2020 年高考数学（3 月份）模拟试卷（文科）
一、选择题
1.不等式 成立的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】对于不等式 的解集为 ，
根据题意，分析选项可得，
A 中， 为其充要条件，不符合题意；
中，当 成立不等式成立，反之若有 成立，未必有 成立，所以为充分不
必要条件，不合题意；
中，当 不等式不一定成立，如 时，
反之若有 成立，则必有 成立，为必要不充分条件，符合条件；
中，当 不等式不一定成立，如 时，
反之若有 成立，未必有 ，如 ，则 为既不充分，又不必要条件，
不合题意，
故选 ．
2.若 、 、 ，且 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
对 ，利用分析法证明；对 ，不式等两边同时乘以一个正数，不等式的方向不变，乘以 0 再根据不等式
是否取等进行考虑；对 ，考虑 的情况；对 ，利用同向不等式的可乘性.
【详解】对 ， ，因为 大小无法确定，故 不一定成立；
对 ，当 时，才能成立，故 也不一定成立；
2 2 3 0x x− − <
1 3x- < < 0 3x< < 2 3x− < < 2 1x− < <
2 2 3 0x x− − < { | 1 3}x x− < <
1 3x- < <
B 0 3x< < 2 2 3 0x x− − < 0 3x< <
C 2 3x− < < 1.5x = −
2 2 3 0x x− − < 2 3x− < <
D 2 1x− < < 1.5x = −
2 2 3 0x x− − < 2 1x− < < 2x = 2 1x− < <
C
a b Rc∈ a b>
a b b c+ ≥ − ac bc≥
2
0c
a b
>−
( ) 2 0a b c− ≥
A B
C 0c = D
A a b b c a c+ ≥ − ⇔ > − ,a c A
B 0c ≥ B对 ，当 时不成立，故 也不一定成立；
对 ， ，故 一定成立.
故选 D.
【点睛】本题考查不等式性质的运用，考查不等式在特殊情况下能否成立的问题，考查思维的严谨性.
3.已知复数 ， 为虚数单位，则（ ）
A. B.
C. D. 的虚部为
【答案】B
【解析】
分析】
计算化简出复数 ，即可得出虚部，再依次求出模长，共轭复数，平方即可选出选项.
【详解】由题： ，
所以： ， ， ， 的虚部为 .
故选：B
【点睛】此题考查复数的基本运算和基本概念的辨析，对基础知识考查比较全面，易错点在于虚数单位的
平方运算和虚部的辨析.
4.已知角 的终边过点 ，且 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义可得 ，由此得出 的值.
【详解】解：角 的终边过点 ，即 ，
【
C 0c = C
D ( ) 2
2
0, 00,
a b a b cc
− > ⇒ − ≥ ≥ D
1 3
3
iz i
−= + i
z i= z i=
2 1z = z i−
z
2
2
1 3 (1 3 )(3 ) 3 10 3=3 (3 )(3 ) 9
i i i i iz ii i i i
− − − − += = = −+ + − −
1z = z i= 2 2( ) 1z i= − = − z 1−
α ( )8 , 6sin30P m °− − 4cos 5
α = − m
1
2
1
2
− 1
2
± 3
2
±
2
8 4cos 564 9
m
m
α −= = −
+ m
α ( )8 , 6sin30P m− − ° ( )8 , 3P m− −又 ，
角 的终边在第三象限，则 ，
，
由 ，解得 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数定义，属于基础题.
5.已知{ }是等差数列，且 a1＝1，a4＝4，则 a10＝（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，设等差数列{ }的公差为 d，结合题意可得 1， ，计算可得公差 d 的值，进而由等
差数列的通项公式可得 的值，求其倒数可得 a10 的值．
【详解】根据题意，{ }是等差数列，设其公差为 d，
若 a1＝1，a4＝4，有 1， ，
则 3d ，即 d ，
则 9d ，
故 a10 ；
故选 A．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，注意求出{ }的公差．
.
