江西九江市2020年高三二模试题文科数学 解析版

第 1 页 绝密 ★ 启封并使用完毕前 九江市 2020 届第二次高考模拟统一考试 文科数学答案 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上. 2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号，第 II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回. 第Ⅰ卷（选择题 60 分） 一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合 { 2, 1,0,1,2}A = - - ， 2{ | 2}B x x= < ，则 A B =I (C) A.{0,1} B.{ 1,1}- C.{ 1,0,1}- D.{0} 解: { | }2 2B x x= - < )的右焦点 F ，若存在平行于 x 轴的直 线 l ，与双曲线 E 相交于 ,A B 两点，使得四边形 ABOF 为菱形，则该双曲线 E 的离心率为(B) A. 2 3 1+ B. 3 1+ C. 3 D. 2 3 解:如图，由对称性知 OA OB= ， OAF\D 为边长为c 的等边三角形， 3( , )2 2 c c\ 在双曲线 E 上， 2 2 2 2 3 14 4 c c a b\ - = ， 2 2 22 2 3 4c c c aa\ - =- ， 2 2 2 3 41 ee e\ - =- ，解得 3 1e = + ，故选 B. 10.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称 “档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算 D B C A x y O A F B x y O 2p p 1- -p 2- 2- p 1 2 D x y O 2p p 1- -p 2- 2- p 1 2 C B x y O 2p p 1- -p 2- 2- p 1 2 A x y O 2p p 1- -p 2- 1 2 2- p 否 是 c a b= + 开始 输出 S 结束 ,a b b c= = ( 1)i S cS i - += 5i > 1i i= + 1i = 0a = 1b = 0S =第 3 页 珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表 示数字 65 .若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数 字为奇数的概率为(C) A. 1 3 B. 4 9 C. 5 9 D. 2 3 解:依题意得所拨数字可能为610 601 511 160 151 115 106 61 16， ， ， ， ， ， ， ， ，共9个，其中有5个是奇数，则所拨数 字为奇数的概率为 5 9 ，故选 C. 11.已知函数 ( ) lnf x x a x a= - + ( Ra Î )有两个零点，则 a 的取值范围是(B) A.(e,+ )¥ B. 2(e , )+¥ C. 2 3(e ,e ) D. 2 2(e ,2e ) 解: ( ) 1 a x af x x x -¢ = - = ( 0x > ),当 0a £ 时， ( ) 0f x¢ > ， ( )f x\ 在(0,+ )¥ 上单调递增，不合题意， 当 0a > 时，0 x a< < 时， ( ) 0f x¢ < ；x a> 时， ( ) 0f x¢ > ， ( )f x\ 在(0, )a 上单调递减，在( , )a +¥ 上 单调递增， min( ) ( ) 2 lnf x f a a a a\ = = - ，依题意得 2 ln 0a a a- < ， 2ea\ > ，取 1 ex = ， 2 2x a= ， 则 1x a< ， 2x a> ，且 1( ) (e) e 0f x f= = > ， 2 2 2( ) ( ) 2 ln ( 2ln 1)f x f a a a a a a a a= = - + = - + ，令 ( ) 2 ln 1g a a a= - + ，则 2( ) 1 0g a a ¢ = - > ， ( )g a\ 在 2(e , )+¥ 上单调递增， 2 2( ) (e ) e 3 0g a g\ > = - > ， 2( ) 0f x\ > ，故 a 的取值范围是 2(e , )+¥ ，故选 B. 12.现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周， 它们的中心的运动轨迹长分别为 1 2 3 4, , ,l l l l ，则(B) A. 1 2 3 4l l l l< < < B. 1 2 3 4l l l l< < = C. 1 2 3 4l l l l= = = D. 1 2 3 4l l l l= = < 解:正 n 边形的中心运动轨迹是由 n 段圆弧组成，每段圆弧的圆心角为 2 n p ，每段圆弧的半径 r 为顶点到中 心的距离，所以当它们滚动一周时，中心运动轨迹长 2 2l n r rn p= × × = p ，圆的中心运动轨迹长也为 2 rp ， 依题意得边长均为1的正方形、正五边形、正六边形的顶点到中心距离及圆的半径满足 1 2 3 4r r r r< < = ， 1 2 3 4l l l l\ < < = ，故选 B. 