2020 年高考（理科）数学（4 月份）模拟试卷
一、选择题（共 12 小题）.
1．已知全集 U＝R，集合 A＝{x|3x2﹣13x＜0}，B＝{y|y＝3x+1}，则 A∩（∁UB）＝（ ）
A． B．（0，1] C． D．（0，1）
2．若复数 z 满足 z•（4﹣2i）＝3+i，则在复平面内复数 z 所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题：
[三三]今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？
[三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步．问为田几何？
翻译为：[三三]现有扇形田，弧长 30 步，直径长 16 步．问这块田面积是多少？
[三四]又有一扇形田，弧长 99 步，直径长 51 步．问这块田面积是多少？
则下列说法正确的是（ ）
A．问题[三三]中扇形的面积为 240 平方步
B．问题[三四]中扇形的面积为 平方步
C．问题[三三]中扇形的面积为 60 平方步
D．问题[三四]中扇形的面积为 平方步
4．运行如图所示的程序框图，若输入的 a 的值为 2 时，输出的 S 的值为﹣20，则判断框中
可以填（ ）
A．k＜3？ B．k＜4？ C．k＜5？ D．k＜6？
5．已知正项数列{an}的首项为 1，{an2}是公差为 3 的等差数列，则使得 an＞6 成立的 n 的最小值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
6．若函数 f（x）＝（4mx﹣n）2 的大致图象如图所示，则（ ）
A．m＞0，0＜n＜1 B．m＞0，n＞1 C．m＜0，0＜n＜1 D．m＜0，n＞1
7．在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，已知 AB⊥AC，AA1⊥平面 A1B1C1，则下列选项中，能使异
面直线 BC1 与 A1C 相互垂直的条件为（ ）
A．∠ACA＝45° B．∠ACA＝45°
C．四边形 ABB1A1 为正方形 D．四边形 BCC1B1 为正方形
8．已知非零实数 m，n 满足 m2•|m|＞n2•|n|，则下列结论错误的是（ ）
A．ln|m|＞ln|n| B．
C．|m|+sin|m|＜|n|+sin|n| D．m2＞n2
9．若首项为 的数列{an}满足 2（2n+1）anan+1+an+1＝an，则 a1+a2+a3+…+a2020＝（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 f（x）在 上单调递减
B．将函数 f（x）的图象向左平移 个单位长度后关于 y 轴对称
C．
D．当 时，
11．在正方形 ABCD 中，已知 AB＝2， （0≤λ≤1）， （0≤μ≤1），|
|，若 ≥x，则 x 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．12．过双曲线 的右焦点 F 作直线 l，且直线 l 与双曲线 C 的
一条渐近线垂直，垂足为 A，直线 l 与另一条渐近线交于点 B．已知 O 为坐标原点，若△
OAB 的内切圆的半径为 ，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A． B． C． D． 或 2
二、填空题（共 4 小题）
13． 的展开式中， 项的系数为 ．
14．若直线 y＝9x+a 与曲线 y＝x3﹣3x 相切，则 a＝ ．
15．某团队派遣甲、乙、丙、丁四人分别完成一项任务，已知甲完成任务的概率为 ，乙
完成任务的概率为 ，丙、丁完成任务的概率均为 ，若四人完成任务与否相互独立，
则至少 2 人完成任务的概率为 ．
16．已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，直线 l1，l2，过点 F 且与抛物线 C 分别交于点 M，
