9. 己知函数y= m(cosx-Ji） 的图象在点P（ᡆ， n） 处的切线与直线x-y=O 平行，则6
n的值为 .A
10. 设Sn 为等差数列｛。”｝的前n项和，若α2 +as = 4，α／－ a/=32，则乓。的值为I�」·
lx2 +2x-2, x㈉0,11.己知函数 f(x) =i 则不等式 f(x）运1的解集为___A_.
l-f(-x), x1, log2α·log b ab =4，则 2 的最大值为 ... logzC2a) 一一一
13.如图，在矩形 ABCD中， AB =4, BC=6, E, F分别
是 BC和 CD 的中点．若P是矩形 ABCD 内 一 点〈含边界〉，
满足 AP＝ λ AE+µAF ，且4λ ＋ 8µ=3 ，则PE·PF 的最小值
为一生一
A
F
E
14.在平面直角坐标系 xOy 中，己知圆C:x2 + y2 =1，点 A（一1, 0），过圆C外一点P(a, b） 作
圆C的切线，切点为 T. 若 PA ㈉JiPT ，则I 2a + b I + j 8 -a 一 2bl 的取值范围是一主）·
二、解答题z本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．
15. （本小题满分14分）
，如图，在三棱柱 ABC-A1BP1 中，侧面 ABBA ..L底面 ABC, AB ..LAC, E ,
是棱 AB , BC的中点．求证： A1
(1）码CI ／／平面 BI EF;
(2) AC ..L BI E.
（第 15 题〉16. （本小题满分14分）
在 6ABC 中，内角 A, B, C所对的边分别为。，b, c. 已知。，b, c 成等差数列，
且3asinC-4csinB=0.
(1）求cos A 的值：
ω 求削
《江苏高考学科基地密卷》 联考数学I试卷 第2页（共4页）17. （本小题满分14分）
如图，要利用 一半径为5cm的圆形纸片制作三棱锥形包装盒．己知该纸片的圆心为0,
先以0为中心作边长为 2x （单位：cm）的等边三角形 ABC ， 再分别在圆。上取三 个
点 D, E, F，使L,.DBC, L,.ECA, L,.FAB 分别是以 BC, CA, AB 为底边的等腰三角形．
沿虚线剪开后，分别以 BC, CA, AB 为折痕折起 LD BC, LECA, LFAB，使得 D, E,
F重合于点P， 即可得到正三棱锥 P-ABC.
(I）若三棱锥 P-ABC 是正四面体， 求x的值：
(2）求三棱锥 P-ABC 的体积V的最大值， 并指出相应x的值．
D p
A
18. （本小题满分16分） （第17题）
如图， 在平面直角坐标系x 句Y中 ，己知F是 椭圆 C ：毛 ＋ y 1 =1 (a>O）的右焦点，
P是椭圆C上位于 x 轴上方的任意一点， 过F作垂直于 PF 的直线交其右准线 l:x=2
于点 Q.
(I）求椭圆C的方程：
ω 若 PQ·PF ＝！，求证： 直线 PQ 与椭圆C相切；
(3）在椭圆C上是否存在点R，使四边形 OQPR 是平行四边形？若存在， 求出所有
符合条件的点R的坐标：若不存在， 请说明理由． y
Q
x
（第18题）
《江苏高考学科基地密卷》联考数学I试卷 第3页（共4页）19. （本小题满分16分）
己知数列｛an ｝满足。， ＝ 6，。2 =-3.
(1）若αn ＋σn+l = 2an+1 (n EN ).
