华大新高考联盟2020届高三4月份教学质量测评数学（文）试题 （PDF版含答案及解析和评分标准）

文科数学试题 　 第 １　　　　 页(共 ４ 页) 机密 ★ 启用前 华大新高考联盟 ２０２０ 届高三 ４ 月教学质量测评 文科数学 本试题卷共４页,２３题(含选考题). 全卷满分１５０分. 考试用时１２０分钟. ★ 祝考试顺利 ★ 注意事项: １． 答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. ２． 选择题的作答:每小题选出答案后,用 ２B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试题卷、草稿纸和答题卡上 的非答题区域均无效. ３． 填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区 域均无效. ４． 选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 ２B 铅笔涂黑. 答案写在答题卡上对应的答题区 域 内. 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. ５． 考试结束后,请将答题卡上交. ઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋઋ 一、选择题:本题共１２小题,每小题５分,共６０分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. １．设集合 A ＝{－３,－１,０,１,３}, B ＝{x | (x －１)( x ＋２)≥０}, 则 A ∩B ＝ A ．{－３,３} B ．{１,３} C ．{－３,１,３} D ．{－３,－１,０,１,３} ２．已知复数z ＝１＋１ i ,则z Ű୵z ＝ A ．０ B ．１ C ．２ D ．２ ３．已知 tan (α＋β)＝２,tan α＝－１,则 tan β＝ A ．－３ B ．３ C ．－１ ３ D ．１ ３ ４．魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术,为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术,就是以 圆内接正多边形的面积,来无限逼近圆面积．刘徽形容他的割圆术说:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以 至于不可割,则与圆合体,而无所失矣．”某学生在一圆盘内画一内接正十二边形,将 １００ 粒豆子随机撒入 圆盘内,发现只有 ４ 粒豆子不在正十二边形内．据此实验估计圆周率的近似值为 A ．１０ ３ B ．１６ ５ C ．２２ ７ D ．２５ ８ ５．已知x ＝lg２,y ＝ln３ ,z ＝lo g ２３,则 A ．x ＜z ＜y B ．z ＜y ＜x C ．x ＜y ＜z D ．z ＜x ＜y文科数学试题 　 第 ２　　　　 页(共 ４ 页) ６．执行如图所示的程序框图,设输出数据构成集合 A ,则集合 A 中元素的 个数为 A ．３ 　 　B ．４ C ．５ 　 　D ．６ ７．设椭圆x ２ m ＋ y ２ ３＝１ 的离心率为e ,则 m ＝４ 是e ＝１ ２ 的 A ．充分不必要条件 　B ．必要不充分条件 C ．充要条件 　　　　D ．既不充分又不必要条件 ８．在平行四边形ABCD 中,点 M 为BC 的中点,设AC→＝a ,BD→＝b ,则AM→＝ A ．１ ４ a ＋３ ４ b 　B ．１ ４ a －３ ４ b C ．３ ４ a ＋１ ４ b 　D ．３ ４ a －１ ４ b ９．设f (x ), g (x )分别为定义在[－π,π]上的奇函数和偶函数,且f (x )＋g (x )＝２e x cos x (e 为自然对数的底 数), 则函数y ＝f (x )－g (x )的图象大致为 １０．将函数y ＝２cos ２x ＋π ４ æ è ç ö ø ÷ －１ 的 图 象 向 右 平 移 π ４ 个 单 位 得 到y ＝f (x ) 的 图 象,给 出 下 列 四 个 结 论: ①f (x )为偶函数;②f (x )在(－π,π)上 有 ４ 个 零 点;③f (x )在 ３π ８,７π ８ æ è ç ö ø ÷ 上 单 调 递 减;④f ３π ８－x æ è ç ö ø ÷ ＝ f x ＋７π ８ æ è ç ö ø ÷ ． 则正确结论的序号是 A ．②④ B ．①② C ．③④ D ．②③ １１．