2020 年荆门市高三年级高考模拟考试
文科数学试题
一.选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上.）
1．已知集合 A＝{x|x+1＞0}，B＝{﹣1，0，1}，则∁RA∩B＝（ ）
A．{1} B．{﹣1} C．{0，1} D．{﹣1，0}
2．若复数z = 2
1 + 푖，其中 i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．z 的虚部为﹣i B．|z|＝2
C．z 表示的点在第四象限 D．z 的共轭复数为﹣1﹣i
3．对于实数 m，“1＜m＜2“是“方程 푥2
푚 ― 1 ―
푦2
푚 ― 2 = 1 表示椭圆“的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐
金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四
人未到者，亦依次更给，问各得金几何？“则在该问题中，等级较高的一等人所得黄金
比等级较低的九等人所得黄金（ ）
A．多 8
21斤 B．少 8
21斤 C．多1
3斤 D．少1
3斤
5．店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红，黑选 2 种颜色，则所选颜色
中含有白色的概率是（ ）
A．1
6 B．1
4 C．2
5 D．2
3
6．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指
标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关
注度也越高．如图是 2017 年 9 月到 2018 年 2 月这半年中，某个关键词的搜索指数变化
的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是（ ）
A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱
C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年 10 月份的方差小于 11 月份的方差
D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年 12 月份的平均值大于今年 1 月份的平均值
7．已知 x1＝ln
1
2，x2＝e
-1
2，x3 满足 e-푥3 = lnx3，则下列各选项正确的是（ ）
A．x1＜x3＜x2 B．x1＜x2＜x3 C．x2＜x1＜x3 D．x3＜x1＜x2
8．函数y = - xsinx - 1
푥2的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》
中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图，
给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 x 的值为 2，则输出 v 的值为
（ ）A．80 B．192 C．448 D．36
10．已知直线 y＝kx﹣1 与抛物线 y2＝8x 相切，则双曲线：x2﹣k2y2＝1 的离心率等于（ ）
A． 2 B． 3 C． 5 D．
5
2
11．已知函数 f（x）＝lnx+ln（a﹣x）的图象关于直线 x＝1 对称，则函数 f（x）的单调递增
区间为（ ）
A．（0，2） B．[0，1） C．（﹣∞，1] D．（0，1]
12．已知点 M，N，P，Q 在同一个球面上，且 MN＝3，NP＝4，MP＝5，则该球的表面积
是625휋
16 ，则四面体 MNPQ 体积的最大值为（ ）
A．10 B．5
2 C．12 D．5
二.填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知平面向量
→
a与
→
b的夹角为 45°，
→
a = （﹣1，1），|
→
b|＝1，则|
→
a +
→
b|＝ ．
14．已知数列{αn}的前 n 项和 2Sn＝3an﹣1（n∈N*），bn ＝1+log3an，则数列{ 1
푏푛푏푛+1
}的前 n
项和 Tn＝ ．
15．设锐角△ABC 三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 2（acosB+bcosA）＝
2csinC，b＝3，则 c 的取值范围为 ．
16．直角坐标系 xOy 中，已知 MN 是圆 C：（x﹣2） 2+（y﹣3） 2＝2 的一条弦，且 CM⊥
CN，P 是 MN 的中点．当弦 MN 在圆 C 上运动时，直线 l：x﹣y﹣5＝0 上总存在两点 A，
B，使得∠APB ≥ 휋
2恒成立，则线段 AB 长度的最小值是 ．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，bcosC＝﹣a，sinBsinC＝cos（A﹣C）
+cosB．
（Ⅰ）求 cosC；
（Ⅱ）点 D 为 BC 延长线上一点，CD＝4，AD = 13，求△ABC 的面积．
18．如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，已知 PA⊥平面 ABCD，△ABC 为等边三角形，PA＝2AB＝
2，AC⊥CD，PD 与平面 PAC 所成角的余弦值为
10
4 ．
