2020 年春高三第二学月考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷 选择题（60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则
A． B．
C． D．
2．复数 的虚部为
A． B． C．2 D．-2
3．已知向量 ，且 ，那么 的值为
A． B． C． D．
4．下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1 号到 16 号同学的成绩依次为 A1，
A2，…，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法
流程图输出的结果是
{ || | 2}A x x= < { 1,0,1,2,3}B = − A B =
{0,1} {0,1,2}
{ 1,0,1}− { 1,0,1,2}−
1 2z i= −
2i 2i−
( ) ( )1,2 , ,4a b x= = a b⊥ x
2− 4− 8− 16−A．6 B．10 C．91 D．92
5．把函数 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再将图
象向右平移 个单位，得到函数 ，那么 的值为
A． B． C． D．
6．函数 f(x)= 在[—π，π]的图像大致为
A． B．
C． D．
7．已知定义在 上的函数 ， ， ， ，
则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
8． ，则 的大小关系为
A． B． C． D．
9．设函数 ，下述四个结论：
① 是偶函数；② 的最小正周期为 ；③ 的最小值为 0；④ 在
sin 2 6y x
π = +
1
2
3
π ( )y g x=
3g
π
1
2
− 1
2
3
2
3
2
−
2
sin
cos
x x
x x
+
+
R ( ) 2 xf x x= ⋅ 3(log 5)a f= 3
1(log )2b f= − (ln3)c f=
a b c
c b a> > b c a> > a b c> > c a b> >
0.7 0.6
0.7log 6, 6 , 0.7a b c= = = , ,a b c
a b c> > c a b> > b a c> > b c a> >
( ) cos 2 sinf x x x= +
( )f x ( )f x π ( )f x ( )f x [ ]0,2π上有 3 个零点
其中所有正确结论的编号是
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
10．四面体 的四个顶点都在球 的表面上， ， 是边长为 3 的
等边三角形，若 ，则球 的表面积为
A． B． C． D．
11．已知抛物线 ，圆 ，若点 分别在 上运动，且
设点 ，则 的最小值为
A． B． C．4 D．4
12．在平面直角坐标系 中，已知 ， 是圆 上两个动点，且满足
（ ），设 ， 到直线 的距离之和的最大
值为 ，若数列 的前 项和 恒成立，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
第 II 卷 非选择题（90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知实数 满足约束条件 ，则 的最大值为_______.
14．已知集合 ， ，若 ，则实数 的取
值范围是____．
15．2019 年 11 月 5 日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有 155
个国家和地区，26 个国际组织参加.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活
动，每个企业一个展位.在排成一排的 6 个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法
有________ 种.
ABCD O AB BCD⊥ 平面 BCD
2AB = O
16π 32
3
π 12π 32π
2
1 : 8C y x= 2 2
2 : ( 2) 1C x y− + = ,P Q 1 2,C C
(4,0)M | |
| |
PM
PQ
3
5
4
5
xOy nA nB 2 2 2x y n+ =
2
2n n
nOA OB⋅ = − *Nn∈ nA nB 3 ( 1) 0x y n n+ + + =
na 1{ }
na n nS m< m
3( , )4
+∞ 3[ , )4
+∞ 3( , )2
+∞ 3[ , )2
+∞
,x y
4 0
2 2 0
0
x y
x y
y
+ − ≤
− + ≥
≥
2z x y= +
{ | 2 5}A x x= − ≤ ≤ { | 1 2 1}B x m x m= + < < − B A⊆ m16．已知数列 满足 )， ,则数
列 中最大项的值是__________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）某市一中学高三年级统计学生的最近 20 次数学周测成绩（满分 150 分），现有
甲乙两位同学的 20 次成绩如茎叶图所示：
（Ⅰ）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并据此判断甲乙两位同学的成绩谁更好？
（Ⅱ）将同学乙的成绩的频率分布直方图补充完整；
（III）现从甲乙两位同学的不低于 140 分的成绩中任意选出 2 个成绩，设选出的 2 个成绩中
含甲的成绩的个数为 ，求 的分布列及数学期望.
