河南省鹤壁市高级中学2019-2020高一数学下学期第一次段考试题（有答案Word版）

2022 届高一下学期第一次段考 数学试卷 考试时间：120 分钟 命题人： 一．选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．有下列命题： ①两个相等向量，若它们的起点相同，终点也相同； ②若 ，则 ； ③若 ，则四边形 ABCD 是平行四边形； ④若 ， ，则 ； ⑤若 ， ，则 ； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中，假命题的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列事件是随机事件的是（　　） ①当 x＞10 时，lgx≥1； ②当 x∈R，x2+x＝0 有解 ③当 a∈R 关于 x 的方程 x2+a＝0 在实数集内有解； ④当 sinα＞sinβ 时，α＞β A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 3．集合{x|2x＝x2，x∈R}的非空真子集的个数为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 4．比较 sin150°，tan240°，cos（﹣120°）三个三角函数值的大小，正确的是（　　） A．sin150°＞tan240°＞cos（﹣120°） B．tan240°＞sin150°＞cos（﹣120°） C．sin150°＞cos（﹣120°）＞tan240° D．tan240°＞cos（﹣120°）＞sin150° 5．某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法从中抽取 56 人做问卷调查，将 840 人按 1，2， 3，…，840 随机编号，若 442 号职工被抽到，则下列 4 名职工中未被抽到的是（　　） A．487 号职工 B．307 号职工 C．607 号职工 D．520 号职工 6．生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过体重指标，若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过体重指标的概率为（　　） A． B． C． D． 7．函数 落在区间（﹣1，3）的所有零点之和为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知 O 是△ABC 的重心，且 ，则实数 λ＝（　　） A．3 B．2 C．1 D． 9．化简 等于（　　） A．cos3﹣sin3 B．sin3﹣cos3 C．﹣sin3﹣cos3 D．sin3+cos3 10．执行如图所示的程序框图，输出的结果是 511，则判断框中应填入（　　） A．A＞8 B．A＜8 C．A＞9 D．A＜9 11．在区间 内任取一点 x，使得 2≤4sin2x≤3 的概率是（　　） A． B． C． D． 12．已知函数 f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ| ），两个等式：f（ x）﹣f（ x）＝0，f（ ）+f（ ）＝0 对任意的实数均恒成立，且 f（x）在（0， ）上单调， 则 ω 的最大值为（　　）A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．某次考试后，对全班同学的数学成绩进行整理，得到如表： 分数段 [70，90） [90，110） [110，130） [130，150] 人数 5 15 20 10 将以上数据绘制成频率分布直方图后，可估计出本次考试成绩的中位数是　 　． 14．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，钝角 α 的终边与单位圆交于 B 点，且点 B 的纵坐标为 ．若将点 B 沿单位圆逆时针旋转 到达 A 点，则点 A 的坐标为　 　． 15．若随机事件 A、B 互斥，A、B 发生的概率均不等于 0，且分别为 P（A）＝2﹣a，P（B）＝ 3a﹣4，则实数 a 的取值范围为　 　． 16．设函数 f（x） ，存在 x0 使得|f（x）|≤|f（x0）|和 x02+[f（x0）]2＜m2 成立，则 m 的取值范围是　 　． 三．解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤） 17．（本小题 10 分）（1）计算： ； （2）已知 tanθ＝﹣2，求 2+sinθcosθ﹣cos2θ 的值． 18．（本小题 12 分）若函数 f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ ）的图象经过点（0， ），且相邻的两个零点差的绝对值为 6． （1）求函数 f（x）的解析式； （2）若将函数 f（x）的图象向右平移 3 个单位后得到函数 g（x）的图象，当 x∈[﹣1，5]时， 求 g（x）的值域． 19．（本小题 12 分）已知四棱锥 S﹣ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的菱形，∠BAD＝60°，SA＝SD＝2 ，点 E 是棱 AD 的中点，点 F 在棱 SC 上，且 λ，SA∥平面 BEF． （1）求实数 λ 的值； （2）求三棱锥 F﹣EBC 的体积． 20．（本小题 12 分）已知函数 ． （1）若 m＝1，求不等式 f（x）≥1 的解集； （2）若 g（x）＝x2﹣2x+2，对于任意的 x1∈[0，1]，x2∈[0，2]都有 f（x1）+1≠g（x2），求 m 的取值范围． 21．