. ①完成 2 2´ 列联表，并判断是否有95%的把握认为“比赛得分与接、 发球有关”？ ②已知在某局比赛中，双方战成 27 : 27 ，且轮到乙发球，记双方再战 X 回合此局比赛结束，求 X 的分布列与期望. 参考公式: 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d -= + + + + ，其中 n a b c d= + + + . 临界值表供参考： 甲得分 乙得分 总计 甲发球 50 100 乙发球 60 90 总计 190 第 8 页 解:(Ⅰ)Q甲以 21:i ( 19i £ , NiÎ )获胜，则在这 21 i+ 个回合的争夺中，前 20 i+ 个回合里，甲赢下 20 个 回合，输掉i 个回合，且最后一个回合必需获胜………1 分 20 21 20 20 2 2 2 2 1( ) ( ) (1 ) ( ) ( )3 3 3 3 3 i i i i i i iP A C C+ +\ = ´ ´ - ´ = ´ ´ ， 9 21 9 9 29 2 1( ) ( ) ( )3 3P A C\ = ´ ´ ， 10 21 10 10 30 2 1( ) ( ) ( )3 3P A C= ´ ´ ………2 分 9 21 9 29 9 10 21 1010 30 2 1( ) ( )( ) 29! 10! 20!3 3 3 12 1( ) 9! 20! 30!( ) ( )3 3 CP A P A C ´ ´ ´= = ´ ´ =´´ ´ Q ， 9 10( ) ( )P A P A\ = ………4 分 (Ⅱ)① 2 2´ 列联表如右:………5 分 2 2 190 (50 30 60 50) 5.40100 90 110 80K ´ ´ - ´= »´ ´ ´ ………6 分 5.40 3.841>Q ，\有95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关” ………7 分 ②由 2 2´ 列联表知 1 2p = ， 2 3q = ，此局比赛结束，比分可能是 29:27，30:28，30:29 ， 2,4,5X\ = ………8 分 若比分为 29: 27 ，则甲获胜概率为 2 1 1 3 2 3´ = ，乙获胜概率为 1 1 1 3 3 9´ = ， 1 1 4( 2) 3 9 9P X\ = = + = ， 若比分为30:28，则甲获胜的情况可能为：甲乙甲甲，乙甲甲甲，其概率 2 1 2 1 1 2 1 1 1 63 2 3 2 3 3 2 2´ ´ ´ + ´ ´ ´ = ， 乙获胜的情况可能为：甲乙乙乙，乙甲乙乙，其概率 2 1 1 1 1 2 1 1 2 273 2 3 3 3 3 2 3´ ´ ´ + ´ ´ ´ = ， 1 2 13( 4) 6 27 54P X\ = = + = ， 若比分为30:29 ，则 4 13 17( 5) 1 ( 2) ( 4) 1 9 54 54P X P X P X= = - = - = = - - = ， X\ 的分布列为 X 2 4 5 P 4 9 13 54 17 54 ………11 分 4 13 17 1852 4 59 54 54 54EX\ = ´ + ´ + ´ = ………12 分 请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修 4─4：坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 E 的参数方程为 1 2cos 2sin x y j j = +ì í =î (j 为参数)，以O 为极点， x轴非负半轴为极 轴建立极坐标系，直线 1l , 2l 的极坐标方程分别为 0q q= ， 0 2q q p= + ( 0 (0, )q Î p )， 1l 交曲线 E 于点 ,A B， 2l 交曲线 E 于点 ,C D. 2( )P K k³ 0.15 0.10 0.05 0.010 0.001 k 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828 甲得分 乙得分 总计 甲发球 50 50 100 乙发球 60 30 90 总计 110 80 190 第 9 页 (Ⅰ)求曲线 E 的普通方程及极坐标方程； (Ⅱ)求 2 2BC AD+ 的值. 解:(Ⅰ)由 E 的参数方程 1 2cos 2sin x y j j = +ì í =î (j 为参数)，知曲线 E 是以(1,0) 为圆心，半径为 2 的圆， \曲线 E 的普通方程为 2 2( 1) 4x y- + = ………2 分 令 cosx r q= ， siny r q= 得 2 2 2( cos 1) cos 4r q r q- + = ， 即曲线 E 极坐标方程为 2 2 cos 3 0r r q- - = ………4 分 (Ⅱ)依题意得 1l ^ 2l ，根据勾股定理， 2 2 2BC OB OC= + ， 2 2 2AD OA OD= + ………5 分 将 0q q= ， 0 2q q p= + 代入 2 2 cos 3 0r r q- - = 中，得 2 02 cos 3 0r r q- - = ， 2 02 sin 3 0r r q+ - = ………7 分 设点 , , ,A B C D 所对应的极径分别为 1 2 3 4, , ,r r r r ，则 01 2 2cosr r q+ = ， 1 2 3r r = - ， 03 4 2sinr r q+ = - ， 1 2 3r r = - ………8 分 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 3 4( ) 2 ( ) 2BC AD OA OB OC OD r r r r r r r r r r r r\ + = + + + = + + + = + - + + - 2 2 0 04cos 6 4sin 6 16q q= + + + = ………10 分 23.[选修 4─5：不等式选讲](本小题满分 10 分） 已知函数 1 2 ( ) 2 1 x x f x x + - - = - 的最大值为 m ． (Ⅰ)求 m 的值； (Ⅱ)若 , ,a b c 为正数，且 a b c m+ + = ，求证: 1bc ac ab a b c+ + ³ . 解:(Ⅰ) ( )f x 的定义域为 1{ R | }2x xÎ ¹ ， 1 2 ( 1) (2 ) 2 1x x x x x+ - - £ + - - = -Q ， 当且仅当 ( 1)(2 ) 0 1 2 x x x + - ³ìïí ¹ïî ，即 11 2x- £ < 或 1 22 x< £ 时取等号………3 分 2 1( ) 12 1 xf x x -\ £ =- ， 1m\ = ………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 1a b c+ + = ………6 分 2 2bc ac bc ac ca b a b+ ³ × =Q ， 2 2bc ab bc ab ba c a c+ ³ × = ， 2 2ac ab ac ab ab c b c+ ³ × = ………8 分 相加得 2( ) 2( )bc ac ab a b ca b c+ + ³ + + ，当且仅当 1 3a b c= = = 时取等号………9 分 1bc ac ab a b c\ + + ³ ………10 分 命题人：王锋 审稿人：刘凯、易华、孙善惠、陈劲、江民杰、李高飞、林健航