数学文科试卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}，集合 B 为整数集，则 A∩B＝()
A．{－1,0} B．{0,1} C．{－2，－1,0,1} D．{－1,0,1,2}
2．已知非零向量 a，b 满足 =2 ，且（a–b） b，则 a 与 b 的夹角为
A． B． C． D．
3．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4. 设复数 z 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．设函数 f（x）=cosx+bsinx（b 为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．命题“ ，使得 ”的否定形式是（ ）.
A. ，使得 B. ，使得
C. ，使得 D. ，使得
7．在棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCD－
A1B1C1D1 内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为( )
A. π
12 B．1－ π
12 C.π
6 D．1－π
6
8．设 a>0 为常数，动点 M(x，y)(y≠0)分别与两定点 F1(－a,0)，F2(a,0)的连线的斜率之积为定
值 λ，若点 M 的轨迹是离心率为 3的双曲线，则 λ 的值为( )
A．2 B．－2 C．3 D. 3
9．已知 ， ， ，则 ()
a b ⊥
π
6
π
3
2π
3
5π
6
0tan >α
0sin >α 0cos >α 02sin >α 02cos >α
( 2 )(2 ) 5z i i− − = z =
2 3i+ 2 3i− 3 2i+ 3 2i−
*x n∀ ∈ ∃ ∈R N， 2n x≥
*x n∀ ∈ ∃ ∈R N， 2n x< *x n∀ ∈ ∀ ∈R N， 2n x<
*x n∃ ∈ ∃ ∈R N， 2n x< *x n∃ ∈ ∀ ∈R N， 2n x<
1
23a = 1
3
1log 2b = 2
1log 3c =A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．b>a>c
10．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．
10．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次
序为 ( )
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
11.如图所示，点 从点 出发，按逆时针方向沿边长为 的正三角形 运动一周， 为
的中心，设点 走过的路程为 ， 的面积为 （当 、 、 三点共线时，
记面积为 0），则函数 的图像大致为 （ ）
12．函数 的导函数 ，对 ，都有 成立，若 ，则
满足不等式 的 的范围是 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知 a，b 均为单位向量，若|a－2b|＝ 3，则 a 与 b 的夹角为________．
14．已知 是等差数列，公差 不为零．若 ， ， 成等比数列，且 ，则
， ．
15.已知点 在函数 （ 且 ）图像上，对于函数 定义域中的
任意 ，有如下结论：
P A a ABC O
ABC∆ P x OAP∆ ( )xf A O P
( )xf
( )f x ( )f x′ x∀ ∈R ( ) ( )f x f x′ > ( )ln 2 2f =
( ) xf x e> x
1x > 0 1x< < ln 2x > 0 ln 2x< <
{ }na d 2a 3a 7a 1 22 1a a+ =
1a = d =
( )2,9 ( ) xf x a= 0a > 1a ≠ ( )y f x=
)(, 2121 xxxx ≠① ② ③ ；
④ .上述结论中正确结论的序号是 ．
16．已知 为定义域为 R 的偶函数，当 时， 若关
于 的方程 （ ， ）有且仅有 6 个不同的实数根，则实数
的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分 12 分)
的内角 所对的边分别为 ．
（I）若 成等差数列，证明： ；
（II）若 成等比数列，求 的最小值．
18．(本小题满分 12 分)
海关对同时从 A，B，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种
商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品
进行检测.
地区 A B C
数量 50 150 100
(1)求这 6 件样品中来自 A，B，C 各地区商品的数量；
(2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同
地区的概率．
( ) ( ) ( )1 2 1 2.f x x f x f x+ = );()()( 2121 xfxfxxf +=⋅ 0)()(
21
21 > (2, 2) C
C
l O l C ,A B AB
M OM l
11 2
3
2
x t
y t
= +
=
cos ,
2sin
x
y
θ
θ
=
=
θ（1）将直线 l 的参数方程化为极坐标方程；
（2）设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长.
