四川泸县一中2020届高三数学（理）下学期第二次月考试题（有答案Word版）

2020 年春四川省泸县第一中学高三第二学月考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．已知全集 ， ， ，则 A． B． C． D． 2．已知复数 满足 （其中 为虚数单位），则 A． B． C． D． 3．命题 ： ， 的否定是 A． ， B． ， C． ， D． ， 4．已知等差数列 的前 n 项和为 ，且 ， ，则 A．11 B． 16 C．20 D．28 5．在平行四边形 中， ，则 等于 A． B． C． D． 6．已知 ，则 的值为 A． B． C． D． 7．“a＜0”是“方程 ax2＋1＝0 至少有一个负根”的 U = R { | 1 1}M x x= − < < { | 0}N y y= < U( )M N =  [0,1) ( 1,0)− ( 1,0]− (0,1) z 2 1z i− = i z = 1 1 3 5 p x R∀ ∈ 2 2 1 0x mx− + > x R∀ ∈ 2 2 1 0x mx− + ≤ x R∃ ∈ 2 2 1 0x mx− + < x R∃ ∈ 2 2 1 0x mx− + > x R∃ ∈ 2 2 1 0x mx− + ≤ { }na nS 2 4S = 4 16S = 5 6a a+ = ABCD 3, 4AB AD= = AC DB⋅  1 7 25 7− ( )sin cos2f x x= ( )cos15f  1 2 − 1 2 3 2 − 3 2A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条 件 8．已知随机变量 服从正态分布 ，且 ， ，若 ，则 等于 A．0.1358 B．0.1359 C．0.2716 D．0.2718 9．若两个正实数 x，y 满足 ，且不等式 有解，则实数 m 的取值范围 是 A． B． C． D． 10．已知 是定义在 上的奇函数，且满足 ，当 时， ，则 A． B． C． D． 11．等腰三角形 的腰 ， ，将它沿高 翻折，使二面角 成 ，此时四面体 外接球的体积为 A． B． C． D． 12．已知 F1，F2 是双曲线 C： 的两个焦点，以线段 F1F2 为边作正 三角形 MF1F2，若边 MF1 的中点 在双曲线 C 上，则双曲线 C 的离心率为 A． B．4+2 C． 1 D． 第 II 卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．设 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为_____. X 2( )N µ σ， ( 2 2 ) 0.9544P Xµ σ µ σ< ≤－ ＋ ＝ 0( ) .6826P Xµ σ µ σ< ≤－ ＋ ＝ 4 1µ σ＝ ， ＝ ( )5 6P X< < 1 4 2x y + = 2m4 yx m+ < − ( 1,2)− ( , 2) (1, )−∞ − +∞ ( )2,1− ( , 1) (2, )−∞ − +∞ ( )f x R ( ) ( )1 1f x f x− = + ( )0,1x∈ ( ) ( )2log 1f x x= + ( )2019f = 1 1− 0 2log 3 ABC 5AB AC= = 6BC = AD B AD C− − 60° ABCD 28 7 3 π 7π 28π 19 19 6 π ( )2 2 2 2 1 0 0x y a ba b − = ＞ ， ＞ P 3 1+ 2 3 − 3 1 2 + x y 3 6 0 2 0 0, 0 x y x y x y − − ≤  − + ≥  ≥ ≥ 2z x y= +14．若 的展开式中 x4 的系数为 7，则实数 a＝________． 15．已知函数 是奇函数，若函数 在区 间 上单调递增，则实数 的取值范围是_________. 16．如图,在直四棱柱 中,底面 是菱形, 分 别是 的中点, 为 的中点且 ,则 面积的最大值为________． 三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）在 中，设角 的对边分别为 ，已知 . （I）求角 的大小； （II）若 ，求 周长的取值范围. 18．（12 分）学校对甲、乙两个班级的同学进行了体能测验，成绩统计如下（每班 50 人）： （I）成绩不低于 80 分记为“优秀”.请填写下面的 列联表，并判断是否有 的把 握认为“成绩优秀”与所在教学班级有关？ 