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2020 年高三综合复习检测题
高三数学（文科）
时间：120 分钟 满分：150 分
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 150 分 .考试时间为 120 分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
（1）已知全集 ，集合 ， ，则 ( )
（A） （B） （C） （D）
（2）已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于( )
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
（3）经过点 作圆 的切线 ，则 的方程为 ( )
（A） （B） 或 （C） （D） 或
（4）如图所示是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩 y 关于测
试序号 x 的函数图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图象，
给出下列结论：
①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；
②二班成绩不够稳定，波动程度较大；
③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．
其中正确结论的个数为 ( )
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
（5）设 a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则 a，b，c 的大小关系是 ( )
（A）a＜b＜c （B）b＜c＜a （C）b＜a＜c （D）c＜b＜a
（6）sin(180°＋2α)
1＋cos 2α · cos2α
cos(90°＋α)等于( )
（A）－sin α （B）－cos α （C）sin α （D）cos α
（7）已知向量 a，b 满足|a|＝1，b＝(2,1)，且 a·b＝0，则|a－b|＝ ( )
（A） 6 （B） 5 （C）2 （D） 3
（8）从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1
张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 ( )
（A） （B） （C） （D）
（9）已知 是两个平面， 是两条直线，则下列命题错误的是 ( )
（A）如果 ∥ ， ，那么 ∥
（B）如果 ， ∥ ，那么
（C）如果 ∥ ， ，那么
（D）如果 ， ， ∥ ，那么
（10）函数 f(x)＝ln x－ 2
x2的零点所在的区间为 ( )
（A）(0,1) （B）(1,2) （C）(2,3) （D）(3,4)
（11）函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向右平移 π
12个单位长度得到函数 y＝g(x)的图象，并
且函数 g(x)在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，则实数 ω 的值为( )
（A）7
4 （B）3
2 （C）2 （D）5
4
（12）双曲线 C： 的左右焦点分别为 ， ，C 的右支上一点
满足 ，若坐标原点 到直线 距离是 ，则 C 的离心率为( )
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
（13）抛物线 y 2＝4x 上一点 P 到该抛物线的焦点距离是 10，则 P 点的横坐标
______．
（14）已知函数 f (x)在 R 上单调递减，且为奇函数，则满足 f (x＋1)＋f (x－3)＜0 的 x
的取值范围为______．
（15）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若△ABC 的面积为 3
4 (a2＋c2
－b2)，则 B＝________.
（16）已知球 表面上的四点 ， ， ， 满足 ， ，若四
面体 体积的最大值为 ，则球 的表面积为________.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
（17）（本小题满分 12 分）
等差数列{an}的公差为 2，若 a2，a4，a8 成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，求数列 1
Sn 的前 n 项和 Tn．
U = Z {1,2,3}A = {1,4}B = ( )U A B =
{1} {4} {1,4} ∅
z (2 ) 2z i i− = + z
(3,0)M 2 2 2 4 3 0x y x y+ − − − = l l
3 0x y− − = 3 0x y+ − = 3x = 3 0x y+ − = 3 0x y− − =
3x =
2
5
3
10
1
5
1
10
,α β ,m n
α β n α⊂ n β
m α⊥ n α m n⊥
m n m α⊥ n α⊥
m n⊥ m α⊥ n β α β⊥
,6 3
π π
,3 2
π π
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1F 2F P
1 2 60F PF∠ = ° O 1PF 3
2
a
2 3 2 3
O A B C D 2AC BC= = 90ACB∠ = °
ABCD 2
3 O
{ }
2
0
0
8
0
8
2
9高三数学文科第 2 页（共 2 页）
（18）（本小题满分 12 分）
某汽车公司生产新能源汽车，2019 年 3-9 月份销售量(单位：万辆)数据如下表所示：
月份 3 4 5 6 7 8 9
销售量 (万辆) 3.008 2.401 2.189 2.656 1.665 1.672 1.368
(1)某企业响应国家号召，购买了 6 辆该公司生产的新能源汽车，其中四月份生产的 4 辆，
五月份生产的 2 辆，6 辆汽车随机地分配给 A，B 两个部门使用，其中 A 部门用车 4 辆，B 部
门用车 2 辆.现了解该汽车公司今年四月份生产的所有新能源汽车均存在安全隐患，需要召回.
求该企业 B 部门 2 辆车中至多有 1 辆车被召回的概率；
(2)经分析可知，上述数据近似分布在一条直线附近.设 关于 的线性回归方程为
，根据表中数据可计算出 ，试求出 的值，并估计该厂 10 月份的销售量.
（19）（本小题满分 12 分）
如图，该几何体的三个侧面 ， ， 都是矩形.
(1)证明：平面 ∥平面 ；
(2)若 ， ， 为 中点，
证明： 平面 .
