2020年福建省、广东省高考（文科）数学（4月份）模拟试卷（Word版含解析）

2020 年高考（文科）数学（4 月份）模拟试卷 一、选择题（共 12 小题）. 1．已知集合 A＝{x|x2﹣9≤0}，B＝{x|x＜1}，则 A∩B＝（  ） A．（﹣3，1） B．[﹣3，1） C．[﹣3，+∞） D．（1，3] 2．已知复数 z＝ ，则 ＝（  ） A．﹣i B．i C．1+i D．1﹣i 3．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，A＝ ，B＝ ，c＝3 ，则 a＝ （  ） A． B．2 C．3 D．4 4．已知 a＝log89，b＝0.57，c＝log0.810，则（  ） A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a 5．学校为了调查学生在课外读物方面的支出（单位：元）情况，抽取了一个容量为 n 的样 本，并将得到的数据分成[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]四组，绘制成如 图所示的频率分布直方图，其中支出在[40，50]的同学有 24 人，则 n＝（  ） A．80 B．60 C．100 D．50 6．已知双曲线 与抛物线 有相同的焦点 F，点 F 到双曲线 E 的一条渐近线的距离为 2，则 E 的离心率为（  ） A．2 B． C． D． 7．若 cos（25°+α）＝ ，则 sin（40°﹣2α）＝（  ） A．﹣ B． C． D．﹣ 8．十二生肖是十二地支的形象化代表，即子（鼠）、丑（牛）、寅（虎）、卯（兔）、辰 （龙）、巳（蛇）、午（马）、未（羊）、申（猴）、酉（鸡）、戌（狗）、亥（猪）， 每一个人的出生年份对应了十二种动物中的一种，即自己的属相．现有印着六种不同生 肖图案（包含马、羊）的毛绒娃娃各一个，小张同学的属相为马，小李同学的属相为羊， 现在这两位同学从这六个毛绒娃娃中各随机取一个（不放回），则这两位同学都拿到自 己属相的毛绒娃娃的概率是（  ） A． B． C． D． 9．圆 C：x2+y2﹣2x﹣4y+3＝0 被直线 l：ax+y﹣1﹣a＝0 截得的弦长的最小值为（  ） A．1 B．2 C． D． 10．将函数 f（x）＝sin（3x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移 个单位长度后得到函数 g （x）的图象，若直线 x＝ 是 g（x）的图象的一条对称轴，则（  ） A．f（x）为奇函数 B．g（x）为偶函数 C．f（x）在[ ， ]上单调递减 D．g（x）在[﹣ ， ]上单调递增 11．已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等，且它们的表面积也相等，圆锥的底 面积是圆锥侧面积的一半，则此圆锥与圆柱的体积之比为（  ） A．8：5 B．4：5 C．2 ：5 D．4：11 12．已知函数 ，g（x）+f（3﹣x）＝6，则函数 y＝f（x）﹣g（x） 的零点个数为（  ） A．0 B．4 C．3 D．2 二、填空题 13．已知向量 ，若 ，则 m＝   ． 14．已知实数 x，y 满足 ，则 z＝x﹣2y 的最小值是   ． 15．已知函数 f（x）是奇函数，当 x＞0 时，f（x）＝xex+1，则 f（x）的图象在点（﹣1，f （﹣1））处的切线斜率为   ． 16．在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中， ，D 为 AB 的中点，则异面直线 B1D 与 A1C1 所成角的余弦值为   ；三棱锥 D﹣A1B1C1 的外接球的表面积为   ． 三、解答题：共 5 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说眀、证明过程或演算步骤.17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一） 必考题：共 60 分. 17．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 ． （1）求{an}的通项公式； （2）设 ，数列{cn}的前 n 项和为 Tn，证明： ． 18．每个国家对退休年龄都有不一样的规定，从 2018 年开始我国关于延迟退休的话题一直 在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取 100 人进 行调查，调查情况如表： 年龄段（单位：岁） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75） 被调查的人数 10 15 20 m 25 5 赞成的人数 6 12 n 12 6 2 （1）从赞成“延迟退休”的人中任选 1 人，此人年龄在[35，45）的概率为 ，求出表 格中 m，n 的值； （2）在被调查的人中，年龄低于 35 岁的人可以认为“低龄人”，年龄不低于35 岁的人 可以认为“非低龄人”，试作出是否赞成“延迟退休”与“低龄与否”的 2×2 列联表， 并指出有无 99%的把握认为是否赞成“延迟退休”与“低龄与否”有关，并说明理由． 