8 3 ax x  +   2 2 2 , 0 ( ) 0, 0 , 0 x x x f x x x mx x − + > = =  + > > P P 1PF 2PF C A B 2APF∆ 1 2F PF∆ 3 C O P OP AB对数的底数. （I）当 时，讨论函数 的单调性； （II）当 时，求证：对任意的 ， . （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数， 为直线 的倾斜 角），以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （I）写出曲线 的直角坐标方程，并求 时直线 的普通方程； （II）直线 和曲线 交于 、 两点，点 的直角坐标为 ，求 的最大值. 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 设函数 . （I）若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围； （II）若 是 中的最大值，且 ，证明： . xOy l 1 cos 2 sin x t y t α α = +  = + t α l O x C 2sinρ θ= C 2 3 πα = l l C A B P ( )1,2 | | | |PA PB+ ( ) | 2 1| 2 | 1|f x x x= − + + 0x R∈ ( ) 2 0 5f x m m+ ≤ + m m ( )I 3 3a b m+ = 0 2a b< + ≤2020 年春四川省泸县第一中学高三第二学月考试 理科数学参考答案 1．A 2．D 3．D 4．C 5．D 6．C 7．C 8．B 9．D 10．B 11．A 12．A 13．14 14． 15． 16． 17．解：（1）由题意知 ， 即 ， 由正弦定理得 由余弦定理得 ， 又 . （2） ， 则 的周长 . ， ， 周长的取值范围是 . 18．解：（1） 列联表如下： 1 2 ( ]3,1 3 2 2 21 sin sin 1 sin sin sinA B C A B− = + − + 2 2 2sin sin sin sin sinA B C A B+ − = − 2 2 2a b c ab+ − = − 2 2 2 1cos 2 2 2 a b c abC ab ab + − −= = = − 20 , 3C C ππ< < ∴ = 3 2, 2sin , 2sin2sin sin sin sin 3 a b c a A b BA B C π= = = = ∴ = = ABC∆ ( )2 sin sin 3 2 sin sin 3 2sin 33 3L a b c A B A A A π π    = + + = + + = + − + = + +         2 30 , , sin 13 3 3 3 2 3A A A π π π π π < < ∴ < + < ∴ < + ≤   2 3 2sin 3 2 33A π ∴ < + + ≤ +   ABC∴∆ (2 3,2 3+  2 2×所以有 的把握认为：“成绩优秀”与所在教学班级有关. （2）由已知，甲、乙两个班级成绩在 的学生数分别为 6 人，8 人 的取值为 0， 1，2 ， ， 的分布列： 的数学期望： . 19．（1）证明：在△PAB 中，PA=2a，PB=2 a，AB=2a ∴PB2=PA2+AB2，∴PA⊥AB， 同理可证：PA⊥AE． 又 AB∩AE=A，AB⊂平面 ABCDE，AE⊂平面 ABCDE ∴PA⊥平面 ABCDE． （2）过 E 作 EH⊥AD 于 H，EF⊥PD 于 F，连接 FH， 则 EH⊥平面 PAD，FH⊥PD． ∴∠EFH 为二面角 A﹣PD﹣E 的平面角． 又在 Rt△AED 和 Rt△POE 中，EH•AD=AE•DE，EF•PD=DE•PE．∴EH= a，EF= a． ∴sin∠EFH= = ．故二面角 A﹣PD﹣E 的正弦值为 ．余弦值为 . 20．解：（1）因为 的周长为 8，所以有 设 ，因为 面积的最大值为 .所以 的最大值为 ，由椭圆的范 ( ) ( )( )( )( ) ( )2 2 2 100 28 30 22 20 100 100 2.07250 50 48 52 39 40 n ad bcK a b c d a c b d − × × − ×= = = > >+ + + + × × × 85% [ )60,70 X ( ) 2 8 2 14 40 13 CP X C = = = ( ) 1 1 6 8 2 14 481 91 C CP X C = = = ( ) 2 6 2 14 152 91 CP X C = = = X X ( ) 4 48 15 60 1 213 91 91 7E X = × + × + × = 2APF∆ 1 1 2 2 8 4 8 2AF PF PF AF a a+ + + = ⇒ = ⇒ = 0 0( , )P x y 1 2F PF∆ 3 1 2 1 2 yF F P⋅ 3围，当 时，面积最大，因此有 ，而 ，因为 ，所 以 ，所以椭圆标准方程为： ； （2）当 不是椭圆的顶点时，因此 . 