（20）（本小题满分 12 分）
已知椭圆 C 的两个焦点为 F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点 E ,
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点(点 A 位于 x 轴上方)，若AF1―→
＝2 F1B―→
，求直线
l 的斜率 k 的值．
（21）（本小题满分 12 分）
已知函数 ．
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）证明：当 时， 只有一个零点．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。
（22）[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 中，倾斜角为 的直线 经过坐标原点 ，曲线 的参数方程为
（ 为参数）．以点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为 ．
（1）求 与 的极坐标方程；
（2）设 与 的交点为 、 ， 与 的交点为 、 ，且 ，求 值．
（23）[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 ，当 时， ．
（1）求 的取值范围；
（2）证明：
x
y
y x
y bx a= + 0.2465b = − a
1 1AA B B 1 1BB C C 1 1CC A A
ABC 1 1 1A B C
1 2AA AC= AC AB⊥ M 1CC
1A M ⊥ ABM
( 3
2
3
2( ) (2 2)exf x x ax= − −
1a < ( )f x
0a > ( )f x
xOy α l O 1C
2 2cos
2sin
x
y
ϕ
ϕ
= +
=
ϕ O x 2C
4sinρ θ=
l 1C
l 1C O A l 2C O B | | 4 2AB = α
( ) | |f x x a= + x∈R ( ) 0f x x+ >
a
2( ) ( ) ( )f ax af x f a− − ≥高三数学文科第 3 页（共 2 页）
2020 年 3 月 检测考试
高三数学试题（文科）
参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A D D C D A A D B C B
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
（13）9; （14）(1，＋∞) ; （15）π
3 ; （16）
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
（17）（本小题满分 12 分）
解：（1）由题意得 a42＝a2a8，即(a1＋6)2＝(a1＋2)( a1＋14)，故 a1＝2．
所以{an}的通项公式 an＝2n． ……………（6 分）
（2）由（1）得 Sn＝
1
2(a1＋an)＝n(n＋1)，
1
Sn＝
1
n(n＋1)＝
1
n－
1
n＋1．
于是 Tn＝(1－
1
2)＋(
1
2－
1
3)＋(
1
3－
1
4)＋…＋(
1
n－
1
n＋1)
＝(1＋
1
2＋
1
3＋…＋
1
n)－(
1
2＋
1
3＋
1
4＋…＋
1
n＋1)
＝1－
1
n＋1
＝ n
n＋1． ……………（12 分）
（18）（本小题满分 12 分）
解：(1)设某企业购买的 6 辆新能源汽车，4 月份生产的 4 辆车为 ， ， ， ；5
月份生产的 2 辆车为 ， ，6 辆汽车随机地分配给 两个部门.
部门 2 辆车可能为( ， )，( ， )，( ， )，( ， )，( ， )，( ，
)，( ， )，( ， )，( ， )，( ， )，( ， )，( ， )，( ， ，
( ， )，( ， )共 15 种情况；
其中，至多有 1 辆车是四月份生产的情况有：( ， )，( ， )，( ， )，( ，
)，( ， )，( ， )，( ， )，( ， )，( ， )共 9 种，
所以该企业 部门 2 辆车中至多有 1 辆车被召回的概率为 ．………5 分
(2)由题意得 ， .
因为线性回归方程过样本中心点 ，所以 ，解得 .
当 时， ，
即该厂 10 月份销售量估计为 1.151 万辆. …………12 分
（19）（本小题满分 12 分）
解： (1)∵侧面 是矩形，∴ .
又∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .
同理可得： 平面 .
∵ ，∴平面 平面 . ………………………5 分
(2)∵侧面 都是矩形，∴ .
又∵ ， ，∴ 平面 .
∵ ，∴ .
∵ 为 的中点， ，∴ 都是等腰直角三角形，
∴ ， ，即 .
而 ，∴ 平面 . ………………………12 分
（20）（本小题满分 12 分）
[解] (1)设椭圆 C 的方程为x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)，
25 π4
1C 2C 3C 4C
1D 2D A B，
B 1C 2C 1C 3C 1C 4C 1C 1D 1C 2D 2C
3C 2C 4C 2C 1D 2C 2D 3C 4C 3C 1D 3C 2D 4C 1D
4C 2D 1D 2D
1C 1D 1C 2D 2C 1D 2C
2D 3C 1D 3C 2D 4C 1D 4C 2D 1D 2D
B 9 3
15 5P = =
6x = 2.137y =
( )x y， ( ) 2.137 6 0.2465 a= × − + 3.616a =
10x = 0.2465 10 3.616 1.151y = − × + =
1 1AA B B 1 1 //A B AB
1 1A B ⊄ ABC AB ⊂ ABC 1 1 //A B ABC
1 1 //AC ABC
1 1 1 1 1A B AC A= //ABC 1 1 1A B C
1 1 1 1 1 1AA B B BB C C CC A A， ， 1A A AB⊥
AC AB⊥ 1A A AC A= AB ⊥ 1 1AAC C
1 1 1A M AAC C⊂ 平面 1AB A M⊥
M 1CC 1 2AA AC= 1 1ACM AC M∆ ∆，
1 1 45AMC A MC∠ = ∠ =
1 90A MA∠ =
1A M A M⊥
AB AM A= 1A M ⊥ ABM高三数学文科第 4 页（共 2 页）
由Error!解得Error!
