高二年级 4 月月考数学试卷
一、选择题（本大题共 16 小题，共 80.0 分）
1. 甲、乙等 人排一排照相，要求甲、乙 人相邻但不排在两端，那么不同的排法共有 ．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2. 将 4 名学生分配到甲、乙、丙 3 个实验室准备实验，每个实验室至少分配 1 名学生的不同分配
方案共有
A. 12 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种
3. 已知随机变量 X 的分布列为
X 0 1
P p
则
A. 0 B. C. D.
4. 已知随机变量 X 服从二项分布 若 ， ，则
A. B. C. D.
5. 以下四个命题，其中正确的是
A. 由独立性检验可知，有 的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，
则他有 的可能物理优秀
B. 两个随机变量相关系越强，则相关系数的绝对值越接近于 0
C. 在线性回归方程 中，当变量 x 每增加 1 个单位时，变量 平均增加
个单位
D. 线性回归方程对应的直线 至少经过其样本数据点中的一个点．6. 设某中学的高中女生体重 单位： 与身高 单位： 具有线性相关关系，根据一组样本数
据 3， ， ，用最小二乘法近似得到回归直线方程为 ，则下列
结论中不正确的是
A. y 与 x 具有正线性相关关系
B. 回归直线过样本的中心点
C. 若该中学某高中女生身高增加 1cm，则其体重约增加
D. 若该中学某高中女生身高为 160cm，则可断定其体重必为
7. 在 的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式的常数项为
A. B. 7 C. D. 28
8. 则
A. 1 B. C. 1023 D.
9. 已知随机变量 X 服从正态分布 ，且 ，则
A. B. C. D.
10. 已知某批零件的长度误差单位：毫米服从正态分布 ，从中随机抽取一件，其长度误差落
在区间 内的概率为 附：若随机变量服从正态分布 ，则
，
A. B. C. D.
11. 已知函数 在定义域 上是减函数，且 ，则实数 a 的取值范围
是
A. B. C. D. 12. 已知奇函数 在 时的图象如图所示，则不等式 的解集为
A. B. C. D.
13. 已知 满足对 ， ，且 时， ，则 的值为
A. B. 0 C. 1 D. 2
14. 的展开式中 的系数为
A. 6 B. 18 C. 24 D. 30
15. 已知 的展开式中第 5 项与第 8 项的二项式系数相等，记展开式中系数最大的项为第 k 项，
则
A. 6 B. 7 C. 6 或 7 D. 5 或 6
16. 投掷一枚均匀的骰子两次，则在第一次投掷出奇数的前提下，第二次掷出的点数为大于 4 的概
率为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
17. 的展开式中含 项的系数是______ 用数字作答
18. 的展开式中， 的系数为__________．用数字作答
19. 将 10 个志愿者名额分配给 4 个学校，要求每校至少有一个名额，则不同的名额分配方法共有
______种．用数字作答
20. 定义运算 ，已知函数 ，则 的最大值为________
三、解答题（本大题共 2 小题，共 20.0 分）21. 为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共有学
生 960 人，其中男生 560 人，从全校学生中抽取了容量为 n 的样本，得到一周参加社区服务时
间的统计数据如表：
超过 1 小时
不超过 1 小
时
男生 20 8
女生 12 m
Ⅰ 求 m，n；
Ⅱ 能否有 的把握认为该校学生一周参加社区服务时问是否超过 1 小时与性
别有关？
Ⅲ 以样本中学生参加社区服务时间超过 1 小时的频率作为该事件发生的概率，现从
该校学生中随机调査 6 名学生，试估计这 6 名学生中一周参加社区服务时间超过 1 小时的人
数．
附：
k
22. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上 40 件产品作为
样本算出他们的重量 单位：克 重量的分组区间为 ， ，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
根据频率分布直方图，求重量超过 505 克的产品数量．
在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 Y 为重量超过 505 克的产品数量，求 Y 的分布
列．
从流水线上任取 5 件产品，求恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率．高二年级 4 月月考数学参考答案
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了排列组合的实际应用，属于基础题利用捆绑法和特殊位置排列法结合分步乘法计数