（Ⅰ）证明：BC∥平面 PAD；
（Ⅱ）点 M 为 PB 上一点，且V푀―푃퐶퐷 =
3
24，试判断点 M 的位置．
19．某省级示范高中高三年级对各科考试的评价指标中，有“难度系数“和“区分度“两个
指标中，难度系数 = 年级总平均分
满分 ，区分度 = 实验班的平均分 ― 普通班的平均分
满分 ．
（Ⅰ）某次数学考试（满分为 150 分），随机从实验班和普通班各抽取三人，实验班三人
的成绩分别为 147，142，137；普通班三人的成绩分别为 97，102，113．通过样本估计
本次考试的区分度（精确 0.01）．
（Ⅱ）如表表格是该校高三年级 6 次数学考试的统计数据：
难度系数 x 0.64 0.71 0.74 0.76 0.77 0.82
区分度 y 0.18 0.23 0.24 0.24 0.22 0.15
①计算相关系数 r，|r|＜0.75 时，认为相关性弱；|r|≥0.75 时，认为相关性强．通过计算
说明，能否利用线性回归模型描述 y 与 x 的关系（精确到 0.01）．
②ti＝|xi﹣0.74|（i＝1，2，…，6），求出 y 关于 t 的线性回归方程，并预测 x＝0.75 时 y
的值（精确到 0.01）．
附 注 ： 参 考 数 据 ：
6
i=1
푥푖푦푖 = 0.9309，
6
푖=1
(푥푖 ― 푥)2
6
푖=1
(푦푖 ― 푦)2 ≈ 0.0112，
6
푖=1
푡푖푦푖 = 0.0483，
6
푖=1
(푡푖 ― 푖)2 = 0.0073参考公式：相关系数 r =
푛
푖=1 (푥푖 ― 푥)(푦푖 ― 푦)
푛
푖=1 (푥푖 ― 푥)2 푛
푖=1 (푦푖 ― 푦)2
，回归直线y = 푏푡 + 푎的斜率和截
距的最小二乘估计分别为b =
푛
푖=1 (푡푖 ― 푡)(푦푖 ― 푦)
푛
푖=1 (푡푖 ― 푡)2 ，a = 푦 ― 푏푡
20．已知函数 f（x）＝ex﹣ax2，已知函数在 x＝1 处的切线方程为 y＝（e﹣2）x+1．
（Ⅰ）求 a 的值；
（Ⅱ）求证：当 x＞0 时，푒푥 ― 1
푥 ≥ 푙푛푥 + 푒 ― 1．
21．已知椭圆 C：푥2
푎2 +
푦2
푏2 = 1(푎＞푏＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点P(1，3
2)在椭圆 C 上，
满足
→
P퐹1 ⋅
→
푃퐹2 =
9
4．
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）直线 l1 过点 P，且与椭圆只有一个公共点，直线 l2 与 l1 的倾斜角互补，且与椭圆
交于异于点 P 的两点 M，N，与直线 x＝1 交于点 K（K 介于 M，N 两点之间）．
①问：直线 PM 与 PN 的斜率之和能否为定值，若能，求出定值并写出详细计算过程；
若不能，请说明理由；
②求证：|PM|•|KN|＝|PN|•|KM|
（二）选考题：共 10 分.请考生在 22，23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题记分.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，以原点 O 为极点，以、轴正半轴为极
轴．已知曲线 C1的极坐标方程为ρ = 4cos(θ - 휋
3)，曲线 C2的极坐标方程为 ρcos(θ -
휋
3) = 푎，射线θ = α - 휋
6，θ＝α，θ = α + 휋
3，휃 = 훼 +
휋
2与曲线 C1 分别交于异于极点
O 的四点 A，B，C，D．
（Ⅰ）若曲线 C1 关于 C2 对称，求 α 的值，并求 C1 的参数方程；
（Ⅱ）若 f（α）＝|OA||•OB|﹣|OC|•|OD|，当휋
3＜훼＜
휋
2时，求 f（α）的范围．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知 x，y，z 为正实数，且 x+y+z＝2．
（Ⅰ）求证：4xy+2yz+2xz+z2≤4；
（Ⅱ）求证：xy（x2+y2）+yz（y2+z2）+xz（x2+z2）≥4xyz．一.选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上.）
1．已知集合 A＝{x|x+1＞0}，B＝{﹣1，0，1}，则∁RA∩B＝（ ）
A．{1} B．{﹣1} C．{0，1} D．{﹣1，0}
根据集合的基本运算即可求（∁RA）∩B 即可求解．
A＝{x|x+1＞0}，B＝{﹣1，0，1}，
则∁RA∩B＝{x|x≤﹣1}，B＝{﹣1，0，1}，
∁RA∩B＝{﹣1}．
故选：B．
本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．若复数z = 2
1 + 푖，其中 i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．z 的虚部为﹣i B．|z|＝2
C．z 表示的点在第四象限 D．z 的共轭复数为﹣1﹣i
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．
∵z = 2
1 + 푖 =
2(1 ― 푖)
(1 + 푖)(1 ― 푖) = 1 ― 푖，
∴z 的虚部为﹣1；|z| = 2；z 表示的点的坐标为（1，﹣1），在第四象限；z 的共轭复数
为 1+i．
故选：C．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的求法，考查复数的