4cos 05
α = − <
∴ α 0m >
∴ 264 9OP m= +
2
8 4cos 564 9
m
m
α −= = −
+
( )1 02m m= >
1
na
4
5
− 5
4
− 4
13
13
4
1
na 1
1
a
=
4
1 1
4a
=
10
1
a
1
na
1
1
a
=
4
1 1
4a
=
4 1
1 1 3
4a a
= − = − 1
4
= −
10 1
1 1
a a
= + 5
4
= −
4
5
= −
1
na6.在区间 上机取一个实数 ，则 的值在区间 上的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据正弦函数 在 上的单调性，求得函数值为 所对应的 的值，再根据几何概
型的求解方法可得选项.
【详解】因为在 上，函数 单调递增，且当 时， ，当 时，
，
所以所求概率为 ，
故选：B.
【点睛】本题考查正弦函数的求值和几何概型的问题，属于基础题.
7.已知幂函数 的图象过函数 的图象所经过的定点，则
的值等于（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由 为幂函数，即可得到 的值，计算出 ， 且 经过的定
点，代入 中，即可得到 的值．
,2 2
π π − x sin x 1 3,2 2
−
1
3
1
2
2
3
1 3
4
+
siny x= ,2 2
π π −
1 3,2 2
− x
,2 2
π π − siny x=
6x
π= − 1sin 2x = −
3x
π=
3sin 2x =
13 6
2
2 2
π π
π π
− − = − −
1( ) (2 1) ag x a x += − 1( ) ( 0, 1)2
x bf x m m m−= − > ≠且
b
1
2
± 2
2
± 2±
1( ) (2 1) ag x a x += − a 1( ) 2
x bf x m −= − ( 0,m > 1)m ≠
( )g x b【详解】由于 幂函数，则 ，解得： ，
函数 ， 且 ，当 时， ，故 的图像所经过的
定点为 ，
所以 ，即 ，解得： ,
故答案选 B
【点睛】本题考查幂函数的定义以及函数恒过点点的问题，属于基础题．
8.在函数 的图象上，其切线的倾斜角小于 的点中，坐标为整数的点有( )个
A 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据倾斜角求出斜率的范围，设出切点坐标，利用导数的函数值即该点的斜率，求出切点的横坐标的范围，
即可推出坐标为整数的点的个数.
【详解】由于切线的倾斜角小于 ，所以斜率 .
设切点坐标为 ，则
从而
故选：B
【点睛】本题考查直线的斜率、导数的运算，考查计算能力，逻辑思维能力，是个基础题.
9.如图茎叶图表示的是甲.乙两人在 5 次综合测评中的成绩，其中乙中的两个数字被污损，且已知甲，乙两
人在 次综合测评中的成绩中位数相等，则乙的平均成绩低于甲的概率为（ ）
为
.
1( ) (2 1) ag x a x += − 2 1 1a − = 1a =
1( ) 2
x bf x m −= − ( 0,m > 1)m ≠ x b= 1 1( ) 2 2
b bf b m −= − = ( )f x
1( , )2b
1( ) 2g b = 2 1
2b = 2
2b = ±
3 3y x x= −
4
π
4
π
0 1k≤ <
3
0 0 0( , 3 )x x x− 2
0 0'( ) 3 3k f x x= = −
2 2
0 0
40 3 3 1 1 3x x≤ − < ∴ ≤ <
2
0 01, 1x x∴ = = ±
5A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据茎叶图分别求出甲、乙的中位数，平均数，得到模糊成绩的值，利用古典概型求解即可
【详解】由题意可得：甲的成绩为：84、86、91、98、98；中位数为 91，平均数为 ；
乙的成绩为：86，88，90+x，90+y，99 （x≤y）；
∵甲，乙中位数相同；
∴90+x＝91⇒x＝1； 乙的平均数为 ；
∵乙的平均成绩低于甲；
∴1≤y＜3；⇒y＝1 或 2．
∴乙的平均成绩低于甲的概率 p ；
故选：A．
【点睛】本题考查了茎叶图，以及中位数、平均数的性质及古典概型，考查了学生的计算能力，属于基础
题．
10.设平面向量 ， ，若 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 与 的夹角为锐角，得到 ，再由向量的夹角公式将其夹角余弦值表示出来，得到关
于 的不等式，解出 的范围，从而得到答案.
