2019-2020学年重庆市高三第二学期线上测试期中（理科）数学试卷含解析

2019-2020 学年高三第二学期期中（理科）数学试卷 一、选择题. 1．已知（a+i）（2﹣i）为纯虚数，则实数 a 的值是（  ） A．﹣1 B． C． D．1 2．已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{a+b|a∈A，b∈A}，则集合 B 的子集个数为（  ） A．8 B．16 C．32 D．64 3．已知曲线 f（x）＝alnx+x2 在点（1，1）处的切线与直线 x+y＝0 平行，则实数 a 的值为 （  ） A．﹣3 B．1 C．2 D．3 4．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S6＝12，a2＝5，则 a5＝（  ） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 5．已知 a＝1.20.3，b＝log0.31.2，c＝log1.23，则（  ） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c 6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为（  ） A．2 B． C． D． 7．函数 的最小值为（  ） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D． 8．抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，A，B 是抛物线 C 上两点，且|AF|+|BF|＝10， O 为坐标原点，若△OAB 的重心为 F，则 p＝（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．执行如图所示的程序框图，若输入的ε＝3，则输出的结果为（  ） A．511 B．1022 C．1023 D．2046 10．我们知道，在 n 次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件 A 发生的概率 为 p，则事件 A 发生的次数 X 服从二项分布 B（n，p），事实上，在无限次伯努利试验 中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件 A 首次发生时试验进行的次数 Y，显 然 P（Y＝k）＝p（1﹣p）k﹣1，k＝1，2，3，…，我们称 Y 服从“几何分布”，经计算 得 ．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件 A 和 都发生后停止， 此时所进行的试验次数记为 Z，则 P（Z＝k）＝p（1﹣p）k﹣1+（1﹣p）pk﹣1，k═2，3， …，那么 E（Z）＝（  ） A． B． C． D． 11．已知双曲线 ）的左右焦点分别为 F1，F2，F1 的直线 l 与 双曲线 C 的两支分别交于 A，B 两点，∠AF2B＝90，|AB|＝4a，则双曲线 C 的离心率为 （  ） A． B． C．2 D． 12．已知 A，B，C，D 四点均在半径为 R（R 为常数）的球 O 的球面上运动，且 AB＝AC， AB⊥AC，AD⊥BC，若四面体 ABCD 的体积的最大值为 ，则球 O 的表面积为（  ） A． B．2π C． D． 二、填空题 13．已知 均为单位向量，且 ，则向量 与 夹角的余弦值为    14．已知 的展开式中第 3 项与第 6 项的二项式系数相等，则展开式中 x 的系数为    15．正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AB＝2， ，D 为棱 A1B1 的中点，则异面直线 AD 与 CB1 成角的大小为    16．已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+2）＝f（x），当 x∈[﹣1，1]时 f（x）＝e1﹣|x| ﹣2，则关于函数 f（x）有如下四个结论：①f（x）为偶函数；②f（x）的图象关于直 线 x＝2 对称；③方程 f（x）＝1﹣|x|有两个不等实根；④ 其中所有正 确结论的编号是    三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题： 共 60 分． 