代数表示法及其几何意义，是基础题．
3．对于实数 m，“1＜m＜2“是“方程 푥2
푚 ― 1 ―
푦2
푚 ― 2 = 1 表示椭圆“的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
本题由椭圆的标准方程满足条件入手得出 m 的取值范围，进而得出正确选项．
由“方程 푥2
푚 ― 1 ―
푦2
푚 ― 2 = 1 表示椭圆“可得{m - 1＞0
푚 ― 2＜0
푚 ― 1 ≠ 2 ― 푚
，解得 1＜m＜2 且 m ≠ 3
2，
所以“1＜m＜2“是“方程 푥2
푚 ― 1 ―
푦2
푚 ― 2 = 1 表示椭圆“的必要不充分条件．
故选：B．本题主要考查椭圆的标准方程及充分必要条件的判定．
4．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐
金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四
人未到者，亦依次更给，问各得金几何？“则在该问题中，等级较高的一等人所得黄金
比等级较低的九等人所得黄金（ ）
A．多 8
21斤 B．少 8
21斤 C．多1
3斤 D．少1
3斤
由题意可知各等人所得金数组成等差数列，根据等差数列的性质即可计算出问题答案．
设十等人得金从高到低依次 a1，a2，……，a10，则{an}为等差数列，
设公差为 d，则由题意可知{a1 + 푎2 + 푎3 = 4
푎8 + 푎9 + 푎10 = 3；
∴a2 = 4
3，a9＝1，
∴d =
푎9 ― 푎2
7 = ―
1
21；
∴a1﹣a9＝﹣8d = 8
21．
即等级较高的一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金多 8
21斤．
故选：A．
本题考查了等差数列的性质，等差数列的应用，属于中档题．
5．店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红，黑选 2 种颜色，则所选颜色
中含有白色的概率是（ ）
A．1
6 B．1
4 C．2
5 D．2
3
求出总的事件个数，再求出符合题意的事件，求出概率．
从黄、白、蓝、红，黑选 2 种颜色有∁25 = 10，
选颜色中含有白色有∁14 = 4，
则从黄、白、蓝、红，黑选 2 种颜色，则所选颜色中含有白色的概率 4
10 =
2
5，
故选：C．
本题考查概率，属于基础题．
6．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指
标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关
注度也越高．如图是 2017 年 9 月到 2018 年 2 月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．
根据该走势图，下列结论正确的是（ ）
A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱
C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年 10 月份的方差小于 11 月份的方差
D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年 12 月份的平均值大于今年 1 月份的平均值
观察指数变化的走势图，能求出去年 12 月份的平均值大于今年 1 月份的平均值．
在 A 中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度没有规律，故 A 错误；
在 B 中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈现出一定的波动性，没有减弱，
故 B 错误；
在 C 中，从网民对该关键词的搜索指数来看，去年 10 月份的方差大于 11 月份的方差，
故 C 错误；
在 D 中，从网民对该关键词的搜索指数来看，去年 12 月份的平均值大于今年 1 月份的平
均值，故 D 正确．
故选：D．
本题考查命题真假的判断，考查简单的合理推理、推理论证能力等基础知识，考查运用
求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
7．已知 x1＝ln
1
2，x2＝e
-1
2，x3 满足 e-푥3 = lnx3，则下列各选项正确的是（ ）
A．x1＜x3＜x2 B．x1＜x2＜x3 C．x2＜x1＜x3 D．x3＜x1＜x2
本题可以选择 0，1 两个中间值采用搭桥法处理．
依题意，因为 y＝lnx 为（0，+∞）上的增函数，所以 x1＝ln
1
2＜ln1＝0；因为 y＝ex 为 R 上的增函数，且 ex＞0，所以 0＜x2＝e
-1
2＜e0＝1；
x3 满足 e-푥3 = lnx3，
所以 x3＞0，所以e―푥3＞0，
所以 lnx3＞0＝ln1，
又因为 y＝lnx 为（0，+∞）的增函数，
所以 x3＞1，
综上：x1＜x2＜x3．
故选：B．
本题考查了指数函数，对数函数的单调性，函数值的大小比较等，属于中档题．
8．函数y = - xsinx - 1
푥2的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
由函数为偶函数，可排除 CD，由 f（1）＞0，可排除 A，由此得出正确选项．
