2020 年春高三第二学月考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷 选择题（60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．复数 的虚部为
A． B． C．2 D．-2
3．已知向量 ，且 ，那么 的值为
A． B． C． D．
4．下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1 号到 16 号同学的成绩依次为 A1，
A2，…，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法
流程图输出的结果是
A．6 B．10 C．91 D．92
{ || | 2}A x x= < { 1,0,1,2,3}B = − A B =
{0,1} {0,1,2} { 1,0,1}− { 1,0,1,2}−
1 2z i= −
2i 2i−
( ) ( )1,2 , ,4a b x= = a b⊥ x
2− 4− 8− 16−5．把函数 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再将图
象向右平移 个单位，得到函数 ，那么 的值为
A． B． C． D．
6．函数 f(x)= 在[—π，π]的图像大致为
A． B．
C． D．
7．已知定义在 上的函数 ， ， ， ，
则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
8． ，则 的大小关系为
A． B． C． D．
9．在 中， 为 上一点， 是 的中点，若 ， ，
则
A． B． C． D．
10．设函数 ，下述四个结论：
① 是偶函数；② 的最小正周期为 ；③ 的最小值为 0；④ 在
上有 3 个零点
其中所有正确结论的编号是
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
11．四面体 的四个顶点都在球 的表面上， ， 是边长为 3 的
等边三角形，若 ，则球 的表面积为
sin 2 6y x
π = +
1
2
3
π ( )y g x=
3g
π
1
2
− 1
2
3
2
3
2
−
2
sin
cos
x x
x x
+
+
R ( ) 2 xf x x= ⋅ 3(log 5)a f= 3
1(log )2b f= − (ln3)c f=
a b c
c b a> > b c a> > a b c> > c a b> >
0.7 0.6
0.7log 6, 6 , 0.7a b c= = = , ,a b c
a b c> > c a b> > b a c> > b c a> >
ABC∆ D BC E AD BD DCλ= 1
3CE AB ACµ= +
λ µ+ =
1
3
1
3
− 7
6
7
6
−
( ) cos 2 sinf x x x= +
( )f x ( )f x π ( )f x ( )f x [ ]0,2π
ABCD O AB BCD⊥ 平面 BCD
2AB = OA． B． C． D．
12．已知抛物线 ，圆 ，若点 分别在 上运动，且
设点 ，则 的最小值为
A． B． C．4 D．4
第 II 卷 非选择题（90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知实数 满足约束条件 ，则 的最大值为_______.
14．已知集合 ， ，若 ，则实数 的取
值范围是____．
15.已知 是奇函数，且当 时， .若 ，则 __________.
16．已知数列 满足 )， ,则数
列 中最大项的值是__________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60
分。
17．（12 分）某餐厅通过查阅了最近 5 次食品交易会参会人数 （万人）与餐厅所用原材料
数量 （袋），到如下统计表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
参会人数 （万
人）
13 9 8 10 12
16π 32
3
π 12π 32π
2
1 : 8C y x= 2 2
2 : ( 2) 1C x y− + = ,P Q 1 2,C C
(4,0)M | |
| |
PM
PQ
3
5
4
5
,x y
4 0
2 2 0
0
x y
x y
y
+ − ≤
− + ≥
≥
2z x y= +
{ | 2 5}A x x= − ≤ ≤ { | 1 2 1}B x m x m= + < < − B A⊆ m
( )f x 0x < ( ) eaxf x = − (ln 2) 8f = a =
{ }na *
1 2 3 ... 2 (n na a a a n a n N+ + + + = − ∈ ( )2 22n n
nb a
−= −
{ }nb
x
y
x原材料 （袋） 32 23 18 24 28
（I）根据所给 5 组数据，求出 关于 的线性回归方程 ；
（II）已知购买原材料的费用 （元）与数量 （袋）关系为
，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为 700 元，多余
的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有 15 万人参加.根据（1）中求出的线性回归
方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润
销售收入 原材料费用）..参考公式： ， .
参考数据： ， ， .
18．(12 分)如图，在直四棱柱 中，底面 是矩形， 与 交于
点 ， ．
（I）证明： 平面 ．
（II）求直线 与平面 所成角的正弦值．
19．（12 分） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，设
.
