2019成都市高三三诊考试数学文科试题及详细解析

成都市 2016 级高中毕业班第三次诊断性检测 数学 （文科） 第 I 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1、设全集 U={x Z|（x+1）（x-3） 0},结合 A={0，1，2}，则 A=（ ） A {-1，3} B {-1，0} C {0，3} D {-1，0，3} 【解析】 【考点】①集合的定义与表示方法；②全集，补集的定义与性质；③补集运算的基本方法。 【解题思路】运用集合的表示方法把全集 U 化简成列举法表示的集合，利用补集运算的基本 方法通过运算求出 A，从而得出选项。 【详细解答】 U={x Z|（x+1）（x-3） 0}={x Z|-1 x 3}={-1，0，1，2，3}, A={0， 1，2}， A={-1，3}， A 正确， 选 A。 2、复数 Z=i（3-i）的共轭复数为（ ） A 3-3i B 3+3i C 1+3i D 1-3i 【解析】 【考点】①复数的定义与代数表示方法；②共轭复数的定义与性质；③复数运算法则和基本 方法；④虚数的定义与性质。 【解题思路】运用复数运算法则和基本方法通过运算得到复数 Z，根据共轭复数的性质确定 复数 Z 的共轭复数 ，从而得出选项。 【详细解答】 Z=i（3-i）=3i- =1+3i， =1-3i， D 正确， 选 D。 3、已知函数 f(x)= +3x，若 f(-a)=2，则 f(a)的值等于（ ） A 2 B -2 C 1+a D 1-a 【解析】 【考点】①函数解析式定义与性质；②已知函数解析式求函数值的基本方法。 【解题思路】运用求函数值的基本方法，结合问题条件得到含 a 的式子，从而求出 +3a 的值，把 a 代入函数的解析式求出 f(a)的值就可得出选项。 【详细解答】 f(-a)= + 3 （-a）=- -3a=2， +3a =-2， f(a)= + 3a=-2， B 正确， 选 B。 4、函数 f(x)=sinx+cosx 的最小正周期为（ ） A B C 2 D 4 ∈ ≤ UC UC  ∈ ≤ ∈ ≤ ≤ ∴ UC ⇒ ∴ Z  2i ∴ Z ⇒ ∴ 3x 3a  3( )a− × 3a ∴ 3a ⇒ 3a ⇒ ∴ 2 π π π π【解析】 【考点】①三角函数辅助角公式及运用；②正弦型函数的定义与性质；③正弦型函数最小正 周期的计算公式和基本求法。 【解题思路】运用三角函数辅助角公式，结合问题条件把函数 f(x)化为正弦型函数，利用求 正弦型函数最小正周期的计算公式和基本求法求出函数 f(x)的最小正周期就可得出选项。 【详细解答】 f(x)=sinx+cosx= sin（x+ ）， T= = 2 ， C 正确， 选 C。 5、如图在正方体 ABCD— 中，已知 E，F，G 分别是线段 ，上的点，且 E=EF=FG=G ，则下列直线与平面 BD 平行的是（ ） A CE B CF C CG D C 【解析】 【考点】①正方体的定义与写着；②直线平行平面的定义与判定；③判定直线平行平面的基 本方法。 【解题思路】运用判定直线平行平面的基本方法，结合问题条件分别判定直线 CE，CF，CG， C 是否与平面 BD 平行，就可得出选项。 【详细解答】如图，连接 AC，交 BD 于点 M，连接 M， ABCD— 是正方体， E，F，G 分别是线段 ，上的点，且 E=EF=FG=G ， F//CM， F=CM， 四 边形 FCM 是平行四边形， M//CF， M 平面 BD，CF 平面 BD， CF// 平面 BD， B 正确， 选 B。 6、已知实数 x，y 满足 x-y 0，则 z=2x+y 的最大值为（ ） A 1 B 2 x+y-2 0， C 3 D 4 【解析】 y 0， 【考点】①不等式表示的平面区域的定义与确定方法；②不等式组表示的平面区域的定义与 确定方法；③最优解的定义与求法。 