2020 年高考金榜冲刺卷（二）
数学（文）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．测试范围：高中全部内容．
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．设集合 ，集合 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 由集合 ， ，
所以 ，故选 D.
2．已知复数 ，则 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
{ }2 4xA x= ≤ ( ){ }lg 1B x y x= = − A B
[ ]1,2 ( )1,2 [ )1,2 ( ]1,2
{ }2 4 { | 2}xA x x x= ≤ = ≤ ( ){ } { }lg 1 1B x y x x x= = − = >
{ |1 2}A B x x= < ≤
1 i
1 2iz
−= + z
3
5
3i5
3i5
− 3
5-【解析】根据复数除法的运算法则可得， ，由复数实部与
虚部的定义可得，复数 的虚部是 ，故选 D.
3．在 中， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 .故选 D.
4．已知等比数列 的公比为正数，且 ，则公比 （ ）
A． B．
C． D．2
【答案】C
【解析】 ， ，因为 ，所以 ，故选 C.
5．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角
形，一块中三角形和两块全等的大三角形），一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板
拼成的正方形，若向正方形内随机抛掷 2000 粒绿豆（大小忽略不计），则落在图中阴影部分内绿豆粒数大
约为（ ）
}{ na 2
593 2aaa =
2
1
2
2 2
( )( )
( )( )
1 i 1 2i1 i 1 3i 1 3i
1 2i 1 2i 1 2i 5 5 5z
− −− − −= = = = − −+ + −
z 3
5-
ABC ( ) ( )3, 1 , 1, 3AB BC= − = − sin B
5
3
3
2
2
3
1
2
( )3, 1AB = − ( )3,1BA = − 2 3 3cos 2 2 2
BA BCB
BA BC
⋅ −= = = −⋅⋅
2 1sin 1 cos 2B B= − =
=q
2 2
3 9 6 52a a a a= =
2
26
2
5
2a qa
= = 0>q 2=qA．750 B．500 C．375 D．250
【答案】C
【解析】因为 ，故阴影部分的面积与梯形 的面积相等，
,所以落在阴影部分的概率 ，故选 C.
6．若 满足 ，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，则 ，故 ，故 .又 ，故 .综上，
，故选 A .
7．为计算 ，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（ ）
A． B． C． D．
BIC GOH∆ ≅ ∆ EFOH
3 3 1
4 4 4EFOH DOF BDFAS S S∆ ∆= = × 3 3, 2000 37516 16
EFOH
BDFA
SP S
∆
∆
= = × =
, ,a b c 22 3, log 5,3 2a cb= = =
b a c> > b c a> > a b c> > c b a> >
2log 5b = 2 5b = 2 2 2b a> > 1b a> > 3 2 3c = < 1c <
b a c> >
1 1 1 1 11 2 3 4 99 100S = − + − + + −…
1i i= + 2i i= + 3i i= + 4i i= +【答案】B
【解析】由 得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此
在空白框中应填入 ，选 B.
8.已知函数 的值域为 ，函数 ，则 的图
象的对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，又依题意知 的值域为 ，所以 得 ， ，
所以 ，令 ，得 ，则 的图象的对称中心为
.故选 B.
9．过双曲线 的右焦点 作双曲线 的一条弦 AB，且 =0，若以 为直
径的圆经过双曲线 的左顶点，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】因为 =0，所以 F 是弦 AB 的中点.且 AB 垂直于 x 轴.因为以 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的
左顶点，所以 ，即 ，则 ，故 .故选 C.