17．如图，在△ABC 中， ，点 D 在边 AB 上． （1）若：sin（C﹣A）＝1，求 sinA 的值； （2）若∠CDA＝90°，BD＝4DA，求 sin∠ACB 的值． 18．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥面 ABCD，AB∥CD，且 CD＝2AB＝2，BC＝2 ，M 为 BC 的中点． （1）求证：平面 PDM⊥平面 PAM； （2）若二面角 P﹣DM﹣A 为 30°，求直线 PC 与平面 PDM 所成角的正弦值． 19．新型冠状病毒肺炎 COVID﹣19 疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延．在全国人民的共 同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制．然而，每个国家 在疫情发生初期，由于认识不足和措施不到位，感染确诊人数都会出现加速增长．如表 是小王同学记录的某国从第一例新型冠状病毒感染确诊之日开始，连续 8 天每日新型冠 状病毒感染确诊的累计人数． 日期代码 x 1 2 3 4 5 6 7 8 累计确诊人 数 4 8 16 31 51 71 97 122 为了分析该国累计感染确诊人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型： ，② ＝dx+c 对变量 x 和 y 的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残 差图如下（注：残差 ， 且经过计算得 ≈17.3， ≈1.9，其中 zi＝x ， ＝ zi （1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由； （2）根据（1）中选定的模型求出相应的回归方程； （3）如果第 9 天该国仍未采取有效的防疫措施，试根据（2）中所求的回归方程估计该 国第 9 天新型冠状病毒感染确诊的累计人数．（结果保留为整数） 附 ： 回 归 直 线 的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为 ： ． 20．已知函数 f（x）＝3x﹣（a+1）lnx，g（x）＝x2﹣ax+4． （1）若函数 y＝f（x）+g（x）在其定义域内单调递增，求实数 a 的取值范围； （2）是否存在实数 a，使得函数 y＝f（x）﹣g（x）的图象与 x 轴相切？若存在，求满 足条件的 a 的个数，请说明理由． 21．已知椭圆Γ ＞0）的离心率为 ，过椭圆Γ的焦点且垂直于 x 轴 的直线被椭圆Γ截得的弦长为 ． （1）求椭圆Γ的方程； （2）设点 A，B 均在椭圆Γ上，点 C 在抛物线 上，若△ABC 的重心为坐标原点 O，且△ABC 的面积为 ，求点 C 的坐标． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的 第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知 直线 l 的极坐标方程为 ，曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ＝cosθ． （1）写出直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程； （2）过动点．P（x0，y0）（y02＜x0）且平行于 l 的直线交曲线 C 于 A，B 两点，若|PA| •|PB|＝2，求动点 P 到直线 I 的最近距离． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）＝|x+1|+|x﹣1|﹣2|x﹣2|． （1）若关于 x 的不等式 f（x）≤a 有解，求实数 a 的取值范围； （2）若不等式 f（x）≤|x﹣b|﹣4 对任意 x∈R 成立，求实数 b 的取值范围． 参考答案 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个备选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．已知（a+i）（2﹣i）为纯虚数，则实数 a 的值是（  ） A．﹣1 B． C． D．