N 和点 P，Q，弦 MN 和 PQ 的中点分别为 D，E，若 l1⊥l2，则下列结论正确的是 ．
①|MN|+|PQ|的最小值为 32；
②以 M，N，P，Q 四点为顶点的四边形的面积的最小值为 128；
③直线 DE 过定点（6，0）；
④焦点 F 可以同时为弦 MN 和 PQ 的三等分点．
三、解答题（共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 ，
．
（1）求△ABC 外接圆的面积；
（2）若 b+c＝8，求△ABC 的面积．
18．如图，四棱锥 S﹣ABCD 中，二面角 S﹣AB﹣D 为直二面角，E 为线段 SB 的中点，∠
DAB＝∠CBA＝3∠ASB＝3∠ABS＝90°，tan∠ASD＝ ，AB＝4．
（1）求证：平面 DAE⊥平面 SBC；
（2）求二面角 C﹣AE﹣D 的大小．19．2019 年 11 月份，全国工业生产者出厂价格同比下降 1.4%，环比下降 0.1%某企业在了
解市场动态之后，决定根据市场动态及时作出相应调整，并结合企业自身的情况作出相
应的出厂价格，该企业统计了 2019 年 1～10 月份产品的生产数量 x（单位：万件）以及
销售总额 y（单位：十万元）之间的关系如表：
x 2.08 2.12 2.19 2.28 2.36 2.48 2.59 2.68 2.80 2.87
y 4.25 4.37 4.40 4.55 4.64 4.75 4.92 5.03 5.14 5.26
（1）计算 的值；
（2）计算相关系数 r，并通过 r 的大小说明 y 与 x 之间的相关程度；
（3）求 y 与 x 的线性回归方程 ，并推测当产量为 3.2 万件时销售额为多少．（
该问中运算结果保留两位小数）
附 ： 回 归 直 线 方 程 中 的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为
， ；
相关系数 ．
参考数据： ， ， ．
20．已知斜率存在且不为 0 的直线 l 过点 D（1，0），设直线 l 与椭圆 交于
A，B 两点，椭圆 C 的左顶点为 P．
（1）若△PAB 的面积为 ，求直线 l 的方程；
（2）若直线 PA，PB 分别交直线 x＝3 于点 M，N，且 ，记直线 AB，RD 的斜率分别为 k，k'．探究：k•k'是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
21．已知函数 f（x）＝ex（x2+8x﹣4）．
（1）求函数 f（x）的单调区间；
（2）若关于 x 的不等式 在[0，+∞）上恒成立，且 m≠0，
求实数 m 的取值范围．
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），曲线 C1 的参数
方程为 （α 为参数），曲线 C1 与 x 轴交于 O，A 两点．以坐标原点 O 为极
点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线 l 的普通方程及曲线 C1 的极坐标方程；
（2）若直线 l 与曲线 在第一象限交于点 M，且线段 MA 的中点为 N，点 P
在曲线 C1 上，求|PN|的最小值．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．（1）已知 x，y，z 均为正数，且 ，求证：（8x+2）（8y+2）（8z+2）≥27；
（2）已知实数 m，n 满足 m≥1， ，求证：2m2n+4mn2+1≤4m2n2+m+2n．参考答案
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的）
1．已知全集 U＝R，集合 A＝{x|3x2﹣13x＜0}，B＝{y|y＝3x+1}，则 A∩（∁UB）＝（ ）
A． B．（0，1] C． D．（0，1）
【分析】根据二次不等式的求法先求出集合 A，结合指数函数的性质可求 B，进而可求．