23. (本小题满分 10 分) 设函数 f(x)＝|x－1|＋1
2|x－3|.
(1)求不等式 f(x)>2 的解集；
(2)若不等式 f(x)≤a(x＋1
2)的解集非空，求实数 a 的取值范围．
数学文科答案
1-12. DB CAC DBAAA A C
13．π
3 （或π）
14． , -1
15．(1 ), ( 4 )
16.( -- , -- ) ( -- )
17．【解析】：（1） 成等差数列，
由正弦定理得
（2） 成等比数列，
由余弦定理得
（当且仅当 时等号成立）
（当且仅当 时等号成立）
（当且仅当 时等号成立）
即 ，所以 的最小值为
18 解析 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 6
50＋150＋100＝ 1
50，所以样本中包含三个
2
3
cba ，， 2a c b∴ + =
sin sin 2sinA C B+ =
sin sin[ ( )] sin( )B A C A Cπ= − + = +
( )sin sin 2sinA C A C∴ + = +
cba ，， 2 2b ac∴ =
2 2 2 2 2 2 1cos 2 2 2 2
a c b a c ac ac acB ac ac ac
+ − + − −= = = =
2 2 2a c ac+ ≥ a c=
2 2
12
a c
ac
+∴ ≥ a c=
2 2 1 1 112 2 2 2
a c
ac
+∴ − ≥ − = a c=
1cos 2B ≥ Bcos 1
2地区的个体数量分别是 50× 1
50＝1,150×1
5＝3,100× 1
50＝2.
所以 A，B，C 三个地区的商品被选取的件数分别为 1,3,2.
(2)设 6 件来自 A，B，C 三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.
则抽取的这 2 件商品构成的所有基本事件为：
{A，B1}，{A，B 2}，{A，B 3}，{A，C 1}，{A，C 2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，
{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共 15 个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件 D：“抽取的这 2 件商品来自相同地区”，
则事件 D 包含的基本事件有
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共 4 个．
所以 P(D)＝ 4
15，即这 2 件商品来自相同地区的概率为 4
15.
19.解析 (1)如图所示，连接 AC.
∵四边形 ABCD 为矩形且 F 是 BD 的中点，
∴F 也是 AC 的中点．
又 E 是 PC 的中点，EF∥AP，
∵EF⊄平面 PAD，PA⊂平面 PAD，∴EF∥平面 PAD.
(2)证明：∵面 PAD⊥平面 ABCD，CD⊥AD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，
∴CD⊥平面 PAD.
∵CD⊂平面 PDC，∴平面 PDC⊥平面 PAD.
(3)取 AD 的中点为 O.连接 PO.
∵平面 PAD⊥平面 ABCD，△PAD 为等腰直角三角形，
∴PO⊥平面 ABCD，即 PO 为四棱锥 P—ABCD 的高．
∵AD＝2，∴PO＝1.又 AB＝1，
∴四棱锥 P—ABCD 的体积 V＝1
3PO·AB·AD＝ 2
3.
20. 【解析】（Ⅰ）由题意有 ， ，解得 ．
所以 的方程为 ．
（Ⅱ）设直线 ： ， ， ，
将 代入 得 ．
2 2 2
2
a b
a
− = 2 2
4 2 1a b
+ = 2 28, 4a b= =
C
2 2
18 4
x y+ =
l y kx b= + ( 0, 0)k b≠ ≠ 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y ( , )M MM x y
y kx b= +
2 2
18 4
x y+ = 2 2 2(2 1) 4 2 8 0k x kbx b+ + + − =故 ， ．
于是直线 的斜率 ，即 ．
所以直线 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值．
21．解：(1)当 a＝－1 时，f(x)＝x 3 －x－2ln x(x>0)，f′(x)＝3x 2 －1－ 2
x＝3x3－x－2
x ＝
（x－1）（3x2＋3x＋2）
x .
∵3x2＋3x＋2＞0 恒成立，∴当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，y＝f(x)单调递增；当 x∈(0，1)时，
f′(x)
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