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2020 年高三综合复习检测题
高三数学（理科）
时间：120 分钟 满分：150 分
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 150 分 .考试时间为 120 分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
（1）已知全集 ，集合 ， ，
则 ( )
（A） （B） （C） （D）
（2）已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于 ( )
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
（3） 如图所示是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩 y 关于
测试序号 x 的函数图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图
象，给出下列结论：
①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；
②二班成绩不够稳定，波动程度较大；
③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．
其中正确结论的个数为 ( )
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
（4） (1－ x)6(1＋ x)4 的展开式中 x 的系数是 ( )
（A）－4 （B）－3 （C）3 （D）4
（5）设 a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则 a，b，c 的大小关系是 ( )
（A）a＜b＜c （B）b＜c＜a （C）b＜a＜c （D）c＜b＜a
（6）sin(180°＋2α)
1＋cos 2α · cos2α
cos(90°＋α)等于( )
（A）－sin α （B）－cos α （C）sin α （D）cos α
（7）已知平面向量 a，b 的夹角为π
3，且|a|＝1，|b|＝1
2，则 a＋2b 与 b 的夹角是 ( )
（A）π
6 （B）5π
6 （C）.π
4 （D）3π
4
（8）已知 是两个平面， 是两条直线，则下列命题错误的是 ( )
（A）如果 ∥ ， ，那么 ∥
（B）如果 ， ∥ ，那么
（C）如果 ∥ ， ，那么
（D）如果 ， ， ∥ ，那么
（9）将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为 a 和 b，则方程 ax2＋bx＋1＝
0 有实数解的概率是 ( )
（A）19
36 （B） 1
2 （C） 7
36 （D） 5
18
（10）若函数 f(x)＝2x－2
x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a 的取值范围是( )
（A）(1,3) （B）(1,2) （C）(0,3) （D）(0,2)
（11）函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向右平移 π
12个单位长度得到函数 y＝g(x)的图象，并
且函数 g(x)在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，则实数 ω 的值为( )
（A）7
4 （B）3
2 （C）2 （D）5
4
（12）双曲线 C： 的左右焦点分别为 ， ，C 的右支上一点
满足 ，若坐标原点 到直线 距离是 ，则 C 的离心率为( )
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
（13）已知函数 f (x)在 R 上单调递减，且为奇函数，则满足 f (x＋1)＋f (x－3)＜0 的 x
的取值范围为______．
（14）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若△ABC 的面积为 3
4 (a2＋c2
－b2)，则 B＝________.
（15）直线 l 过抛物线 y2＝－2px(p＞0)的焦点，且与该抛物线交于 A，B 两点，若线段 AB
的长是 8，AB 的中点到 y 轴的距离是 2，则此抛物线的方程是________.
（16）已知球 表面上的四点 ， ， ， 满足 ， ，若四
,α β ,m n
α β n α⊂ n β
m α⊥ n α m n⊥
m n m α⊥
m n⊥ m α⊥ n β α β⊥
U = Z { | 0 4}A x x= ∈ < > 1F 2F P
1 2 60F PF∠ = ° O 1PF 3
2
a
2 3 2 3
O A B C D 2AC BC= = 90ACB∠ = °
2
0
0
8
0
8
2
9
2
0
0
8
0
8
2
9
2
0
0
8
0
8
2
9高三数学理科第 2 页（共 2 页）
面体 体积的最大值为 ，则球 的表面积为________.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
（17）（本小题满分 12 分）
设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 a1＝－1， an+1＝Sn·Sn+1．
（1）证明：数列 1
Sn 是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
（18）（本小题满分 12 分）
“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，
自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅
游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自
然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了 100
所学校，统计如下：
研学游类型 科技体验游 民俗人文游 自然风光游
学校数 40 40 20
该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了 3 所学校，并以统计的
频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且
不受其他学校选择结果的影响)：
(1)若这 3 所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有
学校选择的概率；
(2)设这 3 所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量 X，求 X 的分布列与数学期望.
（19）（本小题满分 12 分）
如图，已知三棱柱 中，平面 平面 ， ， .
(1)证明： ；
(2)设 ， ，
求二面角 的余弦值.