函数的定义域为{x|x≠0}，f( - x) = xsin( - x) - 1
( ― 푥)2 = ― 푥푠푖푛푥 ―
1
푥2 = 푓(푥)，则 f
（x）为偶函数，其图象关于 y 轴对称，可排除 CD；
又 f（1）＝﹣sin1﹣1＜0，可排除 A．
故选：B．
本题考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题．
9．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》
中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图，
给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 x 的值为 2，则输出 v 的值为（ ）
A．80 B．192 C．448 D．36
由题意，该框图利用秦九韶算法计算变量 v 的值，根据算法功能反复执行循环体计算即
可．
k＝1 时，v＝1；
k＝2 时，v＝1×2+21＝4；
k＝3 时，v＝4×2+22＝12；
k＝4 时，v＝12×2+23＝32；
k＝5 时，v＝32×2+24＝80；
k＝6 时，v＝80×2+25＝192．
因为此时 k＞5，故停止循环，输出 v 的值为 192．
故选：B．
本题主要是考查了程序框图的当型循环，注意本题中的 k 与 v 值计算式子中的 k 值相差
1，容易出错．同时本题考查了学生的逻辑推理能力以及计算能力，属于中档题．
10．已知直线 y＝kx﹣ 1 与抛物线 y2＝8x 相切，则双曲线：x2﹣k2y2＝1 的离心率等于（ ）
A． 2 B． 3 C． 5 D．
5
2
联立直线方程与抛物线方程，化为关于 x 的一元二次方程，利用判别式等于 0 求得 k，代
入双曲线方程，求得 a，b，c 的值，则双曲线的离心率可求．
联立{y = kx - 1
푦2 = 8푥 ，得 k2x2﹣（2k+8）x+1＝0．
由△＝（2k+8）2﹣4k2＝32k+64＝0，得 k＝﹣2．∴双曲线：x2﹣k2y2＝1 化为x2 ―
푦2
1
4
= 1，
则 a2＝1，b2 =
1
4，c = 푎2 + 푏2 =
5
2 ．
∴双曲线的离心率等于푐
푎 =
5
2 ．
故选：D．
本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查双曲线的简单性质，是基础题．
11．已知函数 f（x）＝lnx+ln（a﹣x）的图象关于直线 x＝1 对称，则函数 f（x）的单调递增
区间为（ ）
A．（0，2） B．[0，1） C．（﹣∞，1] D．（0，1]
函数 f（x）＝lnx+ln（a﹣x）的图象关于直线 x＝1 对称⇒f（2﹣x）＝f（x），可求得 a＝
2，利用复合函数的单调性解求得答案．
∵函数 f（x）＝lnx+ln（a﹣x）的图象关于直线 x＝1 对称，
∴f（2﹣x）＝f（x），即 ln（2﹣x）+ln[a﹣（2﹣x）]＝lnx+ln（a﹣x），
即 ln（x+a﹣2）+ln（2﹣x）＝lnx+ln（a﹣x），
∴a＝2．
∴f（x）＝lnx+ln（2﹣x）＝lnx（2﹣x），0＜x＜2．
由于 y＝x（2﹣x）＝﹣（x﹣1）2+1 为开口向下的抛物线，其对称轴为 x＝1，定义域为
（0，2），
∴它的递增区间为（0，1]，
由复合函数的单调性知，
f（x）＝lnx+ln（2﹣x）的单调递增区间为（0，1]，
故选：D．
本题考查利用导数研究函数的单调性，突出考查复合函数的单调性的应用，考查推理与
运算能力，属于中档题．
12．已知点 M，N，P，Q 在同一个球面上，且 MN＝3，NP＝4，MP＝5，则该球的表面积
是625휋
16 ，则四面体 MNPQ 体积的最大值为（ ）
A．10 B．5
2 C．12 D．5
由已知可得△PNM 为直角三角形，画出图形，可知要使四面体 MNPQ 体积取最大值，则球心 O 在过 PM 中点 O′与面 MNP 垂直的直线上，由球的表面积求得半径，利用勾股定
理求出三棱锥的高，可得四面体 MNPQ 体积的最大值．
如图，由 MN＝3，NP＝4，MP＝5，的∠PNM＝90°，
设四面体 MNPQ 的外接球的半径为 R，由球的表面积是625휋
16 ，
得4π푅2 =
625휋
16 ，即 R = 25
8 ．
要使四面体 MNPQ 体积取最大值，则球心 O 在过 PM 中点 O′与面 MNP 垂直的直线上，
设 QO′＝h．
在 Rt△OO′P 中，OP2＝OO′2+O′P2，
∴R2＝（h﹣R）2 + 25
4 ，即625
64 = (ℎ ―
25
8 )2 +
25
4 ，
得 h＝5，[来源:Z.Com]
∴四面体 MNPQ 体积的最大值为1
3 ×
1
2 × 3 × 4 × 5 = 10．
故选：A．
本题考查多面体的外接球，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．
二.填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知平面向量
→
a与
→
b的夹 角为 45°，
→
a = （﹣1，1），|
→
b|＝1 ，则|
→
a +
→
b|＝ 5 ．
根据题意，由向量的坐标计算可得|
→
a|，又由数量积的计算公式可得|
→
a +
→
b|2＝（
→
a2+2
→
a•
→
b +
→
b2），进而计算可得答案．
根据题意，
→
a = （﹣1，1），则|
→
a| = 2，
又由
→
a与
→