附：K2＝ ，n＝a+b+c+d． P（K2＞k0） 0.100 0.050 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 19．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平 面 PAD⊥底面 ABCD，Q 为 AD 的中点，M 是棱 PC 的中点，PA＝PD＝4，BC＝ AD＝ 2，CD＝ ． （1）证明：平面 BQM⊥平面 PAD． （2）求四面体 P﹣BQM 的体积． 20．已知椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的长轴长为 2 ，右焦点与抛物线 y2＝8x 的焦 点重合． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若点 P（3，0）关于直线 l：y＝kx+m 的对称点 Q 在 C 上，求 m 的取值范围． 21．已知函数 f（x）＝（mx﹣m﹣1）lnx+x﹣ ． （1）当 m＝0 时，求 f（x）的最值； （2）当 m＞0 时，若 f（x）的两个零点分别为 x1，x2（x1＜x2），证明 x2﹣x1＜e﹣ ． （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分.[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 ，（t 为参数），以坐标原点为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 ， 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为 ． （1）写出曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的直角坐标方程； （2）若射线 与曲线 C2 相交于点 A，将 OA 逆时针 旋转 90°后，与曲线 C1 相交于点 B，且|OB|＝2 |OA|，求 a 的值． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）＝|x+2|+|2x﹣3|． （1）求不等式 f（x）＞6 的解集； （2）若函数 f（x）的最小值为 m，正实数 a，b 满足 a2+ ＝m，证明： ． 参考答案 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1．已知集合 A＝{x|x2﹣9≤0}，B＝{x|x＜1}，则 A∩B＝（  ） A．（﹣3，1） B．[﹣3，1） C．[﹣3，+∞） D．（1，3] 【分析】可以求出集合 A，然后进行交集的运算即可． 解：∵A＝{x|﹣3≤x≤3}，B＝{x|x＜1}， ∴A∩B＝[﹣3，1）． 故选：B． 2．已知复数 z＝ ，则 ＝（  ） A．﹣i B．i C．1+i D．1﹣i 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 解：∵z＝ ＝ ， ∴ ． 故选：A． 3．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，A＝ ，B＝ ，c＝3 ，则 a＝ （  ） A． B．2 C．3 D．4 【分析】由已知可求 C，然后结合正弦定理即可求解． 解：∵A＝ ，B＝ ， ∴C＝ ， ∵c＝3 ， 由正弦定理可得， ， 则 a＝ ＝ ＝3 ． 故选：C． 4．已知 a＝log89，b＝0.57，c＝log0.810，则（  ） A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 解：因为 log89＞log88＝1，0＜0.57＜0.50＝1，log0.810＜log0.81＝0， 所以 c＜b＜a． 故选：D． 5．学校为了调查学生在课外读物方面的支出（单位：元）情况，抽取了一个容量为 n 的样 本，并将得到的数据分成[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]四组，绘制成如 图所示的频率分布直方图，其中支出在[40，50]的同学有 24 人，则 n＝（  ） A．80 B．60 C．100 D．50 【分析】根据频率直方图求出[40，50]的频率，然后求出总人数． 解：本题考查频率分布直方图，考查数据处理能力． 