2020 年高考（理科）数学一模试卷
一、选择题.
1．已知集合 A＝{1，3，5}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4，5}，则（A∩B）∪C＝（ ）
A．{1，2，3，5} B．{1，2，3，4} C．{2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}
2．已知复数 （i 为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量 ＝（2，﹣4）， ＝（k，3），且 与 的夹角为 135°，则 k＝（ ）
A．﹣9 B．1 C．﹣9 或 1 D．﹣1 或 9
4．已知双曲线 C 的一条渐近线的倾斜角为 θ，且
，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．4
5．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测
验（指标值满分为 5 分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指
标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）
A．乙的数据分析素养优于甲
B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养
C．甲的六大素养整体水平优于乙
D．甲的六大素养中数据分析最差
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B．16π+4 C． D．
7．若函数 f（x）＝x3﹣mx2+2x（m∈R）在 x＝1 处有极值，则 f（x）在区间[0，2]上的最
大值为（ ）
A． B．2 C．1 D．3
8．将函数 f（x）＝2sin（3x+φ）（0＜φ＜π）图象向右平移 个单位长度后，得到函数的
图象关于直线 x＝ 对称，则函数 f（x）在 上的值域是（ ）
A．[﹣1，2] B．[ ，2] C． D．
9．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内
容是：每个大于 2 的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：4＝2+2，6＝3+3，8＝3+5
，那么在不超过 18 的素数中随机选取两个不同的数，其和等于 16 的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：
我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
11．已知三棱锥 D﹣ABC 的体积为 2，△ABC 是边长为 2 的等边三角形，且三棱锥 D﹣ABC
的外接球的球心 O 恰好是 CD 的中点，则球 O 的表面积为（ ）
A． B． C． D．24π
12．已知函数 若所有点（s，f（t））（s，t∈D）
所构成的平面区域面积为 e2﹣1，则 a＝（ ）
A．e B． C．1 D．
二、填空题
13．若 ，则 cos2α＝
14．x﹣3（x+2）6 的展开式中的常数项为
15．已知 F 为抛物线 C：x2＝8y 的焦点，P 为 C 上一点，M（﹣4，3），则△PMF 周长的
最小值是 ．
16．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2bcosB＝acosC+ccosA，若△ABC
外接圆的半径为 ，则△ABC 面积的最大值是 ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题
：共 60 分．
17．已知公比为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn．且 ．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．
18．为调研高中生的作文水平．在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人
数之比为 1：4，且成绩分布在[0，60]的范围内，规定分数在 50 以上（含 50）的作文被
评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取 400 人的成绩作为样本，得到成绩
的频率分布直方图，如图所示．其中 a，b，c 构成以 2 为公比的等比数列．
（1）求 a，b，c 的值；
（2）填写下面 2×2 列联表，能否在犯错误的概率不超过 0.01 的情况下认为“获得优秀
作文”与“学生的文理科”有关“？
文科生 理科生 合计
获奖 6
不获奖
合计 400
（3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取 2 名学生，记“
获得优秀作文”的学生人数为 X，求 X 的分布列及数学期望．
附：K2＝ ，其中 n＝a+b+c+d．
P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA⊥底面 ABCD，∠BAD＝60°，
AB＝4．
