四川泸县四中2020届高三数学（文）下学期第二次月考试题（有答案Word版）

2020 年春四川省泸县第四中学高三第二学月考试 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．设全集 ，集合 ，集合 ，则 A． B． C． D． 2．已知命题 ，则 p 命题的否定为 A． B． C． D． 3．（2018 江西省景德镇联考）若复数 在复平面内对应的点在直线 上，则 A．2 B． C．1 D． 4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A． B． C． D． 5．在等差数列 中， ，则数列 的前 5 项之和 的值为 A．108 B．90 C．72 D．24 6．已知四边形 是平行四边形，点 为边 的中点，则 U = R { | 0}M x x= ≥ 2{ | 1}N x x= < ( )UM C N∩ = (0,1) [0,1] [1, )+∞ (1, )+∞ : , sinp x R x x∀ ∈ > : , sinp x R x x¬ ∃ ∈ < : , sinp x R x x¬ ∀ ∈ < : , sinp x R x x¬ ∃ ∈ ≤ : , sinp x R x x¬ ∀ ∈ ≤ 2i 2 az −= 0x y+ = z = 2 2 2 8 π3 16 π3 8π 16π { }na 2 4 36a a+ = { }na 5S ABCD E CD BE =A． B． C． D． 7．若 ，则 A． B． C． D． 8．已知 ， ， ，则 A． B． C． D． 9．已知实数 满足 ，则“ 成立”是“ 成立”的 A．充要条件 B．必要非充分条件 C．充分非必要条件 D．非充分非必要条件 10．双曲线 的两个焦点为 ，点 P 在双曲线上， 的面积为 ，则 等于 A．2 B．3 C．4 D．5 11．已知函数 是奇函数，则函数 的值域为 A． B． C． D． 12．若对 ， ，且 ，都有 ，则 m 的最小值是 注： 为自然对数的底数，即 A． B．e C．1 D． 第 II 卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知函数 ，则 __________． 14．若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为__________． 15．已知函数 的最小正周期为 ，若函数 在 上单调递 减，则 的最大值是__________． 1 2 AB AD− +  1 2 AB AD−  1 2AB AD+  1 2AB AD−  1tan 2 α = − cos2 =α 3 5 3 5- 3 4 3 4 − lna π= 5log 2b = 1 2c e −= a b c> > a c b> > b a c> > c a b> > a b、 0ab > 1 1 a b < a b> 2 2 14 x y− = 1 2,F F 1 2F PF∆ 5 1 2PF PF   ( ) ( )2 1xf x a a Re = − ∈+ ( )f x ( )1,1− ( )2,2− ( )3,3− ( )4,4− lx∀ ( )2 ,x m∈ +∞ 2lx x< 1 2 2 1 2 1 ln ln 1x x x x x x −  3(log 2)f = x y 2 5 0 3 15 0 1 0 x y x y x y + − ≥  − − ≤  − + ≥ 4z x y= − π( ) cos( )( 0)3f x xω ω= + > π ( )y f x= [0, ]a a16．如图，直三棱柱 中， ， ， ， 为线段 上的一动点，则当 最小时， 的面积为______. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）环保部门要对所有的新车模型进行广泛测试，以确定它的行车里程的等级，右 表是对 100 辆新车模型在一个耗油单位内行车里程（单位：公里）的测试结果. （Ⅰ）做出上述测试结果的频率分布直方图，并指出其中位数落在哪一组； （Ⅱ）用分层抽样的方法从行车里程在区间[38,40)与[40,42)的新车模型中任取 5 辆，并从这 5 辆中随机抽取 2 辆，求其中恰有一个新车模型行车里程在[40,42)内的概率. 18．（12 分）在 中，设内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 . （Ⅰ）求角 的大小； 1 1 1ABC A B C− 1AB = 2BC = 5AC = 1 3,AA M= 1BB 1AM MC+ 1AMC∆ ABC∆ A B C a b c 2 cos cos a c C b B − = B（II）求 的取值范围. 19．（12 分）在三棱柱 中，平面 、平面 、平面 两两垂 直. （Ⅰ）求证： 两两垂直； （Ⅱ）若 ，求三棱锥 的体积. 20．