由频率分布直方图可得，支出在[40，50]的频率为 1﹣（0.01+0.024+0.036）×10＝0.3． 根据题意得 ，解得 n＝80． 故选：A． 6．已知双曲线 与抛物线 有相同的焦点 F，点 F 到双曲线 E 的一条渐近线的距离为 2，则 E 的离心率为（  ） A．2 B． C． D． 【分析】根据条件可知焦点坐标为（﹣4，0），得到 c，结合焦点到渐近线距离得到 b， 从而求出 a，得到 e 的值 解：由题意知抛物线 C：y2＝﹣16x 的焦点为 F（﹣4，0），所以 c＝4． 又因为点 F 到双曲线 E 的一条渐近线的距离为 2，所以 b＝2， 从而 ， ． 故选：D． 7．若 cos（25°+α）＝ ，则 sin（40°﹣2α）＝（  ） A．﹣ B． C． D．﹣ 【分析】由 cos（25°+α）求出 cos（50°+2α）的值，再用诱导公式求出 sin（40°﹣2α ）的值． 解：由 cos（25°+α）＝ ， 所以 cos（50°+2α）＝2cos2（25°+α）﹣1＝2× ﹣1＝﹣ ， 所以 sin（40°﹣2α）＝cos[90°﹣（40°﹣2α）]＝cos（50°+2α）＝﹣ ． 故选：A． 8．十二生肖是十二地支的形象化代表，即子（鼠）、丑（牛）、寅（虎）、卯（兔）、辰 （龙）、巳（蛇）、午（马）、未（羊）、申（猴）、酉（鸡）、戌（狗）、亥（猪）， 每一个人的出生年份对应了十二种动物中的一种，即自己的属相．现有印着六种不同生 肖图案（包含马、羊）的毛绒娃娃各一个，小张同学的属相为马，小李同学的属相为羊， 现在这两位同学从这六个毛绒娃娃中各随机取一个（不放回），则这两位同学都拿到自 己属相的毛绒娃娃的概率是（  ） A． B． C． D． 【分析】先求出这两位同学从这六个毛绒娃娃中各随机取一个（不放回），共有多少种 可能，再结合这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃只有一种情况，利用古典概型的概 率公式即可求出这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃的概率． 解：这两位同学从这六个毛绒娃娃中各随机取一个（不放回），共有 30 种可能， 而这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃只有一种情况， 所以这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃的概率是 ， 故选：B． 9．圆 C：x2+y2﹣2x﹣4y+3＝0 被直线 l：ax+y﹣1﹣a＝0 截得的弦长的最小值为（  ） A．1 B．2 C． D． 【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，再求出直线 l 所过定点，求出圆心到定点的 距离，利用垂径定理求最小弦长． 解：由 x2+y2﹣2x﹣4y+3＝0，得（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2， 则圆心坐标为 C（1，2），半径为 ． 直线 ax+y﹣1﹣a＝0 即 a（x﹣1）+y﹣1＝0，过定点 P（1，1）， 当过圆心与定点的直线与直线 l 垂直时，弦长最短， 此时|CP|＝ ，则弦长为 ． 故选：B． 10．将函数 f（x）＝sin（3x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移 个单位长度后得到函数 g （x）的图象，若直线 x＝ 是 g（x）的图象的一条对称轴，则（  ） A．f（x）为奇函数 B．g（x）为偶函数 C．f（x）在[ ， ]上单调递减 D．g（x）在[﹣ ， ]上单调递增 【分析】直接利用三角函数关系式的平移变换的应用和三角函数关系式的恒等变换和正 弦型函数的性质的应用求出结果． 解：函数 f（x）＝sin（3x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移 个单位长度后得到函数 g （x）＝sin（3x+ +φ）的图象， 由于直线 x＝ 是 g（x）的图象的一条对称轴， 故 φ＝ （k∈Z），整理得 φ＝ （k∈Z）， 当 k＝1 时，φ＝ ， 所以 f（x）＝sin（3x+ ）． g（x）＝sin（3x+π）＝﹣sin3x． 故选项 A、B 错误． 对 于 选 项 C ： （ k∈Z ） ， 解 得 ： （k∈Z）， 当 k＝0 时，函数的单调递减区间为[ ]， 由于[ ， ]⊂[ ]，故选项 C 正确． 对于选项 D：令 （k∈Z）， 当 k＝0 时，函数的单调增区间为：[ ]，故选项 D 错误． 故选：C． 11．已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等，且它们的表面积也相等，圆锥的底 面积是圆锥侧面积的一半，则此圆锥与圆柱的体积之比为（  ） A．