18．（12 分） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，设
.
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 的周长为 8，求 的面积的取值范围.
19．（12 分）如图，矩形 中， ， 为 的中点，现将 与
折起，使得平面 及平面 都与平面 垂直.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
{ }na *
1 2 3 ... 2 (n na a a a n a n N+ + + + = − ∈ ( )2 22n n
nb a
−= −
{ }nb
ξ ξ
ABC A B C a b c
23 sin( ) cos2 2
BA C+ =
sin B
ABC ABC
ABCD 2 4= =A D A B E BC BAE∆
DCE∆ BAE DCE ADE
/ /BC ADE（Ⅱ）求二面角 的正弦值.
20．（12 分）已知 的两个顶点 的坐标分别为 ， ，且 所在直
线的斜率之积等于 ，记顶点 的轨迹为 .
（Ⅰ）求顶点 的轨迹 的方程；
（Ⅱ）若直线 与曲线 交于 两点，点 在曲线 上，且 为 的重
心（ 为坐标原点），求证： 的面积为定值，并求出该定值.
21．（12 分）已知 为常数， ，函数 ， （其中 是自然
对数的底数）.
（Ⅰ）过坐标原点 作曲线 的切线，设切点为 ，求证： ；
（Ⅱ）令 ，若函数 在区间 上是单调函数，求 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（Ⅰ）写出曲线 的极坐标方程，并求出曲线 与 公共弦所在直线的极坐标方程；
（Ⅱ）若射线 与曲线 交于 两点，与曲线 交于 点，且 ，
求 的值.
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 .
（Ⅰ）求不等式 的解集；
A BE C− −
ABC∆ ,A B ( )2,0− ( )2,0 ,CA CB
3
4
− C Γ
C Γ
:l y kx m= + Γ ,M N P Γ O PMN∆
O PMN∆
a a R∈ 2( ) lnf x x ax x= + − ( ) xg x e= e
O ( )y f x= 0 0( , )P x y 0 1x =
( )( ) ( )
f xF x g x
= ( )F x (0,1] a
1C 1 cos
sin
x
y
α
α
= +
=
α O x
2C 2 3sinρ θ=
1C 1C 2C
0 2
πθ φ φ= < （Ⅱ）若正数 ， ， 满足 ，求 的最小值.
2020 年春高三第二学月考试
理科数学参考答案
1．C 2．D 3．C 4．B 5．B 6．D 7．D 8．D 9．B 10．A
11．B 12．B
13．6 14． 15．144 16．
17．解：（1）甲的中位数是 119，乙的中位数是 128，乙的成绩更好
（2）乙频率分布直方图如下图所示
（3）甲乙不低于 140 分的成绩共 5 个，则 的取值为 0，1，2
； ；
所以 的分布列为
0 1 2
18．（1） 且
，
又 ，
（2）由题意知：
a b c 14 9 23a b c f + + = +
1 4 9
a b c
+ +
( ,3]−∞
8
1
ξ
2
3
2
5
3( 0) 10
CP C
ξ = = =
1 1
2 3
2
5
6( 1) 10
C CP C
ξ = = =
2
2
2
5
( 12 1) 0
CP C
ξ = = =
ξ
ξ
P 3
10
6
10
1
10
( ) 3 6 10 1 2 0.810 10 10E ξ = × + × + × =
23 sin( ) cos2 2
BA C+ = sin( ) sinA C B+ =
23 3sin 2sin cos cos2 2 2 2 2
B B BB∴ = ⋅ =
0 2 2
B π< ∴ =
3 3tan sin2 3 2 6 3 2
B B B B
π π∴ = ∴ = ∴ = ∴ =
8 ( )b a c= − + 2 2 2 64 16( ) 2 1cos 2 2 2
a c b a c acB ac ac
+ − − + + −∴ = = =，
或 （舍） （当 时
取“ ”）
综上， 的面积的取值范围为
19.（1）如图所示：
分别取 ， 的中点 ， ，连结 ， ， ，
则 ， ，
平面 与平面 都与平面 垂直， 平面 ， 平面 ，
由线面垂直的性质定理得 ，
，四边形 是平行四边形， ，
平面 ， 平面 ．
