安徽枞阳县浮山中学2019-2020高二数学（理）下学期开学试题（带答案Word版）

浮山中学 2019-2020 学年第二学期期中测试（开学） 高二数学试题（理科） 试卷分值：150 分 考试时间 120 分钟 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的 A，B，C，D 的四个 选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号填涂到答题卡相应位置. 1．若复数 满足 ，则复数 在复平面上的对应点在第( )象限 A.一 B.二 C.三 D.四 2．我们从这个商标 中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是 （　　） A． B． C． D． 3．已知函数 ，若 f（0）＜0，则此函数的单调减区 间是（　　） A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，+∞） C．（﹣3，﹣1] D．[﹣1，1） 4．已知正实数 a，b，c 满足： ，则（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b 5．已知 ，若 的最大值为 M， 的最小值为 N， 则 M+N 等于（　　） A．0 B．2 C． D． 6．已知函数 f（x）＝ ，若关于 x 的方程[f（x）]2+mf（x）+m﹣1＝0 恰有 3 个不同的实数 解，则实数 m 的取值范围是（　　） A．（﹣∞，2）∪（2，+∞） B．（1﹣ ，+∞） C．（1，e） D．（1﹣ ，1） 7．已知 y＝f（x+2）是奇函数，若函数 g（x）＝f（x）﹣ 有 k 个不同的零点，记为 x1， z 5)21( =− zi z ( ) [ ]3=sin 1, 2 ,2f x x x x π π− + ∈ − ( )f x ( )f x 4π 38πx2，…，xk，则 x1+x2+…+xk＝（　　） A．0 B．k C．2k D．4k 8．已知函数 f（x）＝sin cosωx﹣ （ω＞0）在[0， ]上有且仅有三个零点，则 ω 的取值范围是（　　） A．（ ， ） B．[ ， ] C．[4， ] D．[4， ） 9．已知函数 ，若对任意两个不相等的正数 x1，x2，都有 恒成立，则 a 的取值范围为（　　） A．[4，+∞） B．（4，+∞） C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，4） 10．已知函数 f（x）＝（x2﹣2x）ex，若方程 f（x）＝a 有 3 个不同的实根 x1，x2，x3（x1＜x2 ＜x3），则 的取值范围是（　　） A．（ ，0 ） B．（ ，0） C．（ ， ） D．（0， ） 11．函数 恰有一个零点，则实数 的值为（　　） A．4 B．3 C． D． 12. 设函数 是函数 的导函数，当 时， ,则函数 的零点个数为（　　） A. 3 B.2 C.1 D.0 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．已知 ，若 ，则 的表 达式为________． 14.已知奇函数 满足：对一切 ，且 时， . 15.已知 是函数 的零点， 是函数 的零点，则 ( ) 22 ln 3f x x x x ax= + − + a 6 3 )(' xf ))(( Rxxf ∈ 0≠x 0 ( ) 3 4f x > 3 3( )4 2f x< ≤当 ≤x＜1 时，h'（x）＞0，h（x）单调递增； 当 1＜x≤e 时，h’（x）＜0， h（x）单调递减∴h（x）max＝h（1）＝1． 又 h（ ）＝ ，h（e）＝0，∴ ．即实数 a 的取值范围是（ ，1） 20．