1 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 列式求解． 解：∵（a+i）（2﹣i）＝（2a+1）+（2﹣a）i 为纯虚数， ∴ ，解得 a＝﹣ ． 故选：B． 2．已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{a+b|a∈A，b∈A}，则集合 B 的子集个数为（  ） A．8 B．16 C．32 D．64 【分析】根据题意求出 B 中的元素，再求子集个数． 解：∵集合 A＝{1，2，3}，B＝{a+b|a∈A，b∈A}， ∴B＝{2，3，4，5，6}， ∴集合 B 的子集个数为 32， 故选：C． 3．已知曲线 f（x）＝alnx+x2 在点（1，1）处的切线与直线 x+y＝0 平行，则实数 a 的值为 （  ） A．﹣3 B．1 C．2 D．3 【分析】求得 f（x）的导数，可得切线的斜率，运用有斜率的两直线平行的条件：斜率 相等，解方程可得 a 的值． 解：f（x）＝alnx+x2 的导数为 f′（x）＝ +2x， 可得曲线在点（1，1）处的切线斜率为 k＝a+2， 由切线与直线 x+y＝0 平行，可得 k＝﹣1， 即 a+2＝﹣1，解得 a＝﹣3， 故选：A． 4．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S6＝12，a2＝5，则 a5＝（  ） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【分析】利用等差数列的求和公式及其性质即可得出． 解：∵S6＝12，a2＝5， ∴12＝ ，解得 a5═﹣1． 故选：B． 5．已知 a＝1.20.3，b＝log0.31.2，c＝log1.23，则（  ） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解． 解：∵0＜1.20.3＜1.21＝1.2，∴1＜a＜1.2， ∵log0.31.2＜log0.31＝0，∴b＜0， ∵log1.23＞log1.21.44＝2，∴c＞2， ∴b＜a＜c， 故选：D． 6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为（  ） A．2 B． C． D． 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用勾股定理的应用求出最大棱长 BD 或 AC． 解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体 D﹣ABC． 如图所示： 所以 AC＝ ＝ ＝ ． 故选：C． 7．函数 的最小值为（  ） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D． 【分析】先利用诱导公式、降幂公式、将函数式化成关于 cos2x 的二次函数，然后求解． 解： 22x 令 t＝cos2x，则原函数化为 ， y＝ ，该函数在[﹣1， ]上递增，在 上递减． 易知 t＝﹣1 时，ymin＝﹣1． 故选：B． 8．抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，A，B 是抛物线 C 上两点，且|AF|+|BF|＝10， O 为坐标原点，若△OAB 的重心为 F，则 p＝（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】设 A（x1，y1），B（x2，y2），由|AF|+|BF|＝10，可得 ．结 合△OAB 的重心坐标，即可求得 p． 解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），∵|AF|+|BF|＝10，则 ． ∵△OAB 的重心为 F，∴ ， ∴ ，∴p＝4． 故选：D． 9．执行如图所示的程序框图，若输入的ε＝3，则输出的结果为（  ） A．511 B．1022 C．1023 D．2046 【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的 x 的值，当 x＝210 时，不满足条件，退出 执行循环体，S＝1022． 