（本小题 12 分）已知 O 为△ABC 内一点，且满足 ，延长 AO 交 BC 于点 D．记 ， ． （1）试用 ， 表示 ； （2）求 ． 22．（本小题 12 分）已知圆 C 经过点 A（﹣1，3），B（3，3）两点，且圆心 C 在直线 x﹣y+1 ＝0 上． （1）求圆 C 的方程； （2）设 M（﹣5，2），对圆 C 上任意一点 P，在直线 MC 上是否存在与点 M 不重合的点N，使 是常数，若存在，求出点 N 坐标；若不存在，说明理由． 2022 届高一下学期第一次段考 数学试卷参考答案与试题解析 一．选择题（共 12 小题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C C C B D B B C C D A A 二．填空题（共 4 小题） 13．115． 14．（ ）． 15．（ ]． 16．m＜﹣2 或 m＞2． 三．解答题（共 6 小题） 17．【解答】解：（1）∵ ， ， 1﹣lg3， ，………………………………………………………………………………… 5 分 （2）∵tanθ＝﹣2， ∴2+sinθcosθ﹣cos2θ ， ， ．………………………………………………………………………………10 分18．【解答】解：（1）∵f（x）相邻的两个零点差的绝对值为 6， 记 的周期为 T，则 ， 又 ，∴ ，……………………………………………………………………… 2 分 ∴ ； ∵ f （ x ） 的 图 象 经 过 点 ， ∴ ， ∴ ，…………4 分 ∴函数 f（x）的解析式为 ．…………………………………………6 分 （2）∵将函数 f（x）的图象向右平移 3 个单位后得到函数 g（x）的图象， 由（1）得， ， ∴函数 g（x）的解析式为 ；………………8 分 当 x∈[﹣1，5]时， ，………………………………………………… 10 分 则 ． 综上，当 x∈[﹣1，5]时，g（x）的值域为 ．……………………………………… 12 分 19．【解答】解：（1）连接 AC，设 AC∩BE＝G，则平面 SAC∩平面 EFB＝FG， ∵SA∥平面 EFB，∴SA∥FG，…………………………………………………………………2分 ∵△GEA∽△GBC，∴ ， ∴ ，………………………………………………………………………………… 4 分 得 SF ， 即 ；…………………………………………………………………………6 分 （2）∵SA＝SD＝2 ，∴SE⊥AD，SE＝4． 又∵AB＝AD＝4，∠BAD＝60°，∴BE＝2 ． ∴SE2+BE2＝SB2，则 SE⊥BE． ∴SE⊥平面 ABCD，……………………………………………………………………………9 分 ∴ ．………………… 12 分 20．【解答】解：（1）当 m＝1 时，f（x）＝2sin（ ）， 所以 2sin（ ）≥1，即 sin（ ） ，所 以 2kπ 2kπ ， k∈Z，……………………………………………………2 分 所以 4k x≤4k+1， 故原不等式的解集为[4k ，4k+1]，k∈Z；…………………………………………………… 4 分 （2）g（x）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1， 当 x∈[0，2]时，g（x）∈[1，2]．………………………………………………………………6 分 当 x∈[0 ， 1] 时 ， 则 ∈[ ， ] ， 所 以 sin （ ） ∈[ ， 1]，…………………………8 分 任意的 x1∈[0，1]，x2∈[0，2]都有 f（x1）+1≠g（x2）， 可得当 m＞0 时，f（x）+1∈[m+1，2m+1]，所以 m+1＞2，所以 m＞1；…………………10 分 当 m＜0 时，f（x）+1∈[2m+1，m+1]，所以 m+1＜1，所以 m＜0； 综上，m＜0 或 m＞1．…………………………………………………………………………12 分 21．【解答】解：（1）∵ ， ， ∴ ， ∴ ；……………………………………………………………… 4 分 （2）设 ，则 ，∴ ，……………………………………………………6 分 设 ，………………………………………………8 分 又 ，则 ，……………………………10 分 解得 ，即 ．………………………………………………………12 分 22．【解答】解：（1）∵A（﹣1，3），B（3，3），∴线段 AB 的中点坐标为（1，3）， ∴线段 AB 的中垂线所在的直线方程为 x＝1， ∵圆心 C 在直线 x﹣y+1＝0 与直线 x＝1 的交点上， 联立两条直线方程可得圆心 C 的坐标为（1，2）， 设圆 C 的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2，将点 A 坐标代入可得，r2＝5， ∴圆 C 的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5；……………………………………4 分 （2）点 C（1，2），M（﹣5，2），直线 MC 方程为 y＝2，假设存在点 M（t，2）（t≠﹣5） 满足条件，………………………………………………………………………………6 分 设 P（x，y），则有（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，……………………………………8 分 |PM|2＝（x+5）2+（y﹣2）2＝（x+5）2+5﹣（x﹣1）2＝12x+29， |PN|2＝（x﹣t）2+（y﹣2）2＝（x﹣t）2+5﹣（x﹣1）2＝（2﹣2t）x+t2+4， 当 是常数时， 是常数， ∴ ，……………………………………………………………………10 分 得（6t﹣1）（t+5）＝0， ∵t≠﹣5，∴ ． ∴存在 满足条件．…………………………………………………………12 分