b的夹角为 45°，|
→
b|＝1，则|
→
a +
→
b|2 =
→
푎2+2
→
a•
→
b +
→
b2＝2+2+1＝5，
则|
→
a +
→
b| = 5；
故答案为： 5．本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．
14．已知数列{αn}的前 n 项和 2Sn＝3an﹣1（n∈N*），bn＝1+log3an，则数列{ 1
푏푛푏푛+1
}的前 n
项和 Tn＝ 푛
푛 + 1 ．
2Sn＝3an﹣1（n∈N*）， n≥2 时，可得：2an＝2Sn﹣2Sn﹣1，化为：an＝3an﹣1，又 n＝1 时，
2a1＝3a1﹣1，解得 a1．利用等比数列的通项公式可得 an．可得 bn．利用裂项求和即可得
出．
2Sn＝3an﹣1（n∈N*），
n≥2 时，2an＝2Sn﹣2Sn﹣1＝3an﹣1﹣（3an﹣1﹣1），化为：an＝3an﹣1，
又 n＝1 时，2a1＝3a1﹣1，解得 a1＝1．
∴数列{αn}是等比数列，公比为 3，首项为 1．
∴an＝3n﹣1．
bn＝1+log3an＝1+n﹣1＝n．
∴ 1
푏푛푏푛+1
=
1
푛(푛 + 1) =
1
푛 ―
1
푛 + 1．
则数列{ 1
푏푛푏푛+1
}的前 n 项和 Tn＝1 - 1
2 +
1
2 ―
1
3 +⋯⋯ +
1
푛 ―
1
푛 + 1 = 1 - 1
푛 + 1 =
푛
푛 + 1．
故答案为： 푛
푛 + 1．
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能
力，属于中档题．
15．设锐角△ABC 三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 2（acosB+bcosA）＝
2csinC，b＝3，则 c 的取值范围为 （3
2，3 2
2 ） ．
由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求 C，然后结合锐角三角形可求 B 的范围，
再结合正弦函数的性质可求．
∵ 2（acosB+bcosA）＝2csinC，
由正弦定理可得， 2（sinAcosB+sinBcosA）＝2s inCsinC，
即 2sin（A+B）＝2sinCsinC = 2sinC，
所以 sinC =
2
2 ，
∵C 为锐角，则 C = 휋
4，A + B = 3휋
4 ，由题意可得，{0＜B＜1
2휋
0＜
3휋
4 ― 퐵＜
1
2휋
，
故휋
4＜퐵＜
1
2휋，
由正弦定理可得，푐
2
2
=
3
푠푖푛퐵，
所以 c = 3
2 2sinB ∈ (3
2，
3 2
2 )．
故答案为：（3
2，3 2
2 ）
本题考查三角形的正弦定理和内角和定理及和差角公式的运用，考查运算能力，属于中
档题．
16．直角坐标系 xOy 中，已知 MN 是圆 C：（x﹣2） 2+（y﹣3） 2＝2 的一条弦，且 CM⊥
CN，P 是 MN 的中点．当弦 MN 在圆 C 上运动时，直线 l：x﹣y﹣5＝0 上总存在两点 A，
B，使得∠APB ≥ 휋
2恒成立，则线段 AB 长度的最小值是 6 2 + 2 ．
依题意，点 P 在以 C 为圆心以 1 为半径的圆上，要使得∠APB ≥ 휋
2恒成立，则点 P 在
以 AB 为直径的圆内部，所以 AB 的最小值为圆的直径的最小值．
因为 P 为 MN 的中点，所以 CP⊥MN，
又因为 CM⊥CN，所以三角形 CMN 为等腰直角三角形，所以 CP＝1，
即点 P 在以 C 为圆心，以 1 为半径的圆上，点 P 所在圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝
1，
要使得∠APB ≥ 휋
2恒成立，则点 P 所在的圆在以 AB 为直径的圆的内部，
而 AB 在直线 l：x﹣y﹣5＝0 上，
C 到直线 l：x﹣y﹣5＝0 的距离 d = |2 ― 3 ― 5|
1 + 1 = 3 2．
所以以 AB 为直径的圆的半径的最小值为 r＝3 2 + 1，
所以 AB 的最小值为 2r＝6 2 + 2．
故答案为：6 2 + 2．
本题考查了直线和圆的关系的应用，考查了点与圆的位置关系，圆的性质等，属于难
题．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，bcosC＝﹣a，sinBsinC＝cos（A﹣C）
+cosB．
（Ⅰ）求 cosC；
（Ⅱ）点 D 为 BC 延长线上一点，CD＝4，AD = 13，求△ABC 的面积．
（I）由已知结合和差角公式进行化简可求 cosC，进而可求 C；
（II）由已知结合余弦定理及三角形的面积公式即可求解．
（I）∵sinBsinC＝cos（A﹣C）+cosB＝cos（A﹣C）﹣cos（A+C）＝2sinAsinC，
∴sinB＝2sinA，即 b＝2a，
∵bcosC＝﹣a，
∴cosC = - 1
2，
∵C∈（0，π），
∴C = 2휋
3 ，
（II）由余弦定理可得，AD2＝AC2+CD2﹣2AC•CDcos∠ACD，
所以 13 = 푏2 +16 ― 8푏 ×
1
2，
解可得 b＝3 或 b＝1，
因为 b＝2a，
所以{b = 3
푎 =
3
2
或{b = 1
푎 =
1
2
，
当{b = 3
푎 =
3
2
时，S△ABC = 1
2푎푏푠푖푛퐶 =
1
2 × 3 ×
3
2 ×
3
2 =
9 3
8 ，
当{b = 1
푎 =
1
2
时，S△ABC = 1
