数学（文科）试卷
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，监考人员将答题卡收回。
第Ⅰ卷 选择题
一．单选题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。）
1.已知集合 A={x|–1
bca −
ba
11 < 1<
a
b7.若实数 x，y 满足条件 ，目标函数 ，则 z 的最大值为（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 0
8.我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，
问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一
天的 2 倍，已知她 5 天共织布 5 尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条
件，若该女子共织布 尺，则这位女子织布的天数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
9.若点(2，k)到直线 5x-12y+6=0 的距离是 4，则 k 的值是（ ）
A. 1 B. -3 C. 1 或 D. -3 或
10.根据如图所示的程序框图，当输入的 x 值为 3 时，输出的 y 值等于（ ）
A. 1 B. C. D.
11.已知点 在双曲线 上，则该双曲线的离
心率为（ ）
A. B. C. D. 第 10 题图
12.关于 x 的不等式 的解集是(1,+∞)，则关于 x 的不等式 的解集是
（ ）
A. (－∞,－1)∪(3,+∞) B. (－1,3) C. (1,3) D. (－∞,1)∪(3,+∞)
第Ⅱ卷 非选择题
二．填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13.若 ，且 ，则 的最小值是__________.
14.已知向量 ， ，若 ，则实数 m=__________.
≥
≥
≤−+
≤−+
1
0
042
052
y
x
yx
yx
yxz −= 2
2
5
31
35
3
5
3
17
e 1-e 2-e
( )10352 ，A ( )0110 2
22
>=− bb
yx
3
10
2
10 10 102
0>−bax ( )( ) 03 >−+ xbax
00 >> yx ， 112 =+
yx yx 2+
( )1,1=a ( )mb ,2−= ( ) bba //2 −15.某中学高一年级有学生 1200 人，高二年级有学生 900 人，高三年级有学生 1500 人，现按
年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为 720 的样本进行某项研究，则
应从高三年级学生中抽取__________人．
16.已知函数 ，则曲线 在 处的切线斜率为__________.
三．解答题（共 70 分,解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，
每个试题考生必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题：共 60 分。
17.（本题满分 12 分）在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，角
为锐角， 的面积为 .
（1）求角 的大小；
（2）求 的值.
18.（本题满分 12 分）如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是棱长为 2 的正方形，侧
面 PAD 为正三角形，且面 PAD⊥面 ABCD，E，F 分别为棱 AB，PC 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的正切值．
19.（本题满分 12 分）为迎接 2022 年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，
并在培训结束后对学生进行了考核．记 X 表示学生的考核成绩，并规定 为考核优
秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了 30 名学生的考核成绩，
并作成如下茎叶图：
（1）从参加培训的学生中随机选取 1 人，请根据图中数据，
估计这名学生考核优秀的概率；
（2）从图中考核成绩满足 的学生中任取 2 人，
求至少有一人考核优秀的概率；
( ) xfxxf ln12)( '2 += )(xfy = 1=x
ABC∆ CBA ,, cba ,, 8,3 == cb A
ABC∆ 36
A
a
//EF PAD
DECP −−
85≥X
[ ]89,80∈X（3）记 表示学生的考核成绩在区间 的概率，根据以往培训数据，规定当
时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，
并说明理由．
20.（本题满分 12 分）已知抛物线 ，过点 的直线 l 交抛物线于 A，B
两点，坐标原点为 O， .
（1）求抛物线的方程；
（2）当以 AB 为直径的圆与 y 轴相切时，求直线 l 的方程.
21.（本题满分 12 分）已知函数 ，当 时，有极大值 3；
（1）求 a，b 的值；
（2）求函数 f(x)的极小值及单调区间.
（二）选考题：共 10 分，请考生在 22 题、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22. [选修 4-4：坐标系与参数方程]（本题满分 10 分）
已知直线 l 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 .
（1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（2）设点 ，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求 的值.
