湖南株洲市二中2019-2020高二数学（文）下学期第一次月考试题（有答案Word版）

2019-2020 学年高二下学期第一次月考 文科数学试题 一.选择题(本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求) 1、下列集合中，是集合 的真子集的是 （ D ） A. B. C. D. 2、已知条件 p: ，条件 q： 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 p 是 q 的（ A ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要 条件 3、命题“ ”的否定为 （ B ） A、 B、 C、 D、 4、已知椭圆方程为 中，F1, F2 分别为它的两个焦点，则下列说法正确的有 ①焦点在 x 轴上，其坐标为(±4, 0)；② 若椭圆上有一点 P 到 F1 的距离为 6，则 P 到 F2 的距 离为 4； ③长轴长为 5，短轴长为 3； ④ a = 5, b=3, c = 4， ( C ) A．1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 5、已知椭圆的中心在原点，离心率 ，且它的一个焦点与抛物线 的焦点重合， 则此椭圆方程为 （ A ） A． B． C． D． 6、设双曲线 的渐近线方程为 ，则 的值为（ C ） A．4 B．3 C．2 D．1 7、设抛物线 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到抛物线焦点距离是（ D ） A．4 B．12 C．8 D． 6 8、已知变量 x、y 满足 ，则 的最大值为 （ C ） A． B． C． D． 9、 ,若 ,则 的值等于 （ D ） 042, 2 ≤+−∈∀ xxRx 042, 2 ≥+−∈∀ xxRx 042, 2 >+−∈∃ xxRx 042, 2 ≤+−∉∀ xxRx 042, 2 >+−∉∃ xxRx ( )2 2 2 1 09 x y aa − = > 3 2 0x y± = a 2{ | 5 0}A x x x= − < {2,5} (6, )+∞ (0,5) (1,5) 3m > 2 2 12 x y m + = 2 2 125 9 x y+ = 2 1=e 2 4y x= 134 22 =+ yx 168 22 =+ yx 12 2 2 =+ yx 14 2 2 =+ yx 2 8y x= 2 0 2 3 0 0 x y x y x − ≤  − + ≥  ≥ 2z x y= + 1 2 4 8 3 2( ) 3 2f x ax x= + + 41f =− )(' aA B C D 10、已知函数 的最小正周期为 ，则该函数的图象（ A ） A．关于点 对称 B．关于直线 对称 C．关于点 对称 D．关于直线 对 称 11、已知双曲线 的左右焦点分别是 ,过 的直线 与双曲线相交于 、 两点，则满足 的直线 有 ( C ) A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、4 条 12、已知双曲线 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 的直线与 双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ D ） A． 　　　　 B． 　　　　 C． 　　 　　 D． 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13、 在点 处的切线的倾斜角为____________________. 14、若 ，则 = 。 15 、 与 椭 圆 有 公 共 焦 点 ， 且 离 心 率 的 双 曲 线 方 程 是 ___________. 16、已知 F 是双曲线 C： 的右焦点，过点 F 向 C 的一条渐近线引垂 线，垂足为 A，交另一条渐近线于点 B，F 在线段 AB 上， 为坐标原点，若 ， 则双曲线 C 的离心率是_________________. 三、解答题（共 6 小题，总计 70 分） 17、（本题满分 10 分）已知命题 ，命题 。 （1）若 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围； （2）若 m=5，“ ”为真命题，“ ”为假命题，求实数 x 的取值范围。 3 19 3 16 3 13 3 10 ( ) sin ( 0)f x xω ωπ = + > 3  π 0 π   3 ， x π= 4 0 π   4 ， x π= 3 2 2 12 3 x y− = 1 2F F、 1F l A B 3 2AB = l 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 60° (1,2] (1,2) [2, )+∞ (2, )+∞ 3 2 4y x x= − + (13)， 45° 3( , ),cos2 5 πα π α∈ = − tan( )4 π α+ 24 25 − 2 2 149 24 x y+ = 5 3e = 2 2 19 16 x y− = 2 2 2 2 1x y a b − = ( 0, 0)a b> > O | | 2 | |OB OA= 2 3 3 :( 1)( 5) 0p x x+ − ≤ :1 1 ( 0)q m x m m− < < + > p q∨ p q∧【答案】（1） ；--------------------------------5 分 （2） .---------------------------------10 分 18、（本小题满分 12 分）已知抛物线 的焦点 F 与双曲线 的一 个顶点的重合,过点 作倾斜角为 的直线 与抛物线交于 A、B 两点, （1）求抛物线方程; （2）求 的面积. 解：（1） -----------------------------------6 分 （2）设 , AB 的方程为： 得： 得 -------------12 分 19 、（本 题 满 分 12 分 ） 已 知 等 差 数 列 中 ， 公 差 ， 且 满 足 ： ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）若数列 的前 n 项和为 ，令 （ ），求 的最大 值. ．