（1）求证：BD⊥平面 PAC；
（2）若直线 PC 与平面 ABCD 所成的角为 30°，求平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面
角的余弦值．
20．已知椭圆 的上顶点为 B，圆 C′：x2+y2＝4 与 y 轴的正半轴
交于点 A，与 C 有且仅有两个交点且都在 x 轴上 O 为坐标原点）．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）已知点 ，不过 D 点且斜率为 的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，证
明：直线 DM 与直线 DN 的斜率互为相反数．
21．已知函数 ．
（1）求函数 f（x）的单调区间；
（2）若 x＞0，证明 ．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．如果多做，则按所做
的第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负
半 轴 为 极 轴 且 取 相 同 的 单 位 长 度 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 ρ ＝
．
（1）求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程；
（2）设点 P（﹣1，2），直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|AB|+|PA||PB|的值．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知 x＞0，y＞0，z＞0，x2+y2+z2＝1，证明：
（1）（x+y）2+（y+z）2+（x+z）2≤4；
（2） ．
参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合 A＝{1，3，5}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4，5}，则（A∩B）∪C＝（ ）
A．{1，2，3，5} B．{1，2，3，4} C．{2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}
【分析】根据集合的基本运算即可求解．
解：∵A＝{1，3，5}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4，5}，
则（A∩B）∪C＝{1，3}∪{2，3，4，5}＝{1，2，3，4，5}
故选：D．
2．已知复数 （i 为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得 z 的坐标得答案．
解：∵ ＝ ，
∴z 在复平面内对应的点的坐标是（ ）．
故选：A．
3．已知向量 ＝（2，﹣4）， ＝（k，3），且 与 的夹角为 135°，则 k＝（ ）
A．﹣9 B．1 C．﹣9 或 1 D．﹣1 或 9
【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求出 k 的值．
解：由题意可得 cos135°＝ ＝ ＝﹣ ，
求得 k＝﹣9，或 k＝1，
故选：C．
4．已知双曲线 C 的一条渐近线的倾斜角为 θ，且
，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．4
【分析】由倾斜角的余弦值，求出正切值，即 a，b 的关系，求出双曲线的离心率．
解：设双曲线的半个焦距为 c，由题意 θ∈[0，π）
又 cosθ＝ ，则 sinθ＝ ，tanθ＝2， ＝2，所以离心率 e＝ ＝ ＝ ，
故选：A．
5．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测
验（指标值满分为 5 分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指
标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）
A．乙的数据分析素养优于甲
B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养
C．甲的六大素养整体水平优于乙
D．甲的六大素养中数据分析最差
【分析】根据所给的雷达图逐个选项分析即可．
解：A 选项，乙的数据分析素养得分为 4 分，甲的数据分析素养得分 5 分，故 A 错误；
B 选项，乙的数学建模素养得分为 3 分，甲的数学建模素养得分为 4 分，故 B 错误；
C 选项，6 项素养中有 5 项甲比乙好，故 C 正确，
D 选项，甲的六大素养中数学抽象、数学建模和数学运算最差，数据分析为 5 分，最好，
故 D 错误．
故选：C．
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B．16π+4 C． D．
【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．
解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为下面为一个半球，上面为一个直
