2020 年高考（文科）数学第二次模拟试卷
一、选择题（共 12 小题）.
1．已知集合 A＝{1，2，3，6}，B＝{x|2x＞4}，则 A∩B＝（ ）
A．{6} B．{3，6} C．{1，2} D．{2，3，6}
2．若等差数列的前两项分别为 1，3，则该数列的前 10 项和为（ ）
A．81 B．90 C．100 D．121
3．设复数 z＝a+bi（a，b∈R），定义 ＝b+ai．若 ＝ ，则 z＝（ ）
A．﹣ + i B． ﹣ i C．﹣ + i D．﹣ ﹣ i
4．书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本．设事件 M 表示“两本都是《红楼梦》”
；事件 N 表示“一本是《西游记》，一本是《水浒传》”；事件 P 表示“取出的两本中
至少有一本《红楼梦》”．下列结论正确的是（ ）
A．M 与 P 是互斥事件 B．M 与 N 是互斥事件
C．N 与 P 是对立事件 D．M，N，P 两两互斥
5．若双曲线 C： 的一条渐近线方程为 3x+2y＝0，则 m＝（ ）
A． B． C． D．
6．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥 P﹣ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三
角形全等，则（ ）
A．PA，PB，PC 两两垂直
B．三棱锥 P﹣ABC 的体积为
C．
D．三棱锥 P﹣ABC 的侧面积为
7．如图，在等腰直角△ABC 中，D，E 分别为斜边 BC 的三等分点（D 靠近点 B），过 E
作 AD 的垂线，垂足为 F，则 ＝（ ）
A． B．
C． D．
8．函数 f（x）＝|x|﹣ 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．设不等式组 表示的平面区域为 Ω，若从圆 C：x2+y2＝4 的内部随机选取一
点 P，则 P 取自 Ω 的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等
于八分之五．已知三棱锥 A﹣BCD 的每个顶点都在球 O 的球面上．AB⊥底面 BCD，BC
⊥CD，且 AB＝CD＝ ，BC＝2，利用张衡的结论可得球 O 的表面积为（ ）
A．30 B．10 C．33 D．12
11．已知函数 ，则函数 y＝f（f（x））的零点所在区间为（
）
A． B．（﹣1，0） C． D．（4，5）
12．已知直线 y＝k（x﹣1）与抛物线 C：y2＝4x 交于 A，B 两点，直线 y＝2k（x﹣2）与抛
物线 D：y2＝8x 交于 M，N 两点，设 λ＝|AB|﹣2|MN|，则（ ）
A．λ＜﹣16 B．λ＝﹣16 C．﹣12＜λ＜0 D．λ＝﹣12
二、填空题
13．函数 f（x）＝9x2+ 的最小值为 ．
14．函数 f（x）＝|sin4x|的图象的对称轴方程为 ．
15．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，设 BC1，BD1 与底面 ABCD 所成角分别为 α，β，则 tan
（α+β）＝ ．
16．在数列{an}中，a1＝1，an≠0，曲线 y＝x3 在点 处的切线经过点（an+1，0）
，下列四个结论：
① ；② ；③ ；④数列{an}是等比数列．
其中所有正确结论的编号是 ．
三、解答题：共 5 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17
～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．为了解某中学学生对《中华人民共和国交通安全法》的了解情况，调查部门在该校进
行了一次问卷调查（共 12 道题），从该校学生中随机抽取 40 人，统计了每人答对的题
数，将统计结果分成[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]六组，
得到如下频率分布直方图．
（1）若答对一题得 10 分，未答对不得分，估计这 40 人的成绩的平均分（同一组中的数
据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若从答对题数在[2，6）内的学生中随机抽取 2 人，求恰有 1 人答对题数在[2，4）
内的概率．
18．a，b，c 分别为△ABC 内角 A，B，C 的对边．已知 a＝3，csinC＝asinA+bsinB，且 B＝
60°．