解：依题意得， ，
B＝{y|y＝3x+1}＝{y|y＞1}，
则∁UB＝{y|y≤1}，
所以 A∩（∁UB）＝（0，1]，
故选：B．
2．若复数 z 满足 z•（4﹣2i）＝3+i，则在复平面内复数 z 所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 的坐标得答案．
解：依题意得， ，
故在复平面内复数 z 所对应的点为 ，该点位于第一象限，
故选：A．
3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题：
[三三]今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？
[三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步．问为田几何？
翻译为：[三三]现有扇形田，弧长 30 步，直径长 16 步．问这块田面积是多少？
[三四]又有一扇形田，弧长 99 步，直径长 51 步．问这块田面积是多少？
则下列说法正确的是（ ）
A．问题[三三]中扇形的面积为 240 平方步
B．问题[三四]中扇形的面积为 平方步
C．问题[三三]中扇形的面积为 60 平方步D．问题[三四]中扇形的面积为 平方步
【分析】利用扇形面积计算公式即可得出．
解：依题意，问题[三三]中扇形的面积为 平方步，
问题[三四]中扇形的面积为 平方步．
故选：B．
4．运行如图所示的程序框图，若输入的 a 的值为 2 时，输出的 S 的值为﹣20，则判断框中
可以填（ ）
A．k＜3？ B．k＜4？ C．k＜5？ D．k＜6？
【分析】这是一个当型循环结构，反复求和，注意 a 的值正负交替．只需逐次循环，直
到得到 s＝﹣20，根据 k 的值判断．
解：运行该程序，第一次循环，S＝2，a＝﹣2，k＝2；第二次循环 S＝﹣6，a＝2，k＝3
；第三次循环，S＝12，a＝﹣2，k＝4；第四次循环，S＝﹣20，a＝2，k＝5，此时输出 S
的值，观察可知，仅选项 C 符合题意，
故选：C．
5．已知正项数列{an}的首项为 1，{an2}是公差为 3 的等差数列，则使得 an＞6 成立的 n 的最
小值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【分析】依题意得， ，从而 ．令 ，得
，由此能求出使得 an＞6 成立的 n 的最小值．
解：∵正项数列{an}的首项为 1，{an2}是公差为 3 的等差数列，∴依题意得， ，
故 ．令 ，得 3n﹣2＞36，解得 ，
∵n∈N*，∴使得 an＞6 成立的 n 的最小值为 13，
故选：C．
6．若函数 f（x）＝（4mx﹣n）2 的大致图象如图所示，则（ ）
A．m＞0，0＜n＜1 B．m＞0，n＞1 C．m＜0，0＜n＜1 D．m＜0，n＞1
【分析】通过函数值为 0，求出 x 的表达式，判断 m，n 的范围，排除选项 AD，通过 m
＜0，利用函数的单调性，结合 x 与 y 的关系，判断排除选项 C，即可．
解：令 f（x）＝0，即 4mx＝n，则 mx＝log4n，即 ，
由图可知， ，故 m＞0 时 n＞1，m＜0 时 0＜n＜1，排除 A、D；
当 m＜0 时，易知 y＝4mx 是减函数，且当 x→+∞时，y→0 则 f（x）→n2，C 明显不合题
意，排除 C，
故选：B．
7．在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，已知 AB⊥AC，AA1⊥平面 A1B1C1，则下列选项中，能使异
面直线 BC1 与 A1C 相互垂直的条件为（ ）
A．∠ACA＝45° B．∠ACA＝45°
C．四边形 ABB1A1 为正方形 D．四边形 BCC1B1 为正方形
【分析】推导出 AA1⊥AB，AB⊥AC，从而 AB⊥平面 CC1A1，进而 AB⊥A1C．当异面
直线 BC1 与 A1C 相互垂直时，可得 A1C⊥平面 ABC1，从而 A1C⊥AC1，四边形 ACC1A1