2
9
1
5
3
10
1
3
457
5
454
5
y+
2
9
=
( )2,1a = − ( ),2b λ= a b λ
( )1 ,2 2,2
− ∪ +∞
( ) ( ), 4 4,1−∞ − − ( )1,+∞ ( ),1−∞
a b ( )cos , 0,1a b ∈
λ λ【详解】因为 与 的夹角为锐角，
所以 ，
向量 ， ，
所以 ，
整理得 ， ，
所以 的范围为 .
故选：B.
【点睛】本题考查根据向量的夹角求参数的范围，属于简单题.
11.如图，在 中， ，点 D 在线段 BC 上，且 ， ，则 的
面积的最大值为（ ）
A. B. 4 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设 ， 则 ， 根 据 三 角 形 的 面 积 公 式 求 出 AC ， AB ， 然 后 由
，根据三角函数的性质求出面积的最大值．
【详解】解：设 ，则 ．
， ， ， ，
，同理 ，
a b
( )cos , 0,1a b ∈
( )2,1a = − ( ),2b λ=
( )
2
2 2cos , 0,1
5 4
a ba b
a b
λ
λ
⋅ − += = ∈
⋅ +
2
2 2 0
8 16 0
λ
λ λ
− + >
+ + >
1
4
λ
λ
a
20, 3
20, 3
2 ,13
1 ,13
( 1,2)ix i = ( ) 0if x > 3 2( ) 3 , ( ) ( 2)g x x x h x a x= − + = +
( )g x ( )h x ( 2,0)−
a
3 2( ) 3 , ( ) ( 2) ( ) ( ) ( )g x x x h x a x f x g x h x= − + = + ∴ = − ，
2'( ) 3 6g x x x= − +
( 1,2)ix i = ( ) 0if x > ( ) ( )i ig x h x> ，
( ), ( )g x h x ( )h x ( 2,0)− a由图可知， 时，
有且仅有两个点 满足条件，
即有且仅有 使得 .
实数 的取值范围是 ，
故选：A
【点睛】本题考查函数综合，考查学生的综合分析能力，转化与划归，数学运算能力，属于较难题.
二、填空题
13.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举
与我国古老的算法—“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入
,时，输出的 _______.
【答案】18
【解析】
【分析】
模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可
【详解】模拟程序框图的运行过程，如下：
，
执行循环体： ，不满足退出循环的条件，继续；
执行循环体： ，不满足退出循环的条件，继续；
执行循环体： ，满足退出循环条件 ，退出循环，输出 的值为 18
20 3a≤ ≤
( ) ( )1,2 , 2,4
1 21, 2x x= = ( ) 0if x >
a 20, 3
=6102, =2016a b a =
6102, 2016a b= =
54, 2016, 54r a b= = =
18, 54, 18r a b= = =
0, 18, 0r a b= = = 0r = a答案：18
【点睛】本题考查程序框图，注意模拟程序框图的运行过程，属于基础题
14.由直线 上的任意一个点向圆 引切线，则切线长的最小值为
________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用切线和点到圆心的距离关系即可得到结果.
【详解】圆心坐标 ，半径
要使切线长 最小，则只需要点 到圆心的距离最小，
此时最小值为圆心 到直线的距离 ，
此时 ，
故答案为：
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，同时考查了点到直线的距离公式，属于基础题.