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 的周长为 8，求 的面积的取值范围.
20．（12 分）已知 的两个顶点 的坐标分别为 ， ，且 所在直
线的斜率之积等于 ，记顶点 的轨迹为 .
（Ⅰ）求顶点 的轨迹 的方程；
（Ⅱ）若直线 与曲线 交于 两点，点 在曲线 上，且 为 的重
y
y x axby ˆˆ +=
C t
( )
( )
400 20,0 36
380 , 36
t t t NC t t t N
− < < ∈= ≤ ∈
L =
−
( )( )
( )
^
1
1
1 1
2
1
2
n n
i i i i
i i
n n
i
i i
i
x x y y x y
b
x x x
nxy
nx
= =
= =
− −
= =
− −
−∑ ∑
∑ ∑ xbya ˆˆ −=
5
1
1343i i
i
x y
=
=∑ 5
2
1
558i
i
x
=
=∑ 5
2
1
3237i
i
y
=
=∑
1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD 1A D 1AD
E 1 2 4AA AD AB= = =
AE ⊥ ECD
1AC EAC
ABC A B C a b c
23 sin( ) cos2 2
BA C+ =
sin B
ABC ABC
ABC∆ ,A B ( )2,0− ( )2,0 ,CA CB
3
4
− C Γ
C Γ
:l y kx m= + Γ ,M N P Γ O PMN∆心（ 为坐标原点），求证： 的面积为定值，并求出该定值.
21．（12 分）已知 为常数， ，函数 ， （其中 是自然
对数的底数）.
（Ⅰ）过坐标原点 作曲线 的切线，设切点为 ，求证： ；
（Ⅱ）令 ，若函数 在区间 上是单调函数，求 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（Ⅰ）写出曲线 的极坐标方程，并求出曲线 与 公共弦所在直线的极坐标方程；
（Ⅱ）若射线 与曲线 交于 两点，与曲线 交于 点，且 ，
求 的值.
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 .
（Ⅰ）求不等式 的解集；
（Ⅱ）若正数 ， ， 满足 ，求 的最小值.
O PMN∆
a a R∈ 2( ) lnf x x ax x= + − ( ) xg x e= e
O ( )y f x= 0 0( , )P x y 0 1x =
( )( ) ( )
f xF x g x
= ( )F x (0,1] a
1C 1 cos
sin
x
y
α
α
= +
=
α O x
2C 2 3sinρ θ=
1C 1C 2C
0 2
πθ φ φ= <
a b c 14 9 23a b c f + + = +
1 4 9
a b c
+ +2020 年春高三第二学月考试
文科数学参考答案
1．C 2．D 3．C 4．B 5．B 6．D 7．D 8．D 9.B 10．B 11．A
12．B
13．6 14． 15．-3 16．
17．解：(1)由所给数据可得： ，
，
， ，
则 关于 的线性回归方程为 .
(2)由(1)中求出的线性回归方程知，当 时， ，即预计需要原材料 袋，
因为 ，所以当 时，
利润 ，当 时， ；
当 时，利润 ，当 时，
.
综上所述，餐厅应该购买 36 袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为 11870 元.
18.（1）证明：因为四棱柱 是直四棱柱，所以 平面 ，则
.
又 ， ，
所以 平面 ，所以 .
因为 ， ，所以 是正方形，所以 .
又 ，所以 平面 .
（2）由等体积法求解点 到平面 AEC 的距离最后求解得直线 与平面 所成角的正
( ,3]−∞
8
1
13 9 8 10 12 10.45x
+ + + += =
32 23 18 24 28 255y
+ + + += =
5
1
5 22 2
1
5 1343 5 10.4 25 2.5558 5 10.45
ˆ i ii
ii
x y xy
b
x x
=
=
− − × ×= = =− ×−
∑
∑ 25 2.5 10.4 1ˆˆa y bx= − = − × = −
y x 2.5 1ˆ ˆy x= −
15x = 36.5y = 36.5
400 20,0 36,
380 , 36,
t t t NC t t t N
− < < ∈= ≥ ∈ 36t <
( )700 400 20 300 20L t t t= − − = + 35t = max 300 35 20 10480L = × − =
36t ≥ 700 36.5 380L t= × + 36t =
max 700 36.5 380 36 11870L = × − × =
1 1 1 1ABCD A B C D− 1AA ⊥ ABCD
1AA CD⊥
CD AD⊥ 1AA AD A=
CD ⊥ 1 1AA D D CD AE⊥
1AA AD⊥ 1AA AD= 1 1AA D D AE ED⊥
CD ED D= AE ⊥ ECD
1A 1AC EAC弦值为 .