三棱锥体构成的组合体．
如图所示：
下面的球的半径为 2，直三棱锥的底面为腰长为 2 的等腰直角三角形，高为 2，
故 V＝ ．
故选：A．
7．若函数 f（x）＝x3﹣mx2+2x（m∈R）在 x＝1 处有极值，则 f（x）在区间[0，2]上的最
大值为（ ）
A． B．2 C．1 D．3
【分析】根据极值点处的导数为零先求出 m 的值，然后再按照求函数在连续的闭区间上
最值的求法计算即可．
解：由已知得 f′（x）＝3x2﹣2mx+2，∴f′（1）＝3﹣2m+2＝0，∴ ，经检验满
足题意．
∴f（x）＝x3﹣ x2+2x，f′（x）＝3x2﹣5x+2．
由 ；由 ．
所以函数 f（x）在 ，在[1，2]上递增．
则 ，
由于 f（2）＞f（x）极大值，所以 f（x）在区间[0，2]上的最大值为 2．
故选：B．
8．将函数 f（x）＝2sin（3x+φ）（0＜φ＜π）图象向右平移 个单位长度后，得到函数的
图象关于直线 x＝ 对称，则函数 f（x）在 上的值域是（ ）
A．[﹣1，2] B．[ ，2] C． D．
【分析】由题意利用函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，
余弦函数的值域，求得结果．
解：把函数 f（x）＝2sin（3x+φ）（0＜φ＜π）图象向右平移 个单位长度后，
可得 y＝2sin（3x﹣ +φ）的图象；
再根据得到函数的图象关于直线 x＝ 对称，
∴3× ﹣ +φ＝kπ+ ，k∈Z，
∴φ＝ ，函数 f（x）＝2sin（3x+ ）．
在 上，3x+ ∈[ ， ]，∴sin（3x﹣ ）∈[﹣ ，1]，
故 f（x）＝2sin（3x﹣ ）∈[﹣ ，2]，即 f（x）的值域是[﹣ ，2]，
故选：D．
9．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内
容是：每个大于 2 的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：4＝2+2，6＝3+3，8＝3+5
，那么在不超过 18 的素数中随机选取两个不同的数，其和等于 16 的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出从不超过 18 的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求
出其和等于 16 的结果，根据等可能事件的概率公式可求．
解：不超过 18 的素数有 2，3，5，7，11，13，17 共 7 个，从中随机选取两个不同的数
共有 ，
其和等于 16 的结果（3，13），（5，11）2 种等可能的结果，
故概率 P＝ ．
故选：B．
10．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：
我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据题意四人中只有一个人说的是真话，逐个分析，只有丁说的是真话是，符
合题意，得到年纪最大的是丙；
解：假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，
而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；
假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知
只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；
假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已
知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；
假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说
谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的
只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙；
故选：C．
11．已知三棱锥 D﹣ABC 的体积为 2，△ABC 是边长为 2 的等边三角形，且三棱锥 D﹣ABC
的外接球的球心 O 恰好是 CD 的中点，则球 O 的表面积为（ ）
A． B． C． D．24π
【分析】根据 O 是 CD 中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾
股定理求解．
解：设 D 点到平面 ABC 的距离为 h，因为 O 是 CD 中点，
所以 O 到平面 ABC 的距离为 ，
三棱锥 D﹣ABC 的体积 V＝ S△ABC•h＝ • ×2×2×sin60°•h＝2，解得 h＝2 ，
作 OO'⊥平面 ABC，垂足 O'为△ABC 的外心，所以 CO'＝ ，且 OO'＝ ＝ ，
所以在 Rt△CO'O 中，OC＝ ＝ ，此为球的半径，
∴S＝4πR2＝4π• ＝ ．
故选：A．
12．已知函数 若所有点（s，f（t））（s，t∈D）
所构成的平面区域面积为 e2﹣1，则 a＝（ ）