为正方形，进而∠A1CA＝45°，当∠A1CA＝45°时，可得 BC1⊥A1C．
解：如图，因为 AA1⊥平面 A1B1C1，所以 AA1⊥AB，
又 AB⊥AC，AA1∩AC＝A，所以 AB⊥平面 CC1A1，
因为 A1C⊂平面 ACC1A1，所以 AB⊥A1C．
当异面直线 BC1 与 A1C 相互垂直时，由 AB∩BC1＝B，可得 A1C⊥平面 ABC1，因为 AC1⊂平面 ABC1，所以 A1C⊥AC1，
所以四边形 ACC1A1 为正方形，所以∠A1CA＝45°，
反之亦然，即当∠A1CA＝45°时，可得 BC1⊥A1C，
故选：A．
8．已知非零实数 m，n 满足 m2•|m|＞n2•|n|，则下列结论错误的是（ ）
A．ln|m|＞ln|n| B．
C．|m|+sin|m|＜|n|+sin|n| D．m2＞n2
【分析】由非零实数 m，n 满足 m2•|m|＞n2•|n|，可得|m|3＞|n|3＞0，|m|＞|n|＞0，进而判
断出结论．
解：因为非零实数 m，n 满足 m2•|m|＞n2•|n|，所以|m|3＞|n|3＞0，所以|m|＞|n|＞0，
所以 ln|m|＞ln|n|， ，m2＞n2，所以选项 A、B、D 均正确；
对于选项 C，当 ， 时， ，所以选项 C
错误．
故选：C．
9．若首项为 的数列{an}满足 2（2n+1）anan+1+an+1＝an，则 a1+a2+a3+…+a2020＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据 2（2n+1）anan+1+an+1＝an，推得 ，再令 n 取 n﹣1 可
得新等式，两等式再结合叠加法求出数列{an}的通项，即可求解结论．
解：依题意得 an≠0，由 2（2n+1）anan+1＝an﹣an+1，
可得 ，
则 ， ，……， ，
以上式子左右两边分别相加可得 ，即 ，
即 ＝ ，
故 a1+a2+a3+…+a2020＝ ＝ ，
故选：C．
10．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 f（x）在 上单调递减
B．将函数 f（x）的图象向左平移 个单位长度后关于 y 轴对称
C．
D．当 时，
【分析】直接利用三角函数关系式的变换的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果．
解 ： 依 题 意 得 ， ， 故 函 数 f （ x ） 在
上先减后增，故 A 错误；
因为将函数 f（x）的图象向左平移 个单位长度后其图象对应的函数解析式为
，函数 g（x）的图象关于原点对
称，故 B 错误；
因为 ，所以 是函数 f（x）图象的
一条对称轴，即 ，故 C 正确；
当 时， ，则 ，故 D 错
误．
综上所述，
故选：C．
11．在正方形 ABCD 中，已知 AB＝2， （0≤λ≤1）， （0≤μ≤1），|
|，若 ≥x，则 x 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．【分析】可以点 A 为原点，AB，AD 所在的直线分别为 x，y 轴，建立平面直角坐标系，
并设 E（2，m），F（n，2），从而得出 ．根据 即
可 得 出 ， 进 而 可 得 出 （ m+n+4 ） 2 ≥ 32 ， 从 而 得 出
，从而得出 ，这样即可得出 x 的范围．
解：以 A 为坐标原点，线段 AB，AD 所在直线分别为 x，y 轴，建立如图所示的平面直
角坐标系，
设 E（2，m），F（n，2），则
，
由 ，得 ，化简可得 mn＝4﹣2（m+n），
∴ ，故（m+n+4）2≥32，因为 m≥0，n≥0，故 ，
当且仅当 时等号成立，
∴ ，故 x 的取值范围为 ．
故选：A．
12．过双曲线 的右焦点 F 作直线 l，且直线 l 与双曲线 C 的
一条渐近线垂直，垂足为 A，直线 l 与另一条渐近线交于点 B．已知 O 为坐标原点，若△