19．（1） 且
，
又 ，
（2）由题意知：
，
或 （舍） （当 时
取“ ”）
综上， 的面积的取值范围为
20．解：（Ⅰ）设 ，因为点 的坐标为 ，所以直线 的斜率为
同理，直线 的斜率为 由题设条件可得， .
化简整理得，顶点 的轨迹 的方程为： .
（Ⅱ）设 ， ， ，
因为 为 的重心，所以 ，所以 ， ，
6
9
23 sin( ) cos2 2
BA C+ = sin( ) sinA C B+ =
23 3sin 2sin cos cos2 2 2 2 2
B B BB∴ = ⋅ =
0 2 2
B π< ∴ =
3 3tan sin2 3 2 6 3 2
B B B B
π π∴ = ∴ = ∴ = ∴ =
8 ( )b a c= − + 2 2 2 64 16( ) 2 1cos 2 2 2
a c b a c acB ac ac
+ − − + + −∴ = = =
3 64 16( ) 64 32ac a c ac∴ = − + + ≥ − +
3 32 64 0 (3 8)( 8) 0ac ac ac ac∴ − + ≥ ∴ − − ≥
8
3ac∴ ≤ 8ac ≥ 64
9ac∴ ≤ 1 3 16 3sin2 4 9ABCS ac B ac∆∴ = = ≤ a c=
=
ABC
16 30, 9
( ),C x y A ( )2,0− AC
( )22AC
yk xx
= ≠ −+
BC ( )22BC
yk xx
= ≠− ( )3 22 2 4
y y xx x
⋅ = − ≠ ±+ −
C Γ ( )2 2
1 24 3
x y x+ = ≠ ±
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y ( )3 3,P x y
O PMN∆ 0OP MO NO+ + =
1 2 3 0x x x+ + = 1 2 3 0y y y+ + =由 得 ，
， ， ， ，∴
，又点 在椭圆上，所以 ，∴
，
因为 为 的重心，所以 是 的 倍，
，原点 到直线 的距离为
，
.所以 ，所以， 的面积为定值，该
定值为 .
21 解：（1） （ ），
所以切线的斜率 ，整理得 ，显然，
是这个方程的解，又因为 在 上是增函数，所以方程 有
唯一实数解，故 ．
（2） ， ，
设 ，则 ，
2 2
14 3
y kx m
x y
= + + =
( )2 2 24 3 8 4 12 0k x kmx m+ + + − =
( )( ) ( )2 2 2 2 264 4 4 3 4 12 48 4 3 2 0k m k m k m∆ = − + − = + − >
1 2 2
8
4 3
kmx x k
−+ = + ( )1 2 1 2 2
62 4 3
my y k x x m k
+ = + + = + 3 2
8
4 3
kmx k
= + 3 2
6
4 3
my k
= − +
2 2
8 6,4 3 4 3
km mP k k
− + + P ( ) ( )
2 2 2
2 22 2
16 12 1
4 3 4 3
k m m
k k
+ =
+ +
2 24 4 3m k= +
O PMN∆ PMN∆ OMN∆ 3
( )2 2
2 2
2 1 2
48 4 3
1 1 4 3
k m
MN k x x k k
+ −
= + − = + +
O MN
21
md
k
=
+
( )2 2
2
2 2
48 4 31 1 12 2 4 3 1OMN
k m mS MN d k k k
∆
+ −
= ⋅ = + ⋅ ⋅+ +
2 2
2
4 3 32 3 4 3 2
m k m
k
+ −= =+
93 2PMN OMNS S∆ ∆= = PMN∆
9
2
( ) 1' 2f x x a x
= + − 0x >
2
0 0 0
0
0 0
ln12 x ax xk x a x x
+ −= + − = 2
0 0ln 1 0x x+ − = 0 1x =
2 ln 1y x x= + − ( )0,+∞ 2 ln 1 0x x+ − =
0 1x =
( ) ( )
( )
2 ln
x
f x x ax xF x g x e
+ −= = ( )
( )2 12 ln
' x
x a x a xxF x e
− + − + − +
=
( ) ( )2 12 lnh x x a x a xx
= − + − + − + ( ) 2
1 1' 2 2h x x ax x
= − + + + −易知 在 上是减函数，从而 ．
①当 ，即 时， ， 在区间 上是增函数，
∵ ，∴ 在 上恒成立，即 在 上恒成立．
∴ 在区间 上是减函数，所以 满足题意．
②当 ，即 时，设函数 的唯一零点为 ，则 在 上递增，在
上递减，
又∵ ，∴ ，又∵ ，
∴ 在 内有唯一一个零点 ，当 时， ，当 时，
.