解：当 x＝1，s＝0，此时 x＝2， 满足 lg2＜3，执行循环体，s＝0+2＝2＝22﹣2，x＝4＝22， 满足 lg4＜3，执行循环体，s＝2+4＝6＝32﹣2，x＝8＝23， 满足 lg8＜3，执行循环体，s＝6+8＝14＝24﹣2，x＝24， 满足 lg16＜3，执行循环体，s＝14+16＝30＝25﹣2，x＝25， 满足 lg32＜3，执行循环体，s＝30+32＝62＝26﹣2，x＝26， … 满足 lg29＜3，执行循环体，s＝210﹣2，x＝210， 不满足 lg210＜3，退出循环体，输出此时的 S＝210﹣2＝1022， 故选：B． 10．我们知道，在 n 次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件 A 发生的概率 为 p，则事件 A 发生的次数 X 服从二项分布 B（n，p），事实上，在无限次伯努利试验 中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件 A 首次发生时试验进行的次数 Y，显 然 P（Y＝k）＝p（1﹣p）k﹣1，k＝1，2，3，…，我们称 Y 服从“几何分布”，经计算 得 ．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件 A 和 都发生后停止， 此时所进行的试验次数记为 Z，则 P（Z＝k）＝p（1﹣p）k﹣1+（1﹣p）pk﹣1，k═2，3， …，那么 E（Z）＝（  ） A． B． C． D． 【分析】P（Z＝k）＝p（1﹣p）k﹣1+（1﹣p）pk﹣1，k═2，3，…，P（Y＝k）＝p（1﹣ p）k﹣1，k＝1，2，3，…，可得 ．于是 P（Y＝k）＝p（1﹣p）k﹣1，k＝2，3，… ， ﹣p．而 E（Z）＝2p（1﹣p）+2（1﹣p）p+3p（1﹣p）2+3（1﹣p）p2+……+kp （1﹣p）k﹣1+k（1﹣p）pk﹣1+…．＝ ﹣p+2（1﹣p）p+3（1﹣p）p2+……+k（1﹣p）pk ﹣1+…．设 Ak＝2p+3p2+……+kpk﹣1．利用错位相减法即可得出 Ak． 解：P（Z＝k）＝p（1﹣p）k﹣1+（1﹣p）pk﹣1，k═2，3，…，P（Y＝k）＝p（1﹣p）k﹣ 1，k＝1，2，3，…，可得 ． ∴P（Y＝k）＝p（1﹣p）k﹣1，k＝2，3，…， ﹣p． 那么 E（Z）＝2p（1﹣p）+2（1﹣p）p+3p（1﹣p）2+3（1﹣p）p2+……+kp（1﹣p）k﹣1+k （1﹣p）pk﹣1+… ＝ ﹣p+2（1﹣p）p+3（1﹣p）p2+……+k（1﹣p）pk﹣1+…． 设 Ak＝2p+3p2+……+kpk﹣1． pAk＝2p2+3p3+……+（k﹣1）pk﹣1+kpk． ∴（1﹣p）Ak＝2p+p2+p3+……+pk﹣1﹣kpk＝p+ ﹣kpk． ∴k→+∞时，（1﹣p）Ak→p+ ． ∴E（Z）＝ ﹣p+p+ ＝ ﹣1． 故选：A． 11．已知双曲线 ）的左右焦点分别为 F1，F2，F1 的直线 l 与 双曲线 C 的两支分别交于 A，B 两点，∠AF2B＝90，|AB|＝4a，则双曲线 C 的离心率为 （  ） A． B． C．2 D． 【分析】作出示意图，根据双曲线定义可转化得到 BF2＝AF2，结合∠AF2B＝90，|AB|＝ 4a，可求出 BF2＝AF2＝2 a，则 BF1＝（2 ﹣2）a，利用余弦定理表示出 a2 与 c2 的 关系，进而可得到 e 的值． 解：不妨设 A 在 B 的右侧，作出示意图如图： 根据双曲线的定义：AF1﹣AF2＝2a，BF2﹣BF1＝2a，则 BF2＝BF1+2a， 且有 AF1＝AB+BF1＝4a+BF1，代入可得 AF2＝2a+BF1，则 BF2＝AF2， 因为∠AF2B＝90，则∠ABF2＝∠BAF2＝45°，且 AB2＝AF22+BF22， 则 BF2＝AF2＝2 a，则 BF1＝（2 ﹣2）a， 在△BF1F2 中，∠BF1F2＝135°，则 cos135°＝ ，即﹣ ＝ ， 整理可得 e2＝ ＝3，则 e＝ ， 故选：B． 12．已知 A，B，C，D 四点均在半径为 R（R 为常数）的球 O 的球面上运动，且 AB＝AC， AB⊥AC，AD⊥BC，若四面体 ABCD 的体积的最大值为 ，则球 O 的表面积为（  ） A． B．2π C． D． 【分析】由题意要使四面体的体积最大，则 D 在底面 ABC 的投影恰好为底面三角形外 接圆的圆心 N，则外接球的球心在 DN 上，求出三棱锥的体积，由均值不等式可得 R 的 值，进而求出外接球的表面积． 