A．e B． C．1 D．
【分析】依题意，可得 f′（x）＞0，f（x）在[ ，1]上单调递增，于是可得 f（x）在[
，1]上的值域为[a（e+2），e2a]，继而可得 a（e2﹣e﹣2）（1﹣ ）＝e2﹣1，解之即可．
解：f′（x）＝a（e2﹣ ）＝ ，因为 x∈[ ，1]，a＞0，
所以 f′（x）＞0，f（x）在[ ，1]上单调递增，
则 f（x）在[ ，1]上的值域为[a（e+2），e2a]，
因为所有点（s，f（t））（s，t∈D）所构成的平面区域面积为 e2﹣1，
所以 a（e2﹣e﹣2）（1﹣ ）＝e2﹣1，
解得 a＝ ，
故选：D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．若 ，则 cos2α＝
【分析】直接利用诱导公式和三角函数关系式的恒等变换的应用求出结果．
解： ，所以 sin ，
故 cos2 ．
故答案为： ．
14．x﹣3（x+2）6 的展开式中的常数项为 160
【分析】先求（x+2）6 的展开式中通项，令 x 的指数为 3 即可求解结论．
解：因为（x+2）6 的展开式的通项公式为： •x6﹣r•2r＝2r• •x6﹣r；
令 6﹣r＝3，可得 r＝3；
∴x﹣3（x+2）6 的展开式中的常数项为：23• ＝160．
故答案为：160．
15．已知 F 为抛物线 C：x2＝8y 的焦点，P 为 C 上一点，M（﹣4，3），则△PMF 周长的
最小值是 5+ ．
【分析】由题意画出图形，过 M 作准线的垂线，交抛物线于 P，则△PMF 的周长最小，
然后结合两点间的距离公式求解．
解：如图，F 为抛物线 C：x2＝8y 的焦点，P 为 C 上一点，M（﹣4，3），
抛物线 C：x2＝8y 的焦点为 F（0，2），准线方程为 y＝﹣2．
过 M 作准线的垂线，交抛物线于 P，则△PMF 的周长最小．
最小值为 5+ ＝5+ ．
故答案为：5+ ．
16．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2bcosB＝acosC+ccosA，若△ABC
外接圆的半径为 ，则△ABC 面积的最大值是 ．
【分析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合范围 B∈（0，π）
可求 B 的值，利用正弦定理可求 b 的值，进而根据余弦定理，基本不等式可求 ac 的最大
值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
解：∵2bcosB＝acosC+ccosA，
∴由正弦定理可得：2sinBcosB＝sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C），
∵A+B+C＝π，
∴sin（A+C）＝sinB，
又∵B∈（0，π），∴sinB≠0，∴2cosB＝1，即 cosB＝ ，可得：B＝ ，
∵△ABC 外接圆的半径为 ，
∴ ＝2× ，解得 b＝2，由余弦定理 b2＝a2+c2﹣2accosB，可得 a2+c2﹣ac＝4
，又 a2+c2≥2ac，
∴4＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac＝ac（当且仅当 a＝c 时取等号），即 ac 的最大值为 4，
∴△ABC 面积的最大值为 ×4sinB＝ ．
故答案为： ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题
：共 60 分．
17．已知公比为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn．且 ．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．
【分析】（1）判断公比 q 不为 1，运用等比数列的求和公式，解方程可得公比 q，进而
得到所求通项公式；
（2）求得 ＝（2n﹣1）•（ ）n﹣1，运用数列的错位相减法求和，以及
等比数列的求和公式，计算可得所求和．
解：（1）设公比 q 为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 ，
可得 q＝1 时，S3＝3a1＝6≠ ，不成立；
当 q≠1 时，S3＝ ＝ ，即 q2+q+1＝ ，
解得 q＝ （﹣ 舍去），
则 an＝2×（ ）n﹣1＝（ ）n﹣2；
（2） ＝（2n﹣1）•（ ）n﹣1，
前 n 项和 Tn＝1•（ ）0+3•（ ）1+5•（ ）2+…+（2n﹣1）•（ ）n﹣1，
Tn＝1•（ ）1+3•（ ）2+5•（ ）3+…+（2n﹣1）•（ ）n，
两式相减可得 Tn＝1+2[（ ）1+（ ）2+（ ）3+…+（ ）n﹣1]﹣（2n﹣1）•（ ）n
＝1+2• ﹣（2n﹣1）•（ ）n，
化简可得 Tn＝6﹣（2n+3）•（ ）n﹣1．
18．为调研高中生的作文水平．在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人
数之比为 1：4，且成绩分布在[0，60]的范围内，规定分数在 50 以上（含 50）的作文被
评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取 400 人的成绩作为样本，得到成绩