8：5 B．4：5 C．2 ：5 D．4：11 【分析】设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，求出 l＝2r，圆锥的高 h＝ ，从而圆锥 的体积 V＝ ＝ ．由题意知圆柱的底面半径为 ，设圆柱的高为 h ′ ， 由 圆 锥 和 圆 柱 的 表 面 积 相 等 ， 解 得 h ′ ＝ ， 求 出 圆 柱 体 积 V ′ ＝ ，由此能求出此圆锥与圆柱的体积之比． 解：设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l， 则 πr2＝ ，解得 l＝2r， ∴圆锥的高 h＝ ， 圆锥的体积 V＝ ＝ ． 由题意知圆柱的底面半径为 ，设圆柱的高为 h′， ∵圆锥和圆柱的表面积相等，∴3πr2＝2π（ ）2+2π（ ）h′，解得 h′＝ ， ∴圆柱体积 V′＝ ， ∴此圆锥与圆柱的体积之比为： ＝ ． 故选：A． 12．已知函数 ，g（x）+f（3﹣x）＝6，则函数 y＝f（x）﹣g（x） 的零点个数为（  ） A．0 B．4 C．3 D．2 【分析】判断函数的性质，画出函数的图象，利用数形结合，求解即可． 解：由 g（x）＝6﹣f（3﹣x），知 y＝f（x）﹣g（x）＝f（x）+f（3﹣x）﹣6． 令 F（x）＝f（x）+f（3﹣x），则 F（3﹣x）＝f（3﹣x）+f（x）， 所以 F（3﹣x）＝F（x），即 F（x）的图象关于直线 对称． 当 时，F（x）＝f（x）+f（3﹣x）＝3﹣x+3﹣（3﹣x）＝3； 当 x＜0 时， ． 作出 F（x）的图象可知，函数 F（x）＝6 有 2 个零点． 故选：D． 二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．已知向量 ，若 ，则 m＝   ． 【分析】依题意，2m+2（m﹣3）＝0，由此解得 ． 解：因为 ，所以 2m+2（m﹣3）＝0，即 ． 故答案为： ． 14．已知实数 x，y 满足 ，则 z＝x﹣2y 的最小值是 ﹣1 ． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最小值． 解：画出不等式足 ，表示的平面区域， ⇒B（3，2） 可知当直线 z＝x﹣2y 经过可行域内的点 B（3，2）时，z＝x﹣2y 有最小值，最小值为﹣ 1． 故答案为：﹣1． 15．已知函数 f（x）是奇函数，当 x＞0 时，f（x）＝xex+1，则 f（x）的图象在点（﹣1，f （﹣1））处的切线斜率为 2e ． 【分析】根据条件求出 f（x）在 x＜0 时的解析式，然后求出其导数，再求出 f（x）的 图象在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率 f'（﹣1）． 解：∵函数 f（x）是奇函数，当 x＞0 时，f（x）＝xex+1， ∴当 x＜0 时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＝﹣xe﹣x+1， ∴f（x）＝xe﹣x﹣1，∴f'（x）＝（1﹣x）e﹣x， ∴f（x）的图象在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率为 k＝f'（﹣1）＝2e． 故答案为：2e． 16．在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中， ，D 为 AB 的中点，则异面直线 B1D 与 A1C1 所成角的余弦值为   ；三棱锥 D﹣A1B1C1 的外接球的表面积为    ． 【分析】可取 A1B1 的中点 E，结合题意 AE∥B1D，AC∥A1C1，可得∠EAC 即异面直线 B1D 与 A1C 所成角或其补角，然后解三角形可求； 先根据球的性质定出球心，然后结合球的截面性质求解半径，即可求解表面积． 解：如图，取 A1B1 的中点 E，连接 AE，EC． 因为 AE∥B1D，AC∥A1C1， 所以∠EAC 即异面直线 B1D 与 A1C 所成角或其补角． 因为 AB＝4， ， 所以 ， ， 所以 ． 记△A1B1C1，△A1B1D 的外心分别为 O1，O2，过 O1，O2 分别作平面 A1B1C1、平面 A1B1D 的垂线， 则两条垂线的交点 O 即三棱锥 D﹣A1B1C1 的外接球的球心． 因 为 ， 所 以 △ A1B1D 的 外 接 圆 半 径 ， △A1B1C1 的外接圆半径 ， 所以三棱锥 D﹣A1B1C1 的外接球的半径 ， 三棱锥 D﹣A1B1C1 的外接球的表面积为 ． 故答案为： ； 三、解答题：共 5 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说眀、证明过程或演算步骤.17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一） 必考题：共 60 分. 17．