2020年4月高三开学摸底考试数学试题（江苏卷01解析版）

2020 年 4 月高三数学开学摸底考（江苏卷 01) Ⅰ卷 一. 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分共计 70 分 1．已知集合 ，则满足 的集合 N 的个数是 . 【答案】4 【解析】由题意得 ，因此集合 N 的个数是 个. 2．已知复数 ，则 等于 . 【答案】 【解析】由题意得， ，则. 则 . 3．如图是一个算法的流程图，它最后输出的 k 值为 ． 【答案】30 【解析】模拟执行程序框图，可得 k=1，S=0 满足条件 S＜30，S=21，k=2 满足条件 S＜30，S=21+22，k=3 {01}M = ， {01 2}M N = ，， {2} {01 2}N⊆ ⊆ ，， 22 4= 1 ( 2 i)(2i 1)z = − + − z i 5 − 1 ( 2 i)(2i 1) 5iz = − + − = − ,5 iz = 5 iz −=… 满足条件 S＜30，S=21+22+…+229，k=30 不满足条件 S＜30，退出循环，输出 k 的值为 30． 故答案为：30． 4．已知 100 名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如右图所示．则这 100 名学生中，该月饮料消费支出超过 150 元的人数是 ． 【答案】30 【 解 析 】 由 频 率 分 布 直 方 图 可 知 消 费 支 出 超 过 150 元 的 频 率 为 ， 所 以 相 应 人 数 为 ． 5．从 1，2，3，4，5 这 5 个数中，随机抽取 2 个不同的数，则这 2 个数的和为偶数的概率是 ． 【答案】 ． 【解析】从 1，2，3，4，5 这 5 个数中，随机抽取 2 个不同的数， 基本事件总数 n= =10，这 2 个数的和为偶数包含的基本事件个数 m= =4， ∴这 2 个数的和为偶数的概率： ．故答案为： ． 6. 点 P 是圆 上的动点，点 ，O 为坐标原点，则 面积的最小值是 __________． 【答案】2 【 解 析 】 因 为 ， 直 线 OQ 的 方 程 为 y ＝ x ， 圆 心 到 直 线 OQ 的 距 离 为 ，所以圆上的动点 P 到直线 OQ 的距离的最小值为 ，所以 面 0.06 50 0.3× = 100 0.3 30× = 2 5 2 5C 2 2 3 2C C+ 4 2 10 5 mP n = = = 2 5 2 2( 3) ( 1) 2x y+ + − = (2 2)Q ， OPQ△ | | 2 2OQ = ( 3 1)− ， | 3 1| 2 2 2 d − −= = 2 2 2 2− = OPQ△积的最小值为 ． 7．一个正四棱柱的侧面展开图是一个边长为 8cm 的正方形，则它的体积是 cm2． 【答案】32 【解析】∵正四棱柱的侧面展开图是一个边长为 8cm 的正方形， ∴正四棱柱的底面边长为 2，高为 8． ∴正四棱柱的体积 V=22×8=32． 故答案为 32． 8．数列 中， ， ， （ ， ），则 ． 【答案】 【解析】因为 ， ，所以 ， ， ， ，……，所以数列 是以 6 为周期的周期数列，所以 ． 9 ． 设 ， 函 数 ， ， ， 则 取得最大值时对应的 ___________． 【答案】 【解析】（1） ， 所以其最大值是 ，当且仅当 ，因为 ，所以 时取得 最大值． R∈x xxxf sincos)( += xxxg sincos)( −= ( )0,x π∈ 2( ) ( ) 3 ( ) 3y f x g x f x= ⋅ − + x = 1 2 2 2 22 × × = { }na 1 2a = 2 3a = 1 2 n n n aa a − − = n ∗∈Ν 3n ≥ 2011a = 2 1 2a = 2 3a = 2 3 1 3 2 aa a = = 3 4 4 5 2 3 3 1 1 12 2, 33 2 3 2 a aa aa a = = = = = = 5 6 4 2 3 aa a = = 6 7 7 8 5 6 2, 3a aa aa a = = = = { }na 2011 335 6 1 1 2a a a× += = = 5 6 π 2(cos sin )(cos sin ) 3(cos sin ) 3y x x x x x x= + − − + + 2 2cos sin 2 3sin cosx x x x= − − 3sin 2 cos2 2sin 2 6x x x π = − + = − −   2 ( )2 26 2x k k Z π ππ− = − ∈ ( )0,x π∈ 5 6x π=10. 