23.[选修 4-5：不等式选讲]（本题满分 10 分）
已知 ．
（1）已知关于 x 的不等式 有实数解，求 a 的取值范围；
（2）求不等式 的解集．
( )bXaP ≤≤ [ ]ba,
5.0110
85 ≥
≤−xP
( )022 >= ppxy ( )0,2−C
12=•OBOA
( ) 23 bxaxxf += 1=x
=
+=
ty
tx
2
1
2
3
2
1
t
θρ cos2=
02
1，P PBPA +
( ) 21 −++= xxxf
( ) axf <
( ) xxxf 22 −≥数学（文科）答案
时间：150 分钟 分值：150 分
第Ⅰ卷 选择题
一．单选题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。）
1.已知集合 A={x|–1
bca −
ba
11 < 1<
a
b
≥
≥
≤−+
≤−+
1
0
042
052
y
x
yx
yx
yxz −= 2A. B. 1 C. 2 D. 0
8.我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，
问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一
天的 2 倍，已知她 5 天共织布 5 尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条
件，若该女子共织布 尺，则这位女子织布的天数是（ B ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
9.若点(2，k)到直线 5x-12y+6=0 的距离是 4，则 k 的值是( D )
A. 1 B. -3 C. 1 或 D. -3 或
10.根据如图所示的程序框图，当输入的 x 值为 3 时，输出的 y 值等于
（ C ）
A. 1 B. C. D.
11.已知点 在双曲线 上，则该双曲线的离心率为（ C ）
A. B. C. D.
12.关于 x 的不等式 的解集是(1,+∞)，则关于 x 的不等式 的解集是
（ A ）
A. (－∞,－1)∪(3,+∞) B. (－1,3) C. (1,3) D. (－∞,1)∪(3,+∞)
解析：由 的解集为(1,+∞)可知： 且
令 ，解得： ，
的解集为： .
第Ⅱ卷 非选择题
二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.若 ，且 ，则 的最小值是____8__.
14.已知向量 ， ，若 ，则实数 m=__-2____.
2
5
31
35
3
5
3
17
e 1-e 2-e
( )10352 ，A ( )0110 2
22
>=− bb
yx
3
10
2
10 10 102
0>−bax ( )( ) 03 >−+ xbax
0>−bax 0>a 1=
a
b
( )( ) 03 =−+ xbax 3,1 21 =−= xx
0>a ( )( ) 03 >−+∴ xbax ( ) ( )+∞∪−∞− ,31,
00 >> yx ， 112 =+
yx yx 2+
( )1,1=a ( )mb ,2−= ( ) bba //2 −15.某中学高一年级有学生 1200 人，高二年级有学生 900 人，高三年级有学生 1500 人，现按
年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为 720 的样本进行某项研究，则
应从高三年级学生中抽取___300__人．
16.已知函数 ，则曲线 在 处的切线斜率为__-2______.
四．解答题（共 70 分,解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，
每个试题考生必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题：共 60 分。
17.（本题满分 12 分）在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，角
为锐角， 的面积为 .
（1）求角 的大小；
（2）求 的值.
解析：（1） ∴ ，
∵ 为锐角，∴ ；…………………………………………………………………6 分
（2）由余弦定理得： .………………………………12 分
18.（本题满分 12 分）如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是棱长为 2 的正方形，侧
面 PAD 为正三角形，且面 PAD⊥面 ABCD，E，F 分别为棱 AB，PC 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的正切值．
解析：（1）证明：取 PD 中点 G，连结
为 的中位线， 且 ，
又 且 ， 且 ，
∴EFGA 是平行四边形，则 EF∥AG，
( ) xfxxf ln12)( '2 += )(xfy = 1=x
ABC∆ CBA ,, cba ,, 8,3 == cb A
ABC∆ 36
A
a
36sin832
1sin2
1 =×××==∆ AAbcS ABC 2
3sin =A
A 3
π=A
7cos222 =−+= Abccba
//EF PAD
DECP −−
AGGF、
GF PDC∆ CDGF //∴ CDGF 2
1=
CDAE // CDAE 2
1= AEGF //∴ AEGF =又 面 ， 面 ， 面 ；………………………………5 分
（2）解：取 AD 中点 O，连结 PO，
∵面 面 ， 为正三角形，
面 ，且 ，
连 交 于 ，可得 ，
，则 ，即 ．
连 ，又 ，
可得 平面 ，则 ，
即 是二面角 的平面角，……………………………………………9 分
在 中，
∴，即二面角 的正切值为 ．…………12 分
19. （本题满分 12 分）为迎接 2022 年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，