解：（1）由题设知： …………………………2 分 ， 。 …………………………5 分 （2） }{ na 0>d 4532 =⋅ aa 1441 =+ aa }{ na *Nn ∈ ( )∞+，4 [ ) ( )6,51-4- ， )0(22 >= ppxy 2 2 13 yx − = (4,0)M 45° l AOB∆ 2 4y x= ),(),,( 2211 yxByxA 4y x= − 2 4 4 y x y x  =  = − 2 4 16 0y y− − = 2 2 1 2 1 2 1 2| | ( ) 4 4 4 ( 16) 4 5,y y y y y y− = + − = − × − = 1 2 1 1| || | 4 4 5 8 52 2AOBS OM y y∆ = − = × × =       ⋅ +1 1 nn aa nS 16)( += n Snf n )(nf    =+=+ =⋅ 14 45 3241 32 aaaa aa ∴    = =    = = 5 9 9 5 3 2 3 2 a a a a 或 0>d ∴ 9,5 32 == aa ∴ 34 −= na n )14 1 34 1(4 1 )14)(34( 11 1 +−−=+−= + nnnnaa nn …………………………8 分 （ 当 n=2 时 取 =）……12 分 20、（本小题满分12分）已知函数 （1）求 的值； （2）在 中，角 的对边分别为 ，若 ， 的面积是 ，求 的周长. 解（Ⅰ）∵ ∴ 解得： -----------------------------------6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， ∴ ∵ , ,∴ ,则 又∵ ∴ ∵ ∴ ，∴ ∴ 的周长为 ----------------------------12 分 21、（本小题满分 12 分）如图，直三棱柱 的底面是边长为 2 的正三角形， 分别是 的中点。（1）证明：平面 平面 ； ∴ 14)]14 1 34 1()9 1 5 1()5 1 1 1[(4 1 +=+−−++−+−= n n nnSn  ∴ 81 1 65164 1 1665416 14 16)( 2 ≤ ++ =++=+ +=+= nnnn n n n n n Snf n ( ) sin(2 ) cos(2 ) sin 2 , ( ) 23 6 12f x x x m x f π π π= + + + + = ABC∆ 2, ( ) 32 Bb f= = ABC∆ 3 ABC∆ 1 1 1ABC A B C− ,E F 1,BC CC AEF ⊥ 1 1B BCCO P A B D C M x y F1 F2 （2）若直线 与平面 所成的角为 ，求： 到面 的距离。 解答：（1）略--------------5 分 （2） ---------------------12 分 22、（本小题满分 12 分）如图，椭圆 （ ）与一等轴双曲线相交，M 是其 中一个交点，并且双曲线的顶点是该椭圆的焦点 ，双曲线的焦点是椭圆的 左、右顶点，设 P 为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线 的斜率分别为 ，且 直线 和 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D。 （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； （Ⅱ）（ⅰ）证明： ； （ⅱ）是否存在常数 ，使得 恒成立？若存在，求 的值； 若不存在，请说明理由。 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 1 2,PF PF 1 2,k k 1PF 2PF 1 2 1k k = λ AB CD AB CDλ+ = ⋅ λ 1AC 1 1A ABB 45 1A AEF 2 3 3 1 2( 2,0), (2,0)F F−解析】（Ⅰ）由题意知，双曲线的 a=b=2，方程为： 2 2 14 4 x y− = 椭圆: c=2，即 2 2a = 。 于是椭圆方程为 2 2 18 4 x y+ = ； ……………………4 分 （Ⅱ）（ⅰ）设点 ( )0 0,P x y ，则 0 1 0 2 yk x = + ， 0 2 0 2 yk x = − ，则 2 0 0 0 1 2 2 0 0 02 2 4 y y yk k x x x = ⋅ =+ − − ； 而由点 P 在双曲线上，可知 2 2 0 0 14 4 x y− = ，即有 2 2 0 04x y− = ； 从而 2 0 2 0 14 y x =− ，故 1 2 1k k = 。 ……………………8 分 （ⅱ）假设存在常数λ ，使得 AB CD AB CDλ+ = ⋅ 恒成立。 则由（ⅰ）知 1 2 1k k = ，所以可设直线 AB 的方程为 ( )2y k x= + ，直线 CD 的方程为 ( )1 2y xk = − ； 把直线 AB 的方程为 ( )2y k x= + 代入椭圆方程，整理得( ) ( )2 2 2 21 2 8 8 1 0k x k x k+ + + − = ； 若设 ( )1 1,A x y ， ( )2 2,B x y ，则有 2 1 2 2 8 1 2 kx x k + = − + ， ( )2 1 2 2 8 1 1 2 k x x k − = + ； 因此 ( ) ( )22 1 2 1 21 4AB k x x x x = + + −  = ( )2 2 4 2 1 1 2 k k + + ； 同理可得 ( )2 2 4 2 1 2 k CD k + = + ； 因此由 AB CD AB CDλ+ = ⋅ 知 1 1 AB CD λ = + = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 3 3 2 84 2 1 4 2 1 4 2 1 k k k k k k + + ++ = = + + + 。 所以存在常数 3 2 8 λ = ，使得 AB CD AB CDλ+ = ⋅ 恒成立。 ……………12 分