【解题思路】运用确定不等式表示平面区域的方法，不等式组表示平面区域的确定方法，结 合问题条件作出约束条件所表示的可行域，利用求最优解的基本方法求出 z=2x+y 的最大值 就可得出选项。 y 【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示，由 2 A x-y=0 x-y=0，得 x=1， 点 A（1，1），B（2，0）， 1 x+y-2=0， x+y-2=0， y=1，当目标函数经过点 A（1，1）时， B z=2 1+1=2+1=3；当目标函数经过点,B（2，0）时， 0 1 2 z=2 2+0=4+0=4， z=2x+y 的最大值为 4， D 正确， 选 D。 7、若非零实数 a，b 满足 = ，则下列式子一定正确的是（ ） A b>a B b0，b>0；②a0 时，如图可知 b0）与双曲线 C 有相同的焦点，设 P 为双曲线 C 与抛物线的一个交点，且 cos P = ，则双曲线 C 的离心率为（ ） A 或 B 或 3 C 2 或 D 2 或 3 【解析】 【考点】①双曲线的定义与几何性质；②双曲线离心率的定义与求法；③抛物线的定义与性 质；④曲线交点的定义与求法； y 【解答思路】题中给出了双曲线方程，已经明确 Q P 焦点在 X 轴上，根据问题条件结合双曲线，抛物 ⇒ ⇒ 2( 10)a − 2( 10)b − 2(5 10)− 2(10 10)− ≤ ∴ ≥ ⇒ ⇒ ∴ ≥ ∈ N ∗ 2n  ∴ ⇒ ⇒ ∴ 2 2 x a 2 2 y b 1F 2F 2y ∠ 1F 2F 5 7 2 3 2 3线的定义与性质分别求出 a，c 的值，然后由双曲 线离心率的公式 e= 求出双曲线的离心率就可得 O x 出选项。 【详细解答】如图，过 作垂直于 X 轴的直线 l，过 P 作 PQ l 于 Q， 抛物线 =2px （p＞0）与双双曲线 C 有相同的焦点，P 是抛物线与 双曲线 C 的一个交点， |PQ|=|P |， QP = P， cos P = ， cos QP = = = ， |P |= |P |，设|P |=7，则|P |=5， |P |-|P |=7-5=2=2a， a=1， 在 P 中， | P| = |P | +|| | -2|P || | cos P ， 25=49+4 -2 7 2c ， -5c+6=0， c=2 或 c=3， e= = 或 e= = e=2 或 e=3， D 正确， 选 D。 12、三棱柱 ABC— 中，棱 AB，AC，A 两两垂直，AB=AC，且三棱柱的侧面积 为 +1，若该三棱柱的顶点都在同一个球 O 的表面上，则球的表面积的最小值为（ ） A B C 2 D 4 【解析】 【考点】正三棱柱的定义与性质；②正三棱柱外接球的定义与性质；③几何体外接球半径的 求法；④球的表面积计算公式与方法。 【解题思路】运用正三角形的性质和正三棱柱外接球的性质求出外接球的半径，再运用球的 表面积公式进行计算就可得出结果。 【详细解答】如图，取 BC 的中点 ，过 作 D 平面 ABC 于 ，在 D 确定三棱柱 ABC— 外接球的球心 O，连接 AO，设外接球的半径为 R，AB= O AC=x， ABC 是等腰直角三角形， A = x， A 棱 AB，AC，A 两两垂直，三棱柱的侧面积为 +1， B C A = ，在 Rt A O 中， AO=R，O = A = ，A = x， = + ， = + ， =4 =4( + ) 4 = ， c a 1F 2F 1F ⊥  2y ∴ 2F ∠ 1F ∠ 2F 1F  ∠ 1F 2F 5 7 ∴ ∠ 1F 1 | | | | PQ PF 2 1 | | | | PF PF 5 7 ⇒ 2F 5 7 1F 1F 2F ⇒ 1F 2F ⇒  ∆ 1F 2F 2F 2 1F 2 1F 2F 2 1F 1F 2F ∠ 1F 2F ∴ 2c × × × 5 7 ⇒ 2c ⇒ ∴ c a 2 1 c a 3 1 ⇒ ⇒ ∴ 1A 1B 1C 1A 2 π 2 π π π 1O 1O 1O ⊥ 1A 1O 1O 1A 1B 1C 1B 1C  ∆ ∴ 1O 2 2  1A 2 1O ∴ 1A 2 2x ∆ 1O  1O 1 2 1A 2 4x 1O 2 2 2AO 2 1OO 2 1AO ∴ 2R 2 1 8x 2 2 x ⇒ OS球 表 π 2R 2 1 8x 2 2 x π ≥ 2 2 1 8 2 x x × π π ∴球 O 表面积的最小值是 ， A 正确， 选 A。 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡上） 13、某单位有男女职工共 600 人，现用分层抽样的方法，从所有职工中抽取容量为 50 的样 本，已知从女职工中抽取的人数为 15，那么该单位的女职工人数为 ； 【解析】 【考点】①分层抽样的定义与性质；②分层抽样确定各层抽样数的基本方法。 【解题思路】运用分层抽样的性质和确定各层抽样数的基本方法，结合问题条件就可求出女 职工的人数。 【详细解答】设该单位女职工人数为 n， 50=15， n=15 =180（人）。 14、若 cos（ + ）= ，则 cos2 的值等于 ； 【解析】 【考点】①三角函数诱导公式及运用；②二倍角公式及运用。 【解题思路】运用三角函数诱导公式和二倍角公式，结合问题条件通过运算就可求出 cos2 的值。 【详细解答】 cos（ + ）=-sin = ， sin =- ， cos2 =1-2sin =1 -2 =1- = 。 15、已知公差大于零的等差数列{ }中， ， ， 成等比数列，则 的值是 ； 【解析】 【考点】①等差数列的定义与性质；②等比数列的定义与性质；③等差数列通项公式的求法。 【解题思路】运用差数列的性质和等比数列的性质，结合问题条件求出等差数列的首项与公 差，从而得到等差数列的通项公式，根据等差数列的通项公式求出 ， 的值就可求出 的值。 【详细解答】设等差数列{ }的首项为 ，公差为 d， = +d， = +5d， = +11d 成等比数列， =（ +d）.（ +11d）， 7 - d=0， d>0， =7d， = +d=8d， = +11d=18d， = = 。 16、在平面直角坐标系 XOY 中，已知点 A（1，0），直线 l：y=k(x-1)+2，设点 A 关于直线 l 的对称点为 B，则 . 的取值范围是 。 【解析】 π ⇒ ∴  600 n × ∴ × 600 50 2 π α 1 3 α α  2 π α α 1 3 ∴ α 1 3 ⇒ α 2 α × 21( )3 − 2 9 7 9 na 2a 6a 12a 12 2 a a 2a 12a 12 2 a a na 1a  2a 1a 6a 1a 12a 1a ∴ 2 1( 5 )a d+ 1a 1a ⇒ 2d 1a  ∴ 1a ⇒ 2a 1a 12a 1a ∴ 12 2 a a 18 8 d d 9 4 OA OB【知识点】①平面向量数量积的定义与性质；②平面向量数量积坐标运算法则和基本方法； ③向量坐标运算的法则和基本方法；④已知点关于已知直线对称点的定义与求法；⑤基本不 等式及运用。 【解题思路】设 B（x，y），运用已知点关于已知直线对称点的求法，结合问题条件求出点 B 的坐标，根据向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件求出向量 ， ，利用面 向量数量积坐标运算法则和基本方法得到 . 关于 k 的函数，通过求函数值域的方法就 可求出 . 的取值范围。 