解：因为 AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥BC，作 AN⊥BC 于 N，则 N 为 BC 的中点，且 AN ＝ ， 若四面体 ABCD 的体积的最大值时，则 DN⊥面 ABC，则外接球的球心在 DN 上，设为 O ， 设外接球的半径为 R，连接 OA，则 OA＝OD＝R， VD﹣ABC＝ • BC•AN•DN＝ •2AN•AN•（R+ON）＝ AN2•（R+ON） ＝ （OA2﹣ON2）（R+ON）＝ （R+ON）（R﹣ON）（R+ON） ＝ （R+ON）（2R﹣2ON）（R+ON） ＝ •（ ）3， 当且仅当 2R﹣2ON＝R+ON，即 R＝3ON 时取等号， 因为三棱锥的最大体积为 ， 所以 •（ ）3＝ ，可得 R＝ ， 所以外接球的表面积为 S＝4πR2＝4 ＝ ， 故选：C． 二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知 均为单位向量，且 ，则向量 与 夹角的余弦值为    【 分 析 】 根 据 条 件 知 ， 然 后 根 据 即 可 得 出 ，然后进行数量积的运算即可求出 ，从而可求出 与 夹 角的余弦值． 解：∵ ， ， ∴ ＝ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 14．已知 的展开式中第 3 项与第 6 项的二项式系数相等，则展开式中 x 的系数为 560  【分析】利用二项式系数的性质求得 n＝7，再利用二项式展开式的通项公式令 x 的指数 为 1 求出人 r，可得结论． 解：由题意可得 ＝ ，求得 n＝7， 故展开式第 r+1 项为 Tr+1＝ •（﹣2）r•x ；r＝0，1…7； 令 7﹣ r＝1⇒r＝4， ∴展开式中 x 的系数为： •（﹣2）4＝560， 故答案为：560． 15．正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AB＝2， ，D 为棱 A1B1 的中点，则异面直线 AD 与 CB1 成角的大小为    【分析】可画出图形，根据条件可得出 ， ，然后根 据条件即可求出 ，并求出 ，从而根据向量夹角的余弦公式 求出 ，从而可得出异面直线 AD 与 CB1 成角的大小． 解：如图， ＝ ， ，且 ，侧棱和底面垂直， ∴ ＝ ＝ ， ， ∴ ，且 ， ∴ ， ∴异面直线 AD 与 CB1 成角的大小为 ． 故答案为： ． 16．已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+2）＝f（x），当 x∈[﹣1，1]时 f（x）＝e1﹣|x| ﹣2，则关于函数 f（x）有如下四个结论：①f（x）为偶函数；②f（x）的图象关于直 线 x＝2 对称；③方程 f（x）＝1﹣|x|有两个不等实根；④ 其中所有正 确结论的编号是 ①②  【分析】由题意判断 f（x）是周期的函数，且为偶函数，由此判断所给的命题是否正确 即可． 解：对于①，由题意知 f（x+2）＝f（x），所以 f（x）是周期为 2 的函数； 当 x∈[﹣1，1]时，f（x）＝e1﹣|x|﹣2，f（﹣x）＝e1﹣|﹣x|﹣2＝e1﹣|x|﹣2＝f（x）， 所以 f（x）为偶函数，①正确； 对于②，f（x）是偶函数，对称轴是 x＝0，又 f（x）是周期为 2 的函数， 所以 f（x）的图象关于直线 x＝2 对称，②正确； 对于③，方程 f（x）＝1﹣|x|化为 e1﹣|x|﹣2＝1﹣|x|， 设 t＝1﹣|x|，则方程化为 et＝2+t，t∈[0，1]； 由函数 y＝et 和 y＝2+t，t∈[0，1]的图象知，图象没有交点，方程无实数根，③错误； 对于④，f（x）是周期为 2 的函数，且为偶函数，在[0，1]上是单调减函数； 所以 f（ ）＝f（ ﹣8）＝f（﹣ ）＝f（ ）； 又 0＜ ＜ ＜1，所以 f（ ）＞f（ ）， 即 f（ ）＞f（ ），所以④错误． 综上知，正确的命题序号是①②． 故答案为：①②． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题： 共 60 分． 17．如图，在△ABC 中， ，点 D 在边 AB 上． （1）若：sin（C﹣A）＝1，求 sinA 的值； （2）若∠CDA＝90°，BD＝4DA，求 sin∠ACB 的值． 