①设bn ＝ αn+l - an ’求证：数列｛bJ是等比数列；
②若数列｛ αn ｝的前n项和Sn满足Sn ：：：：三m(nεN＊
），求实数m的最小值：
(2）若数列｛αJ的奇数项与偶数项分别成等差数列，且an > an+l ( n E N. ) '
G3 ＋叫＝ 一 33，求数列｛αJ的通项公式．
20. （本小题满分16分）
己知函数f(x）＝ 压 ， g(x)=lx_l旦土l ＋αCaER), fυ）是f(x）的导函数．2 2x
( 1)若f’(1) = g(2） ，求α的值：
(2）设h(x) = f(x) + g(x)
①若函数 h(x） 在定义域上单调递增，求G的取值范围：
②若函数 h(x） 在定义域上不单调，试判定 h(x）的零点个数，并给出证明过程．
《江苏高考学科基地密卷》联考数学I试卷 第4 页（共4 页）《江苏高考学科基地秘卷》 数学参考答案与评分细则 第 1 页（共 10 页）
2020 届高三基地学校第二次大联考
参考答案及评分标准
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．
1． 2 2． 1 3． 10
3 4． 7 5． 2
3 6． 5 7． 15
8． 3
2 9． 3 3 10． 30 11． ( 1 2] [0 1] ， ， 12． 4 2 3
13．【答案】 29
16
【解析】由 4 8 3 ，得 4 8 13 3 ，
所以 4 3 8 3
3 4 3 8AP AE AF AE AF
．
取 3
4AM AE
， 3
8AN AF
，则 P M N， ， 三点共线，
即点 P 在直线 MN （ / /MN AB ）上，且位于矩形内部（含端点），如图．
设 EF 的中点为Q ，则 2 21
4PE PF PQ EF
．
因为 4AB ， 6BC ， E F， 分别是 BC 和CD 的中点，
所以 = 13EF
， PQ
的最小值为 81
16 ，
所以 PE PF
的最小值为 29
16 ．
14．【答案】 9 2 2 5 6 2 ，
【解析】由 2PA PT≥ ，即 2 22PA PT≥ ，所以 2 2 2 2( 1) 2( 1)a b a b ≥ ，
化简得， 2 2( 1) 4a b ≤ ，
所以点 ( )P a b， 在圆C 外且在圆 2 2( 1) 4a b 内（含圆上）．
设 | 2 | | 8 2 |z a b a b ，由于8 2 0a b ，
所以当 2 0a b ≥ 时，有 8z a b ，
结合图形可知， 9 2 2 9+2 2z ， ；
当 2 0a b 时，有 3 3 8z a b ，
结合图形可知， 31 5 6 25z ， ．
综上所述，| 2 | | 8 2 |a b a b 的取值范围是 9 2 2 5 6 2 ， ．
（第 13 题）
A B
C D
E
F
M
N
Q
P
（第 14 题）
O a
b
O 《江苏高考学科基地秘卷》 数学参考答案与评分细则 第 2 页（共 10 页）
（第 15 题）
B
A C
A1
B1
F
C1
E
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．
15．(本小题满分 14 分)
【解】（1）在 ABC△ 中， E ， F 分别是棱 AB ， BC 的中点，
所以 EF ∥ AC ． ……2 分
又在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1 1A C ∥ AC ，
所以 1 1A C ∥ EF ． ……4 分
又因为 1 1A C 平面 1B EF ， EF 平面 1B EF ，
所以 1 1A C ∥平面 1B EF ． ……8 分
（2）因为侧面 1 1ABB A 底面 ABC ，侧面 1 1ABB A 底面 ABC AB ，
AB AC ， AC 平面 ABC ，
所以 AC 平面 1 1ABB A ． ……12 分