所以椭圆 C 的方程为x2
4 ＋y2
3＝1.……………………………5 分
(2)由题意得直线 l 的方程为 y＝k(x＋1)(k＞0)，
联立Error!整理得 ( 3
k2＋4)y2－6
ky－9＝0，
则 Δ＝144
k2 ＋144＞0，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 y1＋y2＝ 6k
3＋4k2，y1y2＝
－9k2
3＋4k2，
又 AF1―→
＝2 F1B
―→
，所以 y1＝－2y2，
所以 y1y2＝－2(y1＋y2)2，
则 3＋4k2＝8，解得 k＝±
5
2 ，
又 k＞0，所以 k＝ 5
2 .……………………………12 分
（21）（本小题满分 12 分）
解：（1） ．
当 时，由 得 ，由 得 ， 在 单调递减，在
单调递增．
当 时，由 得 ，由 得 或 ， 在
单调递减，在 和 单调递增． …………（6 分）
（2）当 时，由（1）知， 在 上最大值为
， 在 没有零点．
因为 ， ， 在 单调递增，所以
在 有唯一零点．
当 时，由（1）可知 在 单调递增，在 单调递减，在 单
调递增．
在 上最大值为 ， 在 没有零点．
因为 ， ．
令 ， ，当 时， ，故 在 单
调递增，所以 ， 在 单调递增，所以
，因此 ．
因为 在 单调递增，所以 在 有唯一零点．
综上，当 时， 只有一个零点．…………（12 分）
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一
题计分。
（22）[选修 4-4：坐标系与参数方程] （10 分）
解：（1）因为 经过坐标原点，倾斜角为 ，故 的极坐标方程为 ．
的普通方程为 ，可得 的极坐标方程为 ．……（5 分）
（2）设 ， ，则 ， ．
所以 ．
由题设 ，因为 ，所以 ．………（10 分）
（23）[选修 4-5：不等式选讲] （10 分）
解：（1） ．
由 ， ，得 的取值范围为 ．……………（5 分）
（2） ．
( ) 2 (e ) 0xf x x a′ = − =
0a ≤ ( ) 0f x′ < 0x < ( ) 0f x′ > 0x > ( )f x ( ,0)−∞
(0, )+∞
0 1a< < ( ) 0f x′ < ln 0a x< < ( ) 0f x′ > lnx a< 0x > ( )f x
(ln ,0)a ( ,ln )a−∞ (0, )+∞
0 1a< < ( )f x ( ,0)−∞
2(ln ) [(ln 1) 1] 0f a a a= − − + < ( )f x ( ,0)−∞
(0) 1 0f = − < 2 2(2) 2(e 2 ) 2(e 2) 0f a= − > − > ( )f x (0, )+∞
( )f x (0, )+∞
1a > ( )f x ( ,0)−∞ (0,ln )a (ln , )a +∞
( )f x ( ,ln )a−∞ (0) 1 0f = − < ( )f x ( ,ln )a−∞
(ln ) (0) 1 0f a f< = − <
2
1 2 1 ( 1)( 1) 2 e ( 1) 2 [e ]2
a a af a a a a a+ + ++ = − + = −
2
( ) e 2
x xg x = − ( ) exg x x′ = − 2x > ( ) e 1 0xg x′′ = − > ( )g x′ (2, )+∞
( ) (2) e 2 0g x g′ ′> = − > ( )g x (2, )+∞
2( ) (2) e 2 0g x g> = − > ( 1) 0f a + >
( )f x (ln , )a +∞ ( )f x (ln , )a +∞
0a > ( )f x
l α l ( )θ α ρ= ∈R
1C 2 2( 2) 4x y− + = 1C 4cosρ θ=
1( , )A ρ α 2( , )B ρ α 1 4cosρ α= 2 4sinρ α=
1 2
π| | | | 4| cos sin | 4 2 | sin( ) |4AB ρ ρ α α α= − = − = −
πsin( ) 14
α − = ± 0 πα< < 3π
4
α =
2 ,( ) ,
x a x af x x a x a
+ ≥ −+ = − < −
2( ) 0a a− + > 0a− > a ( ,0)−∞
( ) ( ) | | | |f ax af x ax a a x a− − = + − − +高三数学文科第 5 页（共 2 页）
因为 ，所以 ．
由 ，得 ．
因为 ，故 ． ……………（10 分）
0a < | | | | (| 1| | |)ax a a x a a x x a+ − − + = − + + − +
| 1| | | | 1 | =|1 |x x a x x a a+ + − + ≥ + + − + + (| 1| | |) |1 |a x x a a a− + + − + ≥ − +
2 2( ) | | | 1|f a a a a a= + = − + 2( ) ( ) ( )f ax af x f a− − ≥
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