【分析】（1）由 A，C 的范围，结合 sin（C﹣A）＝1，所以 C﹣A＝ ，再利用 sinB＝ sin（A+C）结合二倍角公式即可求出 sinA＝ ； （2）设 DA＝x，则 BD＝4x，由 sinB＝ 得 BC＝3CD，由勾股定理求出 CD＝ x，进 而求出 AC＝ x，在△ABC 中，由正弦定理即可求得 sin∠ACB 得值． 解：（1）∵0＜A＜π，0＜C＜π， ∴﹣π＜C﹣A＜π，又∵sin（C﹣A）＝1， ∴C﹣A＝ ， ∴C＝A+ ， ∴sinB＝sin（A+C）＝sin（2A+ ）＝cos2A＝1﹣2sin2A＝ ， ∴sin2A＝ ，又 A∈（0，π）， ∴sinA＝ ； （2）设 DA＝x，则 BD＝4x， ∴∠CDA＝90°，sinB＝ ，∴ ，∴BC＝3CD， ∴BC2＝BD2+CD2，∴9CD2＝16x2+CD2，∴CD＝ x， ∴AC2＝AD2+CD2＝3x2，∴AC＝ x， 在△ABC 中，由正弦定理得： ， ∴ ， ∴sin∠ACB＝ ． 18．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥面 ABCD，AB∥CD，且 CD＝2AB＝2，BC＝2 ，M 为 BC 的中点． （1）求证：平面 PDM⊥平面 PAM； （2）若二面角 P﹣DM﹣A 为 30°，求直线 PC 与平面 PDM 所成角的正弦值． 【分析】（1）在直角梯形 ABCD 中，求解三角形可得 AD2＝AM2+DM2，则 DM⊥AM． 再由 PA⊥面 ABCD，得 DM⊥PA，利用线面垂直的判定可得 DM⊥平面 PAM，进一步 得到平面 PDM⊥平面 PAM； （2）由（1）知，PM⊥DM，AM⊥DM，则∠PMA 为二面角 P﹣DM﹣A 的平面角为 30 °，求得 PA＝AM•tan30°＝1．以 A 为坐标原点，分别以 AE，AB，AP 所在直线为 x， y，z 轴建立空间直角坐标系，求出 的坐标及平面 PDM 的一个法向量，由 与 所成 角的余弦值可得直线 PC 与平面 PDM 所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：在直角梯形 ABCD 中，由已知可得，AB＝1，CD＝2，BM＝CM＝ ， 可得 AM2＝3，DM2＝6， 过 A 作 AE⊥CD，垂足为 E，则 DE＝1，AE＝ ，求得 AD2＝9， 则 AD2＝AM2+DM2，∴DM⊥AM． ∵PA⊥面 ABCD，∴DM⊥PA， 又 PA∩AM＝A，∴DM⊥平面 PAM， ∵DM⊂平面 PDM，∴平面 PDM⊥平面 PAM； （2）解：由（1）知，PM⊥DM，AM⊥DM，则∠PMA 为二面角 P﹣DM﹣A 的平面角 为 30°， 则 PA＝AM•tan30°＝1． 以 A 为坐标原点，分别以 AE，AB，AP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 则 P（0，0，1），D（ ，﹣1，0），C（ ，1，0），M（ ，1，0）， ， ， ． 设平面 PDM 的一个法向量为 ， 由 ，取 x＝1，得 ＝（1， ， ）． ∴ 直 线 PC 与 平 面 PDM 所 成 角 的 正 弦 值 为 |cos ＜ ， ＞ | ＝ ＝ ． 19．新型冠状病毒肺炎 COVID﹣19 疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延．在全国人民的共 同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制．然而，每个国家 在疫情发生初期，由于认识不足和措施不到位，感染确诊人数都会出现加速增长．如表 是小王同学记录的某国从第一例新型冠状病毒感染确诊之日开始，连续 8 天每日新型冠 状病毒感染确诊的累计人数． 日期代码 x 1 2 3 4 5 6 7 8 累计确诊人 数 4 8 16 31 51 71 97 122 为了分析该国累计感染确诊人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型： ，② ＝dx+c 对变量 x 和 y 的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残 差图如下（注：残差 ， 且经过计算得 ≈17.3， ≈1.9，其中 zi＝x ， ＝ zi （1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由； （2）根据（1）中选定的模型求出相应的回归方程； （3）如果第 9 天该国仍未采取有效的防疫措施，试根据（2）中所求的回归方程估计该 国第 9 天新型冠状病毒感染确诊的累计人数．