2푎푏푠푖푛퐶 =
1
2 ×
1
2 × 1 ×
3
2 =
3
8 ．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式及和差角公式在求解三角形中
的应用，属于中档试题．
18．如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，已知 PA⊥平面 ABCD，△ABC 为等边三角形，PA＝2AB＝
2，AC⊥CD，PD 与平面 PAC 所成角的余弦值为
10
4 ．
（Ⅰ）证明：BC∥平面 PAD；
（Ⅱ）点 M 为 PB 上一点，且V푀―푃퐶퐷 =
3
24，试判断点 M 的位置．（Ⅰ）由 PA⊥平面 ABCD，得 PA⊥CD，求解三角形证明∠CAD＝60°，结合∠BCA＝
60°，得到 BC∥AD，由直线与平面平行的判定可得 BC∥平面 PAD；
（Ⅱ）设
→
PM = 휆
→
푃퐵，则 VM﹣PCD＝λVB﹣PCD＝λVP﹣BCD，求出三棱锥 P﹣BCD 的体积，结
合V푀―푃퐶퐷 =
3
24求得 λ 值，可得点 M 的位置．
（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥CD，
又 AC⊥CD，CA∩PA＝A，∴CD⊥平面 PAC，
∴PD 与平面 PAC 所成角为∠DPC，
在 Rt△PCD 中，cos∠DPC = 푃퐶
푃퐷 =
10
4 ，
在 Rt△PAC 中，∵PC = 1 + 4 = 5，∴PD＝2 2，
在 Rt△PAD 中，∵PA＝2，∴AD＝2，
在 Rt△ACD 中，求得∠CAD＝60°．
又∠BCA＝60°，∴在平面 ABCD 中，得到 BC∥AD，
而 AD⊂平面 PAD，BC⊄平面 PAD，
∴BC∥平面 PAD；
（Ⅱ）解：∵点 M 在 PB 上，设
→
PM = 휆
→
푃퐵．
则 VM﹣PCD＝λVB﹣PCD＝λVP﹣BCD，
∵V푃―퐵퐶퐷 =
1
3 ×
1
2 ×
3
2 × 2 =
3
6 ，
∴
3
6 휆 =
3
24，得λ = 1
4．
∴点 M 的位置是靠近 P 的四等分点．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求
多面体的体积，是中档题．
19．某省级示范高中高三年级对各科考试的评价指标中，有“难度系数“和“区分度“两个
指标中，难度系数 = 年级总平均分
满分 ，区分度 = 实验班的平均分 ― 普通班的平均分
满分 ．
（Ⅰ）某次数学考试（满分为 150 分），随机从实验班和普通班各抽取三人，实验班三人
的成绩分别为 147，142，137；普通班三人的成绩分别为 97，102，113．通过样本估计
本次考试的区分度（精确 0.01）．
（Ⅱ）如表表格是该校高三年级 6 次数学考试的统计数据：
难度系数 x 0.64 0.71 0.74 0.76 0.77 0.82
区分度 y 0.18 0.23 0.24 0.24 0.22 0.15
①计算相关系数 r，|r|＜0.75 时，认为相关性弱；|r|≥0.75 时，认为相关性强．通过计算
说明，能否利用线性回归模型描述 y 与 x 的关系（精确到 0.01）．
②ti＝|xi﹣0.74|（i＝1，2，…，6），求出 y 关于 t 的线性回归方程，并预测 x＝0.75 时 y
的值（精确到 0.01）．
附 注 ： 参 考 数 据 ：
6
i=1
푥푖푦푖 = 0.9309，
6
푖=1
(푥푖 ― 푥)2
6
푖=1
(푦푖 ― 푦)2 ≈ 0.0112，
6
푖=1
푡푖푦푖 = 0.0483，
6
푖=1
(푡푖 ― 푖)2 = 0.0073
参考公式：相关系数 r =
푛
푖=1 (푥푖 ― 푥)(푦푖 ― 푦)
푛
푖=1 (푥푖 ― 푥)2 푛
푖=1 (푦푖 ― 푦)2
，回归直线y = 푏푡 + 푎的斜率和截
距的最小二乘估计分别为b =
푛
푖=1 (푡푖 ― 푡)(푦푖 ― 푦)
푛
푖=1 (푡푖 ― 푡)2 ，a = 푦 ― 푏푡
（Ⅰ）先求出平均成绩，即可求出区分度；
（Ⅱ）①由题意计算、，求出相关系数，即可判断两变量相关性强弱；②计算回归系数，写出线性回归方程，利用方程计算 t＝10 时的值．
（1）实验班三人成绩的平均值为92 + 102 + 113
3 = 142，
普通班三人成绩的平均值为92 + 102 + 113
3 = 104，
故估计本次考试的区分度为142 ― 104
150 ≈ 0.25，
（2）①由题中的表格可知x =
1
6（0.64+0.71+0.74+0.76+0.77+0.82）＝0.84，
y =
1
6（0.18+0.23+0.24+0.24+0.22+0.15）＝0.21，
故 r =
6
푖=1 푥푖푦푖 ― 6푥 ⋅ 푦
6
푖=1 (푥푖 ― 푥)2 ⋅
6
푖=1 (푦푖 ― 푦)2
≈
0.9309 ― 6 × 0.74 × 0.21
0.0112 ≈ ― 0.13．
因为|r|＜0.75，所以相关性弱，故不能利用线性回归模型描述 y 与 x 的关系；
②y 与 t 的值如下表
t 0.10 0.03 0 0.02 0.03 0.08
区别度 y 0.18 0.23 0.24 0.24 0.22 0.15
因为b =
6
푖=1 푥푖푦푖 ― 6푥 ⋅ 푦
6
푖 (푡푖 ― 푡)2
≈
0.0483 ― 6 × 0.26
6 × 0.21
0.0073 ≈ ― 0.86，
所以 a = 푦 ― bt = 0.21+0.86 × 0.26
6 ≈ 0.25，
所以所求回归直线方程 y＝﹣0.86t+0.25，