15.底面为正方形的直四棱柱 中， ， ，点 E 是 的中点则异面直线
与 所成角的大小为________．
【答案】
【解析】
【分析】
取 BC 中点为 F，将直线 EB 平移至 ，找到夹角，在三角形中求解即可.
: 2 4 0l x y+ − = 2 2:( 1) ( 1) 1C x y+ + - =
2
( )1,1C − 1R =
DA D
C 2
2 1 4 5 5
52 1
d
− + −= = =
+
2 2 5 1 2DA d R= − = − =
2
1 1 1 1ABCD A B C D− 2AB = 1 1AA = 1 1B C
1AC BE
45°
1FC【详解】根据题意，取 BC 中点为 F，连接 ，作图如下：
在四边形 中，
因为 // ，且 =BF
故该四边形 为平行四边形，
则 // ，
故 为直线 与 BE 所成角或其补角.
在 中，根据题意可知
由余弦定理可得：
又异面直线夹角的范围为：
故
即直线 与 所成角的大小为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查异面直线夹角的求解，关键的步骤是平移至直线相交，再在三角形中求解角度.
16.已知直线 与双曲线 的一条渐近线交于点 ，双曲线 的左、右顶点
1 ,C F AF
1EBFC
1EC BF 1EC
1EBFC
BE 1C F
1AC F∠ 1AC
1AC F∆
2 22 1 5AF = + =
2 2
1 1 1 2C F = + =
2 2 2
1 2 2 1 3AC = + + =
2 2 2
1 1
1
1 1
2
2 2
AC C F AFcos AC F AC C F
+ −∠ = =⋅
0, 2
π
1 45AC F∠ = °
1AC BE 45°
45°
y a= ( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > > P C分别为 ， ，若 ，则双曲线 的离心率为_____.
【答案】 或
【解析】
【分析】
解出点 的坐标，用两点间距离公式求出 ，化简整理出 的关系式，从而求得离心率．
【详解】若渐近线的方程为 ，则点 的坐标为 .
因为 ，所以 ，则 ，所以 ，
从而 .
若渐近线的方程为 ，则点 的坐标为 ，同理可得 .
【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查运算求解能力与分类讨论的数学思想.
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17.在公差 d 的等差数列 中， ， ， ，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）若 ， ， 成等差数列，求数列 的前 n 项和 .
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意可得 ， 或 ， ，再由等差数列的通项公式可得所求；
（2）运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程即可得到所求 ，求得
1A 2A 2 1 2
5
2PA A A= C
2 10
3
P 2 1 2,PA A A , ,a b c
by xa
= P
2
,a ab
2 1 2
5
2PA A A=
22
2 25a a a ab
− + =
2
1 4a
b
− = 3a
b
=
2
2
101 3
be a
= + =
by xa
= − P
2
,a ab
− 2e =
{ }na 1 6a d = 1a N∈ d N∈ 1a d>
{ }na
1a 4a 13a
1
1
n na a +
nS
5na n= +
6 9
n
n +
1 3a = 2d = 1 6a = 1d =
na，再由裂项相消求和即可得解．
【详解】解：（1）∵ ， ， ，且 ，∴ 或
当 时， ；当 时， .
（2）∵ ， ， 成等比数列，∴
即 ，化为 或 ，
由（1）可得 ， ，
∴ ，
则 ，
故 .
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，以及分类讨论思想和方程思想，考查运算
能力，属于基础题．
18. 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为等边三角形，平面 平面
， ， ， ，
（Ⅰ）设 分别为 的中点，求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证： 平面 ；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III） .