（1）求△ABC 的面积；
（2）若 D，E 是 BC 边上的三等分点，求 sin∠DAE．
19．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，AP⊥平面 PCD，AD∥BC，AB⊥BC，AP＝AB＝BC＝
AD，E 为 AD 的中点，AC 与 BE 相交于点 O．
（1）证明：PO⊥平面 ABCD．
（2）若 OB＝1，求点 C 到平面 PAB 的距离．
20．已知函数 f（x）＝x3﹣ax2+ ．
（1）若 f（x）在（a﹣1，a+3）上存在极大值，求 a 的取值范围；
（2）若 x 轴是曲线 y＝f（x）的一条切线，证明：当 x≥﹣1 时，f（x）≥x﹣ ．
21．已知椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）过点（1， ），过坐标原点 O 作两条互相垂直
的射线与椭圆 C 分别交于 M，N 两点．（1）证明：当 a2+9b2 取得最小值时，椭圆 C 的
离心率为 ．
（2）若椭圆 C 的焦距为 2，是否存在定圆与直线 MN 总相切？若存在，求定圆的方程；
若不存在，请说明理由．
（二）选考题：共 10 分．请考生从第 22，23 两题中任选一题作答．如果多做，则按所做
的第一个题目计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （φ 为参数）．以坐标原
点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知点 P 的直角坐标为（﹣2，0），过 P
的直线 l 与曲线 C 相交于 M，N 两点．
（1）若 l 的斜率为 2，求 l 的极坐标方程和曲线 C 的普通方程；
（2）求 • 的值．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|2x﹣1|+|2x+1|，记不等式 f（x）＜4 的解集为 M．
（1）求 M；
（2）设 a，b∈M，证明：|ab|﹣|a|﹣|b|+1＞0．
参考答案
一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知集合 A＝{1，2，3，6}，B＝{x|2x＞4}，则 A∩B＝（ ）
A．{6} B．{3，6} C．{1，2} D．{2，3，6}
【分析】求出集合 A，B，由此能求出 A∩B．
解：因为集合 A＝{1，2，3，6}，
B＝{x|2x＞4}＝{x|x＞2}，
所以 A∩B＝{3，6}．
故选：B．
2．若等差数列的前两项分别为 1，3，则该数列的前 10 项和为（ ）
A．81 B．90 C．100 D．121
【分析】先求出公差 d，然后结合等差数列的求和公式可求．
解：因为公差 d＝3﹣1＝2，
所以该数列的前 10 项和为 ．
故选：C．
3．设复数 z＝a+bi（a，b∈R），定义 ＝b+ai．若 ＝ ，则 z＝（ ）
A．﹣ + i B． ﹣ i C．﹣ + i D．﹣ ﹣ i
【分析】利用复数的运算性质、新定义即可得出．
解：∵ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝﹣ + ，
则 z＝ ﹣ i．
故选：B．
4．书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本．设事件 M 表示“两本都是《红楼梦》”
；事件 N 表示“一本是《西游记》，一本是《水浒传》”；事件 P 表示“取出的两本中
至少有一本《红楼梦》”．下列结论正确的是（ ）
A．M 与 P 是互斥事件 B．M 与 N 是互斥事件
C．N 与 P 是对立事件 D．M，N，P 两两互斥
【分析】M 与 P 是既不是对立也不是互斥事件，M 与 N 是互斥事件，N 与 P 是互斥事
件．
解：∵书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本．
设事件 M 表示“两本都是《红楼梦》”；事件 N 表示“一本是《西游记》，一本是《
水浒传》”；
事件 P 表示“取出的两本中至少有一本《红楼梦》”．
∴在 A 中，M 与 P 是既不是对立也不是互斥事件，故 A 错误；
在 B 中，M 与 N 是互斥事件，故 B 正确；
在 C 中，N 与 P 是互斥事件，故 C 错误．
在 D 中，M 与 P 是既不是对立也不是互斥事件，故 D 错误．
故选：B．