10.在棱长为 1 的正方体 中， 为线段 的中点， 是棱 上的动点，若点 为线
1 1 1 1 11 2 3 4 99 100S = − + − +…+ −
2i i= +
( ) sin3 ( 0, )f x a x a b a x= − + + > ∈R [ 5,3]− ( ) cosg x b ax= − ( )g x
, 5 ( )4
k k
π − ∈ Z , 5 ( )4 8
k k
π π + − ∈ Z
, 4 ( )5
k k
π − ∈ Z , 4 ( )5 10
k k
π π + − ∈ Z
( ) [ ,2 ]f x b a b∈ + ( )f x [ 5,3]− 2 3a b+ = 4a = 5b = −
( ) 5 cos4g x x= − − 4 ( )2x k k
ππ= + ∈Z ( )4 8
kx k
π π= + ∈Z ( )g x
, 5 ( )4 8
k k
π π + − ∈ Z
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > F C FA FB+ AB
C C
2 3 5
FA FB+
2b a ca
= +
2 2c a a ca
− = + c a a− = 2ce a
= =
1 1 1 1ABCD A B C D− E 1B C F 1 1C D P段 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
图 1
连接 ,则 ，点 在平面 中，且 ，如图 1 所
示，在 中，以 为 轴， 为 轴，建立平面直角坐标系，如图 2 所示，
图 2
1BD PE PF+
5 2
6
1 2
2
+ 6
2
3 2
2
1BC 1 1BC B C E= , ,P E F 1 1BC D 1 1 1 1 1 1, 1, 2BC C D C D BC⊥ = =
1 1Rt BC D∆ 1 1C D x 1C B y,设点 关于直线 的对称点为 ， 的方程为 ，①
， 直线 的方程为 ，②
由①②组成方程组，解得 ，直线 与 的交点 ，
对称点 ， ，最小值为 到直线 的距离为 ，故选 A.
11．已知定义在 R 上的函数 满足 且在 上是增函数，不等式
对任意 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 可知函数 的对称轴为 x=1.因为 在 上是增函数,所以
在 上是减函数,因为 ,所以 ,又因为不等式 对
任意 恒成立,所以,当 a=0 时,不等式 显然成立；当 时,
,根据题意可得 ,故不满足题意；当 时,
,则 且 ,所以 .综上，可得实数 的取值范围是
.
12．若函数 在 上存在两个极值点，则 的取值范围是（ ）
( ) ( )1
21,0 , 0, 2 , 0, 2D B E
E 1BD 'E 1BD 1
2
yx + =
'
1 2
22EEk∴ = − =
−
∴ 'EE 2 2
2 2y x= +
1
3
2 2
3
x
y
=
=
'EE 1BD 1 2 2,3 3M
∴ 2 5 2' ,3 6E
'PE PF PE PF∴ + = + 'E 1 1C D 5 2
6
( )f x ( ) ( )1 1f x f x+ = − [ )1,+∞
( ) ( )2 1f ax f x+ ≤ − 1 ,12x ∈ a
[ ]3, 1− − [ ]2,0− [ ]5, 1− − [ ]2,1−
( ) ( )1 1f x f x+ = − ( )f x ( )f x [ 5,5]−
( )f x [ 5,5]− 1 ,12x ∈
1 1 02 x− ≤ − ≤ ( ) ( )2 1f ax f x+ ≤ −
1 ,12x ∈
( ) ( )2 1f ax f x+ ≤ − 0a >
12 2 22ax a+ ≥ + > ( ) ( ) ( )2 2 0f ax f f+ > = 0a <
12 2 2 2a ax a+ ≤ + ≤ + 0 2 a≤ + 12 22 a+ < 2 0a− ≤ < a
2 0a− ≤ ≤
( ) 1( 2) lnxf x a x e x x
= − + + (0,2) aA． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知 有两个不等根.即 , ,有一
根 .另一根在方程 , 中,令 , , 所以
在 且 上单调递增.所以 即 .所以
.故选 D.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知等差数列 中， ，若前 5 项的和 ，则其公差为___________.
【答案】2
【解析】 ， 公差为
14．已知圆锥的表面积是 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积是__________平方
米．
【答案】2
【解析】 半圆的周长为底面圆的周长，设母线为 ，则 ，
，这个圆锥的侧面积是 ，故答案为 .
