2020届高三数学（文）下学期第一次月考试题（附答案Word版）

校·高 2020 级高三下期第 1 次月考试卷 数学（文） 一、单选题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．已知集合 , , 则 ( ) A． B． C． D． 2．已知 ， 是虚数单位，若 ， ，则 为（ ） A． 或 B． C． D．不存在的实数 3．在等差数列 中，若 ， ，则 等于（ ） A．9 B．7 C．6 D．5 4．下列关于向量 ， 的叙述中，错误的是（ ） A．若 ，则 B．若 ， ，所以 或 C．若 ，则 或 D．若 ， 都是单位向量，则 恒成立 5．我国数学家邹元治利用下图证明了勾股定理，该图中用勾 和股 分别表示直角三角形的两条直角边，用弦 来表示斜边，现已知该图 中勾为 3，股为 4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中 的概率是（ ） A． B． C． D． 6．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 { }0,2,4A = { }2,0,2B = − A B = { }0,2 { }2,4− [ ]0,2 { }2,0,2,4− a R∈ i 3z ai= + 4z z⋅ = a 1 1− 1 1− { }na 3 5 7 9 11 55a a a a a+ + + + = 3 3S = 5a k ∈R 0k = ( )a ( )b ( )c 25 49 24 49 4 7 5 7A．2 B．3 C．4 D．6 7．已知 是斐波那契数列，则 ， （ 且 ），下图 程序框图表示输出斐波那契数列的前 项的算法，则 （ ） A．10 B．18 C．20 D．22 8．如图，在各棱长均为 2 的正三棱柱（底面为正三角形且侧棱垂直底面的棱柱） 中，P，E，F 分别是 ， ，AC 的中点.则四棱锥 的体积为（ ） A． B． C． D． 9．函数 的图象的大致形状为（ ） 10．已知点 , .若椭圆 上存在点 ,使得 为等边三角形,则椭圆 { }nF 1 2 1F F= = 1 2n n nF F F− −= + *n N∈ 3n ≥ n n = 1 1 1ABC A B C− 1AA 1 1AC 1P EFBB− 3 3 3 2 2 3 3 4 3 3 A B C D的离心率是（ ） A． B． C． D． 11．已知函数 （其中 ， ， ）的图象关于点 成中心对称，且与点 相邻的一个最低点为 ，则对于下列判断： ①直线 是函数 图象的一条对称轴；②点 是函数 的一个对称 中心； ③函数 与 的图象的所有交点的横坐标之和为 . 其中正确的判断是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 12．设 是定义在 R 上的偶函数，且当 时， ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 m 的最大值是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在题中的横线上。 13．已知 ，则 __________. 14．设 满足约束条件 ，且目标函数 的最大值为 16，则 __________． ( ) ( )sinf x A x= +ω ϕ 0A > 0>ω 0 ϕ π< < 5 ,012M π     M 2 , 33N π −   2x π= ( )f x ,012 π −   ( )f x 1y = ( ) 35 12 12y f x x π π = − ≤ ≤   7π ( )f x 0x ≥ 2 1,0 1( ) 2 2 , 1x x xf x x − + ≤ > 1F 2F 1 2 2 12PF F PF F∠ = ∠ ABC∆ , ,A B C , ,a b c G ABC∆ 3a = ABC∆ P ABC− PC ⊥ , , ,ABC F G H , ,PC AC BC I FG 2 2PC AB BC= = = / /HI PAB AC BC⊥ C FGH其中不乏北京大学，清华大学，上海交大，中国科大，西安交大等众多国内顶尖高校，经过 严格筛选，最终由 111 支机器人战队参与到 2015 年全国大学生机器人大赛的激烈角逐之中， 某大学共有“机器人”兴趣团队 1000 个，大一、大二、大三、大四分别有 100，200，300，400 个，为挑选优秀团队，现用分层抽样的方法，从以上团队中抽取 20 个团队． （1）应从大三抽取多少个团队？ （2）将 20 个团队分为甲、乙两组，每组 10 个团队，进行理论和实践操作考试，甲、乙 两组的分数如下： 甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142 乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140 从甲、乙两组中选一组强化训练，备战机器人大赛. （i）从统计学数据看，若选择甲组，理由是什么？若选择乙组，理由是什么？（分别从两 组数据的平均数或方差看） （ii）从乙组中不低于 140 分的团队中任取两个团队，求至少有一个团队为 144 分的概 率． 20．（本小题 12 分） 已知点 是圆 上的动点，定点 ，线段 的垂直平分线交 于点 ． （1）求点 的轨迹 的方程； （2）过点 作两条斜率之积为 的直线 ， ， ， 分别与轨迹 交于 ， 和 ， ，记得到的四边形 的面积为 ，求 的最大 值． 21．（本小题 12 分） 已知函数 ． P 2 2:( 1) 8M x y− + = ( 1,0)N − PN PM Q Q E N 1 2 − 1l 2l 1l 2l E A B C D ACBD S S ( ) ln 2f x x x= +（1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）设函数 ，其中 .证明： 的图象在 图象的下方． （二）选考题：共 10 分．请考生在 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一 题计分． 22．