（12 分）已知 ， ． Ⅰ 讨论 的单调性； Ⅱ 当 时， 恒成立，求实数 a 的取值范围． 21．（12 分）已知圆 ，点 ， 是圆上一动点，点 在线段 上，点 在半径 上，且满足 . （Ⅰ）当 在圆上运动时，求点 的轨迹 的方程； （II）设过点 的直线 与轨迹 交于点 （ 不在 轴上），垂直于 的直线交 于点 ，与 轴交于点 ，若 ，求点 横坐标的取值范围. 23cos sin cos2 2 2 C A A− 1 1 1ABC A B C− ABC 1ACC A 1 1BCC B 1, ,CA CB CC 1CA CB CC a= = = 1 1B A BC− a R∈ ( ) 2 lnf x x a x= − ( ) ( )f x ( ) 1x ≥ ( ) 2 1xf x x≥ + 2 2:( 1) 16C x y+ + = (1,0)F P E FP Q CP 2 , 0FP EP EQ FP= ⋅ =    P Q Γ (2,0)A l Γ B B x l l M y H 0FB FH⋅ =  M（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （ ）． （Ⅰ）分别写出直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程； （II）已知点 ，直线 与曲线 相交于 两点，若 ，求 的值． 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 . （Ⅰ）求证： ； （II）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围. xOy l 22 2 21 2 x t y t  = +  = − + t x C 2 2 cos( )4a πρ θ= + 5 6a > l C (2, 1)P − l C ,M N 2| | 6 | | | |MN PM PN=  a 2( ) | | | 2 3|f x x m x m= + + - - ( ) 2f x ≥ (2) 16f ≤ m2020 年春四川省泸县第四中学高三第二学月考试 文科数学参考答案 1．C 2．C 3．B 4．B 5．B 6．A 7．A 8．B 9．A 10．C 11．A 12．C 13． 14．3 15． 16． 17．解：（Ⅰ）由题意可画出频率分布直方图如图所示： 前 组频率总和为 ，第 组频率为 ，且 ，则由图可知，中位数在区间 . （Ⅱ）由题意，设从 中选取的车辆为 ，从 中选取的车辆为 ， 则从这 5 辆车中抽取 2 辆的所有情况有 10 种，分别为 ， 其中符合条件的有 6 种， ，所以所求事件的概率为 . 18．解：（1）由 得到 ， 即 ，即 ， 又∵ 为三角形内角，∴ ，所以 ，从而 . （2） 18 1 3 π 3 3 2(0.03 0.05 0.1) 0.36+ + = 4 2 0.15 0.3× = 0.36 0.3 0.5+ > [36,38) [38,40) , ,A B C [40,42) ,a b , , , , , , , , ,AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb ab , , , , ,Aa Ab Ba Bb Ca Cb 3 5 2 cos cos a c C b B − = 2sin sin cos sin cos A C C B B − = ( )2sin cos sinA B B C= + 2sin cos sinA B A= A sin 0A ≠ 1cos 2B = 3B π= ( )2 3 13 cos sin cos cos 1 sin2 2 2 2 2 C A A C A− = + −， ∵ ，∴ ， ∴ ，所以 . 所以 的取值范围为 . 19．（Ⅰ）证明：在 内取一点 ，作 ， 因为平面 平面 ，其交线为 ，所以 平面 ， ， 同理 ，所以 平面 ， ， 同理 ，故 两两垂直. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，三棱锥 的高为 ， ，所以三棱锥 的体积为 . 20．解： Ⅰ 的定义域是 ， ， 当 时， ， 在 递增，当 时，在 上， ， 递减， 在 上， ， 递增，综上，当 时， 在 递增， 时， 在 递减，在 递增； Ⅱ 恒成立，即 恒成立，设 ，则 ， ， 的单调性和 相同， 3 1 2 3cos sin2 2 3 2C C = − − +   π 3 1 3 1 3cos sin cos4 4 2 2 6 2C C C π = − + = + +   20 3C π< < 5 6 6 6C< + ( )f x 0a ≤ ( )f x ( )0,+∞ 0a > ( )f x 0, 2 a     ,2 a +∞   ( ( ) 2) 1xf x x≥ + ( ) ( )2 1 0xf x x− + ≥ ( ) ( ) ( )2 1g x xf x x= − + ( ) 2 ln 1g x x ax x= − − ( ) ( )' 2 1 lng x x a x= − + ( )'g x ( )f x当 时， 在 递增， ，故 在 递增， ， 当 时， 在 递减，在 递增， 当 时， ， 在 递增， ，故 是增函数，故 ， 当 时，在区间 上， 递减，故 ， 故 递减，故 ，不合题意，综上，a 的范围是 ． 