15．某儿童玩具生产厂一车间计划每天生产遥控小车模型、遥控飞机模型、遥控火车模型这三种玩具共
个，生产一个遥控小车模型需 分钟，生产一个遥控飞机模型需 分钟，生产一个遥控火车模型需 分钟，
已知总生产时间不超过 分钟，若生产一个遥控小车模型可获利 元，生产一个遥控飞机模型可获利
元，生产一个遥控火车模型可获利 元，该公司合理分配生产任务可使每天的利润最大，则最大利润
2
1( , )4e
−∞ − 1( , )e
−∞ − 2
1 1 1( , ) ( , )4e e e
−∞ − − − 2
1 1( , ) (1, )4e e
− − ∪ +∞
2
1 1( ) ( 1) 0xf x ae x x x
= − + − =′
2
1( 1)x xae x x
−− = (0,2)x∈
1x = 21 xx ea
= − (0,2)x∈ 2( ) xh x x e= (0,2)x∈ 2( ) ( 2 ) 0xh x e x x+′ = >
( )h x (0,2)x∈ 1x ≠ 1 (1) ,h ea
− ≠ = 2( ) (0, ) ( ,4 )h x e e e∈ ∪ 1
3a e
≠ a∈
( )2
1 1, 1,e 4e
∞ − − ∪ +
{ }na 4 6 10a a+ = 5 5S =
4 6 5 510 2 10 5a a a a+ = ⇒ = ⇒ = 1 5
5 3 3
5( ) 5 5 1,2
a aS a a
+= = = ⇒ =
5 3 5 1 2.2 2
a a− −= =
23m
l 1 2 2 , 22 l r l rπ π⋅ = ∴ = 2 2 13 ,2r lπ π∴ = + ⋅ ×
2 23 3, 1r rπ π∴ = ∴ = 22 2rl rπ π= = 2
30
10 12 8
320 160
180 120是__________元.
【答案】
【解析】设每天安排生产 个遥控小车模型， 个遥控飞机模型，则生产 个遥控火车模型，依
题得，实数 满足线性约束条件
目标函数为 ，化简得 ，
作出不等式组 表示的可行域(如图所示)：
作直线 ，将直线 向右上方平移过点 时，直线在 y 轴上的截距最大，
由 得 所以 ，此时 （元）.
故答案为 5000.
16．过抛物线 ： 的准线上任意一点 作抛物线的切线 ， ，切点分别为 ， ，则 点
到准线的距离与 点到准线的距离之和的最小值是_________.
【答案】4
【解析】设 ， ，则直线 ， 的方程分别为 ， ，联立
解得 ， .又直线 ， 的方程分别可表示为 ， ，将
5000
x y (30 )x y− −
,x y
10 12 8(30 ) 320,
30 0,
0, 0,
x y x y
x y
x y
+ + − − ≤
− − ≥
≥ ≥
160 180z x y= + + 120(30 )x y− −
2 40,
30,
0, 0,
x y
x y
x y
+ ≤
+ ≤
≥ ≥
40 60 3600z x y= + +
2 40,
30,
0, 0,
x y
x y
x y
+ ≤
+ ≤
≥ ≥
0
2: 603l y x= − − 0l P
2 40,
30,
x y
x y
+ =
+ =
20,
10,
x
x
=
= (20,10)P max 40 20 60z = × + × 10 3600 5000+ =
C 2 4x y= P PA PB A B A
B
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y PA PB
2
1 1
2 4
x xy x= −
2
2 2
2 4
x xy x= −
1 2
2P
x xx
+= 1 2
4P
x xy
⋅= PA PB 1
12
xy x y= − 2
22
xy x y= −点坐标代入两方程，得 所以直线 的方程为 ，即 ，
所以 点到准线的距离与 点到准线的距离之和为
.故答案为 4.
三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12 分）已知 是 的内角， 分别是角 的对边.若
,
（1）求角 的大小；
（2）若 ， 的面积为 ， 为 的中点，求 .
【解析】（1）由 ,得
由正弦定理，得 ，即 ,
所以 ,又 ，则
（2）因为 ，所以 .所以 为等腰三角形，且顶角 .
因为 ,所以 .在 中， ， ， ，
所以 ,解得 .