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 ． （1）求{an}的通项公式； （2）设 ，数列{cn}的前 n 项和为 Tn，证明： ． 【分析】（1）求出首项，通过说明数列{an}是以 2 为首项，4 为公比的等比数列，求解 通项公式． （2）化简 bn＝log2an＝2n﹣1，cn，通过裂项消项法，求出数列{cn}的前 n 项和为 Tn，然 后证明不等式即可． 【解答】（1）解：由 ，得 a1＝2， 因为 ， ， 所以 ，化简得 an＝4an﹣1， 即数列{an}是以 2 为首项，4 为公比的等比数列， 所以 ． （2）证明：因为 bn＝log2an＝2n﹣1， 所以 ， 则 ． 因为 n∈N*，所以当 n＝1 时，Tn 取得最小值 ，当 n 接近无限大时，Tn 趋于 ， 故 ． 18．每个国家对退休年龄都有不一样的规定，从 2018 年开始我国关于延迟退休的话题一直 在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取 100 人进 行调查，调查情况如表： 年龄段（单位：岁） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75） 被调查的人数 10 15 20 m 25 5 赞成的人数 6 12 n 12 6 2 （1）从赞成“延迟退休”的人中任选 1 人，此人年龄在[35，45）的概率为 ，求出表 格中 m，n 的值； （2）在被调查的人中，年龄低于 35 岁的人可以认为“低龄人”，年龄不低于35 岁的人 可以认为“非低龄人”，试作出是否赞成“延迟退休”与“低龄与否”的 2×2 列联表， 并指出有无 99%的把握认为是否赞成“延迟退休”与“低龄与否”有关，并说明理由． 附：K2＝ ，n＝a+b+c+d． P（K2＞k0） 0.100 0.050 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 【分析】根据题意求出参数，然后列表，代入判断是否独立． 解：（1）因为总共抽取 100 人进行调查，所以 m＝100﹣10﹣15﹣20﹣25﹣5＝25． 因为从赞成“延迟退休”的人中任选 1 人，此人年龄在[35，45）的概率 ， 所以 n＝10． （2）是否赞成“延迟退休”与“低龄与否”的 2×2 列联表如下： 赞成“延迟退休” 不赞成“延迟退休” 总计 低龄人 18 7 25 非低龄人 30 45 75 总计 48 52 100 ，所以有 99%的把握认为是否赞 成“延迟退休”与“低龄与否”有关． 19．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平 面 PAD⊥底面 ABCD，Q 为 AD 的中点，M 是棱 PC 的中点，PA＝PD＝4，BC＝ AD＝ 2，CD＝ ． （1）证明：平面 BQM⊥平面 PAD． （2）求四面体 P﹣BQM 的体积． 【分析】（1）推导出四边形 BCDQ 为平行四边形，CD∥BQ．BQ⊥AD．由此能证明平 面 BQM⊥平面 PAD． （2）由 VP﹣BQM＝VC﹣BQM， ．能求出四面体 P﹣BQM 的体积 ． 解：（1）证明：∵ ，Q 为 AD 的中点， ∴四边形 BCDQ 为平行四边形，∴CD∥BQ． ∵∠ADC＝90°，∴∠AQB＝90°，即 BQ⊥AD． 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD，且平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，BQ⊂平面 ABCD， ∴BQ⊥平面 PAD．∵BQ⊂平面 BQM， ∴平面 BQM⊥平面 PAD． （2）解：∵VP﹣BQM＝VC﹣BQM，∴ ． 由（1）可知四边形 BCDQ 为矩形，∴ ． ∵PA＝PD，Q 为 AD 的中点，∴PQ⊥AD． ∵平面 PAD⊥平面 ABCD，且平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， ∴PQ⊥平面 ABCD． 在 Rt△PDQ 中， ， ∴ ． 20．已知椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的长轴长为 2 ，右焦点与抛物线 y2＝8x 的焦 点重合． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若点 P（3，0）关于直线 l：y＝kx+m 的对称点 Q 在 C 上，求 m 的取值范围． 【分析】（1）根据题意可得焦点（2，0），即 c＝2，则可得 a＝ ，所以 b2＝a2﹣c2＝ 2，即可表示出椭圆方程； （2）由题意，设点 Q（x0，y0）（y0≠0），点 P（3，0）关于直线 l 的对称点为 P，得 出直线 l 的方程为 y﹣ ＝﹣ （x﹣ ），令 x＝0 得 y＝ ＝m， 利用点 Q 在椭圆，得 m＝﹣（y0+ ），利用基本不等式可得出 m 的取值范围． 