第Ⅱ卷（非选择题 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22-23 题为选考题， 学生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知向量 ,a b 满足 1=a ， 2=b ， ( )^ -a a b ，则 a 与 b 的夹角为60° . 解: ( )^ -Qa a b ， 2 0\ - × =a a b ，1 1 2cos , 0- ´ < >=a b ， 1cos , 2\ =< >a b ，\a 与b的夹角为60° . 14.设 ,x y 满足约束条件 2 2 0 2 2 0 x y x y y x + -ìï - +í ïî ≤ ≥ ≥ ，则 3 2z x y= - 的最大值是 2 3 . 解: 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数过 2 2( , )3 3 时取得最大值， 即 max 2 2 23 23 3 3z = ´ - ´ = ． y x–1–2 1 –1 1 2 O 第 4 页 15. ABCD 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，若 2 2 2 8 tana b c C+ - = ，则 ABCD 的面积为 2 . 解:由余弦定理知 2 2 2 2 cosa b c ab C+ - = ， 8 2 costan ab CC\ = ， sin 4ab C\ = , 1 sin 22ABCS ab CD\ = = . 16.如图，在一个底面边长为 2 ,侧棱长为 10 的正四棱锥 P ABCD- 中，大球 1O 内切于 该四棱锥，小球 2O 与大球 1O 及四棱锥的四个侧面相切，则小球 2O 的体积为 2 24 p . 解:设O 为正方形 ABCD 的中心，AB的中点为 M ，连接 , ,PM OM PO ，则 1OM = ， 2 2 10 1 3PM PA AM= - = - = ， 9 1 2 2PO = - = ，如图，在截面 PMO 中， 设 N 为球 1O 与平面 PAB 的切点，则 N 在 PM 上，且 1O N PM^ ，设球 1O 的半径 为 R ，则 1O N R= ， 1sin 3 OMMPO PMÐ = =Q ， 1 1 1 3 NO PO\ = ，则 1 3PO R= ， 1 1 4 2 2PO PO OO R= + = = ， 2 2R\ = ，设球 1O 与球 2O 相切于点Q ，则 PQ = 2 2PO R R- = ，设球 2O 的半径为 r ，同理可得 4PQ r= ， 2 2 4 Rr\ = = ，故小球 2O 的 体积 34 2 3 24V r= p = p . 三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列{ }na 满足 1 1a = ， 2 1 2a = ， 1 22n n na a a+ ++ = ． (Ⅰ)求证: 1{ }n na a+ - 为等比数列； (Ⅱ)求{ }na 的通项公式． 解:(Ⅰ)由 1 22n n na a a+ ++ = ，得 2 112( ) ( )n n nna a a a+ ++- = - - ，即 +2 1 +1 1 ( )2n n n na a a a+- = - - …………2 分 又 2 1 1 2a a- = - ， +2 1 +1 1 2 n n n n a a a a +-\ = -- …………4 分 1{ }n na a+\ - 是以 1 2- 为首项， 1 2- 为公比的等比数列………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 1 +1 1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2 n n n na a -- = - × - = - ………6 分 1 1 1( )2 n n na a - -\ - = - , 2 1 2 1( )2 n n na a - - -- = - ，…， 2 1 1( )2a a- = - ( 2n ³ )， 累加得 2 2 1 1 1 1( )1 1 1 1 1 2 12 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 2 2 2 3 3 21 ( )2 n n n n na a - - - - - - = - + - + + - + - = = - - - - -L ………9 分 又 1 1a = ， 1 2 1 2 2 11 ( ) ( )3 3 2 3 3 2 n n na\ = - - - = - - ( 2n ³ )………11 分 又 1 1a = 也符合上式， 2 2 1( )3 3 2 n na\ = - - ………12 分 18.