OAB 的内切圆的半径为 ，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A． B． C． D． 或 2
【分析】分两种情况讨论 A，B 在 y 轴的同侧和两侧，可得圆心 M 在∠AOB 的角平分线
上，过 M 作垂直于 OA，AF 的垂线，由题意可得四边形 MTAN 为正方形，再由题意可得 FA＝b，所以 OA＝a，由题意可得 NA，ON 的值，求出外接圆的半径，由题意可得 a，
b 的关系求出离心率．
【解答】解（1）若 A，B 在 y 轴同侧，不妨设 A 在第一象限．
如图，设△OAB 内切圆的圆心为 M，则 M 在∠AOB 的平分线 Ox 上，过点 M 分别作 MN
⊥OA 于 N，MT⊥AB 于 T，
由 FA⊥OA 得四边形 MTAN 为正方形，由焦点到渐近线的距离为 b 得|FA|＝b，又|OF|＝
c，所以|OA|＝a，
又 ，所以 ，
所以 ，从而可得 ．
（2）若 A，B 在 y 轴异侧，不妨设 A 在第一象限如图，易知|FA|＝b，|OF|＝c，|OA|＝a
，
所以△OAB 的内切圆半径为 ，
所以 ，
又因为|OB|2＝|AB|2+a2，所以 ，|OB|＝2a，
所以∠BOA＝60°，∠AOF＝60°，则 ，从而可得 ．
综上，双曲线 C 的离心率为 或 2．
故选：D．二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13． 的展开式中， 项的系数为 240 ．
【分析】先求其通项公式，再令 x 的指数为﹣2 求出 r 即可求解结论．
解 ： 依 题 意 可 得 ， 的 展 开 式 的 通 项 为 Tr+1 ＝
，
令 ，解得 r＝2，
故 项的系数为 ．
故答案为：240．
14．若直线 y＝9x+a 与曲线 y＝x3﹣3x 相切，则 a＝ ﹣16 或 16 ．
【分析】先根据导数的几何意义求出切点的横坐标，然后点入曲线方程求出切点坐标，
再代入切线求出 a 的值．
解：设切点坐标为（x0，y0），由 y'＝3x2﹣3，得切线斜率 ，故 ，解
得 x0＝±2，
故切点为（2，2）或（﹣2，﹣2），分别代入 y＝9x+a 中，可得 a＝﹣16 或 a＝16．
故答案为：﹣16 或 16．
15．某团队派遣甲、乙、丙、丁四人分别完成一项任务，已知甲完成任务的概率为 ，乙
完成任务的概率为 ，丙、丁完成任务的概率均为 ，若四人完成任务与否相互独立，
则至少 2 人完成任务的概率为 ．
【分析】先求出 4 个人都没有完成任务的概率和 4 个人中有 3 个没有完成任务的概率，
由此利用对立事件概率计算公式能求出至少 2 人完成任务的概率．
解：4 个人都没有完成任务的概率为 ，
4 个人中有 3 个没有完成任务的概率为：，
故至少 2 人完成任务的概率为 ．
故答案为： ．
16．已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，直线 l1，l2，过点 F 且与抛物线 C 分别交于点 M，
N 和点 P，Q，弦 MN 和 PQ 的中点分别为 D，E，若 l1⊥l2，则下列结论正确的是 ①②③
．
①|MN|+|PQ|的最小值为 32；
②以 M，N，P，Q 四点为顶点的四边形的面积的最小值为 128；
③直线 DE 过定点（6，0）；
④焦点 F 可以同时为弦 MN 和 PQ 的三等分点．
【分析】直接利用直线和曲线的位置关系的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，
两点间的距离公式的应用求出结果．
解：依题意得直线 l1，l2 的斜率均存在，且 F（2，0），设 M（x1，y1），N（x2，y2），
直线 l1：y＝k（x﹣2），
联立方程，得 整理可得 k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，
所以 ，
则 ，
以 代替 k 可得，|PQ|＝8+8k2， ，当且仅当 k
＝±1 时取等号，所以①正确；