又因为 1B E 平面 1 1ABB A ，所以 1AC B E ． ……14 分
16．(本小题满分 14 分)
【解】（1）在 ABC△ 中，由正弦定理 sin sin
b c
B C ，得 sin sinb C c B ．
又由3 sin 4 sin 0a C c B ，得3 sin 4 sina C b C ． ……2 分
又因为sin 0C ，所以3 4a b ．
又由 a b c， ， 成等差数列，得 2a c b ，
所以 4
3a b ， 2
3c b ． ……4 分
由余弦定理可得，
2 2 2
cos 2
b c aA bc
2 2 24 16
19 9
2 42 3
b b b
b b
． ……7 分
（2）在 ABC△ 中，由（1）可得 2 15sin 1 cos 4A A ，
从而 15sin 2 2sin cos 8A A A ， ……9 分
2 2 7cos 2 cos sin 8A A A ． ……11 分
故 sin(2 ) sin 2 cos cos 2 sin3 3 3A A A
15 3 15 7 31 7
8 2 8 2 16
． ……14 分
《江苏高考学科基地秘卷》 数学参考答案与评分细则 第 3 页（共 10 页）
17．(本小题满分 14 分)
【解】（1）连结OD ，交 BC 于点G ，连结OC ，
在 GOC△ 中，GC x ，
3
xGO ，
则 5
3
xGD ． ……2 分
因为三棱锥 P ABC 是正四面体，
所以 DBC△ 是正三角形，
所以 3GD GC ，即5 3
3
x x ，解得 5 3
4x ( cm )． ……4 分
（2）在 GOP△ 中，
3
xGO ， 5
3
xGP ，
所以高 2 2 2 2 10(5 ) ( ) 25
3 3 3
x x xPO GP GO ． ……6 分
由 1025 0
3
x 可得， 5 3
2x ． ……8 分
所以三棱锥 P ABC 的体积 21 1 103 253 3 3ABC
xV S PO x △
4 515 253 3
x x ． ……10 分
设函数 4 52( ) 5
3
f x x x ， 5 30 2x ，
则 3 4 310( ) 20 10 (2 )
3 3
xf x x x x ．
令 ( ) 0f x 得， 2 3x ．列表如下：
x (0 2 3)， 2 3 5 3(2 3 )2，
( )f x 0
( )f x 极大值
……12 分
所以 ( )f x 在 2 3x 时取最大值 (2 3) 144f ，
所以 max 4 15V ．
所以 max[ ( )] (2 3) 144f x f ，所以 max 4 15V ．
答：三棱锥 P ABC 体积V 的最大值为 4 15 ( 3cm )，此时 2 3x ( cm )．……14 分
A
B
C
D
E
F
O
A B
C
P
O
G
G 《江苏高考学科基地秘卷》 数学参考答案与评分细则 第 4 页（共 10 页）
F
P
O x
y
l
Q
（第 18 题）
18．(本小题满分 16 分)
【解】（1）由题意，
2
2
2
1
a
a
， ……2 分
解得 2a ，
所以椭圆C 的方程为
2 2 12
x y ． ……3 分
（2）因为 2 9( ) 8PQ PF PF FQ PF PF FQ PF
，
由于 FQ PF ，所以 0FQ PF
，所以 3 2
4PF
．
设 0 0 0( ) ( 0)P x y y ， ，则 0
2 3 2(2 )2 4x ，
所以 0
1
2x ，即点 P 的坐标为 141
2 4， ． ……5 分
由直线 PF 的斜率为 14
2 ，所以直线 FQ 的方程为 14 ( 1)7y x ，
令 2x ，得 14
7Qy ，即 142 7Q ， ，
所以直线 PQ 的方程为 14 2 14
14 7y x ． ……7 分
联立方程组
2 2 12
14 2 14
14 7
x y
y x
，
，