（本小题 10 分）[选修 4-4] 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）；以直角坐标原 点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）求 的普通方程和 的直角坐标方程； （2）若 与 交于点 ，求线段 的长． 23．（本小题 10 分）[选修 4-5] 已知 ，函数 ． （1）当 时，解不等式 ； （2）若关于 的方程 在区间 上有解，求实数 的取值范围． ( )y f x= (1, (1))f 2( )g x x x = − 0x > ( )g x ( )f x xOy 1C 1 2 31 2 x t y t  =  = − + t x 2C 2 3 cosρ θ= 1C 2C 1C 2C A B、 AB a R∈ ( ) 1f x a x = + 1a = ( ) 2f x x≤ x ( ) 2 0f x x− = [ ]2, 1− − a校·高 2020 级高三上第一次月考测试卷 数　学（文）·答案 1—5 DABCB 6—10 AC C AC 11—12CB 13． 14．10 15 16． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17-21 题为必做题,每个考生都必须作答.第 22/23 题为选考题，考生根据要求作答. 17．【详解】 (1)设{an}的公差为 d，{bn}的公比为 q， 由已知可得 ,解得 . 从而 an＝bn＝1 或 an＝2n－1，bn＝3n－1. (2)①当 an＝bn＝1 时，cn＝1，所以 Sn＝n； ②当 an＝2n－1，bn＝3n－1 时，cn＝(2n－1)×3n－1， Sn＝1＋3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)×3n－1， 3Sn＝3＋3×32＋5×33＋7×34＋…＋(2n－1)×3n， 从而有(1－3)Sn＝1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n－1)×3n ＝1＋2(3＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n ＝1＋2× －(2n－1)×3n ＝－2(n－1)×3n－2， 7 8 − 3 1+ 9 3 4 2 1+ 2(1 2 ) 1 d q d q =  + − = 0 2 1 3 d d q q = =   = =  或 n-13 1-3 1-3 （ ）故 Sn＝(n－1)×3n＋1. 综合①②，得 Sn＝n 或 Sn＝(n－1)×3n＋1. 18．解：（1）因为 分别是 的中点，所以 ， 因为 ， 平面 ，所以 平面 平面 ， 因为 平面 ，所以平面 平面 ， 因为 平面 ，所以 平面 . （2）依题意， ，故 ， 故 ，记点 到平面 的距离为 ， 因为 ，故 ，解得 . 19．试题解析： （1）由题知，大三团队个数占总团队数的 ， 则用分层抽样的方法，应从大三中抽取 个团队. （2）（i）甲组数据的平均数 ，乙组数据的平均数 ， 甲组数据的方差 ，乙组数据的方差 ， 选甲队理由：甲、乙两队平均数相差不大，且 ，甲组成绩波动小. , ,F G H , ,PC AC BC / / , / /GH AB FG PA GH PAB⊄ FG ⊄ PAB / /GH , / /PAB FG PAB , ,FG GH G FG GH∩ = ⊂ FGH / /PAB FGH HI ⊂ FGH / /HI PAB 5 7, 1,2 2HF HG GF= = = 5 71 54 4cos 1052 1 2 GHF + − ∠ = = × × 95sin 10GHF∠ = C FGH h C ONF F ONCV V− −= 1 1 1 3 1 1 5 951 13 2 2 2 3 2 2 10 h    × × × × = × × × × ×          57 19h = 300 3 1000 10 = 320 610 × = 130x =甲 131x =乙 2 104.2s =甲 2 128.8s =乙 2 2s s − + > ( ) 0h x > ( )g x ( )f x 1 :C 3 1y x= − 2 :C 2 2 2 3 0x y x+ − = 2 2 2C ( 3,0) 3r = 1 :C 3 1y x= − 2 :C 2 2 2 3 0x y x+ − = 2C ( )3,0 3r = 2C 1C 1d = 2 22 2 2AB r d= − = 1a = ( ) 11f x x = + ( ) ( )12 1 2 *f x x xx ≤ ⇔ + ≤ 0x > ( )* ( )( )2 1 1 10 02 x x xx + − ≥ ⇔ − ≤ < 1x ≥ 1x ≥ 0x < ( )* 22 1 0 0x x xx − + ≥ ⇔ > x∈∅由①②可得, 的解集为 . （2） ,即 其中 . 令 ,其中 ,对于任意的 且 , 则 , 由于 ,所以 , , ,所以 , 所以 ,故 , 所以函数 在区间 上是增函数, 所以 ,即 ,故 . ( )* [ )1,+∞ ( ) 12 0 2 0f x x a xx − = ⇔ + − = 12a x x = + [ ]2, 1x∈ − − ( ) 12g x x x = + [ ]2, 1x∈ − − [ ]1 2, 2, 1x x ∈ − − 1 2x x< ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 12 2g x g x x xx x    − = + − +        ( )( )1 2 1 2 1 2 2 1x x x x x x − −= 1 22 1x x− ≤ < ≤ − 1 2 0x x− < 1 2 0x x > 1 21 4x x< < 1 22 1 0x x − > ( )( )1 2 1 2 1 2 2 1 0x x x x x x − − < ( ) ( )1 2g x g x< ( )g x [ ]2, 1− − ( ) ( ) ( )9 2 1 32 g g x g− = − ≤ ≤ − = − ( ) 9, 32g x  ∈ − −   9, 32a  ∈ − −  