若函数 的图象在 处的切线与圆 相切，则 的最大值 是 ． 【答案】 【解析】由 ，则 ，且 ， 又 ，∴切线方程为 ，即 ， 又切线与圆 相切，∴ ，即 ，∵ ， ， ∴ ，∴ ，∴ ，∴ 的最大值是 ． 11. 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， ， ， E 为 CD 中 点 ， 若 ， 则 AB 的 长 为 ． 【答案】6 【解析】根据题意可得： ， ， 则 ， 化简得： ，解得： ． 12．若 满足对于 时有 恒成立，则称函数 在 上是“被 k 限 制”，若函数 在区间 上是“被 2 限制”的，则 的取值范围为 ． 【答案】 【解析】 ．由题意可知 恒成立．函数 图像的对称轴为 ， ,所以 时 取得最小值 ． ,所以 时 取得最大值．即 解得 ．综上可得 ． 1( ) ( 0 0)axf x e a bb = − > >， 0x = 2 2 1x y+ = a b+ 2 1( ) ( 0 0)axf x e a bb = − > >， ( ) axaf x eb ′ = − (0) af b ′ = − 1(0)f b = − 1 ay xb b + = − 1 0ax by+ + = 2 2 1x y+ = 2 2 1 1d a b = = + 2 2 1a b+ = 0a > 0b > 2 2 2a b ab+ ≥ 2 2 22( ) ( )a b a b+ +≥ 2a b+ ≤ a b+ 2 4AD = 3 π=BAD∠ 4AC BE⋅ =  AC AB AD= +   1 2BE BC CE AD AB= + = −     2 21 1 1( )( ) | || | cos602 2 2AC BE AB AD AD AB AB AD AB AD⋅ = + − = − + + °          2| | 2 | | 24 0AB AB− − =  | | 6AB = ( )f x )](,[ nmmnx >∈ kmxfk n ≤≤ )( ( )f x ],[ mn 22)( aaxxxf +−= )0](,1[ >aaa a ]2,1( 10 , 1a aa < < ∴ > ( )1 22 f x aa ≤ ≤ ( )f x 2 ax = 1 2 a aa < 0）， 则年总产值为 4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ） =8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0， ）． 设 f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0， ）， 则 ． 令 ，得 θ= ， 当 θ∈（θ0， ）时， ，所以 f（θ）为增函数； 当 θ∈（ ， ）时， ，所以 f（θ）为减函数， 因此，当 θ= 时，f（θ）取到最大值． 答：当 θ= 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 1 4 π 6 π 2 1 4 1 4 π 2 π 2 2 2 2( ) cos sin sin (2sin sin 1) (2sin 1)(sin 1)f θ θ θ θ θ θ θ θ= − − = − + − = − − +′ ( )=0f θ′ π 6 π 6 ( )>0f θ′ π 6 π 2 ( ) > (0, 1)A − : 2l x = O E ,P Q A AP l M M x E F OM OM H ,C D 6CD = H AP AQ PQ 2 2 2 2 1 2 b a c a b c =  =   = + 2, 1a b= = E 2 2 12 x y+ = (2, )M m CD OM⊥ 1 2 CD OM k k m = − = − CD 2 ( 1)y xm = − − 2 2 0x my+ − = (1, )2 mH H CD 2 2 2 2 | 2 2|2 4 2 4 m md m m + − = = + + 24 2 2 OM mr += = 6 2 2 CD = 2 2 2( )2 CDd r+ = 2m = ± M x 2m = − H 2 2( 1) ( 1) 2x y− + + = PQ ( 1)y kx b b= + ≠ − (0, 1)A − 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y AP AQ 1 2 1 2 1 1 2y y x x + ++ = 1 1 2 2,y kx b y kx b= + = + 1 2 1 2 ( 1)( )2 2b x xk x x + ++ = M l x y FO A P Q联立方程 ，得 ， 所以 ， 代入①得， ， 由 得 ，即 ，所以 方程为 ， 所以直线 过定点，定点为 ． 