消 y 得
2 21 ( 4) 12 14
x x ，
化简可得， 24 4 1 0x x ，即方程有唯一解 1
2x ．
所以上述方程组有唯一解，即直线 PQ 与椭圆C 有且只有一个公共点，
所以直线 PQ 与椭圆C 相切． ……9 分
（3）若直线 PF 的斜率不存在，则 2(1 )2P ， ， (2 0)Q ， ．
此时存在 2( 1 )2R ， ，使得四边形OQPR 是平行四边形． ……11 分
若直线 PF 的斜率存在，设 0 0 0 0( ) ( 1 0)P x y x y ， ， ，则 2 2
0 02 2x y ，
由直线 PF 的斜率为 0
0 1
y
x ，知直线QF 的方程为 0
0
1( 1)xy xy
．
令 2x ，得 0
0
1
Q
xy y
，即 0
0
1(2 )xQ y
， ，
所以直线 PQ 的斜率为
0 20 0 00 0
0 0 0 0
1 11 12
2 ( 2) 2
xy x xy x
x y x y
． ……13 分
假设在椭圆上C 存在点 R ，使四边形OQPR 是平行四边形， 《江苏高考学科基地秘卷》 数学参考答案与评分细则 第 5 页（共 10 页）
则 //OR QP ， //OQ RP ．
所以直线OR 的方程为 0
02
xy xy ，联立椭圆C ：
2 2 12
x y ，
可得 0 0
2( 2 )2R y x ， ，
所以直线 RP 的斜率 0 0
0 0
2
2
2RP
y x
k
x y
．
又直线OQ 的斜率 0
0
1
2OQ
xk y
，
令 RP OQk k ，即 0 0 0
00 0
2
12
22
y x x
yx y
，
化简可得， 0 02 2x y ．
又 2 2
0 02 2x y ，可以解得 0 0
21 2x y ， ，这与 0 1x 矛盾！
综上，符合条件的点 R 只有一个，其坐标为 2( 1 )2R ， ． ……16 分
19．(本小题满分 16 分)
【解】（1）①因为
1
11 2 1
1 1
12
2
n n
nn n n
n n n n n
a a ab a a
b a a a a
，且 1 2 1 9 0b a a ，
所以数列{ }nb 是以 9 为首项， 1
2 为公比的等比数列． ……2 分
②由①知， 1
1
19 ( )2
n
n n nb a a
， ……4 分
所以 1 1 2 2 1 1( ) ( ) ( )n n n n na a a a a a a a
2 3 01 1 19 [( ) ( ) ( ) ] 62 2 2
n n
1
1
11 ( ) 129 6 6( )1 21 ( )2
n
n
， ……6 分
则 1
1
16( ) 12
1 26( )2
n
n
nn
a
a
，所以{ }na 是以 6 为首项， 1
2 为公比的等比数列，
所以
11 ( ) 126 4[1 ( ) ]1 21 ( )2
n
n
nS
． ……8 分
当 1n 时， nS 有最大值6 ，所以实数 m 的最小值为6 ． ……10 分 《江苏高考学科基地秘卷》 数学参考答案与评分细则 第 6 页（共 10 页）
（2）设奇数项所成等差数列的公差为 1d ，偶数项所成等差数列的公差为 2d ．
①当 n 为奇数时， 1
16 2n
na d ， 1 2
13 2n
na d
，
则 1 2
1 16 32 2
n nd d ，即 1 2 2 1( ) 18 2( ) 0n d d d d ，
所以 1 2
1 2 2 1
0
1 ( ) 9 0
d d
d d d d
≥ ，
，故 1 2 0d d ≥ ． ……12 分
②当 n 为偶数时， 23 ( 1)2n
na d ， 1 16 2n
na d ，
则 2 13 ( 1) 62 2
n nd d ，即 1 2 2( ) 18 2 0n d d d ，
所以 1 2
1 2 2
0
2 ( ) 18 2 0
d d
d d d
≤ ，
，，故 1 2
1
0
9.