18．（12 分）微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.据统计，某公司 200 名员工中 90%的人使用微信，
其中每天使用微信时间在一小时以内的有 60 人，其余的员工每天使用微信时间在一小时以上，若将员工分
成青年(年龄小于 40 岁)和中年(年龄不小于 40 岁)两个阶段，那么使用微信的人中 75%是青年人.若规定:每
P
1
1
2
2
,2
,2
P
P
P
P
x xy y
x xy y
⋅ = − ⋅ = −
AB 12
Px x y
⋅ − = − 12
Px xy
⋅= +
A B 1 2 1 22 1 1 22 2
P Px xy y x x + + = + + + +
( ) ( )2
1 2
1 2 4 4 42 4
P x xx x x
+= + + = +
A B C， ， ABC∆ a b c， ， A B C， ，
2 2 2cos sin sin sin cosB A A B C− − =
C
6A π= ABC∆ 3 M BC AM
2 2 2cos sin sin sin cosB A A B C− − = 2 2 2sin sin sin sin sinA A B C B+ = −
2 2 2c b a ab− = + 2 2 2a b c ab+ − = −
2 2 2 1cos 2 2 2
a b c abC ab ab
+ − −= = = − 0 C π< < 2
3C
π=
6A
π=
6B
π= ABC∆ 2
3C
π=
1 3sin 32 4ABCS ab C ab∆ = = = 2a = MAC∆ 2AC = 1CM = 2
3C
π=
2 2 2 2 cosAM AC CM AC CM C= + − ⋅ ⋅ 1=4+1+2 2 1 =72
× × × 7AM =天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中 都是青年人.
(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出并完成 列联表：
青年人 中年人 合计
经常使用微信
不经常使用微信
合计
(2)由列联表中所得数据判断，是否有 99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？
(3)采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取 6 人，从这 6 人中任选 2 人，求选出的 2 人均是青
年人的概率.
附：
0.010 0.001
6.635 10.828
.
【解析】(1)由已知可得，该公司员工中使用微信的有 人，
经常使用微信的有 人，其中青年人有 人，使用微信的人中青年人有
人．
2
3
2 2×
2( )P K k≥
k
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bck a b c d a c b d
−= + + + +
200 90% 180× =
180 60 120− = 2120 803
× =
180 75% 135× =所以 列联表为：
青年人 中年人 合计
经常使用微信
不经常使用微信
合计
(2)将列联表中数据代入公式可得： ，由于 ，
所以有 的把握认为“经常使用微信与年龄有关”．
(3)从“经常使用微信”的人中抽取 人，其中，青年人有 人，
中年人有 ，记 名青年人的编号分别为 ， ， ， ，记 名中年人的编号分别为 ， ，
则从这 人中任选 人的基本事件有 ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ，共 个，其中选出的 人均是青年人的基本事
件有 ， ， ， ， ， ，共 个，故所求事件的概率为 ．
19．（12 分）如图，等腰梯形 中， ， ， ， 为 中点，以
为折痕把 折起，使点 到达点 的位置（ 平面 ）.
（1）证明： ；
( )1,2 ( )1,3 ( )1,4 ( )1,5 ( )1,6 ( )2,3 ( )2,4 ( )2,5
( )2,6 ( )3,4 ( )3,5 ( )3,6 ( )4,5 ( )4,6 ( )5,6 15 2
( )1,2 ( )1,3 ( )1,4 ( )2,3 ( )2,4 ( )3,4 6 6 2P 15 5
= =
2 2×
80 40 120
55 5 60
135 45 180
( )2
2 180 80 5 55 40k 13.333120 60 135 45
× − ×= ≈× × × 13.333 10.828>
99.9%
6 80 6 4120
× =
40 6 2120
× = 4 1 2 3 4 2 5 6
6 2
ABCD / /AB CD 1AD AB BC= = = 2CD = E CD
AE ADE∆ D P P∉ ABCE
AE PB⊥（2）当四棱锥 体积最大时，求点 到平面 的距离．
【解析】（1）证明：在等腰梯形 中，连接 ，交 于点 ,
, 四边形 为平行四边形, , 为等边三角
形, 在等腰梯形 中， , , ,
翻折后可得： .
又 平面 ， 平面 ， , 平面 .
平面 , .
（2）当四棱锥 的体积最大时平面 平面 ,
又 平面 平面 ， 平面 , ,
平面 , , . , ,
P ABCE−
P ABCE− PAE ⊥ ABCE
PAE ABCE AE= PO ⊂ PAE PO AE⊥
OP∴ ⊥ ABCE 3
2OP OB= =
6
2PB∴ = 1AP AB= =
31 1 12cos 2 4PAB
+ −
∴ ∠ = =
C PAB
ABCD BD AE O
/ / ,AB CE AB CE= ∴ ABCE AE BC AD DE∴ = = = ADE∴∆
∴ ABCD 3C ADE
π∠ = ∠ = BD BC⊥ BD AE∴ ⊥
,OP AE OB AE⊥ ⊥
OP ⊂ POB OB ⊂ POB OP OB O= AE∴ ⊥ POB
PB ⊂ POB AE PB∴ ⊥. ,
又 ,
设点 到平面 的距离为 , .