在 △ABC 中,内角 A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,a ≠c ,sin B ２＝ ３ ３ ,△ABC 的面积为 ２ ２,则 b ２ |a －c| 的 最小值为 A ．４ ３ B ．２ ３ C ．４ ２ D ．２ ２ １２．制作芯片的原料是晶圆,晶圆是由硅元素加以纯化得到,晶圆越薄,其体积越小且成本越低,但对工艺的 要求就越高,即制作晶圆越薄其工艺就越高．某大学为鼓励更多的有志青年投入到芯片事业中,成立甲, 乙,丙三个科研小组,用三种不同的工艺制作晶圆．甲小组制作的晶圆厚度为１ ３sin １ ２ 毫米,乙小组制作的 晶圆厚度为１ ２sin １ ３ 毫米,丙小组制作的晶圆厚度为１ ２cos ７ ８ 毫米,则在三个小组中制作工艺水平最高与 最低的分别是 A ．甲小组和丙小组 B ．丙小组和乙小组 C ．乙小组和丙小组 D ．丙小组和甲小组文科数学试题 　 第 ３　　　　 页(共 ４ 页) 二、填空题:本题共４小题,每小题５分,共２０分. １３．设f (x )＝ －１＋lo g ３ x ,x ≥０, ２ x －１,x ＜０, { 则f f １ ３ æ è ç ö ø ÷é ë êê ù û úú ＝ ． １４．某工厂生产了一批节能灯泡,这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品．从这批产品中随机抽取一 件产品检测,已知抽到一等品或二等品的概率为 ０．８６,抽到二等品或三等品的概率为 ０．３５,则抽到二等品 的概率为 ． １５．在等腰直角 △ABC 中,AB ＝２,∠BAC ＝９０°,AD 为 斜 边BC 的 高,将 △ABC 沿 AD 折 叠,折 叠 后 使 △ABC 成等边三角形,则三棱锥 AＧBCD 的外接球的表面积为 ． １６．设点F １,F ２ 分别为双曲线C : x ２ a ２ － y ２ b ２ ＝１(a ＞０,b ＞０)的左、右焦点,过点F １ 作直线l 与双曲线C 的左、 右支分别交于 A ,B 两点, 若 |AF ２|＝ ３ ４|BF ２| 且 AF ２⊥BF ２,则双曲线C 的离心率为 ． 三、解答题:共７０分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第１７~２１ 题为必考题,每个试题考生都 必须作答. 第２２、２３题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共６０分. １７．(１２ 分) ２０２０ 年寒假期间新冠肺炎肆虐,全国人民众志成城抗疫情．某市要求全体市民在家隔离,同时决定全市所 有学校推迟开学．某区教育局为了让学生“停课不停学”,要求学校各科老师每天在网上授课辅导,每天共 ２００ 分 钟．教育局为了了解高三学生网上学习情况,上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了 ８０ 名 学生(其中男女生恰好各占一半)进行问卷调查,按男女生分为两组,再将每组学生在线学习时间(分钟)分为 ５ 组[０,４０],( ４０,８０],( ８０,１２０],( １２０,１６０],( １６０,２００]得到如图所示的频率分布直方图． 全区高三学生有 ３０００ 人(男女生人数大致相等), 以频率估计概率回答下列问题: (１)估计全区高三学生中网上学习时间不超过 ４０ 分钟的人数; (２)在调查的 ８０ 名高三学生且学习时间不超过 ４０ 分钟的学生中,男女生按分层抽样的方法抽取 ６ 人． 若从这 ６ 人中随机抽取 ２ 人进行电话访谈,求至少抽到 １ 名男生的概率． １８．(１２ 分) 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a ４－a １＝７,S ３＝７． (１)求数列{a n }的通项公式; (２)设b n ＝ a n ,　　　n 为偶数, lo g ２ a n , n 为奇数, { 数列{b n }的前n 项和为T n ,求T ２n ．文科数学试题 　 第 ４　　　　 页(共 ４ 页) １９．(１２ 分) 如图所示,在 三 棱 柱 ABCＧA １ B １ C １ 中,侧 面 ACC １ A １ 为 菱 形,∠A １ AC ＝ ６０°,AC ＝２,侧面CBB １ C １ 为正方形,平面 ACC １ A １⊥ 平面 ABC ．点 M 为A １ C 的中点,点 N 为AB 的中点． (１) 证明:MN ∥ 平面BCC １ B １; (２)求三棱柱 A １ ＧABC １ 的体积． ２０．(１２ 分) 设点F 为抛物线y ２ ＝２px (p ＞０)的焦点,A ,B ,C 三点在抛物线上,且四边形 ABCF 为平行四边形,当 B 点到y 轴距离为 １ 时,|BF |＝５ ． (１)求抛物线的方程; (２)平行四边形 ABCF 的对角线AC 所在的直线是否经过定点? 