【解析】
1
1 1 1 1 1
(2 1)(2 3) 2 2 1 2 3n na a n n n n+
= = − + + + +
1 6a d = 1a N∈ d N∈ 1a d> 1 3
2
a
d
=
=
1 6
1
a
d
=
=
1 3a = 2 1na n= + 1 6a = 5na n= +
1a 4a 13a 2
1 13 4a a a=
2
1 1 1( 12 ) ( 3 )a a d a d+ = + 0d = 12 3a d=
1 3a = 2d =
2 1na n= +
1
1 1 1 1 1
(2 1)(2 3) 2 2 1 2 3n na a n n n n+
= = − + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 5 5 7 2 1 2 3 2 3 2 3 6 9
= − + − + + − = − = + + + + …n
nS n n n n
P ABCD− ABCD PCD PAC ⊥
PCD PA CD⊥ 2CD = 3AD =
G H， PB AC， GH PAD
PA ⊥ PCD
AD PAC
3
3【分析】
（I）连接 ，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到 ，利用线面平行的判定
定理证得结果；
（II）取棱 的中点 ，连接 ，依题意，得 ，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得
到 ，利用线面垂直的判定定理证得结果；
（III）利用线面角的平面角的定义得到 为直线 与平面 所成的角，放在直角三角形中求得
结果.
【详解】（I）证明：连接 ，易知 ， ，
又由 ，故 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（II）证明：取棱 的中点 ，连接 ，依题意，得 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，故 ，
又已知 ， ，
所以 平面 .
（III）解：连接 ，由（II）中 平面 ，
可知 为直线 与平面 所成的角.
因为 为等边三角形， 且 为 的中点，
所以 ，又 ，
在 中， ，
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
BD GH PD
PC N DN DN PC⊥
DN PA⊥
DAN∠ AD PAC
BD AC BD H= BH DH=
BG = PG GH PD
GH ⊄ PAD PD ⊂ PAD
GH PAD
PC N DN DN PC⊥
PAC ⊥ PCD PAC PCD PC=
DN ⊥ PAC PA ⊂ PAC DN PA⊥
PA CD⊥ CD DN D=
PA ⊥ PCD
AN DN ⊥ PAC
DAN∠ AD PAC
PCD∆ 2CD = N PC
3DN = DN AN⊥
Rt AND∆ 3sin 3
DNDAN AD
∠ = =
AD PAC 3
3【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基
础知识，考查空间想象能力和推理能力.
19.“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目，选手面对 1 号 8 扇大门，依次按响门上的门铃，门铃
会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可
获得该扇门对应的家庭梦想基金，在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段： ；
（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．
（Ⅰ）写出 列联表；判断是否有 的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（如
表的临界值表供参考）
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
（Ⅱ）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取 6 名选手，并抽取 3 名幸运选手，求 3 名
幸运选手中恰好有一人在 岁之间的概率．
（参考公式： ，其中 ）
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ） ．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据频率分布表写出 列联表，代入公式计算即可.
（Ⅱ）根据古典概型计算公式求解即可.
8
20 ~ 30
30 ~ 40
2 2× 90%
2
0( )P K k≥
0k
20 ~ 30
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
3
5
2 2×试题解析：（Ⅰ）
正误
年龄
正确 错误 合计
10 30 40
10 70 80
合计 20 100 120
由上表可知 ，有 的把握认为猜对歌曲名称与年龄有关．
（Ⅱ）设事件 为三名幸运选手中恰好有一人在 岁之间，由已知得 岁之间的人数为 2 人，
岁之间的人数为 4 人，从 6 人中取 3 人的结果有 20 种，事件 的结果是 种，故 3 名幸
运选手中恰好一人在 岁之间的概率是 ．
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题
目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
20.已知圆 ，圆 ，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P
的轨迹为曲线 C.