21 解：（1）由题意知，直线 为线段 的垂直平分线，即： 所以点 的轨迹是以点 为焦点，焦距为 4，长轴为 4 的椭圆， ， ， ，故点 的轨迹 的方程为 . （2）由题意直线 的斜率存在设为 ,于是直线 的方程为 ， 设 ，联立 ，得 ． 因为 ，由根与系数的关系得 ， ∴ ， ， 设 的横坐标为 ，则 ， 所在直线方程为 ， 0a ≤ ( )'g x [ )1,+∞ ( ) ( )' ' 1 2 0g x g a≥ = − > ( )g x [ )1,+∞ ( ) ( )1 0g x g≥ = 0a > ( )'g x 0, 2 a     ,2 a +∞   0 2a< ≤ 12 a ≤ ( )'g x [ )1,+∞ ( ) ( )' ' 1 2 0g x g a≥ = − ≥ ( )g x ( ) ( )1 0g x g≥ = 2a > 1, 2 a     ( )'g x ( ) ( )' ' 1 2 0g x g a< = − < ( )g x ( ) ( )1 0g x g< = ( ],2−∞ EQ FP 4 2CP QC QP QC QF CF= + = + = > = Q ,C F 2a = 1c = 3b = Q Γ 2 2 14 3 x y+ = l k l ( )( )2 0y k x k= − ≠ ( )1 1,B x y ( ) 2 2 2 14 3 y k x x y  = − + = ( )2 2 2 23 4 16 16 12 0k x k x k+ − + − = ( )1 1,A x y 2 1 2 16 122 3 4 kx k −= + 2 1 2 8 6 3 4 kx k −= + 1 2 12 3 4 ky k −= + M 0x ( )( )0 0, 2M x k x − MH ( ) ( )0 0 12y k x x xk − − = − −令 ，得 ，· 于是 ， 即 ， 整理得 ， ， ∴ ． 22．解：（1）将 （ 为参数）消去参数 可得 ,∴直线 的普通方 程为 . 由 ，得 ， 将 代入上式，得 ， 即 ， ∴曲线 的直角坐标方程为 ． （2）将 代入 中，整理得 ， 设 两点对应参数分别为 ，则 ， ∵ ，∴ ， 又 ， ∴ ，∴ ， ∴ ，即 ， 解得 ，符合题意．∴ ． 23．解：（1）因为 ， 所以 . ,即 0x = 0 1 2Hy k x kk  = + −   ( )( )1 1· 1 , · 1, 0HBF HF x y y= − − − =  2 1 1 02 2 8 6 12 11 1 2 03 4 3 4H k kx y y k x kk k k  −  − + = − − + − =  + +    ( ) ( ) 2 0 2 2 9 20 20 11= 1212 1 12 1 kx k k += − + + 2 0k ≠ ( )2 1 0,11k ∴ ∈+ 0 3 5 4 3x< < 22 2 21 2 x t y t  = +  = − + t t 3 0x y− − = l 3y x= − 2 2 cos 4a πρ θ = +   ( )2 2 cos sinaρ ρ θ θ= − 2 2 2 , cos ,x y x sin yρ ρ θ ρ θ= + = = 2 2 2 2 0x y ax ay+ − + = ( ) ( )2 2 22x a y a a− + + = C ( ) ( )2 2 22x a y a a− + + = 22 2 21 2 x t y t  = +  = − + 2 2 2 2 0x y ax ay+ − + = 2 2 5 6 0t t a+ + − = ,M N 1 2,t t 1 2 2t t+ = − 1 2 5 6t t a= − 2| | 6MN PM PN= ( )2 1 2 1 26t t t t− = 5 6a > 1 2 0t t < ( )2 1 2 1 26t t t t− = − ( )2 1 2 1 22 0t t t t+ + = ( ) ( )2 2 2 5 6 0a− + − = 1a = 1a = ( ) ( ) ( )2 2f x x m x 2m 3 x m x 2m 3= + + − − ≥ + − − − ( ) ( )22f x m 2m 3 m 1 2 2≥ + + = + + ≥ 2m 2m 3 16+ + ≤ ( )2m 1 14+ ≤（2）由已知， ①当 m≥- 时， 等价于 ,即 ， 解得 所以 ②当 m