解：（1）由抛物线的方程可得抛物线的焦点坐标为（2，0）， 所以由题意可得椭圆的右焦点（2，0），即 c＝2，2a＝2 ，即 a＝ ，b2＝a2﹣c2＝6 ﹣4＝2， 所以椭圆的标准方程为： + ＝1； （2）由题意，设点 Q（x0，y0）（y0≠0），由点 P（3，0）关于直线 l 的对称点为 Q， 则线段 PQ 的中点 D 的坐标为（ ， ）∈l 且 l⊥PQ， 又直线 PQ 的斜率 ， 故直线 l 的斜率 kl＝﹣ ＝﹣ ， 又过点 D（ ， ）， 所以直线 l 的方程为：y﹣ ＝﹣ （x﹣ ）， 令 x＝0，得 y＝ ＝m， 由 ，得 x02＝6﹣3y02， 则 m＝﹣（y0+ ），y0∈[﹣ ， ]，y0≠0 又|y0|+ ≥2 ＝ ，当且仅当 y0＝± ∈[﹣ ， ]时等号成 立， 所以 m 的取值范围为 m≤﹣ 或 m≥ ． 21．已知函数 f（x）＝（mx﹣m﹣1）lnx+x﹣ ． （1）当 m＝0 时，求 f（x）的最值； （2）当 m＞0 时，若 f（x）的两个零点分别为 x1，x2（x1＜x2），证明 x2﹣x1＜e﹣ ． 【分析】（1）把 m＝0 代入，对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的最 小值； （2）结合导数与单调性的关系及函数的性质及零点判定定理可证． 解：（1）m＝0，f（x）＝﹣lnx+x﹣ ，x＞0，f′（x）＝ ， 当 x＞1 时，f′（x）＞0，函数单调递增，当 0＜x＜1 时，f′（x）＜0，函数单调递减 ， 故当 x＝1 时，函数取得最小值 f（1）＝1﹣ ； （2）∵ ， 因为 m＞0 时，f′（x）单调递增且 f′（1）＝0， 所以 0＜x＜1 时，f′（x）＜0，函数单调递减，当 x＞1 时，f′（x）＞0，函数单调递 增， 故当 x＝1 时，函数取得最小值 f（1）＝1﹣ ＜0， 又 f（ ）＝﹣m（ ）+1﹣ ＝ ＞0， 所以 f（x）在（ ）上存在一个零点， 因此 ． （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分.[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 ，（t 为参数），以坐标原点为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 ， 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为 ． （1）写出曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的直角坐标方程； （2）若射线 与曲线 C2 相交于点 A，将 OA 逆时针 旋转 90°后，与曲线 C1 相交于点 B，且|OB|＝2 |OA|，求 a 的值． 【分析】（1）由曲线 C1 的参数方程为 ，（t 为参数），消去参数 t 可得其直角 坐 标 方 程 ， 由 ， 代 入 得 曲 线 C1 的 极 坐 标 方 程 . ，由 ，得曲线 C2 的直角坐标方程． （2）将 θ＝α（ρ＞0）代入 ，得 ρA．将 OA 逆时针旋转 90° ，得 OB 的极坐标方程为 ，可得 ρB．由 ，化简即 可得出． 解：（1）由曲线 C1 的参数方程为 ，（t 为参数），可得其直角坐标方程 x2＝4y ， 由 ， 得 曲 线 C1 的 极 坐 标 方 程 ρcos2θ ＝ 4sinθ. ， 由 ，得曲线 C2 的直角坐标方程 ． （2）将 θ＝α（ρ＞0）代入 ， 得 ． 将 OA 逆时针旋转 90°，得 OB 的极坐标方程为 ， 所以 ． 由 ， 得 ， ． 即 ，解得 ． 因为 ，所以 ． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）＝|x+2|+|2x﹣3|． （1）求不等式 f（x）＞6 的解集； （2）若函数 f（x）的最小值为 m，正实数 a，b 满足 a2+ ＝m，证明： ． 【分析】（1）将函数 f（x）化为分段函数的形式，再分类讨论解不等式组，最后将各部 分的解集取并集即可得到答案； （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ， 而 ， 又 ，再利用基 本不等式可得 ， ，继而得到 ，由此得证． 解：（1）f（x）＝|x+2|+|2x﹣3|＝ ． 即 ，或 ，或 解得 或 x＜﹣1， 所以原不等式的解集为 ． （2）证明：由（1）知当 时，f（x）有最小值 ， 所以 ， ． 因为 ， 所以 ， 因为 ， ，当且仅当 b＝3a 时取等号， 所以 ，当且仅当 b＝3a 时取等号， 所以 ，当且仅当 ， 时取等号．