当 x＝0.75 时，此时 t＝0.01，则 y≈0.24
本题考查线性回归方程的求法，考查线性相关关系强弱的判定，考查计算能力，是中档
题．
20．已知函数 f（x）＝ex﹣ax2，已知函数在 x＝1 处的切线方程为 y＝（e﹣2）x+1．
（Ⅰ）求 a 的值；
（Ⅱ）求证：当 x＞0 时，푒푥 ― 1
푥 ≥ 푙푛푥 + 푒 ― 1．
（I）先对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解；
（II）要证原不等式成立，可考虑构造函数，然后转化为求解相应函数的范围，结合导数
及函数性质可求．
（I）f′（x）＝ex﹣2ax，
由题意可知，f′（1）＝e﹣2a＝e﹣2，所以 a＝1；
（II）证明：∵函数在 x＝1 处的切线方程为 y＝（e﹣2）x+1．
故可猜想：当 x＞0 且 x≠1 时，f（x）的图象恒在切线 y＝（e﹣2）x+1 的上方，
下证当 x＞0 时，f（x）≥（e﹣2）x+1，
设 g（x）＝f（x）﹣（e﹣2）x+1，x＞0，则 g′（x）＝ex﹣2x﹣e+2，g″（x）＝ex﹣2，
∴g′（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，
因为 g′（0）＝3﹣e，g′（1）＝0，0＜ln2＜1，
所以 g′（ln2）＜0，
故存在 x0∈（0，ln2）使得 g′（x0）＝0，
所以，当 x∈（0，x0），（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当 x∈（x0，1）时，
g′（x）＜0，g（x）单调递减，
又 g（0）＝g（1）＝0，
所以 g（x）＝ex﹣x2﹣（e﹣2）x﹣1≥0，当 x＝1 时取等号，
故푒푥 + (2 ― 푒)푥 ― 1
푥 ≥ 푙푛푥 +1，当 x＝1 时取等号，
令 h（x）＝x﹣lnx﹣1，x＞0
则h′(푥) = 1 ―
1
푥，
易得 x＝1 是函数 h（x）的极小值点，
所以 h（x）≥h（1）＝0，
故 x≥lnx+1
所以푒푥 + (2 ― 푒)푥 ― 1
푥 ≥ 푙푛푥 +1，当 x＝1 时取等号，
即证푒푥 ― 1
푥 ≥ 푙푛푥 + 푒 ― 1．
本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于难题．
21．已知椭圆 C：푥2
푎2 +
푦2
푏2 = 1(푎＞푏＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点P(1，3
2)在椭圆 C 上，
满足
→
P퐹1 ⋅
→
푃퐹2 =
9
4．
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）直线 l1 过点 P，且与椭圆只有一个公共点，直线 l2 与 l1 的倾斜角互补，且与椭圆
交于异于点 P 的两点 M，N，与直线 x＝1 交于点 K（K 介于 M，N 两点之间）．
①问：直线 PM 与 PN 的斜率之和能否为定值，若能，求出定值并写出详细计算过程；若不能，请说明理由；
②求证：|PM|•|KN|＝|PN|•|KM|
（Ⅰ）设 F1 （﹣c，0），F2（c，0），由
→
P퐹1 ⋅
→
푃퐹2 =
9
4可求 c＝1，再把点 P 的坐标代入椭
圆方程结合 a2＝b2+c2，即可求出 a，b，c 的值，从而得到椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）①显然直线 l1 的斜率存在，设直线 l1 的方程为：y - 3
2 = k（x﹣1），与椭圆方程
联立，利用△＝0 解出 k 的值，进而求出直线 l2 的斜率，设直线 l2 方程为：y = 1
2푥 + 푡，M
（x1，y1），N（x 2，y2），与椭圆方程联立，利用韦达定理代入 kPM+kPN =
푦1 ― 3
2
푥1 ― 1 +
푦2 ― 3
2
푥2 ― 1，化简可得 kPM+kPN＝0 为定值；②由①知∠MPK＝∠NPK，
在△PMK 和△PNK 中，由正弦定理得 푃푀
푠푖푛∠푃퐾푀 =
푀퐾
푠푖푛∠푀푃퐾， 푃푁
푠푖푛∠푃퐾푁 =
푁퐾
푠푖푛∠푁푃퐾，所以
푃푀
푃푁 =
푀퐾
푁퐾，即|PM|•|KN|＝|PN|•|KM|成立．
（1）设 F1 （﹣c，0），F2（c，0），c＞0，则
→
P퐹1 ⋅
→
푃퐹2 = （﹣c﹣1， - 3
2）•（c﹣1， -
3
2）＝1﹣c2 + 9
4 =
9
4，
∴c＝1，
∴{ 1
푎2 +
9
4푏2 = 1
푎2 = 푏2 + 푐2
푐 = 1
，解得{a = 2
푏 = 3
푐 = 1
，
∴椭圆 C 的标准方程为：푥2
4 +
푦2
3 = 1；
（2）①显然直线 l1 的斜率存在，设直线 l1 的方程为：y - 3
2 = k（x﹣1），即 y＝k（x﹣
1） + 3
2
联立方程{y = k(x - 1) + 3
2
푥2
4 +
푦2
3 = 1
，消去 y 得：（4k2+3）x2+（12k﹣8k2）x+（3﹣2k）2﹣12＝
0，
由题意可知△＝（12k﹣8k2）2﹣4×（4k2+3）[（3﹣2k）2﹣12]＝0，解得 k = - 1
2，∵直线 l2 与 l1 的倾斜角互补，∴直线 l2 的斜率为1
2，
设直线 l2 方程为：y = 1
2푥 + 푡，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立方程{y = 1
2푥 + 푡