的频率分布直方图，如图所示．其中 a，b，c 构成以 2 为公比的等比数列．
（1）求 a，b，c 的值；
（2）填写下面 2×2 列联表，能否在犯错误的概率不超过 0.01 的情况下认为“获得优秀
作文”与“学生的文理科”有关“？
文科生 理科生 合计
获奖 6 14 20
不获奖 74 306 380
合计 80 320 400
（3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取 2 名学生，记“
获得优秀作文”的学生人数为 X，求 X 的分布列及数学期望．
附：K2＝ ，其中 n＝a+b+c+d．
P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【分析】（1）根据频率分步直方图和 a，b，c 构成以 2 为公比的等比数列，即可得解；
（2）由频率分步直方图算出相应的频数即可填写 2×2 列联表，再用 K2 的计算公式运算
即可；
（3）获奖的概率为 ，随机变量 X～B（2， ），再根据二项分布即可求出其
分布列与期望．
解：（1）由频率分布直方图可知，10×（a+b+c）＝1﹣10×（0.018+0.022+0.025）＝0.35
，
因为 a，b，c 构成以 2 为公比的等比数列，所以 a+2a+4a＝0.035，解得 a＝0.005，
所以 b＝2a＝0.01，c＝4a＝0.02．
故 a＝0.005，b＝0.01，c＝0.02．
（2）获奖的人数为 0.005×10×400＝20 人，
因为参考的文科生与理科生人数之比为 1：4，所以 400 人中文科生的数量为 400×
，理科生的数量为 400﹣80＝320．
由表可知，获奖的文科生有 6 人，所以获奖的理科生有 20﹣6＝14 人，不获奖的文科生
有 80﹣6＝74 人．
于是可以得到 2×2 列联表如下：
文科生 理科生 合计
获奖 6 14 20
不获奖 74 306 380
合计 80 320 400
所以在犯错误的概率不超过 0.01 的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理
科”有关“．
（3）由（2）可知，获奖的概率为 ，
X 的可能取值为 0，1，2，
，
，
，
分布列如下：
X 0 1 2
P
数学期望为 ．
19．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA⊥底面 ABCD，∠BAD＝60°，
AB＝4．
（1）求证：BD⊥平面 PAC；
（2）若直线 PC 与平面 ABCD 所成的角为 30°，求平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面
角的余弦值．
【分析】（1）由底面 ABCD 为菱形，得 BD⊥AC，再由 PA⊥底面 ABCD，可得 PA⊥BD
，结合线面垂直的判定可得 BD⊥平面 PAC；
（2）以点 A 为坐标原点，以 AD，AP 所在直线及过点 A 且垂直于平面 PAD 的直线分别
为 x，z，y 轴建立空间直角坐标系 A﹣xyz，分别求出平面 PAB 与平面 PCD 的一个法向
量，由两法向量所成角的余弦值可得平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值．
【解答】（1）证明：∵底面 ABCD 为菱形，∴BD⊥AC，
∵PA⊥底面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，∴PA⊥BD．
又 AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面 PAC，
∴BD⊥平面 PAC；
（2）解：∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD 为等边三角形，
∴AC＝AD•sin60°•2＝ ．
∵PA⊥底面 ABCD，∴∠PCA 是直线 PC 与平面 ABCD 所成的角为 30°，
在 Rt△PAC 中，由 tan∠PCA＝ ＝ ，解得 PA＝4．
如图，以点 A 为坐标原点，以 AD，AP 所在直线及过点 A 且垂直于平面 PAD 的直线分
别为 x，z，y 轴
建立空间直角坐标系 A﹣xyz．
则 P（0，0，4），A（0，0，0），B（2， ，0），D（4，0，0），C（6， ，0
）．
∴ ， ， ，
．
设平面 PAB 与平面 PCD 的一个法向量分别为 ， ．
由 ，取 y＝﹣1，得 ；
由 ，取 y1＝﹣1，得 ．
∴cos＜ ＞＝ ．
∴平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值为 ．
20．已知椭圆 的上顶点为 B，圆 C′：x2+y2＝4 与 y 轴的正半轴
交于点 A，与 C 有且仅有两个交点且都在 x 轴上 O 为坐标原点）．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）已知点 ，不过 D 点且斜率为 的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，证
明：直线 DM 与直线 DN 的斜率互为相反数．
【分析】（1）根据条件可得 a＝2，进而得到 b＝ ，即可得到椭圆方程；