5．若双曲线 C： 的一条渐近线方程为 3x+2y＝0，则 m＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用双曲线的渐近线方程，列出方程，求解 m 即可．
解：由题意知双曲线的渐近线方程为 ，
3x+2y＝0 可化为 ，则 ，
解得 ．
故选：A．
6．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥 P﹣ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三
角形全等，则（ ）
A．PA，PB，PC 两两垂直
B．三棱锥 P﹣ABC 的体积为
C．
D．三棱锥 P﹣ABC 的侧面积为
【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步对选项进行分析从而确定结果．
解：根据三视图，可得三棱锥 P﹣ABC 的直观图如图所示，
其中 D 为 AB 的中点，PD⊥底面 ABC．
所以三棱锥 P﹣ABC 的体积为 ， ，
PA，PB，PC 不可能两两垂直，三棱锥 P﹣ABC 的侧面积为 ．
故选：C．
7．如图，在等腰直角△ABC 中，D，E 分别为斜边 BC 的三等分点（D 靠近点 B），过 E
作 AD 的垂线，垂足为 F，则 ＝（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由题意设 BC＝6，表示出 DE＝2，AD、AE 的值，求出∠DAE 的余弦值，再利
用平面向量的线性运算计算即可．
解：设 BC＝6，则 DE＝2， ，
，
所以 ，所以 ；
因为 ，
所以 ．
故选：D．
8．函数 f（x）＝|x|﹣ 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用函数的奇偶性可排除 CD，利用导数研究可知当 x＞0 时，其在 x＝1 处取
得极小值，可排除 B，由此得解．
解：因为 f（﹣x）＝f（x），所以 f（x）是偶函数，排除 C 和 D．
当 x＞0 时， ， ，令 f'（x）＜0，得 0＜x＜1；令 f'（
x）＞0，得 x＞1．
所以 f（x）在 x＝1 处取得极小值，排除 B，
故选：A．
9．设不等式组 表示的平面区域为 Ω，若从圆 C：x2+y2＝4 的内部随机选取一
点 P，则 P 取自 Ω 的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】求出符合条件的，比上总数即为所求概率．
解：作出 Ω 中在圆 C 内部的区域，如图所示，
因为直线 x+y＝0， 的倾斜角分别为 ， ，
所以由图可得 P 取自 Ω 的概率为 ．
故选：B．
10．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等
于八分之五．已知三棱锥 A﹣BCD 的每个顶点都在球 O 的球面上．AB⊥底面 BCD，BC
⊥CD，且 AB＝CD＝ ，BC＝2，利用张衡的结论可得球 O 的表面积为（ ）
A．30 B．10 C．33 D．12
【分析】由题意将此三棱锥放在长方体中求出长方体的对角线，再由外接球的直径等于
长方体的对角线可得球的半径，进而求出球的表面积，圆周率的平方除以十六等于八分
之五，求出 π 的值进而求出面积．
【解答】解由题意将此三棱锥放在长方体中，由题意可知长方体的长宽高分别为， ，
2， ，
设外接球的半径为 R，则（2R）2＝3+4+3＝10，
所以外接球的表面积为 S＝4πR2＝10π，
又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即 ＝ ，
所以 ，所以 S＝10 ，
故选：B．
11．已知函数 ，则函数 y＝f（f（x））的零点所在区间为（
）
A． B．（﹣1，0） C． D．（4，5）
【分析】先分析分段函数的值域，进而利用零点存在定理得到结果．
解：当 x≤0 时，f（x）∈（3，4]，此时，f（x）无零点；
当 x≤0 时， 为增函数，且 f（3）＝0．
令 f （ f （ x ） ） ＝ 0 ， 得 f （ x ） ＝ 2x+log3x ﹣ 9 ＝ 3 ， 因 为 f （ 3 ） ＝ 0 ＜ 3 ，
，
所以函数 y＝f（f（x））的零点所在区间为 ．
故选：A．
12．已知直线 y＝k（x﹣1）与抛物线 C：y2＝4x 交于 A，B 两点，直线 y＝2k（x﹣2）与抛
物线 D：y2＝8x 交于 M，N 两点，设 λ＝|AB|﹣2|MN|，则（ ）
A．λ＜﹣16 B．λ＝﹣16 C．﹣12＜λ＜0 D．λ＝﹣12
【分析】分别求出两条直线与两条曲线的相交弦长，代入可得 λ 的值．