20．（12 分）过椭圆 的左顶点 作斜率为 2 的直线，与椭圆的另一个交点为 ，与
轴的交点为 ，已知 .
（1）求椭圆的离心率；
（2）设动直线 与椭圆有且只有一个公共点 ，且与直线 相交于点 ，若 轴上存在一定点
，使得 ，求椭圆的方程.
【解析】（1）∵ ,设直线方程为 , ,
令 ,则 ,∴ , ∴ ∵ ，∴ =
,整理得 ,
∵ 点在椭圆上,∴ ,∴ ∴ 即 ,∴ .
（2）∵ 可设 ,∴椭圆的方程为 ,
由 得 ,∵动直线 与椭圆有且只有一个公
共点 P,∴ ,即 ,整理得 ,
15sin 4PAB∴ ∠ = 1 15sin2 8PABS PA AB PAB∴ = ⋅ ∠ =
1 1 3 3 1
3 3 2 4 8P ABC ABCV OP S− = ⋅ = × × =
C PAB d
3
3 158
515
8
C PAB
PAB
Vd S
−∴ = = =
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > A B y
C 6
13AB BC=
y kx m= + P 4x = Q x
(1,0)M PM QM⊥
A ( ,0)a− 2( )y x a= + 1 1( , )B x y
0x = 2y a= (0,2 )C a 1 1 1 1( , ), ( ,2 )AB x a y BC x a y= + = − − 6
13AB BC=
1x a+
1 1 1
6 6( ), (2 )13 13x y a y− = − 1 1
13 12,19 19x a y a= − =
B
2
2 2
2
13 12( ) ( ) 119 19
a
b
+ ⋅ =
2
2
3 ,4
b
a =
2 2
2
3 ,4
a c
a
− = 2 31 4e− = 1
2e =
2
2
3 ,4
b
a = 2 23 . 4b t a t= = 2 23 4 12 0x y t+ − =
2 23 4 12 0x y t
y kx m
+ − =
= +
2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x kmx m t+ + + − = y kx m= +
0∆ = 2 2 2 264 4(3 4 )(4 12 ) 0k m m m t− + − = 2 23 4m t k t= +设 则有 , ,
∴ ,又 , ,若 轴上存在一定点 ，使得 ,
∴ 恒成立,整理得 ,
∴ 恒成立,故 ,所求椭圆方程为 .
21．（12 分）已知函数 ．
（1）若曲线 在 处切线与坐标轴围成的三角形面积为 ，求实数 的值；
（2）若 ，求证： ．
【解析】（1） ，则 为切线斜率．
又 ，∴切点为 ．∴曲线在 处切成方程为 ．
当 时， ，当 时， （易知 ）
则切线与坐标轴围成三角形面积为 ．
∴ 得 ．所以 或 ．
（2）法一： 时，
要证的不等式为 ，即 ．
令 ，则 ．
( ) 2 3xf x xe ax= + +
( )y f x= 0x = 9
2
a
1
2a = − ( ) ln 4f x x≥ +
( ) ( )1 2xf x x e a′ = + + ( )0 2 1f a′ = +
( )0 3f = ( )0,3 0x = ( )3 2 1y a x− = +
0x = 3y = 0y = 3
2 1x a
−= + 2 1 0a + ≠
1 3 932 2 1 2a
−× × =+
2 1 1a + = 2 1 1a + = ± 0a = 1−
1
2a = − ( ) 3xf x xe x= − +
3 ln 4xxe x x− + ≥ + ln 1 0xxe x x− − − ≥
( ) ln 1xh x xe x x= − − − ( ) ( ) ( )1 11 1 1x xh x x e x ex x
′ = + − − = + −
P 1 1( , )x y 1 2 2
8 4
2(3 4 ) 3 4
km kmx k k
= − = −+ + 1 1 2
3
3 4
my kx m k
= + = +
2 2
4 3( , )3 4 3 4
km mP k k
− + + (1,0)M Q (4,4 )k m+ x (1,0)M PM QM⊥
2 2
4 3(1 , ) ( 3, (4 )) 03 4 3 4