（2）如图，以 为原点， ， 为 ， 正半轴，过 作平面 的垂线为 轴，建
立空间直角坐标系，则 ， ，平面 的法向量 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ．
设二面角 的平面角为 ，由图知 为钝角，
．∴二面角 的余弦值为 ，则正弦值为
．
20．解：（Ⅰ）设 ，
因为点 的坐标为 ，所以直线 的斜率为
3 64 16( ) 64 32ac a c ac∴ = − + + ≥ − +
3 32 64 0 (3 8)( 8) 0ac ac ac ac∴ − + ≥ ∴ − − ≥
8
3ac∴ ≤ 8ac ≥ 64
9ac∴ ≤ 1 3 16 3sin2 4 9ABCS ac B ac∆∴ = = ≤ a c=
=
ABC
16 30, 9
AE DE M N BM CN MN
BM AE⊥ CN DE⊥
BAE DEC ADE BM∴ ⊥ ADE CN ⊥ ADE
/ /BM CN
BM CN= BMNC / /BC MN∴
BC ⊄ ADE / /BC∴ ADE
E ED EA x y E ADE z
(0, 2, 2)B ( 2,0, 2)C ABE ( )1,0,0n =
CBE ( ), ,m x y z=
2 2 0
2 2 0
EB m y z
EC m x z
⋅ = + =
⋅ = + =
1x = ( )1,1, 1m = −
A BE C− − θ θ
| | 1 3cos | | | | 33
m n
m n
θ ⋅∴ = − = − = −⋅
A BE C− − 3
3
−
6
3
( ),C x y
A ( )2,0− AC ( )22AC
yk xx
= ≠ −+同理，直线 的斜率为 由题设条件可得， .
化简整理得，顶点 的轨迹 的方程为： .
（Ⅱ）设 ， ， ，
因为 为 的重心，所以 ，所以 ， ，
由 得 ，
， ， ， ，∴
，又点 在椭圆上，所以 ，∴
，
因为 为 的重心，所以 是 的 倍，
，原点 到直线 的距离为
，
.所以 ，所以， 的面积为定值，该
定值为 .
21 解：（1） （ ），
BC ( )22BC
yk xx
= ≠− ( )3 22 2 4
y y xx x
⋅ = − ≠ ±+ −
C Γ ( )2 2
1 24 3
x y x+ = ≠ ±
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y ( )3 3,P x y
O PMN∆ 0OP MO NO+ + =
1 2 3 0x x x+ + = 1 2 3 0y y y+ + =
2 2
14 3
y kx m
x y
= + + =
( )2 2 24 3 8 4 12 0k x kmx m+ + + − =
( )( ) ( )2 2 2 2 264 4 4 3 4 12 48 4 3 2 0k m k m k m∆ = − + − = + − >
1 2 2
8
4 3
kmx x k
−+ = + ( )1 2 1 2 2
62 4 3
my y k x x m k
+ = + + = + 3 2
8
4 3
kmx k
= + 3 2
6
4 3
my k
= − +
2 2
8 6,4 3 4 3
km mP k k
− + + P ( ) ( )
2 2 2
2 22 2
16 12 1
4 3 4 3
k m m
k k
+ =
+ +
2 24 4 3m k= +
O PMN∆ PMN∆ OMN∆ 3
( )2 2
2 2
2 1 2
48 4 3
1 1 4 3
k m
MN k x x k k
+ −
= + − = + +
O MN
21
md
k
=
+
( )2 2
2
2 2
48 4 31 1 12 2 4 3 1OMN
k m mS MN d k k k
∆
+ −
= ⋅ = + ⋅ ⋅+ +
2 2
2
4 3 32 3 4 3 2
m k m
k
+ −= =+
93 2PMN OMNS S∆ ∆= = PMN∆
9
2
( ) 1' 2f x x a x
= + − 0x >所以切线的斜率 ，整理得 ，显然，
是这个方程的解，又因为 在 上是增函数，所以方程 有
唯一实数解，故 ．
（2） ， ，
设 ，则 ，
易知 在 上是减函数，从而 ．
①当 ，即 时， ， 在区间 上是增函数，
∵ ，∴ 在 上恒成立，即 在 上恒成立．
∴ 在区间 上是减函数，所以 满足题意．
②当 ，即 时，设函数 的唯一零点为 ，则 在 上递增，在
上递减，
又∵ ，∴ ，又∵ ，
∴ 在 内有唯一一个零点 ，当 时， ，当 时，
.