若经过,求出定点的坐标;若不经过定 点,请说明理由． ２１．(１２ 分) 已知函数f (x )＝ax ２ ＋２cos x －２,( a ∈R )． (１)若a ＝１,求曲线y ＝f (x )在点(π,f (π)) 处的切线方程; (２)若f (x )≥０,求a 的取值范围． (二)选考题:共１０分. 请考生在第２２、２３题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计分. ２２．[选修 ４—４:坐标系与参数方程]( １０ 分) 在直角坐标系xO y 中,曲线C １ 的参数方程为 x ＝ ２１ ３ cos θ, y ＝２＋ ２１ ３ sin θ ì î í ï ïï ï ïï (θ 为参数), 以坐标原点O 为极点,x 轴 的非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C ２ 的极坐标方程为ρ２ ＝ ８ ５－３cos２ α,点P 在曲线C １ 上,点 Q 在曲线 C ２ 上． (１)求曲线C １ 的一般方程和曲线C ２ 的直角坐标方程; (２)求 |PQ | 的最大值． ２３．[选修 ４—５:不等式选讲]( １０ 分) 设a ,b ,c 都是正数,且a ＋b ＋c ＝１． (１)求 １a ＋b ＋１c 的最小值; (２)证明:a ４ ＋b ４ ＋c ４ ≥abc ．文科数学参考答案和评分标准 　 第 １　　　　 页(共 ７ 页) 华大新高考联盟 ２０２０ 届高三 ４ 月教学质量测评 文科数学参考答案和评分标准 一、选择题 １．【答案】C 【命题意图】主要考查一元二次不等式的解法和集合的运算,考查考生的运算能力． 【解析】因为 A ＝{－３,－１,０,１,３}, B ＝{x ≤－２ 或x ≥１}, 所以 A ∩B ＝{－３,１,３}, 故选 C ． ２．【答案】D 【命题意图】主要考查复数的概念及相关运算,考查考生的运算求解能力． 【解析】因为z ＝１＋１ i ＝１－i ,୵z ＝１＋i ,所以z Ű୵z ＝(１－i)( １＋i)＝２．故选 D ． ３．【答案】A 【命题意图】考查两角和、差正切公式的应用,考查考生的化归转化能力和运算求解能力． 【解析】tan β＝tan [( α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α １＋tan (α＋β)tan α＝２－(－１) １－２ ＝－３．故选 A ． ４．【答案】D 【命题意图】主要考查以数学文化为背景的概率问题,考查考生的化归与转化能力、数学建模能力和逻辑推 理能力． 【解析】因为 １ ２ R ２ Űsin ３６０° １２ æ è ç ö ø ÷ Ű１２ πR ２ ≈９６ １００,所以 π≈２５ ８ ．故选 D ． ５．【答案】C 【命题意图】主要考查对数函数的性质,考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力． 【解析】因为x ＝lg２＜１,y ＝ln３＞１ ,z ＝lo g ２３＞１,所以x 最小． 又因为y ＝lg３ lg e ,z ＝lg３ lg２,所以y ＜z ,所以x ＜y ＜z ．故选 C ． ６．【答案】B 【命题意图】主要考查程序框图有关知识,考查考生的逻辑推理能力． 【解析】当x ＝－２⇒y ＝０;x ＝－２＋１＝－１⇒y ＝－１;x ＝－１＋１＝０⇒y ＝０;x ＝０＋１＝１⇒y ＝３;x ＝１＋１ ＝２⇒y ＝８;x ＝２＋１＝３,退出循环, 所以 A ＝{０,－１,３,８}, 故选 B ． ７．【答案】A 【命题意图】主要考查椭圆的标准方程及几何性质和充要条件,考查考生的逻辑推理能力和分类讨论思想． 【解析】当 m ＝４,所以a ＝２,c ＝ ４－３＝１,所以e ＝１ ２,所以 m ＝４ 是e ＝１ ２ 的充分条件． 当e ＝１ ２,若焦点在x 轴上,则 m －３ m ＝１ ２,所以 m ＝４; 若焦点在y 轴上,则 ３－m ３ ＝１ ２,所以 m ＝９ ４, 所以 m ＝４ 不是e ＝１ ２ 的必要条件．故选 A ．文科数学参考答案和评分标准 　 第 ２　　　　 页(共 ７ 页) ８．【答案】D 【命题意图】考查向量的加、减、数乘运算,考查考生的化归与转化能力和数形结合 的思想． 【解析】因为AB→＝DC→＝１ ２ a －１ ２ b ,BC→＝１ ２ b ＋１ ２ a , 所以BM→＝１ ２ BC→＝１ ４ b ＋１ ４ a ,所以AM→＝AB→＋BM→＝１ ２ a －１ ２ b ＋１ ４ b ＋１ ４ a ＝３ ４ a －１ ４ b ． 故选 D ． ９．