（2）设直线 MN 的方程为 y＝﹣ x+m，联立 ，分别表示出直线 DM 和直
线 DN 的斜率，相加利用根与系数关系即可得到．
解：（1）∵圆 C′：x2+y2＝4 与 C 有且仅有两个交点且都在 x 轴上，所以 a＝2，
又∵ ＝ ，∴ ＝ ，解得 b＝ ，故椭圆 C 的方程为 ；
（2）设直线 MN 的方程为 y＝﹣ x+m，联立 ，整理可得 4x2﹣4mx+4m2﹣
12＝0，
则△＝（﹣4m）2﹣4×4（4m2﹣12）＝48（4﹣m2）＞0，解得﹣2＜m＜2，
设点 M（x1，y1），N（x2，y2），
则 x1+x2＝m，x1x2＝m2﹣3，
所 以 kDM+kDN ＝ + ＝ + ＝
＝ ＝0，
故直线 DM 与直线 DN 的斜率互为相反数．
21．已知函数 ．
（1）求函数 f（x）的单调区间；
（2）若 x＞0，证明 ．
【分析】（1）求导，根据导数的正负判断单调性，
（2）整理 ，化简为 ＞ ，令 h（x）＝
，求 h（x）的单调性，以及 x＜ex﹣1，即证．
解：（1）函数 定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
则 f'（x）＝ ，令 g（x）＝ex（1﹣x）﹣1，（x≠0），则 g'（x）＝﹣xex，
当 x＞0，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当 x＜0，g'（x）＞0，g（x）单调递增；
故 g（x）＜g（0）＝0，x≠0，
∴f'（x）＜0，x≠0，
故函数 f（x）的单调递减区间为（﹣∞，0），（0，+∞），无单调递增区间．
（2）证明 ，即为 ，
因为 ，
即证 ＞ ，
令 h（x）＝ ，则 h'（x）＝ ，
令 g（x）＝ ，则 g'（x）＝ ＝﹣ ，
当 x＞0 时，g'（x）＜0，所以 g（x）在（0，+∞）上单调递减，
则 g（x）＜g（0）＝0，x≠0，
则 h'（x））＜0 在（0，+∞）上恒成立，
所以 h（x）在（0，+∞）上单调递减，
所以要证原不等式成立，只需证当 x＞0 时，x＜ex﹣1，
令 m（x）＝ex﹣x﹣1，x＞0，m'（x）＝ex﹣1，可知 m'（x）＞0 对于 x＞0 恒成立，
即 m（x）＞m（0）＝0，即 x＜ex﹣1，
故 h（x）＜h（ex﹣1），即证 ＞ ，
故原不等式得证．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．如果多做，则按所做
的第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负
半 轴 为 极 轴 且 取 相 同 的 单 位 长 度 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 ρ ＝
．
（1）求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程；
（2）设点 P（﹣1，2），直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|AB|+|PA||PB|的值．
【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进
行转换．
（2）利用（1）的结论，进一步利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．
解：（1）直线 l 的参数方程为 （t 为参数），转换为直角坐标方程为 4x+3y
﹣2＝0．
曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝ ．转换为 ρ＝2cosθ+2sinθ，转换为直角坐
标方程为 x2+y2﹣2x﹣2y＝0．
（2）直线 l 的参数方程为 （t 为参数），转换为标准式为 （t
为参数），
代入圆的直角坐标方程整理得 t2+4t+3＝0，
所以 t1+t2＝﹣4，t1t2＝3．
|AB|+|PA||PB|＝|t1﹣t2|+|t1t2|＝ ．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知 x＞0，y＞0，z＞0，x2+y2+z2＝1，证明：
（1）（x+y）2+（y+z）2+（x+z）2≤4；
（2） ．
【分析】（1）先由基本不等式可得 xy+yz+zx≤1，而（x+y）2+（y+z）2+（x+z）2＝2+2（
xy+yz+zx）≤4，即得证；
（2）首先推导出 x+y+z＞1，再利用 ，展开即可
得证．
【解答】证明：（1）∵x2+y2+z2＝1，
∴2xy+2yz+2xz≤x2+y2+y2+z2+z2+x2＝2（x2+y2+z2）＝2，
∴xy+yz+zx≤1，
∴（x+y）2+（y+z）2+（z+x）2＝2（x2+y2+z2）+2（xy+yz+zx）＝2+2（xy+yz+zx）≤4（
当且仅当 x＝y＝z 时取等号）．
（2）∵x＞0，y＞0，z＞0，x2+y2+z2＝1，
∴（x+y+z）2＝x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx＝1+2xy+2xz+2yz＞1，
∴x+y+z＞1，
∴
＝
＝
，
∴ ．
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