从而 在 递减，在 递增，与在区间 上是单调函数矛盾.
∴ 不合题意．综上①②得， ．
22．解：（1）曲线 的直角坐标方程为 ，将极坐标与直角坐标的互化公式：
代入 ，
可得曲线 的极坐标方程为 .联立 与 ，得
∴曲线 与 公共弦所在直线的极坐标方程 ,（或 和 ）
（2）把 ，代入 ， ，得 ；
又 ，则 =2，可得 所以
，
23．解：（1）化简得 .
①当 时， ，由 ，即 ，解得 ，又 ，
( )'h x ( ]0,1 ( ) ( )' ' 1 2h x h a≥ = −
2 0a− ≥ 2a ≤ ( )' 0h x ≥ ( )h x ( )0,1
( )1 0h = ( ) 0h x ≤ ( ]0,1 ( )' 0F x ≤ ( ]0,1
( )F x ( ]0,1 2a ≤
2 0a− < 2a > ( )'h x 0x ( )h x ( )00, x
( )0 ,1x
( )1 0h = ( )0 0h x > ( ) ( )2 2 ln 0a a a a ah e e a e a e e− − − −= − + − + − + <
( )h x ( )0,1 'x ( )0, 'x x∈ ( ) 0h x < ( )',1x x∈
( ) 0h x >
( )F x ( )0, 'x ( )',1x ( ]0,1
2a > 2a ≤
1C 2 2 11x y− + =（ ）
cos , sinx yρ θ ρ θ= = 2 2 11x y− + =（ ）
1C 2cosρ θ= 2 3sinρ θ= 2cosρ θ= 3tan 3
θ =
1C 2C
6 R
πθ ρ= ∈（ ）
6
πθ = 7
6
θ π=
0θ φ φ π= <
0x ≤ ( ) ( )2 2 2f x x x x= − − − = + ( ) 1f x > 2 1x + > 1x > − 0x ≤所以 ；②当 时， ，由 ，即 ，
解得 ，又 ，所以 ；③当 时， 不满足 ，
此时不等式无解；综上，不等式 的解集为： .
（2）由于 ，故 ，
∴ ，
∵ ，∴由柯西不等式：
上式
.
当且仅当 时，等号成立.
所以 的最小值为 .
1 0x− < ≤ 0 2x< < ( ) 2 3f x x= − ( ) 1f x > 2 3 1x− >
1
3x < 0 2x< < 10 3x< < 2x ≥ ( ) 2f x x= − − ( ) 1f x >
( ) 1f x > 11, 3
−
1 1 12 2 13 3 3f = − − × =
14 9 2 33a b c f + + = + =
( )1 4 9 1 1 4 94 93 a b ca b c a b c
+ + = + + + +
, , 0a b c >
( ) ( ) ( ) 2 2 2
2 2 21 1 1 12 3 2 33 a b c a b c
= + + ⋅ + +
( ) ( ) ( ) 2
1 1 1 12 2 3 33 a b ca b c
≥ + × + ×
( )21 1961 4 93 3
= + + =
3
14a b c= = =
1 4 9
a b c
+ + 196
3
微信/支付宝扫码支付