【答案】A 【命题意图】主要考查函数的性质与图象,考查考生的化归与转化能力和数形结合能力,以及逻辑推理、直 观想象和数学运算． 【解析】因为f (x )＋g (x )＝２e x cos x ,所以f (－x )＋g (－x )＝２e －x cos (－x ), 即 －f (x )＋g (x )＝２e －x cos (x ), 所以f (x )－g (x )＝－２cos x e x ． 因为y ＝－２cos x e x ,当x ＝０．０１ 时,y ＜０,所以 C ,D 错误． 又y′＝２(sin x ＋cos x ) e x ＝ ２ ２sin x ＋π ４ æ è ç ö ø ÷ e x ,所以x ＝－π ４ 为极值点,即 B 错误．故选 A ． １０．【答案】A 【命题意图】考查三角函数的图象及性质,考查考生的化归与转化能力、数形结合能力、逻辑推理能力与直 观想象． 【解析】依题意f (x )＝２cos ２x －π ４ æ è ç ö ø ÷ ＋π ４ é ë êê ù û úú －１＝２cos ２x －π ４ æ è ç ö ø ÷ －１,显然 ① 错． 令f (x )＝０,即 cos ２x －π ４ æ è ç ö ø ÷ ＝１ ２,x ∈(－π,π), 所以 －９π ４＜２x －π ４＜７π ４,由y ＝cos x 的图象知 ② 正确． 因为３π ８＜x ＜７π ８,所以π ２＜２x －π ４＜３π ２,显然 ③ 错． 对于 ④,因为f ５π ８ æ è ç ö ø ÷ ＝２cosπ－１＝－３ ,所以f (x )关于x ＝５π ８ 对称,所以f ３π ８－x æ è ç ö ø ÷ ＝f x ＋７π ８ æ è ç ö ø ÷ ,④ 正确． 故选 A ． １１．【答案】C 【命题意图】考查余弦定理、三角形面积公式、二倍角公式和均值不等式,考查考生的化归与转化能力、数 形结合能力和运算求解能力． 【解析】因为 sin B ２＝ ３ ３ ,所以 cos B ＝１－２sin ２ B ２＝１ ３,sin B ＝２ ２ ３ , 又因为１ ２ ac sin B ＝２２,所以ac ＝６, 所以b ２ ＝a ２ ＋c ２ －２ac cos B ＝(a －c )２ ＋４ ３ ac ＝(a －c )２ ＋８, 所以 b ２ |a －c| ＝|a －c|＋ ８ |a －c| ≥２８＝４２． 当且仅当 |a －c|＝２２ ,即a ＝３２,c ＝ ２ 时取“＝”,故选 C ．文科数学参考答案和评分标准 　 第 ３　　　　 页(共 ７ 页) １２．【答案】A 【命题意图】考查三角函数的单调性,利用导数判断函数的单调性,考查考生的化归与转化能力,处理数据 能力,以及应用意识． 【解析】设a ＝１ ３sin １ ２,b ＝１ ２sin １ ３,c ＝１ ２cos ７ ８,所以 ６a ＝２sin １ ２,６b ＝３sin １ ３,６c ＝３cos ７ ８ ． 因为７ ８＜π ３,所以 ３cos ７ ８＞３cos π ３＝３ ２ ． 又１ ２＜π ６,１ ３＜π ６,所以 ２sin １ ２＜２sin π ６＝１,３sin １ ３＜３sin π ６＝３ ２, 所以c 最大,否定 B ,D． 设f (x )＝sin x x ,x ∈ ０,π ２ æ è ç ö ø ÷ ,f′(x )＝ x cos x －sin x x ２ , 令g (x )＝x cos x －sin x ,x ∈ ０,π ２ æ è ç ö ø ÷ ,g′(x )＝－x sin x ＜０, 所以g (x )在 ０,π ２ æ è ç ö ø ÷ 上为减函数,所以g (x )＜g (０)＝０,即f′(x )＜０,所以f (x )在 ０,π ２ æ è ç ö ø ÷ 上为减函数． 所以f １ ３ æ è ç ö ø ÷ ＞f １ ２ æ è ç ö ø ÷ ,即sin １ ３ １ ３ ＞ sin １ ２ １ ２ ,所以 ３sin １ ３＞２sin １ ２,所以b ＞a ,故选 A ． 二、填空题 １３．【答案】－３ ４ ． 【命题意图】考查分段函数,指数和对数的运算,考查考生的运算求解能力和逻辑推理能力． 【解析】因为f １ ３ æ è ç ö ø ÷ ＝－１＋lo g ３ １ ３＝－２,所以f f １ ３ æ è ç ö ø ÷é ë êê ù û úú ＝f (－２)＝２ －２ －１＝－３ ４ ． １４．【答案】０．２１． 【命题意图】主要考查互斥事件的概率,考查考生的化归能力、数学建模能力和运算求解能力． 【解析】设抽到一等品、二等品、三等品的事件分别为 A ,B ,C ． 则 P (A )＋P (B )＝０．８６, P (B )＋P (C )＝０．３５, P (A )＋P (B )＋P (C )＝１, ì î í ïï ïï 　 解得P (B )＝０．２１． １５．