km m k mk k
+ − ⋅ − − + =+ +
2 23 4k m+ =
2 23 4 3 4k t k t+ = + 1t =
2 2
14 3
x y+ =易知 递增， ， ，∴ 仅有一解 且 ，即
．当 时， ， 递减；当 时， ， 递增．
从而 最小值为 ∴ ，故原不等式
成立．
法二： 时，要证的不等式为 ．令 ，则 ．
故问题化为证不等式 恒成立． 时，
令 ，则 ，当 时， ， 递减；
当 时， ， 递增．∴ ，从而原不等式成立．
(二)、选考题：共 10 分．请考生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．【极坐标与参数方程】（10 分）
在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 ，以坐标原点 为极
点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 与曲线 两交点所在直线的极坐标方程；
（2）若直线 的极坐标方程为 ，直线 与 轴的交点为 ，与曲线 相交于 两
点，求 的值．
【解析】（1）曲线 的普通方程为： ,曲线 的普通方程为： ，即
,由两圆心的距离 ，所以两圆相交，所以两方程相减可得交线为
，即 .所以直线的极坐标方程为 .
( )h x′ ( )1 0h′ > ( )1 3 2 02 2h e ′ = − ( )h x
( )h x ( ) 0
0 0 0 0 0 0ln 1 1 ln 1 0xf x x e x x x x= − − − = − − − = ( ) ( )0 0h x h x≥ =
1
2a = − ln 1 0xxe x x− − − ≥ xt xe= ln lnt x x= +
ln 1 0t t− − ≥ ( )0,x∈ +∞ ( )0,xt xe= ∈ +∞
( ) ln 1h t t t= − − ( ) 1 11 th t t t
−′ = − = ( )0,1t ∈ ( ) 0h t′ < ( )h t
( )1,t ∈ +∞ ( ) 0h t′ > ( )h t ( ) ( )1 0h t h≥ =
xOy 1C 5 10 cos ( )
10 sin
x
y
ϕ ϕ
ϕ
= +
=
为参数 O
x 2C 4cosρ θ=
1C 2C
l sin( ) 2 24
ρ θ π+ = l y M 1C ,A B
MA MB+
1C 2 2( 5) 10x y− + = 2C 2 2 4x y x+ =
2 2( 2) 4x y− + = 3 ( 10 2, 10 2)d = ∈ − +
6 21 5x− + = 5
2x = 5cos 2
ρ θ =（2）直线 的直角坐标方程： ，则与 轴的交点为
直线 的参数方程为 ，带入曲线 得 .设 两点的参数
为 ， ,所以 ， ，所以 ， 同号.所以 .
23．【选修 4-5：不等式选讲】（10 分）
已知函数 , .
（1）当 时,求 的解集;
（2）若 的解集包含集合 ,求实数 的取值范围.
【解析】（1）当 时, ,
当 ,即 ,上述不等式可化为 ,或 ,或
, 或 或 , 原不等式的解集为 .
（2） 的解集包含 , 当 时,不等式 恒成立,即在
上恒成立, ,即 , ,
在 上恒成立,
, , 的取值范围为 .
l 4x y+ = y (0,4)M
l
2
2
24 2
x t
y t
= −
= +
1C 2 2( 5) 10x y− + = 2 9 2 31 0t t+ + = ,A B
1t 2t 1 2 9 2t t+ = − 1 2 31t t = 1t 2t 1 2 1 2 9 2MA MB t t t t+ = + = + =
( ) 2 1f x x a x= − + − ( )a R∈
1a = ( ) 2f x ≤
( ) 2 1f x x≤ + 1 ,12
a
1a = ( ) 2 1 1 2 1f x x a x x x= − + − = − + −
( ) 2f x ≤ 1 2 1 2x x− + − ≤
1
2
1 1 2 2
x
x x
≤
− + − ≤
1 12
1 2 1 2
x
x x
<
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