（1）求曲线 C 的方程；
（2）设不经过点 的直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，直线 QA 与直线 QB 的斜率均存在且斜率
之和为-2，证明：直线 l 过定点.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
20 ~ 30
30 ~ 40
( )2
2 120 70 10 30 10 3 2.70620 100 40 80K
× − ×= = >× × × 90%
A 20 ~ 30 20 ~ 30
30 ~ 40 A 2 6 12× =
20 ~ 30 ( ) 12 3
20 5P A = =
2 2:( 2) 1M x y+ + = 2 2:( 2) 49N x y− + =
(0,2 3)Q
2 2
116 12
x y+ =【分析】
（ 1 ） 根 据 动 圆 P 与 圆 M 外 切 并 且 与 圆 N 内 切 ， 得 到 ， ， 从 而 得 到
， 得 到 ， 从 而 求 出 椭 圆 的 标 准 方 程 ； （ 2 ） 直 线 l 斜 率 存 在 时 ， 设
，代入椭圆方程，得到 ， ，表示出直线 QA 与直线 QB 的斜率，根据
，得到 ， 的关系，得到直线所过的定点，再验证直线 l 斜率不存在时，也过该定点，从
而证明直线过定点.
【详解】（1）设动圆 P 的半径为 r，
因为动圆 P 与圆 M 外切，所以 ，
因为动圆 P 与圆 N 内切，所以 ，
则 ，
由椭圆定义可知，曲线 C 是以 为左、右焦点，长轴长为 8 的椭圆，
设椭圆方程为 ，
则 ， ，故 ，
所以曲线 C 的方程为 .
（2）①当直线 l 斜率存在时，设直线 ， ，
联立 ，
得 ，
设点 ，则 ，
| | 1PM r= + | | 7PN r= −
| | | | 8PM PN+ = 2 8, 2a c= =
: ( 2 3)l y kx m m= + ≠ ± 1 2x x+ 1 2x x
2QQA Bk k+ = − k m
| | 1PM r= +
| | 7PN r= −
| | | | ( 1) (7 ) 8 | | 4PM PN r r MN+ = + + − = > =
( 2,0)M − 、 (2,0)N
2 2
2 2 1x y
a b
+ = ( 0)a b> >
4a = 2c = 2 2 2 12b a c= − =
2 2
116 12
x y+ =
:l y kx m= + 2 3m ≠ ±
2 2
116 12
y kx m
x y
= + + =
( )2 2 23 4 8 4 48 0k x kmx m+ + + − =
( )1 1, ,A x y ( )2 2,B x y
1 2 2
2
1 2 2
8
3 4
4 48
3 4
kmx x k
mx x k
− + = + − = +
1 2
1 2
2 3 2 3
QQA B
y yk k x x
− −+ = +，
所以 ，
即 ，
得 .
则 ，
因为 ，所以 .
即 ，
直线 ，
所以直线 l 过定点 .
②当直线 l 斜率不存在时，设直线 ，且 ，
则点
，
解得 ，
所以直线 也过定点 .
综上所述，直线 l 过定点 .
【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，椭圆的定义，求椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中直
线过定点问题，属于中档题.
21.已知函数 .
（1）当 时，判断函数 的单调性；
( ) ( )2 1 2 1 2 1
1 2
2 3 2 3x kx m x x kx m x
x x
+ − + + −=
( )1 2 1 2
1 2
2 ( 2 3) 2kx x m x x
x x
+ − += = −
( )1 2 1 2(2 2) ( 2 3) 0k x x m x x+ + − + =
2
2 2
4 48 8(2 2) ( 2 3) 03 4 3 4
m kmk mk k
− −+ + − =+ +
2 12 2 3 12 0m km k− + − =
( 2 3)( 2 3) 2 3 ( 2 3) 0m m k m+ − + − =
2 3m ≠ 2 3 2 3 0m k+ + =
2 3 2 3m k= − −
: 2 3 2 3l y kx k= − − ( 2 3) 2 3k x= − −
( )2 3, 2 3−
: ( 0)l x t t= ≠ 4 4t− < <
23, 12 ,4A t t
− −
23, 12 4B t t
−
2 23 312 2 3 12 2 34 4
QA QB
t t
k k t t
− − − − −
+ = +
4 3
t
= − 2= −
2 3t =
: 2 3l x = ( )2 3, 2 3−
( )2 3, 2 3−
( ) ( )1 1 x ae ax Rxf x
+−
∈=
0a = ( )f x（2）当 时， 有两个极值点，
①求 的取值范围：
②若 的极大值小于整数 ，求 的最小值.