푥2
4 +
푦2
3 = 1
，整理得 x2+tx+t2﹣3＝0，
由△＝t2﹣4（t2﹣3）＞0，得 t2＜4，
且 x1+x2＝﹣t，x1푥2 = 푡2 ― 3，
∴ 直 线 PM 与 PN 的 斜 率 之 和 kPM+kPN =
푦1 ― 3
2
푥1 ― 1 +
푦2 ― 3
2
푥2 ― 1 =
(1
2푥1 + 푡 ― 3
2)(푥2 ― 1) + (1
2푥2 + 푡 ― 3
2)(푥1 ― 1)
(푥1 ― 1)(푥2 ― 1) =
푥1푥2 + (푡 ― 2)(푥1 + 푥2) ― (2푡 ― 3)
(푥1 ― 1)(푥2 ― 1) =
푡2 ― 3 ― 푡(푡 ― 2) ― (2푡 ― 3)
푡2 ― 3 + 푡 + 1
= 0；
②由①知 PM、PN 关于直线 x＝1 对称，即∠MPK＝∠NPK，
在△PMK 和△PNK 中，由正弦定理得 푃푀
푠푖푛∠푃퐾푀 =
푀퐾
푠푖푛∠푀푃퐾， 푃푁
푠푖푛∠푃퐾푁 =
푁퐾
푠푖푛∠푁푃퐾，
又因为∠MPK＝∠NPK，∠PKM+∠PKN＝180°，
∴푃푀
푃푁 =
푀퐾
푁퐾，
∴|PM|•|KN|＝|PN|•|KM|成立．
本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，考查了直线倾斜角与斜率的关
系，是中档题．
（二）选考题：共 10 分.请考生在 22，23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题记分.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，以原点 O 为极点，以、轴正半轴为极
轴．已知曲线 C1的极坐标方程为ρ = 4cos(θ - 휋
3)，曲线 C2的极坐标方程为 ρcos(θ -
휋
3) = 푎，射线θ = α - 휋
6，θ＝α，θ = α + 휋
3，휃 = 훼 +
휋
2与曲线 C1 分别交于异于极点
O 的四点 A，B，C，D．
（Ⅰ）若曲线 C1 关于 C2 对称，求 α 的值，并求 C1 的参数方程；
（Ⅱ）若 f（α）＝|OA||•OB|﹣|OC|•|OD|，当휋
3＜훼＜
휋
2时，求 f（α）的范围．（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转
换．
（Ⅱ）利用极径的应用及三角函数关系式的变换的应用及正弦型函数的性质的应用求出
结果．
（1）曲线 C1 的极坐标方程为ρ = 4cos(θ - 휋
3)，整理得ρ2 = 4휌푐표푠(휃 ―
휋
3)，转换为
直角坐标方程为x2 + 푦2 = 2푥 +2 3푦，转换为标准式为(x - 1)2 +(푦 ― 3)2 = 4．
曲线 C2 的极坐标方程为 ρcos(θ - 휋
3) = 푎，转换为直角坐标方程为x + 3푦 ― 2푎
= 0．
由于曲线 C1 关于 C2 对称，所以圆心的坐标（1， 3）经过直线的方程，所以 a＝2．
所以 C1 的参数方程为{x = 1 + 2cosθ
푦 = 3 + 2푠푖푛휃 （θ 为参数）．
（2）根据题意整理得|OA|＝4cos（α - 휋
6 ―
휋
3）＝4sinα，|OB|＝4cos（α - 휋
3）．
|OC|＝4cos（α + 휋
3 ―
휋
3）＝4cosα，|OD|＝4cos（α + 휋
2 ―
휋
3）＝4sin（휋
3 ― 훼），
所以 f（α）＝|OA||•OB|﹣|OC|•|OD|，＝16[sinαcos（α - 휋
3）﹣cosαsin(휋
3 ― 훼)]＝16sin
（2α - 휋
3）．
由于휋
3＜훼＜
휋
2，所以2α - 휋
3 ∈ (
휋
3，
2휋
3 )，
所以f(α) ∈ (8 3，16]
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系
式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维
能力，属于基础题型．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知 x，y，z 为正实数，且 x+y+z＝2．
（Ⅰ）求证：4xy+2yz+2xz+z2≤4；
（Ⅱ）求证：xy（x2+y2）+yz（y2+z2）+xz（x2+z2）≥4xyz．[来源:学&科&网]
（Ⅰ）根据基本不等式即可证明；
（Ⅱ）转化为푥2 + 푦2
푧 +
푦2 + 푧2
푥 +
푥2 + 푧2
푦 ≥
2푥푦
푧 +
2푦푧
푥 +
2푥푧
푦 = y（푥
푧 +
푧
푥）+z（푦
푥 +
푥
푦）+x（푦
푧
+
푧
푦），根据基本不等式即可证明．（Ⅰ）∵（x+y+z）2＝4，
∴x2+y2+z2+2xy+2yz+2yz＝4，
∴4﹣z2＝x2+y2+2xy+2yz+2yz≥2xy+2xy+2yz+2yz＝4xy+2yz+2yz．
即 4xy+2yz+2xz+z2≤4；
（Ⅱ）푥2 + 푦2
푧 +
푦2 + 푧2
푥 +
푥2 + 푧2
푦 ≥
2푥푦
푧 +
2푦푧
푥 +
2푥푧
푦 = y（ 푥
푧 +
푧
푥）+z（푦
푥 +
푥
푦）+x（푦
푧 +
푧
푦）≥
2（x+y+z）＝4，
当且仅当 x＝y＝z = 2
3时取等号．
故 xy（x2+y2）+yz（y2+z2）+xz（x2+z2）≥4xyz．
本题考查了不等式的证明，考查了推理论证能力，属于基础题．
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