四边形的面积 ，当且仅当 k＝±1 时取等号，
所以②正确；
因为 ，E（2+4k2，﹣4k），
所以直线 DE 的方程为 ＝ ，即 k（x﹣6）
﹣（1﹣k2）y＝0，恒过定点（6，0），故③正确；
若点 F 为弦 MN 的三等分点，不妨设 ，则（2﹣x2，﹣y2）＝2（x1﹣2，y1），所以 2﹣x2＝2x1﹣4，即 2x1+x2＝6，又 x1x2＝4，
解得 （舍去）或 ，
代入 ，得 ，与两直线垂直矛盾，故④错误．
综上所述，
故答案为：①②③．
三、解答题（共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 ，
．
（1）求△ABC 外接圆的面积；
（2）若 b+c＝8，求△ABC 的面积．
【分析】（1）利用正弦定理，两角和的正弦函数结合 sinB≠0，可求 cosA 的值，结合
范围 A∈（0，π），可求 A 的值，进而利用正弦定理可求△ABC 外接圆的半径，进而可
求△ABC 外接圆的面积．
（2）由已知利用余弦定理可求 bc 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
解：（1）依题意得： ，
故： ，
则：2bcosA﹣ccosA＝acosC，
所以：2sinBcosA＝sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C），即：2sinBcosA＝sinB，
因为：sinB≠0，
所以： ，
因为：A∈（0，π），
所以： ，
所以： （R 为△ABC 外接圆的半径），则： ，
故△ABC 外接圆的面积 ．（2）由 ．及余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣3bc，
又 ，b+c＝8，
所以： ，解得：bc＝12．
故 ．
18．如图，四棱锥 S﹣ABCD 中，二面角 S﹣AB﹣D 为直二面角，E 为线段 SB 的中点，∠
DAB＝∠CBA＝3∠ASB＝3∠ABS＝90°，tan∠ASD＝ ，AB＝4．
（1）求证：平面 DAE⊥平面 SBC；
（2）求二面角 C﹣AE﹣D 的大小．
【分析】（1）根据条件利用面面垂直性质得到 AD⊥AB，线面垂直定理等即可证明 AD⊥
平面 SAB，进而得到 AD⊥BS，从而 BS⊥平面 DAE，平面 DAE⊥平面 SBC．
（2）建立如图所示直角坐标系，求出平面 CAE 的法向量，平面 DAE 的一个法向量为，
利用二面角公式结合图形即可求出二面角
解：（1）∵二面角 S﹣AB﹣D 为直二面角，
∴平面 SAB⊥平面 ABCD，
∴∠DAB＝90°，
∴AD⊥AB，
∵平面 ABCD∩平面 SAB＝AB，AD⊂平面 ABCD，
∴AD⊥平面 SAB，又 BS⊂平面 SAB，∴AD⊥BS，
∵∠ASB＝∠ABS，
∴AS＝AB，
又 E 为 BS 的中点，
∴AE⊥BS，
又 AD∩AE＝A，
∴BS⊥平面 DAE，∵BS⊂平面 SBC，
∴平面 DAE⊥平面 SBC．
（2）如图，连接 CA，CE，在平面 ABS 内作 AB 的垂线，建立空间直角坐标系 A﹣xyz，
∵ ，∴AD＝2，
∴A（0，0，0），B（0，4，0），C（0，4，2）， ，
，
∴ ， ，
设平面 CAE 的法向量为 ，则 即 ，
令 x＝1，则 ， ，
∴ 是平面 CAE 的一个法向量，
∵SB⊥平面 DAE，
∴平面 DAE 的一个法向量为 ，
∴ ，
由图可知二面角 C﹣AE﹣D 的平面角为锐角，
故二面角 C﹣AE﹣D 的大小为 60°．
19．2019 年 11 月份，全国工业生产者出厂价格同比下降 1.4%，环比下降 0.1%某企业在了
解市场动态之后，决定根据市场动态及时作出相应调整，并结合企业自身的情况作出相
应的出厂价格，该企业统计了 2019 年 1～10 月份产品的生产数量 x（单位：万件）以及
销售总额 y（单位：十万元）之间的关系如表：