解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），联立 ，
得 k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，则 ，
因为直线 y＝k（x﹣1）经过 C 的焦点，
所以 ．
同理可得 ，
所以 λ＝4﹣16＝﹣12．
故选：D．
二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．函数 f（x）＝9x2+ 的最小值为 9 ．
【分析】先求函数的定义域，确定函数的单调性，即可求出答案．
解：∵f（x）的定义域为[1，+∞），
又 f（x）在定义域上单调递增，
∴f（x）min＝f（1）＝9．
故答案为：9．
14．函数 f（x）＝|sin4x|的图象的对称轴方程为 x＝ ，k∈Z ．
【分析】令 ，即可求解结论．
解：
由图可得，
令 ，得 ．
故答案为：x＝ ，k∈Z．
15．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，设 BC1，BD1 与底面 ABCD 所成角分别为 α，β，则 tan
（α+β）＝ ．
【分析】结合正方体的性质可求 tanα，tanβ 然后由两角和的正切公式即可求解．
解：因为 CC1，DD1 都与底面 ABCD 垂直，
所以 α＝∠CBC1，β＝∠DBD1，tanα＝1， ，
所以 ．
故答案为： ．
16．在数列{an}中，a1＝1，an≠0，曲线 y＝x3 在点 处的切线经过点（an+1，0）
，下列四个结论：
① ；② ；③ ；④数列{an}是等比数列．
其中所有正确结论的编号是 ①③④ ．
【分析】利用已知条件推出数列的递推关系式，得到{an}是首项为 1，公比为 的等比数
列，然后求解判断即可．
解：∵y'＝3x2，∴曲线 y＝x3 在点 处的切线方程为 ，
则 ．∵an≠0，∴ ，则{an}是首项为 1，公比为 的等
比数列，
从而 ， ， ．故所有正确结论的编号是①③④．
故答案为：①③④．
三、解答题：共 5 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17
～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．为了解某中学学生对《中华人民共和国交通安全法》的了解情况，调查部门在该校进
行了一次问卷调查（共 12 道题），从该校学生中随机抽取 40 人，统计了每人答对的题
数，将统计结果分成[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]六组，
得到如下频率分布直方图．
（1）若答对一题得 10 分，未答对不得分，估计这 40 人的成绩的平均分（同一组中的数
据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若从答对题数在[2，6）内的学生中随机抽取 2 人，求恰有 1 人答对题数在[2，4）
内的概率．
【分析】（1）平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
（2）写出基本事件的个数和事件发生的个数，进而求出概率．
解：（1）因为答对题数的平均数约为（1×0.025+3×0.025+5×0.0375+7×0.125+9×
0.1875+11×0.1）×2＝7.9．
所以这 40 人的成绩的平均分约为 7.9×10＝79．
（2）答对题数在[2，4）内的学生有 0.025×2×40＝2 人，记为 A，B；
答对题数在[4，6）内的学生有 0.0375×2×40＝3 人，记为 c，d，e．
从答对题数在[2，6）内的学生中随机抽取 2 人的情况有（A，B），（A，c），（A，d）
，（A，e），（B，c），（B，d），（B，e），（c，d），（c，e），（d，e），共 10
种，
恰有 1 人答对题数在[2，4）内的情况有（A，c），（A，d），（A，e），（B，c），（
B，d），（B，e），共 6 种，
故所求概率 ．
18．a，b，c 分别为△ABC 内角 A，B，C 的对边．已知 a＝3，csinC＝asinA+bsinB，且 B＝
60°．
（1）求△ABC 的面积；
（2）若 D，E 是 BC 边上的三等分点，求 sin∠DAE．
【分析】（1）利用正弦和勾股定理求得 c 的值，再计算△ABC 的面积；
（2）由题意建立平面直角坐标系，利用向量求出∠DAE 的余弦值，再求正弦值．