（结果保留为整数） 附 ： 回 归 直 线 的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为 ： ． 【分析】（1）根据残差点分布的区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高即可得解； （2）因为 zi＝x ，所以 ，然后结合数据和公式分别算出 ， ，即可 得到 y 关于 z 的回归方程，进而得到 y 关于 x 的回归方程； （3）把 x＝9 代入回归方程算出 即可得解． 解：（1）因为残差 ，所以残差点分布的区域的宽度越狭窄，其模型拟合的 精度越高，所以模型①的拟合效果更好． （2）因为 zi＝x 且 ，所以 ， 由表格中数据可知， ， ， 所以 ， ， 所以 ， 故所求的回归方程为 ． （3）当 x＝9 时，有 ， 故估计该国第 9 天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为 156 人． 20．已知函数 f（x）＝3x﹣（a+1）lnx，g（x）＝x2﹣ax+4． （1）若函数 y＝f（x）+g（x）在其定义域内单调递增，求实数 a 的取值范围； （2）是否存在实数 a，使得函数 y＝f（x）﹣g（x）的图象与 x 轴相切？若存在，求满 足条件的 a 的个数，请说明理由． 【分析】（1）根据导数和函数的单调性的关系，分离参数，即可求出 a 的取值范围； （2）函数 y＝f（x）﹣g（x）的图象与 x 轴相切，且存在 f（x）的极值等于 0，根据导 数和函数的极值的关系即可求出． 解：（1）y＝f（x）+g（x）＝3x﹣（a+1）lnx+x2﹣ax+4 在（0，+∞）上单调递增， ∴y′＝3﹣ +2x﹣a≥0，在（0，+∞）上恒成立， 即 a≤ ＝ ＝2（x+1）﹣ ﹣1， 易知 y＝2（x+1）﹣ ﹣1 在（0，+∞）上为增函数， ∴y＝2（x+1）﹣ ﹣1＞2﹣4﹣1＝﹣1， ∴a≤﹣1； （2）函数 y＝f（x）﹣g（x）＝3x﹣（a+1）lnx﹣x2+ax﹣4， 设 h（x）＝3x﹣（a+1）lnx﹣x2+ax﹣4，x＞0， ∴h′（x）＝3﹣ ﹣2x+a＝ ＝﹣ ＝﹣ ， 令 h′（x）＝0，解得 x＝ 或 x＝1， ①当 a+1≤0 时，即 a≤﹣1 时，当 x∈（0，1）时，h′（x）＞0，当 x∈（1，+∞）时， h′（x）＜0， ∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， ∴h（x）max＝h（1）＝a﹣2＝0，解得 a＝2（舍去）， ②当 a＞﹣1 时，h′（x）＝0，即极值点为 x＝ 或 x＝1， ∵函数 y＝f（x）﹣g（x）的图象与 x 轴相切， ∴h（ ）＝0 或 h（1）＝0， 当 h（1）＝0 时，h（1）＝a﹣2＝0，解得 a＝2， 当 h（ ）＝0 时，可得 ﹣（a+1）ln（ ）﹣（ ）2+a× ﹣4＝0， 设 ＝t，则 t＞0， 则 3t﹣2tlnt﹣t2+（2t﹣1）t﹣4＝0， 即 t2+2t﹣2tlnt﹣4＝0， 设 φ（t）＝t2+2t﹣2tlnt﹣4，t＞0， ∴φ′（t）＝2t+2﹣2（1+lnt）＝2（t﹣lnt）， 再令 m（t）＝t﹣lnt，t＞0， ∴m′（t）＝1﹣ ＝ ， 当 0＜t＜1 时，m′（t）＜0，函数 m（t）单调递减， 当 t＞1 时，m′（t）＞0，函数 m（t）单调递增， ∴m（t）≥m（1）＝0， ∴φ′（t）≥0， ∴φ（t）在（0，+∞）上单调递增， ∵φ（1）＝﹣1＜0，φ（2）＝4﹣4ln2＞0， ∴存在 t0∈（1，2），使得 φ（t0）＝0， 即 ∈（1，2），即 a∈（1，3）， 综上所述存在实数一个实数 a∈（1，3），得使得函数 y＝f（x）﹣g（x）的图象与 x 轴 相切． 21．已知椭圆Γ ＞0）的离心率为 ，过椭圆Γ的焦点且垂直于 x 轴 的直线被椭圆Γ截得的弦长为 ． （1）求椭圆Γ的方程； （2）设点 A，B 均在椭圆Γ上，点 C 在抛物线 上，若△ABC 的重心为坐标原点 O，且△ABC 的面积为 ，求点 C 的坐标． 