x 2.08 2.12 2.19 2.28 2.36 2.48 2.59 2.68 2.80 2.87y 4.25 4.37 4.40 4.55 4.64 4.75 4.92 5.03 5.14 5.26
（1）计算 的值；
（2）计算相关系数 r，并通过 r 的大小说明 y 与 x 之间的相关程度；
（3）求 y 与 x 的线性回归方程 ，并推测当产量为 3.2 万件时销售额为多少．（
该问中运算结果保留两位小数）
附 ： 回 归 直 线 方 程 中 的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为
， ；
相关系数 ．
参考数据： ， ， ．
【分析】（1）直接求解 ，和 ，即计算样本中心点，
（2）根据相关系数 求值，即可判断 y 与 x 之间的相
关程度；
（3）根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论．
解：（1）依题意， ， ．
（ 2 ） 依 题 意 ，
，
因为 0.997＞0.75，所以 y 与 x 之间具有很强的相关性．
（3）由 ，
所以所求回归直线方程为 ，
故当 x＝3.2 时， ．
20．已知斜率存在且不为 0 的直线 l 过点 D（1，0），设直线 l 与椭圆 交于
A，B 两点，椭圆 C 的左顶点为 P．
（1）若△PAB 的面积为 ，求直线 l 的方程；
（2）若直线 PA，PB 分别交直线 x＝3 于点 M，N，且 ，记直线 AB，RD 的斜率
分别为 k，k'．探究：k•k'是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）先用分割法表示出△PAB 的面积即 S△PAB＝S△PDA+S△PDB，从而得到
；设直线 l 的方程为 x＝my+1，将其与椭圆的方程联立，结合韦达定理
可用含 m 的式子表示出|yA﹣yB|，从而建立关于 m 的方程，解之即可；
（2）直线 l 的方程为 y＝k（x﹣1），设 A（x1，k（x1﹣1）），B（x2，k（x2﹣1）），
然后分别表示出直线 PA 和 PB 的方程，令 x＝3，可分别求得 M、N 两点的坐标，因为
，于是可以用含 k，x1，x2 的式子表示出点 R 的坐标，将直线 l 的方程与椭圆的
方程联立，把由韦达定理得到的等式代入 R 的纵坐标化简可得 ，在表示出 k'，
有 ，故而可得解．
解：（1）设 A（xA，yA），B（xB，yB）．
因为 D（1，0），椭圆 C 的左顶点为 P（﹣2，0），所以|PD|＝3，
故 ，
故 ，
设直线 l 的方程为 x＝my+1，
联立 ，整理得（m2+2）y2+2my﹣3＝0，所以 ， ，
故 ， 解 得 m2 ＝ 6 ，
，
故直线 l 的方程为 或 ．
（2）由题意得，直线 l 的方程为 y＝k（x﹣1），设 A（x1，k（x1﹣1）），B（x2，k（x2
﹣1）），
联立 ，整理得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣4＝0，
则 ①， ②，
又 P（﹣2，0），所以直线 PA 的方程为 ，
令 x＝3，解得 ，
同理可得， ，
设 R（xR，yR），
因为 ，所以 xR＝3， ，
将①②代入上式并化简可得 ，
所以 ，
故 ，为定值．
21．已知函数 f（x）＝ex（x2+8x﹣4）．
（1）求函数 f（x）的单调区间；
（2）若关于 x 的不等式 在[0，+∞）上恒成立，且 m≠0，
求实数 m 的取值范围．【分析】（1）先求导，求导函数的零点，判断每个被零点分开的区间导数的正负，可知
单调性．
（2）令 x＝0 时求出 m≥1，然后求在 m≥1 时，m 的取值范围，分离参数求最值，求出
m．
【解答】解（1）依题意，x∈R，f'（x）＝ex（x2+8x﹣4+2x+8）＝ex（x2+10x+4），
令 f'（x）＝0，即 x2+10x+4＝0，解得 ，
故当 时，f'（x）＞0，
当 时，f'（x）＜0，
当 时，f'（x）＞0，
故函数 f（x）的单调递增区间为 和 ，单调递减区间
为 ．
注： ， 处写成闭区间也给分．