解：（1）△ABC 中，由 csinC＝asinA+bsinB，
利用正弦定理得 c2＝a2+b2．
所以△ABC 是直角三角形，
又 a＝3，B＝60°，
所以 A＝30°，c＝6；
所以△ABC 的面积为
S＝ acsinB＝ ×3×6× ＝ ．
（2）设 D 靠近点 B，则 BD＝DE＝EC＝1．
建立排名直角坐标系，如图所示；
则 C（0，0），B（﹣3，0），D（﹣2，0），E（﹣1，0），A（0，3 ）；
所以 ＝（﹣2，﹣3 ）， ＝（﹣1，﹣3 ），
所以 cos∠DAE＝ ＝ ＝ ，
所以 sin∠DAE＝ ＝ ．
19．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，AP⊥平面 PCD，AD∥BC，AB⊥BC，AP＝AB＝BC＝
AD，E 为 AD 的中点，AC 与 BE 相交于点 O．
（1）证明：PO⊥平面 ABCD．
（2）若 OB＝1，求点 C 到平面 PAB 的距离．
【分析】（1）推导出 AP⊥CD．四边形 BCDE 为平行四边形，从而 BE∥CD，进而 AP⊥
BE．推导出四边形 ABCE 为正方形，从而 BE⊥AC．进而 BE⊥平面 APC，则 BE⊥PO．
由 AP⊥平面 PCD，得 AP⊥PC，推导出 PO⊥AC，由此能证明 PO⊥平面 ABCD．
（2）设 C 到平面 PAB 的距离为 d，由 VC﹣PAB＝VP﹣ABC，能求出点 C 到平面 PAB 的距
离．
解：（1）证明：∵AP⊥平面 PCD，∴AP⊥CD．
∵AD∥BC， ，∴四边形 BCDE 为平行四边形，
∴BE∥CD，∴AP⊥BE．
又∵AB⊥BC， ，且 E 为 AD 的中点，
∴四边形 ABCE 为正方形，∴BE⊥AC．
又 AP∩AC＝A，∴BE⊥平面 APC，则 BE⊥PO．
∵AP⊥平面 PCD，∴AP⊥PC，又 ，
∴△PAC 为等腰直角三角形，O 为斜边 AC 上的中点，
∴PO⊥AC 且 AC∩BE＝O，∴PO⊥平面 ABCD．
（2）解：∵OB＝1，∴ ．
设 C 到平面 PAB 的距离为 d，
由 VC﹣PAB＝VP﹣ABC，
得 ，
解得点 C 到平面 PAB 的距离为 ．
20．已知函数 f（x）＝x3﹣ax2+ ．
（1）若 f（x）在（a﹣1，a+3）上存在极大值，求 a 的取值范围；
（2）若 x 轴是曲线 y＝f（x）的一条切线，证明：当 x≥﹣1 时，f（x）≥x﹣ ．
【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系判断函数的单调性，再根据
极值存在条件可求；
（ 2 ） 由 题 意 得 f （ 0 ） ＝ 0 ， 或 ， 代 入 可 求 a ， 然 后 构 造 函 数
，结合导数与极值的关系可证明．
【解答】（1）解：f'（x）＝3x2﹣2ax＝x（3x﹣2a），令 f'（x）＝0，得 x1＝0，
．
当 a＝0 时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，f（x）无极值，不合题意；
当 a＞0 时，f（x）在 处取得极小值，在 x＝0 处取得极大值，
则 a﹣1＜0＜a+3，又 a＞0，所以 0＜a＜1；
当 a＜0 时，f（x）在 处取得极大值，在 x＝0 处取得极小值，
则 ，又 a＜0，所以﹣9＜a＜0．
综上，a 的取值范围为（﹣9，0）∪（0，1）．
（2）证明：由题意得 f（0）＝0，或 ，
即 （不成立），或 ，
解得 a＝1．
设函数 ，g'（x）＝（3x+1）（x﹣1），
当 或 x＞1 时，g'（x）＞0；当 时，g'（x）＜0．
所以 g（x）在 x＝1 处取得极小值，且极小值为 g（1）＝0．
又 g（﹣1）＝0，所以当 x≥﹣1 时，g（x）≥0，
故当 x≥﹣1 时， ．
21．已知椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）过点（1， ），过坐标原点 O 作两条互相垂直
的射线与椭圆 C 分别交于 M，N 两点．（1）证明：当 a2+9b2 取得最小值时，椭圆 C 的
离心率为 ．
（2）若椭圆 C 的焦距为 2，是否存在定圆与直线 MN 总相切？若存在，求定圆的方程；
若不存在，请说明理由．
【分析】（1）方法一：将点代入椭圆方程，利用“1”代换及基本不等式即可求得 a 与
b 的关系，求得椭圆的离心率；
方法二：由方法一：转化，利用权方和不等式，求得 a 与 b 的关系，即可求得椭圆的离
心率；
（2）由（1）及 c＝1 求得椭圆方程，分类讨论，当直线斜率存在时，代入椭圆方程，利
