2020届高三数学（理）下学期第一次月考试题（附答案Word版）

校·高 2020 级高三下期第 1 次月考试卷 数学（理） 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、单选题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．已知集合 ， ，则 =（　　） A． B． C． D． 2．已知 是虚数单位， ，且 的共轭复数为 ，则 （　　） A． B． C．5 D．3 3．记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 的公差为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 4．已知 ，则“ ”是“ ”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若将函数 y=2sin2x 的图像向左平移 个单位长度，则平移后图像的对称轴为（　　） A． B． C． D． 6．已知 ， 是空间中两条不同的直线， ， 为空间中两个互相垂直的平面，则下列 命题正确的是（　　） { }2| 2 3 0A x x x= − − ≥ { }| 2 2B x x= − ≤ ≤ A B [ 2, 1]− − [ 1,2)− [ 1,1]− [1,2) i 20172i 3i1 iz = −+ z z z z⋅ = 3 5 nS { }na n 4 5 24a a+ = 6 48S = { }na a R∈ 2a > 2 2a a> 12 π ( )z62 ∈−= kkx ππ ( )z62 ∈+= kkx ππ ( )z122 ∈−= kkx ππ ( )z122 ∈+= kkx ππ m n α βA．若 ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 7．已知小蜜蜂在一个棱长为 4 的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正 方体 6 个表面的距离均大于 1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为 （　　） A． 9 64 B．1 2 C． 1 64 D．1 8 8．函数 的部分图像大致为（　　） 　 　 　 9．在△ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c．若 c2＝(a－b)2＋6，C＝π 3，则△ABC 的面积是（　　） A．3 B．9 3 2 C．3 3 2 D．3 3 10．如图，在长方体 中， ，则 与平面 所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 11．如图所示，F1，F2 是双曲线 C：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，过 F2 的直 线与双曲线 C 交于 A，B 两点.若△ABF1 为等边三角形，则双曲线的离心率为（　　） 1111 DCBAABCD − 1,2 1 === AABCAB 1BC DDBB 11 3 6 5 62 5 15 5 10 m α⊂ m β⊥ m α⊂ n β⊂ m n⊥ mα β = n m⊥ n α⊥ m α⊄ m β⊥ / /m α 1sin 1 x x ey x e += ⋅ − A B C DA． B． C． D． 12．已知函数 ，函数 ，若方程 恰好有 4 个实数根，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 第 II 卷(共 90 分) 二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)。 13．已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= ． 14．在一次医疗救助活动中，需要从 A 医院某科室的 6 名男医生、4 名女医生中分别抽调 3 名男医生、2 名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共 有________种．(用数字作答) 15．有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲 看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说： “我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则 甲的卡片上的数字是 ． 16．已知 的最大值为 ，则 的最小值 为 ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分 17．（本小题满分 12 分） △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知△ABC 的面积为 ． （1）求 sinBsinC； 13 7 5 2 3 | 2| 1, 0( ) 3 +1, 0 x xf x x x x − −= − + −=  + − ≤ ( ) ( )f x g x= m 3(ln2, )2 (ln2,4) (ln3,2) (ln3 1,1)− ( ) sin cosf x a x b x= + ab 4 4 2 2 1 9 1a b a b + ++ 2 3sin a A（2）若 6cosBcosC=1，a=3，求△ABC 的周长． 18．（本小题满分 12 分） 近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式. 为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方 中设置了用户评价反馈系统，以了解用 户对车辆状况和优惠活动的评价．现从评价系统中选出 条较为详细的评价信息进行统计， 车辆状况的优惠活动评价的 列联表如下： 对优惠活动好评 对优惠活动不满意 合计 对车辆状况好评 对车辆状况不满意 合计 （1）能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间 有关系？ （2）为了回馈用户，公司通过 向用户随机派送每张面额为 0 元，1 元，2 元的三种 骑行券．用户每次使用 扫码用车后，都可获得一张骑行券．用户骑行一次获得 1 元券，获得 2 元券的概率分别是 ， ，且各次获取骑行券的结果相互独立．若某 用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为 ， 求随机变量 的分布列和数学期望． 