d d
d
≤ ，
综上可得， 1 2 9d d ． ……14 分
又 3 4 1 2 1 2 13 2 33a a a a d d d ，所以 1 18d ．
所以当 n 为奇数时， 16 ( 18) 15 92n
na n ；
当 n 为偶数时， 3 ( 1) ( 18) 15 92n
na n ．
故数列{ }na 的通项公式为 15 9na n ， *nN ． ……16 分
20．(本小题满分 16 分)
【解】（1）由 ln( ) xf x x ，得 2
1 ln( ) xf x x
，
因为 (1) (2)f g ，所以 2 11 1 4
a a ，
所以 1
2a ． ……2 分
（2）因为 ln 1 2 1( ) 2 2
x ah x x ax x
，所以 ( )h x 的定义域为 (0 ) ， ，
2
2
2ln 2 3( ) x x ah x x
．
因为函数 ( )h x 在定义域上单调递增，
所以
2
2
2ln 2 3( ) 0x x ah x x
≥ 在 (0 ) ， 上恒成立，
即 2 2ln 2 3 0x x a ≥ 在(0 ) ， 上恒成立． ……4 分
设 2( ) 2ln 2 3( 0)t x x x a x ，则
22 2( ) xt x x
，
当 0 1x 时， ( ) 0t x ，则 ( )t x 在 0 1， 上为减函数， 《江苏高考学科基地秘卷》 数学参考答案与评分细则 第 7 页（共 10 页）
当 1x 时， ( ) 0t x ，则 ( )t x 在 1 ， 上为增函数， ……6 分
所以 2 2ln 2 3 0x x a ≥ 在 0x 时恒成立 min( ) (1) 4 2 0t x t a ≥ ，
所以 2a ≥ ． ……8 分
（3）因为
2
2
2ln 2 3( ) x x ah x x
，
所以
2
2
e 3(e ) 02e
aa
ah ，则 ( ) 0h x 不可能对 0x 恒成立，
即 ( )h x 在定义域上不可能始终都为减函数． ……10 分
由（2）知函数 ( )h x 在定义域上单调递增 2a ≥ ，
所以若函数 ( )h x 在定义域上不是单调函数 2a ．
又因为 (1) 0h ，所以 1x 是函数 ( ) 0h x 一个零点．
令 ( ) 0h x ，得 22ln 2 2 1 0x x ax a ，
设 2( ) 2ln 2 2 1m x x x ax a ，则 ( )h x 与 ( )m x 有相同的零点，
令
22( 1)( ) 0x axm x x
，得 2 1 0x ax ．
因为 2a ，所以 2 4 0a ，
所以 2 1 0x ax 有两个不相等实数解 1 2x x， ，
因为 1 2 1 21 2x x x x a ， ，所以不妨设 1 20 1x x ． ……12 分
当 1(0 )x x ， 时， ( ) 0m x ， ( )m x 在 1(0 )x， 为增函数，
当 1 2( )x x x ， 时， ( ) 0m x ， ( )m x 在 1 2( )x x， 为减函数，
当 1( )x x ， 时， ( ) 0m x ， ( )m x 在 1( )x ， 为增函数，
则 1 2( ) (1) 0 ( ) (1) 0m x m m x m ， ． ……14 分
又因为 2a 时，0 e 1a ， 2 4a ，
2 2(e ) e 1 2 e 0a a am a ， 2( 2 ) 2ln( 2 ) 4 6 1 0m a a a a ，
又因为 ( )h x 在(0 1)， 图象不间断，所以 ( )h x 在(0 1)， 有唯一一个零点，
又因为 ( )h x 在 (1 ) ， 图象不间断，所以 ( )h x 在 (1 ) ， 有唯一一个零点，
又因为 1x 是函数 ( ) 0h x 一个零点．
综上函数 ( )h x 必有三个不同零点． ……16 分
《江苏高考学科基地秘卷》 数学参考答案与评分细则 第 8 页（共 10 页）
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．．
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）
【解】设点 ( )P x y ， ， 则 1 2
4 1
a x
b y
，即 2
2 4.