用韦达定理及向量的坐标运算，求得 7m2＝12（k2+1），根据点到直线的距离公式求得 O
到直线，MN 的方程为定值，即可判断定圆与直线 MN 总相切．
解：（1）方法一：由椭圆过点（1， ），则 ，
a2+9b2＝（a2+9b2）（ ）＝1+ + + ≥2 + ＝ ，
当且仅当 ＝ 时，即 a＝ b，a2+9b2 取得最小值，
所以椭圆的离心率 e＝ ＝ ＝ ，
方法二：由方法一可知： ，则 ≥ ，所以 a2+9b2≥
，当且仅当 ，即 a＝ b，a2+9b2 取得最小值，
所以椭圆的离心率 e＝ ＝ ＝ ，
（2）存在定圆 x2+y2＝ ，使得定圆与直线 MN 总相切，理由如下：
椭圆的焦距为 2，所以 a2﹣b2＝1，所以由（1）可知 ，解得：a2＝4，b2＝3，
当直线 MN 的斜率不存在时，由对称性，设 M（x0，x0），M（x0，﹣x0），
因为 M，N 在椭圆上，解得 x02＝ ，
所以 O 到直线 MN 的距离 d＝|x0|＝ ，
当直线 MN 的斜率存在时，设直线 MN 的方程为 y＝kx+m，
联立方程组 ，消去 y，整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
由△＝（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，
设 M（x1，y1），N（x2，y2），则 x1+x2＝﹣ ，x1x2＝ ，
因为 OM⊥ON，所以 x1x2+y1y2＝0，
x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2＝0，
所以（k2+1）（ ）+km（﹣ ）+m2＝0，即 7m2＝12（k2+1），
所以 O 到直线 MN 的距离 d＝ ＝ ，
综上可知，O 到直线 MN 的距离为定值，且定值为 ，
故存在定圆 O：x2+y2＝ ．
（二）选考题：共 10 分．请考生从第 22，23 两题中任选一题作答．如果多做，则按所做
的第一个题目计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （φ 为参数）．以坐标原
点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知点 P 的直角坐标为（﹣2，0），过 P
的直线 l 与曲线 C 相交于 M，N 两点．
（1）若 l 的斜率为 2，求 l 的极坐标方程和曲线 C 的普通方程；
（2）求 • 的值．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换
．
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
解：（1）曲线 C 的参数方程为 （φ 为参数）．转换为直角坐标方程为（
x+1）2+y2＝4．
点 P 的直角坐标为（﹣2，0），过 P 的直线 l 的斜率为 2，
故直线的方程为 y＝2（x+2），整理得 2ρcosθ﹣ρsinθ+4＝0．
（2）直线的方程为 y＝2（x+2），转换为参数方程为： （t 为参数）代入
圆的方程得到： ，
所以：t1t2＝﹣3．
故： • 的值＝t1t2＝﹣3．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|2x﹣1|+|2x+1|，记不等式 f（x）＜4 的解集为 M．
（1）求 M；
（2）设 a，b∈M，证明：|ab|﹣|a|﹣|b|+1＞0．
【分析】（1）由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，再求并集可得 M；
（2）运用分析法，结合因式分解和不等式的性质，即可得证．
解：（1）f（x）＝|2x﹣1|+|2x+1|，
可得 x≥ 时，f（x）＜4 即 2x﹣1+2x+1＜4，解得 ≤x＜1；
当 x≤﹣ 时，f（x）＜4 即 1﹣2x﹣2x﹣1＜4，解得﹣1＜x≤﹣ ；
当﹣ ＜x＜ 时，f（x）＜4 即 1﹣2x+2x+1＜4，解得﹣ ＜x＜ ；
则 M＝（﹣1，1）；
（2）证明：要证|ab|﹣|a|﹣|b|+1＞0，即证（|a|﹣1）（|b|﹣1）＞0，
由 a，b∈M，即﹣1＜a＜1，﹣1＜b＜1，
可得|a|＜1，|b|＜1，即|a|﹣1＜0，|b|﹣1＜0，
可得（|a|﹣1）（|b|﹣1）＞0，
故|ab|﹣|a|﹣|b|+1＞0 成立．
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