并在培训结束后对学生进行了考核．记 X 表示学生的考核成绩，并规定 为考核优
秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了 30 名学生的考核成绩，
并作成如下茎叶图：
（1）从参加培训的学生中随机选取 1 人，请根据图中数据，
估计这名学生考核优秀的概率；
（2）从图中考核成绩满足 的学生中任取 2 人，
求至少有一人考核优秀的概率；
（3）记 表示学生的考核成绩在区间 的概率，根据以往培训数据，规定当
时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，
并说明理由．
解析：（1）设这名学生考核优秀为事件 ，
由茎叶图中的数据可以知道，30 名同学中，有 7 名同学考核优秀，
所以所求概率 约为 …………………………………………………………………3 分
（2）设从图中考核成绩满足 的学生中任取 2 人，
至少有一人考核成绩优秀为事件 ，
因为表中成绩在 的 6 人中有 2 个人考核为优，
所以基本事件空间 包含 15 个基本事件，事件 包含 9 个基本事件，
⊄EF PAD ⊂AG PAD //EF∴ PAD
⊥PAD ABCD PAD∆
⊥∴PO ABCD 3=PO
OB CE M OABRtEBCRt ∆≅∆
AOBMEB ∠=∠∴ 090=∠+∠ MBEMEB ECOM ⊥
PM ECPO ⊥
⊥EC POM ECPM ⊥
PMO∠ DECP −−
EBCRt∆
5
53,5
52 =−==−= BMOBOMCE
BCBEBM
3
15tan ==∠∴
OM
POPMO DECP −−
3
15
85≥X
[ ]89,80∈X
( )bXaP ≤≤ [ ]ba,
5.0110
85 ≥
≤−xP
A
( )AP 30
7
[ ]89,80∈X
B
[ ]89,80
Ω B所以 ……………………………………………………………………………7 分
（3）根据表格中的数据，满足 的成绩有 16 个，
所以
所以可以认为此次冰雪培训活动有效．……………………………………………………12 分
20.（本题满分 12 分）已知抛物线 ，过点 的直线 l 交抛物线于 A，B
两点，坐标原点为 O， .
（1）求抛物线的方程；
（2）当以 AB 为直径的圆与 y 轴相切时，求直线 l 的方程.
解析：（1）设 l：x＝my－2，代入 y2＝2px，得 y2－2pmy＋4p＝0．（*）
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则 ．……………2 分
因为 ，所以 x1x2＋y1y2＝12，即 4＋4p＝12，
得 p＝2，抛物线的方程为 y2＝4x．…………………………………………………………5 分
（2）由（1）（*）化为 y2－4my＋8＝0．
y1＋y2＝4m，y1y2＝8．…………………………………………………………………………6 分
设 AB 的中点为 M，则|AB|＝2xm＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4， ①
又 ， ②………………………………8 分
由①②得(1＋m2)(16m2－32) ＝(4m2－4)2，
解得 m2＝3， ．……………………………………………………………………10 分
所以，直线 的方程为 ，或 ． ………………………12 分
21.（本题满分 12 分）已知函数 ，当 时，有极大值 3；
（1）求 a，b 的值；
（2）求函数 f(x)的极小值及单调区间.
解析：（1）由题意，函数 ，则 ，
由当 时，有极大值 ，则 ，……………………………………4 分
( )
5
3
15
9 ==BP
110
85 ≤−x
5.015
8
30
16110
85 >==
≤−xP
( )022 >= ppxy ( )0,2−C
12=•OBOA
44 2
2
2
2
1
21 ==
p
yyxx
12=•OBOA
( )( )321611 22
21
2 −+=−+= mmyymAB
3±=m
l 023 =++ yx 023 =+− yx
( ) 23 bxaxxf += 1=x
( ) 23 bxaxxf += ( ) bxaxxf 23 2 +=′
1=x 3
( )
( )
=+=
=+=′
31
0231
baf
baf解得 .……………………………………………………………………………5 分
（2）由（1）可得函数的解析式为 ，
则 ，………………………………………………………7 分
令 ，解得 ，
令 ，解得 或 ，………………………………………………………10 分
所以函数的单调减区间为 ，递增区间为 ，
当 时，函数取得极小值，极小值为 .当 时，有极大值 3.……12 分
（二）选考题：共 10 分，请考生在 22 题、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本题满分 10 分）
已知直线 l 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 .
（1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（2）设点 ，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求 的值.
解析：（1）由直线 参数方程消去 可得普通方程为： ………………2 分
曲线 极坐标方程可化为：
则曲线 的直角坐标方程为： ，即. ………………………5 分
（2）将直线 参数方程代入曲线 的直角坐标方程，整理可得：
设 两点对应的参数分别为： ，则 ，
9,6 =−= ba
( ) 23 96- xxxf +=
( ) ( )1181818- 2 −−=+=′ xxxxxf
( ) 0>′ xf 10
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