原理求解即可．
【解答】
解：根据题意，甲、乙看做一个元素安排中间位置，共有 种排法，
其余 3 人排其它 3 个位置，共有 种排法，
利用乘法原理，可得不同的排法有 种．
故选 B．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查分步计数原理以及排列、组合的综合应用．
根据题意首先把 4 名学生分为 3 组，则有 种分法，再把分好的 3 组分到甲、乙、丙 3 个实验室，
则有 种分法，进而再利用分步计数原理计算出答案．
【解答】
解：因为 4 名学生分配到甲、乙、丙 3 个实验室准备实验，每个实验室至少分配 1 名学生，
所以首先把 4 名学生分为 3 组，则有一个组有 2 人，共有 种分法，再把分好的 3 组分到甲、乙、丙 3 个实验室，则有 种分法，
所以共有 种分法．
故选 C．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查离散型随机变量的期望的求法，是基础题．
由随机变量 X 的分布列求出 ，求出 ．
【解答】
解：由随机变量 X 的分布列知： ，
则
所以 ．
故选 B．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了服从二项分布的随机变量的期望及方差的求法，属于基础题．
由随机变量 X 服从二项分布 ，结合期望及方差的公式运算即可得解．
【解答】
解：由随机变量 X 服从二项分布 ．
又 ， ，
所以 ，
解得： ，
故选：C．
5.【答案】C【解析】【分析】
本题考查了回归分析与独立性检验的应用问题，是基础题．根据题意，对选项中的命题进行分析、
判断正误即可．
【解答】
解：对于 A，有 的把握认为物理成绩与数学成绩有关，是指“不出错的概率”，
不是“数学成绩优秀，物理成绩就有 的可能优秀”， A 错误；
对于 B，根据随机变量的相关系数知，两个随机变量相关性越强，
则相关系数的绝对值越接近于 1， B 错误；
对于 C，根据线性回归方程 中，当变量 x 每增加 1 个单位时，
预报变量 平均增加 个单位， C 正确；
对于 D，线性回归方程对应的直线 可能不经过其样本数据点
中的任何一个点， D 错误．
故选 C．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了回归直线方程的应用问题，属于基础题．
根据回归直线方程的意义，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．
【解答】
解：由于线性回归方程中 x 的系数为 ，因此 y 与 x 具有正的线性相关关系，A 正确；
由线性回归方程必过样本中心点 ，因此 B 正确；
由线性回归方程中系数的意义知，x 每增加 1cm，其体重约增加 ，C 正确；
当某女生的身高为 160cm 时，其体重估计值是 ，而不是确定值，因此 D 错误．
故选 D．
7.【答案】B【解析】【分析】
本题考查二项式系数的性质、利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于中档
题．
利用二项展开式的中间项的二项式系数最大，列出方程求出 n，利用二项展开式的通项公式求出通
项，令 x 的指数为 0 求出常数项．
【解答】
解：依题意 ，
，
二项式为 ，
其展开式的通项 ，
令 ，解得 ，
故常数项为 ，
故选 B．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
本题由于是求二项式展开式的系数之和，故可以令二项式中的 ，又由于所求之和不含 ，令
，可求出 的值，代入即求答案．
【解答】
解：令 代入二项式 ，
得 ，
令 得 ，
，
，故选 D．
9.【答案】A
【解析】解： ，
．
，
．
故选：A．
根据对称性，由 的概率可求出 ，即可求出 ．
本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查正态分布曲线的特点及概率的求法，考查曲线的对称性，属于基础题．
由题意 ， ，可得
，即可得出结论．
【解答】
解：由题意 ， ，
所以 ．
故选：B．
11.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了函数的性质的运用，函数的单调性，属于基础题．
利用函数 在定义域 上是减函数，将 转化为： 求
解，注意定义域的范围．【解答】
解：函数 在定义域 上是减函数，
则有：
解得： ．
故选 B．
12.【答案】C
【解析】【分析】
由函数的奇偶性得出整个图象，分类讨论的思想得出函数值的正负，数形结合得出自变量的范围，
属于中档题．
由 是奇函数得函数图象关于原点对称，可画出 y 轴左侧的图象，利用两因式异号相乘得负，得
出 的正负，由图象可求出 x 的范围得结果．
【解答】
解：根据 为奇函数，图象关于原点对称可以补全图象，
因为 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
不等式 的解集为 ．