x a
y b
， ……2 分
因为点 P在直线 : 2 2 0l x y 上，
所以 2( 2 ) (2 4) 2 0a b ，化简得 5 0a b ． ……4 分
又 M 不存在逆矩阵， 1 04
a
b
M ，所以 4ab ② ……8 分
联立①②得 5
4
a b
ab
，
，解之得 4
1
a
b
或 1
4
a
b
． ……10 分
B．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
在极坐标系中，圆 C 的方程为 2 cosm （ 0m ），以极点为坐标原点，极轴为 x 轴
正半轴建立平面直角坐标系．设直线l 的参数方程为
1
2
3 32
x t
y t
，
(t 为参数），若直线
l 与圆 C 恒有公共点，求 m 的取值范围．
【解】圆 C 的方程 2 cosm 对应的普通方程为 2 2 2( )x m y m ， ……3 分
直线l 的普通方程为 3 3y x ． ……6 分
因为直线l 与圆 C 恒有公共点，
则圆心( 0)m， 到直线l 的距离 | |d m≤ ，即 | 3 3 | | |
1 3
m m
≤ ． ……8 分
解得 m 的取值范围是 ( 3 2 3] [3 2 3 ) ， ， ． ……10 分
C．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）
已知不等式 2 2x x 的解集为 3| 2x x ，求实数 的值．
【解】设 ( ) 2f x x x ，
因为不等式 ( ) 2f x 的解集为 3| 2x x ，所以 3
2x 是方程 ( ) 2f x 的根， 《江苏高考学科基地秘卷》 数学参考答案与评分细则 第 9 页（共 10 页）
M
（第 23 题）
l2
l1
P
C
O
D
A
Q
x
y
l3
B
所以 3 3 3( ) 2 22 2 2f ，解得 1 或 4 ． ……4 分
当 4 时，不等式 2 2x x 的解集为，不合题意，舍去.……8 分
经验证，当 1 时不等式 ( ) 2f x 的解集为 3| 2x x ，符合题意，
所以 1 . ……10 分
【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分．
22．（本小题满分 10 分）
【解】正四面体底面上的数字可能是 1，2，3，4，则 2( 3) ( 1 2)ix i ， 的所有取值为 0，1，4．
（1）当 1 2 1x x 时， X 最大，所以 1( 8) 16P X ． ……3 分
（2） X 的可能取值为 0，1，2，4，5，8．
1( 0) 16P X ， 4 1( 1) 16 4P X ， 4 1( 2) 16 4P X ，
2 1( 4) 16 8P X ， 4 1( 5) 16 4P X ， 1( 8) 16P X ． ……8 分
所以 X 的概率分布为
X 0 1 2 4 5 8
P 1
16 1
4 1
4 1
8 1
4 1
16
数学期望 1 1 1 1 1 1( ) 0 1 2 4 5 8 316 4 4 8 4 16E X ．……10 分
23．（本小题满分 10 分）
【解】（1）设 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y， ， ， ，
将直线 1
1: 2l y x p 与抛物线 2 2y px 联立，
得 2 213 04x px p ，所以 1 2 3x x p ．
由 1
2t p ，得 M 即为焦点，
所以 1 2
1 1( ) ( ) 4 42 2AB x p x p p ，即 1p ，
所以抛物线的方程为 2 2y x . ……4 分
（2）由题意可知， 1 2l l， 斜率存在且不为 0. 《江苏高考学科基地秘卷》 数学参考答案与评分细则 第 10 页（共 10 页）
设 1 1 2 2 3 3 4 4( ) ( ) ( ) ( )A x y B x y C x y D x y， ， ， ， ， ， ， ，
设直线 1 2: , :l x my t l x ny t ，
与抛物线 2 2y x 联立得， 2 22 2 0 2 2 0y my t y ny t ， ，
所以 1 2 1 2 3 4 3 42 , 2 , 2 , 2y y m y y t y y n y y t .
设 ( ) ( )P t Q t ， ， ， ，由 A P D， ， 三点共线，又 2 2
1 1 4 42 2y x y x ， ，
得 1 1 4 1 4
1 1
1 1 4 1 4
y y y y y t x yt x x x x x
1 4
1 12 2
1 4
2( )y y t x yy y
2
1 1 1 4
1 4
2 2t x y y y
y y
1 4
1 4
2y y t
y y
.
同理， 3 2
3 3
3 2
y y t x yx x
3 3
3 2
2 t x yy y
2
3 3 2 3
3 2
2 2t x y y y
y y
2 3
2 3
2y y t
y y
.
所以 2 31 4
1 4 2 3
22 y y ty y t
y y y y
1 2 4 1 3 4 1 2 3 2 3 4 1 2 3 4
1 4 2 3
( ) 2 ( )
( )( )
y y y y y y y y y y y y t y y y y
y y y y
1 2 3 4 3 4 1 2 1 2 3 4
1 4 2 3
( ) ( ) 2 ( )
( )( )
y y y y y y y y t y y y y
y y y y
1 4 2 3
2 2 2 2 2 (2 2 ) 0( )( )
t n t m t m n
y y y y
.
即 P Q， 关于 x 轴对称.
所以， 1MP
MQ 为定值． ……10 分
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