19．设等差数列 的前 项和为 ， ， ，数列 满足：对每 成等比数列． （1）求数列 的通项公式； （2）记 证明： ． 【解析】(1)由题意可得： ，解得： ， 则数列 的通项公式为 ． 其前 n 项和 ． 则 成等比数列，即： ， 据此有： ， 故 ． 2 2 12 y kx b x y = + + = 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x kbx b+ + + − = 1 2 2 4 1 2 kbx x k −+ = + 2 1 2 2 2 2 1 2 bx x k −= + ( 1)( 1) 0b b k+ + − = 1b≠− 1 0b k+ − = 1b k= − PQ 1 ( 1) 1y kx k k x= + − = − + PQ (1,1) { }na n nS 3 4a = 4 3a S= { }nb 1 2, , ,n n n n n nn S b S b S b∗ + +∈ + + +N { },{ }n na b , ,2 n n n aC nb ∗= ∈N 1 2 + 2 ,nC C C n n ∗+ + < ∈N 1 1 1 2 4 3 23 3 2 a d a d a d + = ×+ = + 1 0 2 a d =  = { }na 2 2na n= − ( ) ( )0 2 2 12n n nS n n + − ×= = − ( ) ( ) ( )( )1 , 1 , 1 2n n nn n b n n b n n b− + + + + + + ( ) ( ) ( )( )21 1 1 2n n nn n b n n b n n b+ + = − + × + + +           ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )22 2 21 2 1 1 1 2 1 2 1n n n n nn n n n b b n n n n n n b n n b b+ + + + = − + + + + + + − + ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 11 2 1 2 1 ( 1) ( 1)( 1)( 2) n n n n n nb n nn n n n n n n + − − + += = ++ + + − − +(2)结合(1)中的通项公式可得： ， 则 ． 20.设 f(x)＝a x＋xln x，g(x)＝x3－x2－3. （1）如果存在 x1，x2∈[0，2]使得 g(x1)－g(x2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数 M； （2）如果对于任意的 s，t∈ ，都有 f(s)≥g(t)成立，求实数 a 的取值范围. 【解析】（1）存在 x1，x2∈[0，2]使得 g(x1)－g(x2)≥M 成立，等价于[g(x1)－g(x2)]max≥M. 由 g(x)＝x3－x2－3，得 g′(x)＝3x2－2x＝3x . 令 g′(x)>0 得 x2 3， 又 x∈[0，2]，所以 g(x)在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 所以 g(x)min＝g ＝－85 27，g(x)max＝g(2)＝1. 故[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝112 27 ≥M， 则满足条件的最大整数 M＝4. （2）对于任意的 s，t∈ ，都有 f(s)≥g(t)成立，等价于在区间 上， 函数 f(x)min≥g(x)max. 由（1）可知在区间 上，g(x)的最大值为 g(2)＝1. 在区间 上，f(x)＝a x＋xln x≥1 恒成立等价于 a≥x－x2ln x 恒成立. 设 h(x)＝x－x2ln x，h′(x)＝1－2xln x－x， 1[ ,2]2 1[ ,2]2 1[ ,2]2 ( ) ( )1 1 2 2 2 12 1 1 n n n a nC n nb n n n n n n n −= = < = < = − −+ + + − ( ) ( ) ( )1 2 2 1 0 2 2 1 2 1 2nC C C n n n+ + + < − + − + + − − =  1[ ,2]2 2( )3x − 2[0, ]3 2[ ,2]3 2( )3 1[ ,2]2可知 h′(x)在区间 上是减函数， 又 h′(1)＝0， 所以当 1