（2）令 ，
由题意得，当 x＝0 时，g（0）＝m﹣1≥0，则有 m≥1．
下面证当 m≥1 时，对任意 x≥0，都有 g（x）≥0．
由于 x∈R 时，1﹣sinx≥0，当 m≥1 时，则有 ．
故只需证明对任意 x≥0，都有 ．
易知 h（x）＝x﹣sinx 在[0，+∞）上单调递增，
所以当 x≥0 时，h（x）≥h（0）＝0，即 x≥sinx，
所以 1﹣x≤1﹣sinx，则 ，
设 ，x≥0，则 ．
当 x≥0 时，ex≥1， ，
所以 F'（x）≥0，所以 F（x）在[0，+∞）上单调递增，
所以当 x≥0 时，F（x）≥F（0）＝0，
所以对任意 x≥0，都有 ．
所以当 m≥1 时，对任意 x≥0，都有 ，
故实数 m 的取值范围为[1，+∞）．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），曲线 C1 的参数
方程为 （α 为参数），曲线 C1 与 x 轴交于 O，A 两点．以坐标原点 O 为极
点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线 l 的普通方程及曲线 C1 的极坐标方程；
（2）若直线 l 与曲线 在第一象限交于点 M，且线段 MA 的中点为 N，点 P
在曲线 C1 上，求|PN|的最小值．
【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进
行转换．
（2）利用直线和曲线的位置关系的应用，建立等量关系求出结果．
解：（1）由直线 l 的参数方程为 （t 为参数），转换为直角坐标方程 2x＝4+y，
即 2x﹣y﹣4＝0，
所以直线 l 的普通方程为 2x﹣y﹣4＝0．
由曲线 C1 的参数方程为 （α 为参数），转换为直角坐标方程（x﹣1）2+y2＝
1，即 x2+y2﹣2x＝0，
将 x＝ρcosθ，ρ2＝x2+y2 代入上式，可得 ρ2﹣2ρcosθ＝0，即 ρ＝2cosθ，
所以曲线 C1 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ．
（2）由 解得 或 ，所以 M（4，4），
由（1）可得 A（2，0），因为线段 MA 的中点为 N，所以 N（3，2），
由（1）可知曲线 C1 表示圆，其圆心为 C1（1，0），半径 r＝1，
所以 ，
因为点 P 在曲线 C1 上，所以 ．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．（1）已知 x，y，z 均为正数，且 ，求证：（8x+2）（8y+2）（8z+2）≥27；
（2）已知实数 m，n 满足 m≥1， ，求证：2m2n+4mn2+1≤4m2n2+m+2n．【 分 析 】 （ 1 ） 先 利 用 均 值 不 等 式 可 得 ， 同 理 可 得 ，
，以上三式相乘可得 ，结合
得证；
（2）利用分析法，即证（m﹣1）（2n﹣1）（2mn﹣1）≥0，而 m≥1， ，则 m﹣
1≥0，2n﹣1≥0，2mn﹣1≥0，由此容易得证．
【解答】证明：（1）由题可得 ，当且仅当 时
取等号；
同理可得 ， ，
故 ，当且仅当 时取等号，
因为 ，
所以（8x+2）（8y+2）（8z+2）≥27，当且仅当 时取等号．
（2）要证 2m2n+4mn2+1≤4m2n2+m+2n，即证 4m2n2﹣4mn2+2n﹣2m2n+m﹣1≥0，
即证 4mn2（m﹣1）﹣（2mn+2n）（m﹣1）+m﹣1≥0，即证（m﹣1）（4mn2﹣2mn﹣
2n+1）≥0，
即证（m﹣1）[2mn（2n﹣1）﹣（2n﹣1）]≥0，即证（m﹣1）（2n﹣1）（2mn﹣1）≥
0，
因为 m≥1， ，所以 m﹣1≥0，2n﹣1≥0，2mn﹣1≥0，
所以（m﹣1）（2n﹣1）（2mn﹣1）≥0，所以 2m2n+4mn2+1≤4m2n2+m+2n．
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