数学理科试卷
（满分：150 分，考试时间：120 分钟。请将答案填写在答题卡上）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}，集合 B 为整数集，则 A∩B＝ ()
A．{－1,0} B．{0,1} C．{－2，－1,0,1} D．{－1,0,1,2}
2．已知非零向量 a，b 满足 =2 ，且（a–b） b，则 a 与 b 的夹角为
A． B． C． D．
3．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4. 设复数 z 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．设函数 f（x）=cosx+bsinx（b 为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的
A．充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．命题“ ，使得 ”的否定形式是 （ ）.
A. ，使得 B. ，使得
C. ，使得 D. ，使得
7．在棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCD
－A1B1C1D1 内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为()
A. π
12
B．1－ π
12
C.π
6
D．1－π
6
8．设 a>0 为常数，动点 M(x，y)(y≠0)分别与两定点 F1(－a,0)，F2(a,0)的连线的斜率之积为
a b ⊥
π
6
π
3
2π
3
5π
6
0tan >α
0sin >α 0cos >α 02sin >α 02cos >α
( 2 )(2 ) 5z i i− − = z =
2 3i+ 2 3i− 3 2i+ 3 2i−
*x n∀ ∈ ∃ ∈R N， 2n x≥
*x n∀ ∈ ∃ ∈R N， 2n x< *x n∀ ∈ ∀ ∈R N， 2n x<
*x n∃ ∈ ∃ ∈R N， 2n x< *x n∃ ∈ ∀ ∈R N， 2n xb>c B．b>c>a C．c>b>a D．b>a>c
10．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
11.如图所示，点 从点 出发，按逆时针方向沿边长为 的正三角形 运动一周， 为
的中心，设点 走过的路程为 ， 的面积为 （当 、 、 三点共线时，
记面积为 0），则函数 的图像大致为（ ）
12．函数 的导函数 ，对 ，都有 成立，若 ，则
满足不等式 的 的范围是 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．函数 y＝ 1
sin2x
＋ 2
cos2x
的最小值是 ．
14．已知 是等差数列，公差 不为零．若 ， ， 成等比数列，且 ，则
1
23a = 1
3
1log 2b = 2
1log 3c =
P A a ABC O
ABC∆ P x OAP∆ ( )xf A O P
( )xf
( )f x ( )f x′ x∀ ∈R ( ) ( )f x f x′ > ( )ln 2 2f =
( ) xf x e> x
1x > 0 1x< < ln 2x > 0 ln 2x< <
{ }na d 2a 3a 7a 1 22 1a a+ = ， ．
15.已知点 在函数 （ 且 ）图像上，对于函数 定义域中的
任意 ，有如下结论：
① ② ③ ；
④ .上述结论中正确结论的序号是 ．
16．已知 为定义域为 R 的偶函数，当 时， 若
关于 的方程 （ ， ）有且仅有 6 个不同的实数根，则实数
的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分 12 分)
的内角 所对的边分别为 ．
（I）若 成等差数列，证明： ；
（II）若 成等比数列，求 的最小值．
18．(本小题满分 12 分)
为了预防某种流感扩散，某校医务室采取积极的处理方式，对感染者进行短暂隔离直到
康复．假设某班级已知 6 位同学中有 1 位同学被感染，需要通过化验血液来确定被感染的同
学，血液化验结果呈阳性即被感染，呈阴性即未被感染．下面是两种化验方案．
方法甲：逐个化验，直到能确定被感染的同学为止．
方案乙：先任取 3 个同学，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明被感染同
学为这 3 位中的 1 位，后再逐个化验，直到能确定被感染的同学为止；若结果呈阴性，则在
另外 3 位同学中逐个检测．
(1)求方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；
(2)η表示方案甲所需化验次数，ξ表示方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，
请从经济角度考虑哪种化验的方案最佳．
1a = d =
( )2,9 ( ) xf x a= 0a > 1a ≠ ( )y f x=
)(, 2121 xxxx ≠
( ) ( ) ( )1 2 1 2.f x x f x f x+ = );()()( 2121 xfxfxxf +=⋅ 0)()(
21
21 2 的解集；
(2)若不等式 f(x)≤a(x＋1
2
)的解集非空，求实数 a 的取值范围．
理科答案
1-12. DB CAC DBAAA A C
13．
14． , -1
15．(1 ), ( 4 )
16.( -- , -- ) ( -- )
17．【解析】：（1） 成等差数列，
由正弦定理得
（2） 成等比数列，
由余弦定理得
（当且仅当 时等号成立）
（当且仅当 时等号成立）
（当且仅当 时等号成立）
即 ，所以 的最小值为
18 解析 解：设 Ai(i＝1，2，3，4，5)表示方案甲所需化验次数为 i 次，Bj(j＝2，3)表示
方案乙所需化验的次数为 j 次，方案甲与方案乙相互独立．
(1)P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝1
6，P(A5)＝1
3，
3 2 2+
2
3
cba ，， 2a c b∴ + =
sin sin 2sinA C B+ =
sin sin[ ( )] sin( )B A C A Cπ= − + = +
( )sin sin 2sinA C A C∴ + = +
cba ，， 2 2b ac∴ =
2 2 2 2 2 2 1cos 2 2 2 2
a c b a c ac ac acB ac ac ac
+ − + − −= = = =
2 2 2a c ac+ ≥ a c=
2 2
12
a c
ac
+∴ ≥ a c=
2 2 1 1 112 2 2 2
a c
ac
+∴ − ≥ − = a c=
1cos 2B ≥ Bcos 1
2P(B2)＝ C
CC＋ C
CC＝1
3，P(B3)＝1－P(B2)＝2
3，
用事件 D 表示方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数，
则 P(D)＝P(A2B2＋A3B3)＝P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B3)＝1
6×1
3＋1
6×2
3＝1
6.
(2)η 的可能取值为 1，2，3，4，5.ξ 的可能取值为 2，3.
由(1)知 P(η＝1)＝P(η＝2)＝P(η＝3)＝P(η＝4)＝1
6，P(η＝5)＝1
3，
所以 E(η)＝1×1
6＋2×1
6＋3×1
6＋4×1
6＋5×2
6＝10
3 ，P(ξ＝2)＝P(B2)＝1
3，P(ξ＝3)＝P(B3)＝2
3，所
以 E(ξ)＝2×1
3＋3×2
3＝8
3.
因为 E(ξ)a”等价于“sinx－ax>0”；“sinx
x
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