（20）（本小题满分 12 分）
已知椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F( 3，0)，长半轴与短半轴的比值为 2.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设经过点 A(1,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N.若点 B(0,1)在以线段 MN 为
直径的圆上，求直线 l 的方程．
（21）（本小题满分 12 分）
已知函数 ．
（1）若 ，求 极值；
（2）证明：当 ， 时，函数 在 上存在零点．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。
（22）[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 中，倾斜角为 的直线 经过坐标原点 ，曲线 的参数方程为
（ 为参数）．以点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为 ．
（1）求 与 的极坐标方程；
（2）设 与 的交点为 、 ， 与 的交点为 、 ，且 ，求 值．
（23）[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 ，当 时， ．
（1）求 的取值范围；
（2）证明：
ABCD 2
3 O
{ }
1 1 1ABC A B C− 1 1AAC C ⊥ ABC 1AA AC= AC BC⊥
1AC ⊥ 1AB
2AC CB= 1 60A AC∠ =
1 1C AB B− −
( ) ln( 2) ( 1)eaxf x x x= + − +
0a = ( )f x
1a > − 0a ≠ ( )f x ( 1, )− +∞
xOy α l O 1C
2 2cos
2sin
x
y
ϕ
ϕ
= +
=
ϕ O x 2C
4sinρ θ=
l 1C
l 1C O A l 2C O B | | 4 2AB = α
( ) | |f x x a= + x∈R ( ) 0f x x+ >
a
2( ) ( ) ( )f ax af x f a− − ≥
A
C
B
B1
C1
A1高三数学理科第 3 页（共 2 页）
2020 年 3 月 检测考试
高三数学试题（理科）参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A D B C D A D A C C B
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
（13）(1，＋∞); （14）π
3 ; （15）y2＝－8x ; （16）
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
（17）（本小题满分 10 分）
解：（1）因为 an＋1＝Sn＋1－Sn，所以 Sn＋1－Sn＝Sn·Sn＋1．
两边同除以 Sn·Sn＋1 得
1
Sn＋1－
1
Sn＝－1．
因为 a1＝－1，所以
1
S1＝－1．
因此数列{
1
Sn}是首项为－1，公差为－1 的等差数列． ……………（6 分）
（2）由（1）得
1
Sn＝－1＋(n－1)(－1) ＝－n，Sn＝－
1
n．
当 n≥2 时，an＝Sn－1·Sn＝
1
n(n－1)．
于是 an＝Error!
……………（12 分）
（18）（本小题满分 12 分）
解： (1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为 ，选择“自然风光游”的概率为 ，
∴若这 3 所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有
学校选择的概率为： . …………5 分
(2) 可能取值为 0，1，2，3.
则 ， ，
， ，
∴ 的分布列为
0 1 2 3
∴ . …………………12 分
或解：∵随机变量 服从 ，∴ . …………12 分
（19）（本小题满分 12 分）
解：(1)连结 .
∵ ，四边形 为菱形，∴ .
∵平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， ，
∴ 平面 .
又∵ ，∴ 平面 ，∴ .
∵ ，
∴ 平面 ，而 平面 ，
∴ . …………………………5 分
(2)取 的中点为 ，连结 .
∵ ，四边形 为菱形， ，∴ ， .
25 π4
2
5
1
5
2 2
2 2
3 3
2 1 1 2 18
5 5 5 5 125P C C = + =
X
( ) 3
0
3
3 270 5 125P X C = = =
( ) 2
1
3
2 3 541 5 5 125P X C = = =
( ) 2
2
3
2 3 362 5 5 125P X C = = =
( ) 3
3
3
2 83 5 125P X C = = =
X
X
P 27
125
54
125
36
125
8
125
27 54 36 8 60 1 2 3125 125 125 125 5EX = × + × + × + × =
X 23 5X B
∼ ， 2 63 5 5EX np= = × =
1AC
1AA AC= 1 1AAC C 1 1AC AC⊥
1 1AAC C ⊥ ABC 1 1AAC C ABC AC=
BC ⊂ ABC BC ⊥ AC
BC ⊥ 1 1AAC C
1 1//BC B C 1 1B C ⊥ 1 1AAC C 1 1 1B C AC⊥
1 1 1 1AC B C C=
1AC ⊥ 1 1AB C 1AB ⊂ 1 1AB C
1AC ⊥ 1AB
1 1AC M CM
1AA AC= 1 1AAC C 1 60A AC∠ =
1 1CM AC⊥ CM AC⊥高三数学理科第 4 页（共 2 页）
又∵ ，以 为原点， 为正方向建立空间直角坐标系，如图.
设 ， ， ， ，
∴ (0，0，0)， (1，0， )， (2，0，0)， (0，1，0)， (-1，1， ).
由 (1) 知 ， 平 面 的 一 个 法 向 量 为
.
设 平 面 的 法 向 量 为 ， 则
，∴ .
∵ ， ，
∴ .
令 ，得 ，即 .
∴ ，
∴二面角 的余弦值为 . ……………………………12 分
（20）（本小题满分 12 分）
解：(1)由题可知 c＝ 3，a
b＝2，a2＝b2＋c2，
∴a＝2，b＝1.
∴椭圆 C 的方程为x2
4 ＋y2＝1.……………………………5 分
(2)易知当直线 l 的斜率为 0 或直线 l 的斜率不存在时，不合题意．
当直线 l 的斜率存在且不为 0 时，设直线 l 的方程为 x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立Error!消去 x，可得(4＋m2)y2＋2my－3＝0.
Δ＝16m2＋48＞0，y1＋y2＝
－2m
4＋m2，y1y2＝
－3
4＋m2.
∵点 B 在以 MN 为直径的圆上，
∴ BM
―→
· BN
―→
＝0.