故选 C．13.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数的周期性，注意分析函数的周期，属于基础题．
根据题意，分析可得 是周期为 2 的周期函数，则 ，结合函数
的解析式分析可得答案．
【解答】
解：根据题意， 满足对 ， ，
则 是周期为 2 的周期函数，
则 ，
故选：C．
14.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
把 按照二项式定理展开，可得 的展开式中 的系数．
【解答】
解： ，
故它的展开式中 的系数为 ．
故选 B．
15.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
利用二项式系数的性质求得 ，再利用二项式展开式的通项公式求得第 项的系数，可得结
论．【解答】
解：由题意可得 ，求得 ，
故展开式第 项的系数为 ，
故当 ，即第 7 项的系数最大，
故选 B．
16.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，解题时要认真审题，注意条件概率计算公式的合理运用，是基础题．
利用条件概率得 ， 的值，由 即可求解．
【解答】
解：假设第一次投掷的点数是奇数为事件 A，第二次掷出的点数大于 4 为事件 B，
则 ， ，
因此 ．
故选 A．
17.【答案】40
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题．
一般地通项公式主要应用有求常数项，有理项，求系数，二项式系数等．
【解答】
解：通项公式为 ，
可知 ，
所以展开式中含 项的系数为 ，
故答案为 40．
18.【答案】20【解析】【分析】
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
利用二项式定理的通项公式即可得出．
【解答】
解： 的展开式中，通项公式 ，
令 ，解得 ．
，
的系数为 ，
故答案为 20．
19.【答案】84
【解析】解：根据题意，将 10 个名额排成一列，排好后，除去 2 端，有 9 个空位，
在 9 个空位中插入 3 个隔板，可将 10 个名额分成 4 组，依次对应 4 个学校，
则有 种分配方法，
故答案为：84．
根据题意，用隔板法分析：先将将 10 个名额排成一列，在空位中插入 3 个隔板，由组合数公式计算
即可得答案．
本题考查组合数公式的应用，注意 10 个名额之间是相同的．
20.【答案】1
【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数与一次函数的图象，以及函数的最值及其几何意义等基础知识，利用数形
结合法求解一目了然．
先画出函数 的图象与 的图象，然后根据新的定义找出函数 的图象，结合图象一
目了然，即可求出 的最大值．
【解答】
解：在同一坐标系中画出函数 的图象与 的图象，
令 ，得 或 ，
由图可得：当 时，函数 取最大值 1，
故答案为 1．
21.【答案】解： 重量超过 505 克的产品数量是 件；
的所有可能取值为 0，1，2，
， ， ，
Y 的分布列为
Y 0 1 2
P
从流水线上任取 5 件产品，重量超过 505 克的概率为 ，
重量不超过 505 克的概为 ，
恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率为 ．【解析】本题考查频率分布直方图，离散型随机变量的分布列，n 次独立重复试验的概率求法．
重量超过 505 克的产品结合频率分布直方图可知有两个部分，求出两矩形的面积，根据重量超过
505 克的产品数量等于该频率乘以样本容量即可；
的所有可能取值为 0，1，2，然后利用组合数分别求出它们的概率，列出分布列即可；
从流水线上任取 5 件产品，恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克，则有两件合格，有三件不合格，
利用 n 次独立重复试验概率公式计算即可．
22.【答案】解：Ⅰ根据分层抽样法，抽样比例为 ，
；
；Ⅱ根据题意完善 列联表，如下；
超过 1 小时 不超过 1 小时 合计
男生 20 8 28
女生 12 8 20
合计 32 16 48
计算 ，
所以没有 的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过 1 小时与性别有关；Ⅲ参加社区
服务时间超过 1 小时的频率为 ，
用频率估计概率，从该校学生中随机调査 6 名学生，
估计这 6 名学生中一周参加社区服务时间超过 1 小时的人数为 人．
【解析】Ⅰ根据分层抽样比例列方程求出n 的值，再计算 m 的值；Ⅱ根据题意完善 列联表，计
算 ，对照临界值表得出结论；Ⅲ计算参加社区服务时间超过 1 小时的频率，用频率估计概率，计
算所求的频数即可．
本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了用频率估计概率的应用问题，是基础题．
微信/支付宝扫码支付