【答案】（1）在 ， 单调递减；（2）① ；②
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，即可得到函数的单调性；
（2）①依题意， 有两个负根，令 ，利用导数研
究 的单调性，即可得到 ，解得即可.
②由①可知： ， ，∴ ，使得 ，则
，即 为 的极大值点，求出极大值的取值范围，即可得解.
【详解】解：（1）由题意， ，当 时， ， ，∴
在 ， 单调递减；
（2）①当 时， ， 有两个负根，
令 ， ，
∴ ， ， ， ，
即 在 单调递减，在 单调递增，
， ，且 ，∴ 有两个负根只需 ，
②由①可知： ， ，∴ ，使得 ，则
，即 ，
0x < ( )f x
a
( )f x k k
( ),0−∞ ( )0, ∞+ 3 1ae
− < < − min 1k =
( ) ( )2
2
1
' 0
xx x e a
f x x
− + − −
= = ( ) ( )2 1 xx x e ah x = − + − −
( )h x
( )
( )
0 0
1 0
h
h
> − > ( )1 0h − < ( )0 2, 1x∃ ∈ − − ( )0 0h x =
( ) 02
0 0 1 xa x x e= − + − 0x ( )f x
0x ≠ 0a = ( ) 1 1 xf x ex
= − ( ) 2
2
1' 0x x xf x e x
− + −= ⋅ < ( )f x
( ),0−∞ ( )0, ∞+
0x < ( ) 1 1 x aexf x x
= − + ( ) ( )2
2
1
' 0
xx x e a
f x x
− + − −
= =
( ) ( )2 1 xx x e ah x = − + − − ( ) ( )2' xe x xh x = − −∴
( ), 1x∈ −∞ − ( )' 0h x < ( )1,0x∈ − ( )' 0h x >
( )h x ( ), 1−∞ − ( )1,0−
( )0 1h a= − − ( ) 31h ae
−− = − ( ) ( )2
72 0h a he
−− = − > ( )h x
( )
( )
0 0
1 0
h
h
> − > ( )1 0h − < ( )0 2, 1x∃ ∈ − − ( )0 0h x =
( ) 02
0 0 1 xa x x e= − + − ( )0' 0f x =且在 ， ， ， 单增，
在 ， ， ， 单减，
∴ 为 的极大值点，
， ，
，∴ 单增，∴ ，
∴ .
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，零点及极值，属于中档题.
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第
一题计分．
[选修 4--4：坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系 中，倾斜角为 直线 的参数方程为 （ 为参数）.在以坐标原点
为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 交于 ， 两点，且 ，求直线 的倾斜角.
【答案】（1） ； （2） 或 .
【解析】
【分析】
（1）根据平方关系消参数得直线 的普通方程，根据 得曲线 的直角坐标方程
（2）利用直线参数方程几何意义求解.