直线 的方程为： ，与椭圆的方程联立，得： ， ， ， 同理直线 的方程为： ，与椭圆的方程联立，得： ， ， 为定值. 21．解：（1）当 时， ， ， ，∵当 时， ， ∴ . ∴ 在 上为减函数. （2）设 ， ， ， yP b= 3bc = 2 2c b a+ = 2 0b a b> > > 2, 3a b= = 2 2 14 3 x y+ = P 0 0 1 20, 0, ( 1,0), (1,0)x y F F≠ ≠ − 1PF 0 0 ( 1)1 yy xx = ++ ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 20 0 0 0 2 2 2 2 2 0 0 0 ( 1) 4 8 41 3 12 0 1 1 13 4 12 yy x y y yx x x x x xx y   = + +  ⇒ + + + − =  + + +  + = ( )2 2 0 0 0 0 0 0 0 15 24 5 8 15 6 5 2A x x x xx x x x − + +∴ ⋅ = = −+ + 0 0 0 0 5 8 3,2 5 2 5A A x yx yx x + −∴ = − =+ + 2PF 0 0 ( 1)1 yy xx = −− ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 20 0 0 0 2 2 2 2 2 0 0 0 ( 1) 4 8 41 3 12 0 1 1 13 4 12 yy x y y yx x x x x xx y   = − −  ⇒ + − + − =  − − −  + = 2 0 0 0 0 5 8 2 5B x xx x x −⇒ ⋅ = ⇒− 0 0 0 0 5 8 3,2 5 2 5B B x yx yx x −= =− − ( )0 0 0 0 2 2 0 0 12 3 20 80 5 4 B A B A x y x yy ykAB x x x x −∴ = = =− − − ( ) 2 2 0 0 2 20 0 3 3 9 4 205 4 5 3 AB OP y yk k x y ∴ ⋅ = = = − − × −  令 ， ，则 ， 当 时， ，有 ，∴ 在 上是减函数，即 在 上是减函数， 又∵ ， ，∴ 存在唯一的 ，使得 ，∴当 时， ， 在区间 单调递增； 当 时， ， 在区间 单调递减， 因此在区间 上 ， ∵ ，∴ ，将其代入上式得 ， 令 ， ，则 ，即有 ， ， ∵ 的对称轴 ，∴函数 在区间 上是增函数，且 ， ∴ ，即任意 ， ， ∴ ，因此任意 ， . 22．解：（1）∵ ，∴ ，∴曲线 的直角坐标方程为 ， 当 时，直线 的普通方程为 ； （2）把直线 的参数方程为 代入 ， 得 ， ， ，则 与 同号且 小于 0， 2sinρ θ= 2 2 sinρ ρ θ= C 2 2 2 0x y y+ − = 2 3 πα = l 3 3 2 0x y+ − − = l 1 cos 2 sin x t y t α α = +  = + 2 2 2 0x y y+ − = ( )2 2sin 2cos 1 0t tα α+ + + = ( )1 2 2sin 2cost t α α+ = − + 1 2 1t t = 1t 2t由 得： 或 ， ∴ ，∴ 的最大值为 ． 23．解：（1） 存在 ，使得 （2）由（1）知: 而 ① ② 由①② ( )22sin 2cos 4 0α α∆ = + − > 2sin 2cos 2α α+ < − 2sin 2cos 2α α+ > ( )1 2| | | |PA PB t t+ = − + 2sin 2cosα α= + 2 2 sin( )4 πα= + | | | |PA PB+ 2 2 ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 3f x x x x x = − + + ≥ − − + =  0x R∈ ( ) 2 0 5f x m m+ ≤ + 23 5m m∴ + ≤ + 2 2 0,m m∴ − − ≤ 1 2m∴− ≤ ≤ max| 2m = 3 3 2a b∴ + = ( )( ) ( ) 2 3 3 2 2 232 02 4 ba b a b a ab b a b a b   ∴ = + = + − + = + − + >      2 23 02 4 ba b   − + >      0 a b∴ < + 3 32 a b∴ = + ( )( )2 2a b a ab b= + − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 233 4a b a b ab a b a b a b  = + + − ≥ + + − +     ( )31 4 a b= + ( )3 8a b∴ + ≤ 2a b∴ + ≤  0 2a b∴ < + ≤