(本小题满分 12 分) BMI 指数（身体质量指数，英文为 Body Mass Index ，简称 BMI ）是衡量人体胖瘦程度的一个标准，BMI = 体重 (kg) / 身高 (m) 的平方.根据中国肥胖问题工作组标准，当 BMI 28≥ 时为肥胖.某地区随机调查了 1200 名35岁以上成人的身体健康状况，其中有 200名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如下： 2O O 1O 2O P M Q N 1O P C B A D 第 5 页 (Ⅰ)求被调查者中肥胖人群的 BMI 平均值 m ； (Ⅱ)填写下面列联表，并判断是否有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关. 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d -= + + + + ， n a b c d= + + + . 解:(Ⅰ)根据频率分布直方图， 200 名高血压患者中， BMI 值在[28,30) 的人数为0.1 2 200 40´ ´ = ，在[30,32) 的人数为 0.05 2 200 20´ ´ = ，在[32,34) 的人 数为0.025 2 200 10´ ´ = ………2 分 1000 名非高血压患者中， BMI 值在 [28,30) 的人数为 0.08 2 1000 160´ ´ = ，在 [30,32) 的人数为 0.03 2 1000 60´ ´ = ，在[32,34) 的人数为0.005 2 1000 10´ ´ = ………4 分 被调查者中肥胖人群的 BMI 平均值 (40 160) 29 (20 60) 31 (10 10) 33 29.840 20 10 160 60 10m + ´ + + ´ + + ´= =+ + + + + ………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知， 200名高血压患者中，有 40 20 10 70+ + = 人肥胖， 200 70 130- = 人不肥胖………7 分 1000 名非高血压患者中，有160 60 10 230+ + = 人肥胖，1000 230 770- = 人不肥胖………8 分 ………9 分 2 2 1200 (70 770 230 130) 12.8 10.828200 1000 900 300K ´ ´ - ´= = >´ ´ ´ ………11 分 有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关………12 分 19.(本小题满分 12 分) 如图所示的几何体 1 1 1ABC A B C- 中，四边形 1 1ABB A 是正方形，四边形 1 1BCC B 是梯形， 1 1//B C BC ，且 1 1 1 2B C BC= ， AB AC= ，平面 1 1ABB A ^ 平面 ABC. (Ⅰ)求证：平面 1 1ACC ^ 平面 1 1BCC B ； (Ⅱ)若 2AB = ， 90BACÐ = °，求几何体 1 1 1ABC A B C- 的体积. 解:(Ⅰ)取 BC 的中点 E ，连接 1,AE C E ， AB AC=Q ， AE BC\ ^ ………1 分 1 1ABB AQ 是正方形， 1BB AB\ ^ ，又平面 1 1ABB A ^ 平面 ABC， 1BB\ ^ 平面 ABC， 又 AEQ Ü平面 ABC， 1AE BB\ ^ ………2 分 又 1,BB BCQ Ü平面 1 1BCC B ， 1BB BC B=I ， AE\ ^ 平面 1 1BCC B ………3 分 2( )P K k≥ 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 肥胖 不肥胖 合计 高血压 非高血压 合计 肥胖 不肥胖 合计 高血压 70 130 200 非高血压 230 770 1000 合计 300 900 1200 BMI 频率 组距 18 20 22 24 26 28 30 32 34 0.025 0.050 0.100 高血压 BMI 频率 组距 18 20 22 24 26 28 30 32 34 0.005 0.030 0.080 非高血压 A B C 1A 1B 1C 第 6 页 1 1 //B C BEQ ，\四边形 1 1BB C E 为平行四边形， 1 1 1// //C E B B A A\ ，\四边形 1 1AA C E 为平行四边形 ………4 分 1 1//AE A C\ ， 1 1A C\ ^ 平面 1 1BCC B ………5 分 又 1 1AC Ü平面 1 1ACC ，\平面 1 1ACC ^ 平面 1 1BCC B ………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知所求几何体为四棱锥 1 1C AAC E- 和直三棱柱 1 1 1ABE A B C- 的 组合体………7 分 CE AE^Q ， 1CE AA^ ， 1,AA AE Ü平面 1 1AA C E ， CE\ ^ 平面 1 1AA C E ， \四棱锥 1 1C AA C E- 的体积 1 11 1 1 1 1 1 42 2 23 3 3 3AA C EC AA C EV S CE AA AE CE- = × = × × × = ´ ´ ´ =矩形 ………9 分 直三棱柱 1 1 1ABE A B C- 的体积 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 22 2ABE A B C ABEV S AA BE AE AA- = × = × × × = ´ ´ ´ = ………11 分 \所求几何体 1 1 1ABC A B C- 的体积 1 1 1 1 1 4 1023 3C AA C E ABE A B CV V V- -= + = + = ………12 分 20.(本小题满分 12 分) 过点 (1,0)A 的动直线l 与 y 轴交于点 (0, )T t ，过点T 且垂直于l 的直线l¢ 与直线 2y t= 相交于点 M ． (Ⅰ)求 M 的轨迹方程； (Ⅱ)设 M 位于第一象限，以 AM 为直径的圆O¢ 与 y 轴相交于点 N ，且 30NMAÐ = ° ，求 AM 的值． 解:(Ⅰ) ( , )1 0AQ ， (0, )T t ，当 0t = 时， M 的坐标为 ( , )0 0 ………1 分 当 0t ¹ 时， 0 1 0l tk t-= = -- ， 1 1 l l k k t¢\ = - = ， l¢\ 的方程为 1y x tt= + ………2 分 由 2y t= 得 2x t= ， 2( ,2 )M t t\ ………3 分 验证当 0t = 时，也满足 2( ,2 )M t t ………4 分 M\ 的坐标满足方程 2 4y x= ，即 M 的轨迹方程为 2 4y x= ………5 分 (Ⅱ)法一:设 0 0( , )M x y ( 0 0, 0x y > )，则 2 0 04y x= ， 0 01( , )2 2 x yO +¢ ， 圆O¢ 的方程为 0 0( 1)( ) ( 0)( ) 0x x x y y y- - + - - = ………6 分 令 0x = 得 2 0 0 0y y y x- + = ，即 2 2 0 0 04 yy y y- + = ， 0 2 yy = ，即 0(0, )2 yN ， O N x¢\ // 轴………8 分 30NMAÐ = °Q ， 60NO A¢Ð = °Q ， 3AMk\ = ，\直线 AM 的方程为 3( 1)y x= - ………10 分 联立 2 3( 1) 4 y x y x ì = -ïí =ïî ，消去 y 整理得 23 10 3 0x x- + = ，解得 3x = 或 1 3x = (舍)，即 0 3x = ………11 分 AQ 为抛物线 2 4y x= 的焦点， 0 1 4AM x\ = + = ………12 分 法二:作 1O O y¢ ^ 轴于 1O ， 1MM y^ 轴于 1M ，则 1 1 1 ( )2O O MM OA¢ = + ………6 分 又 A 为抛物线 2 4y x= 的焦点， 1 1 2O O MA¢\ = ，故圆O¢ 与 y 轴相切于点 N ………8 分 30NMAÐ = °Q ， 60NO A¢Ð = °Q ， 3AMk\ = ，\直线 AM 的方程为 3( 1)y x= - ………10 分 联立 2 3( 1) 4 y x y x ì = -ïí =ïî ，消去 y 整理得 23 10 3 0x x- + = ，解得 3x = 或 1 3x = (舍)，即 0 3x = ………11 分 x y A M O¢N O 1M A B C 1A 1B 1C E第 7 页 AQ 为抛物线 2 4y x= 的焦点， 0 1 4AM x\ = + = ………12 分 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 ( ) ( 1)lnf x x x= - . (Ⅰ)求 ( )f x 的单调性； (Ⅱ)若不等式 e ( ) ex xf x x a³ + 在 (0, )+¥ 上恒成立，求实数 a 的取值范围． 解:(Ⅰ)法一：由 ( ) ( 1)lnf x x x= - ，知 1( ) ln 1f x x x¢ = + - ………1 分 当0 1x< < 时， 1ln 0, 1 0x x< - < ， 1ln 1 0x x+ - < ，此时 ( ) 0f x¢ < ………3 分 当 1x > 时， 1ln 0, 1 0x x> - > ， 1ln 1 0x x+ - > ，此时 ( ) 0f x¢ > ………4 分 ( )f x\ 在 ( , )0 1 上单调递减，在(1, )+¥ 上单调递增………5 分 法二：由 ( ) ( 1)lnf x x x= - ，知 1( ) ln 1f x x x¢ = + - ………1 分 令 1( ) ( ) ln 1h x f x x x¢= = + - ( 0x > )，则 2 2 1 1 1( ) 0xh x x x x +¢ = + = > ， ( )h x\ 在(0, )+¥ 