【详解】（1）因为直线 的参数方程为 （ 为参数），
当 时，直线 的直角坐标方程为 ．
当 时，直线 的直角坐标方程为 ．
因为 ，
的
( )02, x− ( ) 0h x > ( )' 0f x > ( )f x
( )0 , 1x − ( ) 0h x < ( )' 0f x < ( )f x
0x ( )f x
( ) 0
0
0 0
1 1 x af x ex x
= − +
( ) 0
0 0
2
0 0
0
0 0
11 1
x
x xx x e
e x ex x
− + − = − + = −
( )0 2, 1x ∈ − −
( ) ( )0 0 0
0 0 0' 1 0x x xf x e x e e x= − − = − + > ( )0f x ( )0 2
2 1,f x e e
∈
min 1k =
xOy α l
2 ,
3
x tcos
y tsin
α
α
= + = +
t
x C 2 2 cos 8ρ ρ θ= +
l C
l C A B 4 2AB = l
2 2 2 8 0x y x+ − − =
6
π
2
π
l 2 2 2 , cosx y xρ ρ θ= + = C
l
2 cos
3 sin
x t
y t
α
α
= + = +
t
= 2
πα l 2x =
2
πα ≠ l ( )3 tan 2y xα− = −
2 2 2 , cosx y xρ ρ θ= + =因为 ，所以 ．
所以 的直角坐标方程为 ．
（2）解法 1：曲线 的直角坐标方程为 ，
将直线 的参数方程代入曲线 的方程整理，得 ．
因为 ，可设该方程的两个根为 ， ，
则 ， ．
所以 ．
整理得 ，
故 ．
因为 ，所以 或 ，
解得 或
综上所述，直线 的倾斜角为 或 ．
解法 2：直线 与圆 交于 ， 两点，且 ，
故圆心 到直线 的距离 ．
①当 时，直线 的直角坐标方程为 ，符合题意．
②当 时，直线 的方程为 ．
所以 ，整理得 ．
解得 ．
综上所述，直线 的倾斜角为 或 ．
【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及直线参数方程应用，考查综合分
析求解能力，属中档题.
[选修 4-5：不等式选讲]
2 2 cos 8ρ ρ θ= + 2 2 2 8x y x+ = +
C 2 2 2 8 0x y x+ − − =
C 2 2 2 8 0x y x+ − − =
l C ( )2 2 3sin 2cos 5 0t tα α+ + − =
( )2
2 3sin 2cos 20 0α α∆ = + + > 1t 2t
( )1 2 2 3sin 2cost t α α+ = − + ( )2 2
1 2 1 2 1 2( ) 4 (4cos ) 4 5 2 6MN t t t t t t α= − = + − = − × − =
( )2
1 2 1 2 1 24AB t t t t t t= − = + − ( ) 2
2 3sin 2cos 20 4 2α α = − + + =
( )2
3sin cos 3α α+ =
2sin 36
πα + = ±
0 α π≤ <
6 3
π πα + = 2
6 3
π πα + =
6
πα =
2
πα =
l 6
π
2
π
l C A B 4 2AB =
( )1,0C l ( )2
9 2 2 1d = − =
2
πα = l 2x =
0, ,2 2
π πα π ∈ ∪ l tan 3 2tan 0x yα α− + − =
2
tan 0 3 2tan
1
1 tan
d
α α
α
− + −
= =
+
23 tan 1 tanα α− = +
6
πα =
l 6
π
2
π23.已知函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当 a＝－3 时，求不等式 f(x)≥3 的解集；
(2)若 f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求 a 的取值范围．
【答案】(1) {x|x≥4 或 x≤1}；(2) [－3，0].
【解析】
试题分析：（1）解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即
得所求．（2）原命题等价于-2-x≤a≤2-x 在[1，2]上恒成立，由此求得求 a 的取值范围
试题解析：（1）当 a＝－3 时，f（x）＝
当 x≤2 时，由 f（x）≥3 得－2x＋5≥3，解得 x≤1；
当 2＜x＜3 时，f（x）≥3 无解；
当 x≥3 时，由 f（x）≥3 得 2x－5≥3，解得 x≥4.
所以 f（x）≥3 的解集为{x|x≤1 或 x≥4}． 6 分
（2）f（x）≤|x－4| |x－4|－|x－2|≥|x＋a|.
当 x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a| （4－x）－（2－x）≥|x＋a|
－2－a≤x≤2－a，
由条件得－2－a≤1 且 2－a≥2，解得－3≤a≤0，
故满足条件的实数 a 的取值范围为[－3，0]．
考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数
2 5, 2
{ 1,2 3
2 5, 3
x x
x
x x
− + ≤
< <
− ≥
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