∵ BM
―→
· BN
―→
＝(my1＋1，y1－1)·(my2＋1，y2－1)＝(m2＋1)y1y2＋(m－1)(y1＋y2)＋2＝0，
∴(m2＋1)·
－3
4＋m2＋(m－1)·
－2m
4＋m2＋2＝0，
整理，得 3m2－2m－5＝0，解得 m＝－1 或 m＝5
3.
∴直线 l 的方程为 x＋y－1＝0 或 3x－5y－3＝0.……………………………12 分
（21）（本小题满分 12 分）
解： （1）当 时， ，定义域为 ，由 得
．
当 x 变化时， f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x (－2，－1) －1 (－1，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 －
f (x) ↗ 极大值 ↘
故当 时，f (x)取得极大值 0，无极小值． ………（5 分）
（2） ， ．
当 时，因为 ，所以 ， 在
单调递减．因为 ， ，所以存在 ，使 ，
当 时， ，当 时， ，所以 在 单调递增，在
单调递减．所以 ，而 ，所以 在 存在零点．
…………（8 分）
当 时，由（1）得 ，于是 ，所以
．
CM BC⊥ C CA CB CM， ，
1CB = 2 2AC CB= = 1AA AC= 1 60A AC∠ =
C 1A 3 A B 1B 3
1 1C AB
( )1 1 0 3CA = ， ，
1ABB ( )n x y z= ， ，
1n AB n AB⊥ ⊥ ，
1
0
0
n AB
n AB
⋅ = ⋅ =
( )2 1 0AB = − ，， ( )1 3 1 3AB = − ，，
2 0
3 3 0
x y
x y z
− + =− + + =
1x = 12
3
y z= =， 11 2
3
n
=
， ，
1
1
1
2 3cos 4162 3
CA nCA n
CA n
⋅< >= = =
⋅ ×
，
1 1C AB B− − 3
4
−
0a = ( ) ln( 2) ( 1)f x x x= + − + ( 2, )− +∞ 1( ) 02
xf x x
+′ = − =+
1x = −
1x = −
1( ) e [1 ( 1)]2
axf x a xx
′ = − + ++ 2x > −
0a > 1x > − 2
1( ) e [ ( 1) 2] 0( 2)
axf x a a xx
′′ = − − + + 1(0) 02f b′ = − − < 1 ( 1,0)x ∈ − 1( ) 0g x′ =
11 x x− < < ( ) 0f x′ > 1x x> ( ) 0f x′ < ( )f x 1( 1, )x− 1( , )x +∞
0( ) ( 1) 0f x f> − = (0) ln 2 1 0f = − < ( )f x ( 1, )− +∞
1 0a− < < ln( 2) ( 1)x x+ ≤ + e 1x x≥ +
e 1 ( 1)ax ax a x− ≥ − + > − +高三数学理科第 5 页（共 2 页）
所以 ．
于是 ．
因为 ，所以所以 在 存在零点．
综上，当 ， 时，函数 在 上存在零点．…………（12 分）
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一
题计分。
（22）[选修 4-4：坐标系与参数方程] （10 分）
解：（1）因为 经过坐标原点，倾斜角为 ，故 的极坐标方程为 ．
的普通方程为 ，可得 的极坐标方程为 ．……（5 分）
（2）设 ， ，则 ， ．
所以 ．
由题设 ，因为 ，所以 ．……………（10 分）
（23）[选修 4-5：不等式选讲] （10 分）
解：（1） ．
由 ， ，得 的取值范围为 ． ……………（5 分）
（2） ．
因为 ，所以 ．
由 ，得 ．
因为 ，故 ．…………（10 分）
( )θ α ρ= ∈R
1C 2 2( 2) 4x y− + = 1C 4cosρ θ=
1( , )A ρ α 2( , )B ρ α 1 4cosρ α= 2 4sinρ α=
1 2
π| | | | 4| cos sin | 4 2 | sin( ) |4AB ρ ρ α α α= − = − = −
πsin( ) 14
α − = ± 0 πα< < 3π
4
α =
( ) e [e ln( 2) ( 1)] e ( 1)[ ln( 2) 1)]ax ax axf x x x x a x−= + − + > − + + +
1 1 1 1 1
1 1(e ) e (e 1)[ ln(e 2) 1)] e (e 1)[ ln(e ) 1)] 0a a a a af a a
− − − − −− −> + − + − > + − − =
(0) ln 2 1 0f = − < ( )f x
1
(e , )a
− +∞
1a > − 0a ≠ ( )f x ( 1, )− +∞
l α l
2 ,( ) ,
x a x af x x a x a
+ ≥ −+ = − < −
2( ) 0a a− + > 0a− > a ( ,0)−∞
( ) ( ) | | | |f ax af x ax a a x a− − = + − − +
0a < | | | | (| 1| | |)ax a a x a a x x a+ − − + = − + + − +
| 1| | | | 1 | =|1 |x x a x x a a+ + − + ≥ + + − + + (| 1| | |) |1 |a x x a a a− + + − + ≥ − +
2 2( ) | | | 1|f a a a a a= + = − + 2( ) ( ) ( )f ax af x f a− − ≥
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