【详细解答】设 B（x，y）， 点 A（1，0），关于直线 l：y=k(x-1)+2 的对称点为 B， =k( -1) +2，且 =- ， x= ，y= ， B（ ， ）， =（1， 0）， =（ ， ）， . = +0= =1+ =1+ ， ①若 k>0 ， 2 =2 ， ， 1+ 1+ = ； ② 若 k0， 1+2cosA=0， cosA=- ， 0b>0），的左，右焦点分别为 ， ， 且| |=2，P 是椭圆上任意一点，满足|P |+|P |=2 。 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设直线 l：y=kx+m 与椭圆 C 相较于 A，B 两点，且|AB|=2，M 为线段 AB 的中点，求|OM| 的最大值。 【解析】 【考点】①椭圆的定义与性质；②椭圆标准方程的求法；③直线与椭圆相交的定义与性质； 【考点】①椭圆的定义与性质；②椭圆标准方程的求法；③直线与椭圆相交的定义与性质；④ 设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；⑤椭圆的弦长公式与求法；⑥两点间的距 离公式及运用；⑦求函数最值的基本方法。 【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件得到含 a,c 的方程组， 求解方程组得出 a，c 的值，根据椭圆 a，b，c 的关系求出 b 的值就可求出椭圆的标准方程； （2）根据设而不求，整体代入数学思想,由直线方程与椭圆方程联立，消去 y 得到关于 x 的 一元二次方程，得到从而求出点 M 的坐标，结合问题条件得到|OM|关于变量 k 的函数，利用 求函数最值的基本方法就可求出|OM|的最大值。 【详细解答】（1） | |=2c=2， a= ， = - =2-1=1， 椭圆 |P |+|P |=2a=2 ， c=1， C 的方程为： + =1； （2）设 A（ ， ），B（ ， ），M（ ， ），由 y=kx+m，得（1+2 ） +4kmx + =1，+2 -2=0， =- ， = ， |AB|= = =2， 1+2 = （2+2 ）， = ， + = k （ ）+2m= ，2 = ，2 = ， =- ， = ， M（- ， ）， A，B 是不同两点， =16 -4 （1+2 ）.（2 ∴ 1 λ λ + VP— ACD 1 4 VP— ACD ⇒ 1 λ λ + 1 4 ∴ λ 1 3 PM PB 1 3 2 2 x a 2 2 y b 1F 2F 1F 2F 1F 2F 2  1F 2F ∴ 2 ⇒ 2b 2a 2c ∴ 1F 2F 2 2 2 x 2y 1x 1y 2x 2y 0x 0y 2k 2x 2 2 x 2y 2m  1 2x x+ 2 4 1 2 km k+ 1 2x x 2 2 2 2 1 2 m k − + ∴ 21 k+ 2 2 2 2 4 8( 1)( )1 2 1 2 km m k k −− −+ + 21 k+ 2 2 2 2 2 2 1 1 2 k m k + − + ⇒ 2k 2m 2k ∴ 2m 2 2 2 1 2 2 k k + +  1y 2y 1 2x x+ 2 2 1 2 m k+ 0x 1 2x x+ 0y 1 2y y+ ∴ 0x 2 2 1 2 km k+ 0y 21 2 m k+ ⇒ 2 2 1 2 km k+ 21 2 m k+  ∴ ∆ 2k 2m × 2k 2m-2）=-8 +8+16 >0， 。 【解析】 【考点】①函数导函数的定义与求法；②确定函数极值点的基本方法；③运用导函数判定函 数单调性的基本方法；④不等式的定义与解法；⑤证明不等式的基本方法。 【解题思路】（1）运用求函数导函数的基本方法，结合问题条件求函数 f(x)的导函数，利 用导函数判定函数单调性的基本方法得到关于参数 a 的不等式，求解不等式就可求出实数 a 的取值范围；（2）运用确定函数极值点的基本方法，由当 x>0 时，不等式 f(x) 0 恒成立， 把参数 a 分离出来，得到一个不含参数 a 的新函数，根据导数求函数最值的基本方法求出新 函数的最值，从而得到参数 a 的取值范围就可求出参数 a 的最小整数。 