上单调递增………3 分 1( ) ln1 1 01 1h = + - =Q ，\当 ( , )0 1x Î 时， ( ) 0h x < ；当 ( , )1xÎ +¥ 时， ( ) 0h x > ………4 分 ( )f x\ 在 ( , )0 1 上单调递减，在(1, )+¥ 上单调递增………5 分 (Ⅱ)不等式 e ( ) ex xf x x a³ + 等价于 ( ) ex xa f x£ - ………7 分 令 ( ) ex xg x = ，则 1( ) e x xg x -¢ = ，当0 1x< < 时， ( ) 0g x¢ > ，当 1x > 时， ( ) 0g x¢ < ， ( ) ex xg x\ = 在 ( , )0 1 上单调递增，在(1, )+¥ 上单调递减………9 分 又 ( )f xQ 在( , )0 1 上单调递减，在(1, )+¥ 上单调递增， ( ) ex xy f x\ = - 在 ( , )0 1 上单调递减，在 (1, )+¥ 上单调递增，即 ( ) ex xy f x= - 在 1x = 处取得最小值 1 e- ………11 分 1 ea £\ - ，故实数 a 的取值范围是 1( , ]e-¥ - ………12 分 请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修 4─4：坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 E 的参数方程为 1 2cos 2sin x y j j = +ì í =î (j 为参数)，以O 为极点， x轴非负半轴为极 轴建立极坐标系，直线 1l , 2l 的极坐标方程分别为 0q q= ， 0 2q q p= + ( 0 (0, )q Î p )， 1l 交曲线 E 于点 ,A B， 2l 交曲线 E 于点 ,C D. (Ⅰ)求曲线 E 的普通方程及极坐标方程； (Ⅱ)求 2 2BC AD+ 的值. 解:(Ⅰ)由 E 的参数方程 1 2cos 2sin x y j j = +ì í =î (j 为参数)，知曲线 E 是以(1,0) 为圆心，半径为 2 的圆， \曲线 E 的普通方程为 2 2( 1) 4x y- + = ………2 分 令 cosx r q= ， siny r q= 得 2 2 2( cos 1) cos 4r q r q- + = ， 即曲线 E 极坐标方程为 2 2 cos 3 0r r q- - = ………4 分 第 8 页 (Ⅱ)依题意得 1l ^ 2l ，根据勾股定理， 2 2 2BC OB OC= + ， 2 2 2AD OA OD= + ………5 分 将 0q q= ， 0 2q q p= + 代入 2 2 cos 3 0r r q- - = 中，得 2 02 cos 3 0r r q- - = ， 2 02 sin 3 0r r q+ - = ………7 分 设点 , , ,A B C D 所对应的极径分别为 1 2 3 4, , ,r r r r ，则 01 2 2cosr r q+ = ， 1 2 3r r = - ， 03 4 2sinr r q+ = - ， 1 2 3r r = - ………8 分 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 3 4( ) 2 ( ) 2BC AD OA OB OC OD r r r r r r r r r r r r\ + = + + + = + + + = + - + + - 2 2 0 04cos 6 4sin 6 16q q= + + + = ………10 分 23.[选修 4─5：不等式选讲](本小题满分 10 分） 已知函数 1 2 ( ) 2 1 x x f x x + - - = - 的最大值为 m ． (Ⅰ)求 m 的值； (Ⅱ)若 , ,a b c 为正数，且 a b c m+ + = ，求证: 1bc ac ab a b c+ + ³ . 解:(Ⅰ) ( )f x 的定义域为 1{ R | }2x xÎ ¹ ， 1 2 ( 1) (2 ) 2 1x x x x x+ - - £ + - - = -Q ， 当且仅当 ( 1)(2 ) 0 1 2 x x x + - ³ìïí ¹ïî ，即 11 2x- £ < 或 1 22 x< £ 时取等号………3 分 2 1( ) 12 1 xf x x -\ £ =- ， 1m\ = ………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 1a b c+ + = ………6 分 2 2bc ac bc ac ca b a b+ ³ × =Q ， 2 2bc ab bc ab ba c a c+ ³ × = ， 2 2ac ab ac ab ab c b c+ ³ × = ………8 分 相加得 2( ) 2( )bc ac ab a b ca b c+ + ³ + + ，当且仅当 1 3a b c= = = 时取等号………9 分 1bc ac ab a b c\ + + ³ ………10 分 命题人：王锋 审稿人：刘凯、易华、孙善惠、陈劲、江民杰、李高飞、林健航