参考数据： 参考公式： ，其中 ． APP 200 2 2× 100 30 130 40 30 70 140 60 200 0.001 APP APP 1 2 1 5 X X 2( )P K k≥ 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + +19．（本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥 中，顶点 在底面 上的射影 在棱 上， ， ， ， 为 的中点． （1）求证： ； （2）求二面角 的余弦值． 20．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 ： 的左、右顶点分别为 C、D，且过点( ，1)，P 是 椭圆上异于 C、D 的任意一点，直线 PC，PD 的斜率之积为－ ． （1）求椭圆 的方程； （2）O 为坐标原点，设直线 CP 交定直线 x＝m 于点 M，当 m 为何值时， 为定 值． 21．（本小题满分 12 分） （1）讨论函数 的单调性，并证明当 >0 时， A BCD− A BCD O BD 2AB AD= = 2BC BD= = 90CBD∠ = ° E CD AD ABC⊥ 平面 B AE C− − Γ 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 1 2 Γ OP OM⋅  xx 2f (x) x 2 −= + e x ( 2) 2 0;xx e x− + + >（2）证明：当 时，函数 有最小值．设 g（x）的最小值 为 ，求函数 的值域． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．（本小题满分 12 分）[选修 4－4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 xOy 中，直线 C1 的参数方程为 (其中 t 为参数)。以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝2sinθ． （1）写出直线 C1 的极坐标方程； （2）设动直线 l：y＝kx(k>0)与 C1，C2 分别交于点 M、N，求 的最大值． 23．（本小题满分 10 分）[选修 4－5：不等式选讲] 已知函数 f(x)＝|x－2|． （1）求不等式 f(x)≤2x＋5 的解集； （ 2 ） 记 函 数 g(x) ＝ f(x ＋ 1) － f( － x ＋ 5) ， 且 g(x) 的 最 大 值 为 M ， 若 a>0 ， 求 证 ： ． [0,1)a∈ 2x = ( 0) xe ax ag xx − − >（ ） ( )h a ( )h a 2 2 22 2 x t y t  = −  = + ON OM 2 1 3Ma a + ≥校·高 2020 级高三上第一次月考测试卷 数　学（理）·答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C C A B D D B C D B D 12.【解析】当 时， ，则 ，由 可得 或 （舍去）. 当 时， ，当 时， ，故 在 上单调递增，在 上单调递减. 因此，在同一坐标系中画出函数 与曲线 的图象如图所示. 由图可知，若函数 与 恰好有 4 个公共点，则 ， 即 ，解之得 . 二、填空题 13. 14. 60 15. 1 和 3 16.17 16.【解析】 ，最大值为 ，故 ，整理可得 ，则 , 0f x ( )f x ( 1,0)− ( , 1)−∞ − ( )y f x= ( )y g x= ( )y f x= ( )y g x= (0) 1 g g   − 1 m m  − + − ln3 1< = − ( 2) ( 2),( 2) 2 0x xx e x x e x− > − + − + + > 3 2 ( 2) ( 2) 2'( ) ( ( ) ), xx e a x xg x f x ax x − + + += = + ( )f x a+ [0,1), (0) 1 0, (2) 0,a f a a f a a∈ + = − < + = ≥ 0 (0,2],x ∈ 0( ) 0,f x a+ = 0'( ) 0g x = 00 x x< < ( ) 0, '( ) 0, ( )f x a g x g x+ < < 0x x> ( ) 0, '( ) 0, ( )f x a g x g x+ > > ( )g x 0x x=于是 ，由 单调递增 所以，由 得 因为 单调递增，对任意 存在唯一的 使得 所以 的值域是 综上，当 时， 有最小值 ， 的值域是 22.解：（1）直线 的直角坐标方程为 ， 将 ， 代入方程得 ，即 ， …………………………5 分 （2）设直线 的极坐标方程为 ，设 ， 则 ， 由 ，有 ， 当 时， 的最大值为 ． ………………………10 分 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 ( 1) + ( )( 1)( ) .2 x x xe a x e f x x eg x x x x − + += = = + 0 0 h( ) 2 xea x = + 2 ( 1)( )' 0,2 ( 2) 2 x x xe x e e x x x += >+ + + 0 (0,2],x ∈ 00 2 2 0 1 ( ) .2 0 2 2 2 2 4 xe e e eh a x = < = ≤ =+ + + 2 xe x + 21( , ],2 4 eλ ∈ 0 (0,2],x ∈ 0( ) [0,1),a f x= − ∈ ( ) ,h a λ= ( )h a 21( , ],2 4 e [0,1)a∈ ( )g x ( )h a ( )h a 21( , ].2 4 e 1C 2 0x y+ − = cosx ρ θ= siny ρ θ= sin cos 2ρ θ ρ θ+ = sin( ) 24 πρ θ + = l = 0< < )2 πθ α α( 1 2( , ), ( , )M Nρ α ρ α 2 1 2sin sin( ) 2 14= = sin(2 )2 4 22 ON OM πα αρ παρ + = − + 0 2 πα< < 324 4 4 π π πα− < − < sin(2 )=14 πα − ON OM 2+1 223．（本小题满分 10 分） 解：（1）由 得 ，解得 不等式 的解集为 ． ………………………5 分 （2） 当且仅当 时等号成立， ， ………………………7 分 ． 当且仅当 ，即 时等号成立． ………………………10 分 52)( +≤ xxf    +≤−≤−− ≥+ 52252 052 xxx x 1−≥x ∴ 52)( +≤ xxf [ )+∞− ,1  23131)5()1()( =+−−≤+−−−=+−−+= xxxxxfxfxg 3≥x ∴ 2=M ∴ 3 2 2 2 2 1 1 1 12 3 3Ma a a a a aa a a a + = + = + + ≥ ⋅ ⋅ = 2 1 aa = 1=a