【详细解答】（1） 函数 f(x)=xlnx-2a +x 在（0，+ ）单调递减， (x)=lnx+1-4ax+1 =lnx-4ax+2 0 在（0，+ ）上恒成立， 4a 在（0，+ ）上恒成立，设 g(x) = （x）= ，令 （x）=0 得 x= ，当 x （0， ）时， （x） >0，当 x （ ，+ ）， （x） ， 证明 > ln - ln ，即证明 -ln >0， 设 x= ，x （0，1），函数 h（x）= -lnx， （x）= h（1）=0， >lnx，即不等式 -ln >0 成立， 综上所述 + > 。 22、（本小题满分 10 分）选修 4—4，坐标系与参数方程。 在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C 的参数方程为 x=2+2cos ( 为参数)，以坐标原点 O Y=2sin ，为极点，x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin（ + ）= 。 （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）设点 M（0，1），若直线 l 与曲线 C 相较于 A，B 两点，求|MA|+|MB|的值。 【解析】 【考点】①参数方程的定义与性质；②极坐标系与极坐标方程的定义；③参数方程，极坐标 方程，直角坐标方程相互转化的基本方法；④直线参数方程中参数的意义与性质。 【解题思路】（1）运用参数方程化普通方程的基本方法， 结合问题条件就可得到 曲线 C 的普通方程是，利用极坐标方程化直角坐标方程的基本方法就可得到直线 l 的直角坐标方程； （2）验证点 M（0,1）是否在直线 l 上，由直线 l 的参数方程与圆的方程联立得到关于 t 的 一元二次方程，从而求出 + ， . 的值，利用直线参数的意义就可求出|MA|+|MB|的值。 【详细解答】（1） 曲线 C 的参数方程为：x=2+2cos ( 为 =4cos ， 1t 2t 1t 2t  ∴ 2( 2)x − 2  f ′ ∞ ∴ ∞  ∴ 1 4 f ′ ∞ 1x 2x 1x 2x 1x 1x 1x 2x 1x 2x ∴ 2x 2x 1x 2x 1 2a 1 2 1 24 ( ) x x a x x + − 1 2 1 2 (ln ln )a x x− ⇒ 1 2 1 2 2( )x x x x − + 1x 2x 1 2 1 2 2( 1) 1 x x x x − + 1 2 x x 1 2 x x ∈ 2( 1) 1 x x − +  h′ 2 2 ( 1) ( 1) x x x − − + ∴ ⇒ ∈ ∴ 2( 1) 1 x x − + 1 2 1 2 2( 1) 1 x x x x − + 1 2 x x ∴ 1x 2x 1 2a α α α ρ θ 4 π 2 2 α α α y=2sin ，参数)， =4sin ， + =4， 曲线 C 的普通方程是： + =4； 直线 l 的极坐标方程为： sin( + ) = ， （sin +cos ）=1， x+y-1=0， 直线 l 的直角坐标方程是： x+y-1=0。（2） 当 x=0 时，y=1-0=1， 点 M（0,1）在直线 l 上， 直线 l 的参数方程为： x=- t(t 为参数），由 x=- t(t 为参数），得： - t+1=0， + = ， . = 1， Y=1+ t， Y=1+ t， |MA|+|MB|=| + |= 。 + =4， 2y 2 ⇒ 2( 2)x − 2y ∴ 2( 2)x − 2y  ∴ ⇒ ∴  ∴  2t 2  1t 2t 2 1t 2t ∴ 1t 2t 2 2( 2)x − 2y α α ρ θ 4 π 2 2 ρ θ θ 2 2 2 2 2 2 2 2