【答案】６π． 【命题意图】考查平面图形折叠中的线面关系以及球体,考查考生的空间想象能力、转化与化归能力、运算 求解能力． 【解析】沿 AD 折叠后使 △ABC 成等边三角形,即折叠后BC ＝２． 易得 AD ＝BD ＝CD ＝ ２． 而BD ２ ＋CD ２ ＝( ２)２ ＋( ２)２ ＝４＝BC ２ ,所以BD ⊥CD ． 又AD ⊥BD ,AD ⊥CD ,以 A ,D ,B ,C 为顶点构造正方体,设三棱 锥 AＧBCD 的外接球的半径为R ,则(２R )２ ＝DA ２ ＋DB ２ ＋DC ２ ＝( ２)２ ＋( ２)２ ＋( ２)２ ＝６, 解得R ２ ＝３ ２ ． 所以三棱锥 AＧBCD 的外接球的表面积S ＝４πR ２ ＝６π．文科数学参考答案和评分标准 　 第 ４　　　　 页(共 ７ 页) １６．【答案】８５ ５ ． 【命题意图】主要考查双曲线的定义及几何性质,考查考生的运算求解能力、划归转化能力和数形结合能力． 【解析】|AF ２|＝ ３ ４|BF ２| ,设 |BF ２|＝４m ,则 |AF ２|＝３m , 因为 AF ２⊥BF ２,所以 |AB |＝５m ． 由双曲线定义得 ３m －|AF １|＝２a , ５m ＋|AF １|－４m ＝２a , { 解得 m ＝a , |AF １|＝ a ．{ 在直角 △ABF ２ 中,cos∠ BAF ２＝３a ５a ＝３ ５ ． 在 △AF １ F ２ 中,( ２c )２ ＝a ２ ＋(３a )２ －２a Ű(３a )Ű cos (π－∠BAF ２), 所以c ２ ＝１７ ５ a ２ ,所以e ＝ c a ＝ ８５ ５ ． 三、解答题 １７．【命题意图】主要考查频率分布直方图、用样本估计总体、古典概型等,考查考生的数据处理能力、数学建 模能力和运算求解能力． 【解析】(１)男生自主学习不超过 ４０ 分钟的人数:０．００２５×４０×１５００＝１５０ 人, ２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 女生自主学习不超过 ４０ 分钟的人数:０．００１２５×４０×１５００＝７５ 人, ４ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以估计全区高三学生网上学习时间不超过 ４０ 分钟的人数为 ２２５ 人． ６ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)在 ８０ 名学生中,男生网上学习不超过 ４０ 分钟的人数:４０×０．００２５×４０＝４ 人, 女生网上学习不超过 ４０ 分钟的人数:４０×０．００１２５×４０＝２ 人, 所以选 ４ 名男生,２ 名女生． ７ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ４ 名男生设为a １,a ２,a ３,a ４,２ 名女生设为b １,b ２,任选 ２ 人有:a １ a ２,a １ a ３,a １ a ４,a ２ a ３,a ２ a ４,a ３ a ４,b １ b ２, a １ b １,a ２ b １,a ３ b １,a ４ b １,b ２ a １,b ２ a ２,b ２ a ３,b ２ a ４,共 １５ 种． １０ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以至少有一名男生的概率P ＝１－１ １５＝１４ １５ ． １２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ １８．【命题意图】考查等比数列通项公式及前n 项和公式的应用,考查考生的运算求解能力,化归与转化能力． 【解析】(１)由a ４－a １＝７,显然公比q ≠１． a １q ３ －a １＝７,　　① a １(１－q ３ ) １－q ＝７, ② ì î í ïï ïï ２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 由 ①÷② 得q －１＝１,所以q ＝２, ４ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 代入 ① 得a １＝１, ５ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以a n ＝２ n －１． ６ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)因为b n ＝ ２ n －１ ,　n 为偶数, n －１, n 为奇数, { ７ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以T ２n ＝b １＋b ２＋ƺ＋b ２n ＝b １＋b ３＋ƺ＋b ２n －１＋b ２＋b ４＋ƺ＋b ２n ＝(０＋２＋４＋ƺ＋２n －２)＋(２＋２ ３ ＋ƺ＋２ ２n －１ ) ９ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ＝ (２n －２)n ２ ＋２(１－４ n ) １－４ １１ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ＝１ ３Ű２ ２n ＋１ ＋n ２ －n －２ ３ ． １２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ文科数学参考答案和评分标准 　 第 ５　　　　 页(共 ７ 页) １９．【命题意图】主要考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直、椎体体积求法,考查考生的空间想象能力、推理 论证能力和运算求解能力． 【解析】(１)连 AC １,BC １, 因为 ACC １ A １ 为菱形,点 M 为A １ C 的中点,所以 AC １∩A １ C ＝M ． １ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 又点 M 为AC １ 的中点,点 N 为AB 中点,所以 MN ∥BC １ ． ４ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 而BC １⊂ 平面BCC １ B １,MN ⊄ 平面BCC １ B １, ５ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以 MN ∥ 平面BCC １ B １ ． ６ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)∵ 侧面 ACC １ A １ 为菱形,∠A １ AC ＝６０°, ∴△AA １ C 为等边三角形,AA １＝A １ C ＝AC ＝２． 取 AC 的中点 H ,连 A １ H ,则 A １ H ⊥AC ． ７ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 又 ∵ 平面 ACC １ A １⊥ 平面 ABC , ∴A １ H ⊥ 平面 ABC ,∴A １ H ⊥BC ． ８ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 而CBB １ C １ 为正方形,∴BC ⊥CC １ ． 又 AA １∥CC １,∴BC ⊥AA １, 又 AA １∩A １ H ＝A １,∴BC ⊥ 平面 ACC １ A １ ． １０ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 又 △AA １ C １ 的面积S ＝１ ２×２×２×sin１２０°＝ ３ ． １１ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ∴V A １－ABC １ ＝V B －A １ AC １ ＝１ ３× ３×２＝２ ３ ３ ． １２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ２０．【命题意图】考查抛物线的定义及标准方程、抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系,考查考生的运算求 解能力、化归与转化能力和分析问题与解决问题的能力． 【解析】(１)依题意x B ＝１, １ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 由抛物线定义 １＋ p ２＝５,所以p ＝８． ３ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以抛物线方程为y ２ ＝１６x ． ４ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)( 方法一)设直线 AC :x ＝ty ＋m , 设 A (x １,y １), C (x ２,y ２), B (x ０,y ０), F (４,０), 所以FA→＝(x １－４,y １), FB→＝(x ０－４,y ０), FC→＝(x ２－４,y ２), 依题意FA→＋FC→＝FB→, ５ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以 x １－４＋x ２－４＝x ０－４, y １＋y ２＝y ０, { 即 x ０＝x １＋x ２－４, y ０＝y １＋y ２, { ６ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 联立 x ＝ty ＋m , y ２ ＝１６x , { 得y ２ －１６ty －１６m ＝０, 所以Δ＝(１６t )２ ＋４×１６m ＞０,即 ４t ２ ＋m ＞０,y １＋y ２＝１６t ,y １y ２＝－１６m , ７ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以x １＋x ２＝ty １＋m ＋ty ２＋m ＝t ×(１６t )＋２m ＝１６t ２ ＋２m ． ８ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以 x ０＝１６t ２ ＋２m －４, y ０＝１６t , { 而y ２ ０＝１６x ０, ９ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以(１６t )２ ＝１６(１６t ２ ＋２m －４), 所以 m ＝２．即直线 AC :x ＝ty ＋２, １０ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 令y ＝０,则x ＝２, １１ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以直线 AC 恒过定点(２,０)． １２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (方法二)设 A (x １,y １), C (x ２,y ２), B y ２ ０ １６,y ０ æ è ç ö ø ÷ ,则BF 中点为D y ２ ０ １６＋４ ２ , y ０ ２ æ è ç çç ö ø ÷ ÷÷ , ５ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺ文科数学参考答案和评分标准 　 第 ６　　　　 页(共 ７ 页) 所以y １＋y ２ ２ ＝ y ０ ２,即y １＋y ２＝y ０ ．又y ２ １＝１６x １,y ２ ２＝１６x ２,所以y ２ １－y ２ ２＝１６(x １－x ２)． 当x １≠x ２ 时, y １－y ２ x １－x ２ Ű(y １＋y ２)＝１６,所以k AC ＝１６y ０ , ８ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以直线 AC :y － y ０ ２＝１６y ０ x － y ２ ０＋６４ ３２ æ è ç ö ø ÷ ,即y ＝１６y ０ (x －２), 令x ＝２,则y ＝０,所以直线 AC 过定点(２,０)． １０ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 当x １＝x ２ 时,根据抛物线对称性,四边形 ABCF 为菱形,所以直线 AC :x ＝２,所以过定点(２,０)． １１ 分 ƺƺ ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 综上直线 AC 恒过定点(２,０)． １２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ２１．【命题意图】主要考查曲线的切线、函数的单调性与极值、函数导数的综合应用,考查考生的推理论证能 力、抽象概括能力,考查化归与转化思想和分类讨论思想． 【解析】(１)若a ＝１,则f (x )＝x ２ ＋２cos x －２,f′(x )＝２x －２sin x ,斜率k ＝f′(π)＝２π． ２ 分ƺƺƺƺƺ 又f (π)＝π ２ ＋２cosπ－２＝π ２ －４,所以切线方程为y －π ２ ＋４＝２π(x －π), 即 ２πx －y －π ２ －４＝０． ４ 分ƺƺ (２)因为f (－x )＝f (x ), 所以f (x )为偶函数．因为f (x )≥０,所以当x ≥０ 时,f (x )≥０, ５ 分ƺƺƺƺ 因为f′(x )＝２ax －２sin x ,x ≥０, ６ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 令g (x )＝２ax －２sin x ,则g′(x )＝２a －２cos x ＝２(a －cos x )． ７ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ① 当a ≥１ 时,g′(x )≥０,所以g (x )在[０,＋∞)上单调递增,所以g (x )≥g (０)＝０, 即f′(x )≥０,所以f (x )在[０,＋∞)上单调递增,所以f (x )≥f (０)＝０,满足条件． ８ 分ƺƺƺƺƺƺƺ ② 当a ≤０ 时,f π ２ æ è ç ö ø ÷ ＝π ２ ４Űa －２＜０,显然不满足条件． ９ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ③ 当 ０＜a ＜１ 时,若x ∈ ０,π ２ æ è ç ö ø ÷ ,令g′(x )＝０,则 cos x ０＝a , 所以存在x ０ 使得当x ∈(０,x ０), g′(x )＜０, 所以g (x )在(０,x ０)上单调递减,即g (x )＜g (０)＝０,即f′(x )＜０, 所以f (x )在(０,x ０)上单调递减,所以f (x )＜f (０)＝０,所以不满足条件． １１ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 综上,a 的取值范围是[１,＋∞)． １２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ２２．【命题意图】主要考查圆与椭圆的参数方程和椭圆的极坐标方程,考查考生的数形结合能力、化归与转化 能力和运算求解能力． 【解析】(１)曲线C １:x ２ ＋(y －２)２ ＝２１ ９cos ２θ＋２１ ９sin ２θ,即x ２ ＋(y －２)２ ＝７ ３ ． ２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 曲线C ２:５ρ２ －３ρ２ cos２ α＝８,即 ５ρ２ －３ρ２ (cos ２α－sin ２α)＝８, 所以 ５(x ２ ＋y ２ )－３(x ２ －y ２ )＝８,即x ２ ４ ＋y ２ ＝１． ５ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)设Q (２cos α,sin α), C １(０,２)． |C １ Q | ２ ＝(２cos α－０)２ ＋(sin α－２)２ ＝４－４sin ２α＋sin ２α－４sin α＋４ ＝－３sin ２α－４sin α＋８＝－３sin α＋２ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋２８ ３ ． ８ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 当 sin α＝－２ ３ 时,|C １ Q | max ＝ ２８ ３ ＝２ ２１ ３ , ９ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以 |PQ | max ＝２ ２１ ３ ＋ ２１ ３ ＝ ２１．即 |PQ | 的最大值为 ２１． １０ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ文科数学参考答案和评分标准 　 第 ７　　　　 页(共 ７ 页) ２３．【命题意图】主要考查利用综合法和基本不等式求最值以及证明不等式．考查考生的推理论证能力和运算 求解能力． 【解析】(１)因为a ,b ,c 为正数,且a ＋b ＋c ＝１, 所以 １a ＋b ＋１c ＝ a ＋b ＋c a ＋b ＋ a ＋b ＋c c ＝１＋ c a ＋b ＋ a ＋b c ＋１≥２＋２ c a ＋b Ű a ＋b c ＝４． 当且仅当a ＋b ＝c 时取“＝”,所以 １a ＋b ＋１c 的最小值为 ４． ６ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)a ４ ＋b ４ ＋c ４ ＝１ ２(a ４ ＋b ４ ＋b ４ ＋c ４ ＋a ４ ＋c ４ )≥１ ２(２a ２b ２ ＋２b ２c ２ ＋２a ２c ２ )． 当且仅当a ＝b ＝c ＝１ ３ 时等号成立． ７ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ １ ２(２a ２b ２ ＋２b ２c ２ ＋２a ２c ２ )＝１ ２(a ２b ２ ＋b ２c ２ ＋a ２b ２ ＋a ２c ２ ＋b ２c ２ ＋a ２c ２ ) ≥１ ２(２ab ２c ＋２a ２bc ＋２abc ２ )＝abc (b ＋a ＋c )＝abc ． 当且仅当a ＝b ＝c ＝１ ３ 时等号成立． ８ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以a ４ ＋b ４ ＋c ４ ≥abc ．当且仅当a ＝b ＝c ＝１ ３ 时等号成立． １０ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