（12 分）解：（1）依题意，f′（x）＝ +a＝ 若 a＝0，则 f′（x）＝ ＞0，故函数 f（x）在[4，+∞）上单调递增； 若 a≠0，令 f′（x）＝0，解得 x＝﹣ ， ①若 a＞0，则﹣ ＜0，则 f′（x）＞0，函数 f（x）在[4，+∞）上单调递增； ②若 a≤﹣ ，则﹣ ≤4，则 f′（x）≤0，则函数 f（x）在[4，+∞）上单调递减； ③﹣ ＜a＜0，则﹣ ＞4，则函数 f（x）在[4，﹣ ]单调递增，在（﹣ ，+∞）上单调 递减； 综上所述，a≥0 时，函数 f（x）在[4，+∞）上单调递增，a≤﹣ 时，函数 f（x）在[4，+ ∞）单调递减， ﹣ ＜a＜0 时，函数 f（x）在[4，﹣ ]单调递增，在（﹣ ，+∞）上单调递减． （2）证明：依题意，x2+1﹣4lnx﹣2ax≥0，而 g′（x）＝2x﹣ ﹣2a＝ ， 令 g′（x）＝0，解得 x＝ ＞1，因为 a＞0，故 ＞1， 故 g′（x）在（1，+∞）上有唯一零点 x0＝ ， 又 g′（x）＝2（﹣ +x﹣a）故﹣ +x0﹣a＝0① 要使 g（x）≥0 在（1，+∞）上恒成立，且 g（x）＝0 有唯一解，只需 g（x0）＝0， 即﹣2lnx0+ （x20+1）﹣ax0＝0② 由①②可知，﹣2lnx0+ （x 2+1）﹣x0（﹣ +x0）＝0，故﹣2lnx0﹣ x20+ ＝0， 令 h（x0）＝﹣2lnx0﹣ x20+ ，显然 h（x0）在（1，+∞）上单调递减， 因为 h（1）＝2＞0，h（2）＝﹣2ln2+ ＜0，故 1＜x0＜2，又 a＝﹣ +x0 在（1，+∞）单调递增，故必有 a＜1． 21.（12 分）（I）由条件 PQ 垂直平分 AB，若 ，则 ， 故 ， 所以 ， 所求函数关系式为 （II） 因为 可看作点 和点 的连线的斜率， 由单位圆知，当 ，所以 ， 所以当 ，即点 P 位于线段 AB 的中垂线上且距离 处时， 三条排污管管道总长最短为 . 22.（12 分）解：（I） … 时， 递增， 时， 递减， 时， 时 ， 递增，所以 综上，当 ； 当 当 （II）因为 递增， 的值域为 BAO θ∠ = 10 cos cos AQOA θ θ= = 10 10 10tancosOB OP θθ= = −，又 10 10 10 10tancos cosy OA OB OP θθ θ= + + = + + − 20 10sin 10, 0cos 4y θ πθθ −  = + ≤ ≤   ( )10 2 sin20 10sin 10 10cos cosy θθ θ θ −−= + = + sin 2 cosu θ θ −= ( )0,2 ( )cos ,sinθ θ 0 2 34 u πθ≤ ≤ − ≤ ≤ −时， 10 10 3 30y+ ≤ ≤ 6 πθ = 10 3 3AB km边 ( )10 10 3 km+ ( ) 2x af x x −′ = 01 . 1a ≤ [ ] ( ) ( )1, 0x e f x f x′∈ ≥ ( ) ( )min 11 2f x f a= = − 0 22 .a e≥ [ ] ( ) ( )1, 0,x e f x f x′∈ ≤ ( ) ( ) 2 min 22 ef x f e a= = − 0 23 .1 a e< < 1,x a ∈   ( ) ( )0,f x f x′ < ( ) ( ), 0,x a e f x f x  ′∈ > 时 ( ) ( )min ln2 2 a af x f a a= = − − ( )min 11 2a f x a≤ = −时， ( )2 min1 ln2 2 a aa e f x a< < = − −时， ( ) 2 2 min 22 ea e f x a≥ = −时， ( ) 1,xg x e′ = − [ ] ( ) ( )0,1 0,x g x g x′∈ ≥时 ( )g x ( ) ( ) [ ]0 , 1 0, 2g g e= −  （i）当 时， 在 上单调递增， 又 ，所以 即 （ii）当 时，因为 时， 递减， 时， 递增，且 ，所以只需 即 ，所以 （iii）当 时，因为 上单调递减，且 ， 所以不合题意.综合以上，实数 的取值范围是 . 1a ≤ ( )f x [ ]1,e ( ) ( ) 211 , 22 2 ef a f e a= − = − 2 1 02 2 22 a e a e  − ≤  − ≥ − 1 12 a≤ ≤ 21 a e< < 1,x a ∈   ( )f x ,x a e ∈   ( )f x ( ) ( )1 0, 0f f a< < ( ) 2f e e≥ − ， 2 2 22 e a e− ≥ − 2 1 14 2 e ea< ≤ − + 2a e≥ ( ) [ ]1f x e在 ， ( ) ( ) 11 02f x f a≤ = − < a 21 2 4,2 4 e e − +  