【分析】（1）运用离心率公式和垂直于 x 轴的弦长公式，以及 a，b，c 的关系解方程可 得 a，b，进而得到所求椭圆方程； （2）设 AB：x＝my+t，联立椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式、三角形的重心 坐标，可得 C 的坐标，代入抛物线方程，结合三角形的面积公式，计算可得 C 的坐标． 解：（1）根据题意得 ，又因为 b2＝a2﹣c2，解得 a2＝2，则 b2＝1， 所以椭圆Γ的方程为： ； （2）设 AB：x＝my+t，联立椭圆方程 x2+2y2＝2，可得（2+m2）y2+2mty+t2﹣2＝0， △＝4m2t2﹣4（2+m2）（t2﹣2）＝8（m2﹣t2+2）＞0①设 A（x1，y1），B（x2，y2），y1+y2 ＝﹣ ， 可得 yC＝﹣（y1+y2）＝ ，xC＝﹣（x1+x2）＝﹣[m（y1+y2）+2t]＝﹣ ， 由 C 在抛物线 y2＝ x 上，可得（ ）2＝ •（﹣ ），则 m2＝﹣ ②（t＜﹣ ）， 由 S△ABO＝ |OA|•|OB|•sin∠AOB＝ ＝ ＝ |x1y2﹣x2y1|， 则 S△ABC＝3S△ABO＝ |x1y2﹣x2y1|＝ |（my1+t）y2﹣（my2+t）y1|＝ |t（y1+y2）|＝ | |＝ ， 可得| |＝ ③，将②代入③整理可得[t（2t+1）]2﹣4t（2t+1）+3＝0， 解得 t＝﹣1 或﹣ ，相应的 m2＝2 或 1． 所以 C（1，± ），或 C（2，±1）． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的 第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知 直线 l 的极坐标方程为 ，曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ＝cosθ． （1）写出直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程； （2）过动点．P（x0，y0）（y02＜x0）且平行于 l 的直线交曲线 C 于 A，B 两点，若|PA| •|PB|＝2，求动点 P 到直线 I 的最近距离． 【分析】（1）运用极坐标和直角坐标的关系，以及两角查的正弦公式，化简可得所求直 角坐标方程； （2）设出过 P 且平行于 l 的直线的参数方程，代入抛物线方程，化简整理，运用韦达定 理和参数的几何意义，运用点到直线的距离公式和二次函数的最值求法，可得所求最值． 解：（1）直线 l 的极坐标方程为 ，即为 （ρsinθ﹣ρcosθ）＝ ， 即 ρsinθ﹣ρcosθ＝2，可得 y﹣x＝2，即 x﹣y+2＝0； 曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ＝cosθ，即为 ρ2sin2θ＝ρcosθ， 可得 y2＝x； （2）设 P（x0，y0）（y02＜x0）且平行于 l 的直线的参数方程设为 （t 为 参数）， 代入抛物线方程 y2＝x，可得 t2+t（ y0﹣ ）+y02﹣x0＝0， 设 PA，PB 对应的参数分别为 t1，t2，可得 t1t2＝2（y02﹣x0）， 又|PA|•|PB|＝2，即有|y02﹣x0|＝1， 由 y02＜x0，可得 y02＝x0﹣1，即 x0＝1+y02， P 到直线 l：x﹣y+2＝0 的距离 d＝ ＝ ＝ [（y0﹣ ）2+ ]， 当 y0＝ ，x0＝ 时，动点 P 到直线 l 的最近距离为 ． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）＝|x+1|+|x﹣1|﹣2|x﹣2|． （1）若关于 x 的不等式 f（x）≤a 有解，求实数 a 的取值范围； （2）若不等式 f（x）≤|x﹣b|﹣4 对任意 x∈R 成立，求实数 b 的取值范围． 【分析】（1）绝对值，化为分段函数，求出函数的值域，即可求出 a 的范围， （2）画出相对应的函数的图象，结合图象可得 b 的取值范围． 解：（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣1|﹣2|x﹣2|＝ ， ∴f（x）的值域为[﹣4，4]， ∵关于 x 的不等式 f（x）≤a 有解， ∴a≥﹣4， （2）y＝f（x）与 y＝|x﹣b|﹣4 对的图象如图所示： 由图象知，要使 f（x）≤|x﹣b|﹣4 对任意 x∈R 成立， 只需要 f（2）≤|2﹣b|﹣4，且 b＜0 解得 b≤﹣6， 故 b 得取值范围为（﹣∞，﹣6]．