从而 在 递减，在 递增，与在区间 上是单调函数矛盾.
∴ 不合题意．综上①②得， ．
22．解：（1）曲线 的直角坐标方程为 ，将极坐标与直角坐标的互化公式：
代入 ，
可得曲线 的极坐标方程为 .联立 与 ，得
∴曲线 与 公共弦所在直线的极坐标方程 ,（或 和 ）
（2）把 ，代入 ， ，得 ；
2
0 0 0
0
0 0
ln12 x ax xk x a x x
+ −= + − = 2
0 0ln 1 0x x+ − = 0 1x =
2 ln 1y x x= + − ( )0,+∞ 2 ln 1 0x x+ − =
0 1x =
( ) ( )
( )
2 ln
x
f x x ax xF x g x e
+ −= = ( )
( )2 12 ln
' x
x a x a xxF x e
− + − + − +
=
( ) ( )2 12 lnh x x a x a xx
= − + − + − + ( ) 2
1 1' 2 2h x x ax x
= − + + + −
( )'h x ( ]0,1 ( ) ( )' ' 1 2h x h a≥ = −
2 0a− ≥ 2a ≤ ( )' 0h x ≥ ( )h x ( )0,1
( )1 0h = ( ) 0h x ≤ ( ]0,1 ( )' 0F x ≤ ( ]0,1
( )F x ( ]0,1 2a ≤
2 0a− < 2a > ( )'h x 0x ( )h x ( )00, x
( )0 ,1x
( )1 0h = ( )0 0h x > ( ) ( )2 2 ln 0a a a a ah e e a e a e e− − − −= − + − + − + <
( )h x ( )0,1 'x ( )0, 'x x∈ ( ) 0h x < ( )',1x x∈
( ) 0h x >
( )F x ( )0, 'x ( )',1x ( ]0,1
2a > 2a ≤
1C 2 2 11x y− + =（ ）
cos , sinx yρ θ ρ θ= = 2 2 11x y− + =（ ）
1C 2cosρ θ= 2 3sinρ θ= 2cosρ θ= 3tan 3
θ =
1C 2C
6 R
πθ ρ= ∈（ ）
6
πθ = 7
6
θ π=
0θ φ φ π= <
0x ≤ ( ) ( )2 2 2f x x x x= − − − = + ( ) 1f x > 2 1x + > 1x > − 0x ≤
1 0x− < ≤ 0 2x< < ( ) 2 3f x x= − ( ) 1f x > 2 3 1x− >
1
3x < 0 2x< < 10 3x< < 2x ≥ ( ) 2f x x= − − ( ) 1f x >
( ) 1f x > 11, 3
−
1 1 12 2 13 3 3f = − − × =
14 9 2 33a b c f + + = + =
( )1 4 9 1 1 4 94 93 a b ca b c a b c
+ + = + + + +
, , 0a b c >
( ) ( ) ( ) 2 2 2
2 2 21 1 1 12 3 2 33 a b c a b c
= + + ⋅ + +
( ) ( ) ( ) 2
1 1 1 12 2 3 33 a b ca b c
≥ + × + ×
( )21 1961 4 93 3
= + + =
3
14a b c= = =
1 4 9
a b c
+ + 196
3
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