四川泸县四中2020届高三数学（理）下学期第二次月考试题（有答案Word版）

2020 年春四川省泸县第四中学高三第二学月考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．设全集 ，集合 ，集合 ，则 A． B． C． D． 2．已知命题 ，则 p 命题的否定为 A． B． C． D． 3．若复数 在复平面内对应的点在直线 上，则 A．2 B． C．1 D． 4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A． B． C． D． 5．在等差数列 中， ，则数列 的前 5 项之和 的值为 A．108 B．90 C．72 D．24 6．已知四边形 是平行四边形，点 为边 的中点，则 A． B． C． D． U = R { | 0}M x x= ≥ 2{ | 1}N x x= < ( )UM C N∩ = (0,1) [0,1] [1, )+∞ (1, )+∞ : , sinp x R x x∀ ∈ > : , sinp x R x x¬ ∃ ∈ < : , sinp x R x x¬ ∀ ∈ < : , sinp x R x x¬ ∃ ∈ ≤ : , sinp x R x x¬ ∀ ∈ ≤ 2i 2 az −= 0x y+ = z = 2 2 2 8 π3 16 π3 8π 16π { }na 2 4 36a a+ = { }na 5S ABCD E CD BE = 1 2 AB AD− +  1 2 AB AD−  1 2AB AD+  1 2AB AD− 7．若 ，则 A． B． C． D． 8．设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 的值为 A． B． C．3 D．5 9．已知实数 满足 ，则“ 成立”是“ 成立”的 A．充要条件 B．必要非充分条件 C．充分非必要条件 D．非充分非必要条件 10．双曲线 的两个焦点为 ，点 P 在双曲线上， 的面积为 ，则 等于 A．2 B．3 C．4 D．5 11．已知函数 是奇函数，则函数 的值域为 A． B． C． D． 12．若对 ， ，且 ，都有 ，则 m 的最小值是 注： 为自然对数的底数，即 A． B．e C．1 D． 第 II 卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知函数 ，则 __________． 14．若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为__________． 15．在 的二项式中，有且只有第五项的二项式系数最大，则 1tan 2 α = − cos2 =α 3 5 3 5- 3 4 3 4 − ξ (3,4)N ( 2 3) ( 2)P a P aξ ξ< − = > + a 5 3 7 3 a b、 0ab > 1 1 a b < a b> 2 2 14 x y− = 1 2,F F 1 2F PF∆ 5 1 2PF PF   ( ) ( )2 1xf x a a Re = − ∈+ ( )f x ( )1,1− ( )2,2− ( )3,3− ( )4,4− lx∀ ( )2 ,x m∈ +∞ 2lx x< 1 2 2 1 2 1 ln ln 1x x x x x x −  3(log 2)f = x y 2 5 0 3 15 0 1 0 x y x y x y + − ≥  − − ≤  − + ≥ 4z x y= − 2 3 n x x  −  _________． 16．如图，直三棱柱 中， ， ， ， 为线段 上的一动点，则当 最小时， 的面积为______. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）为了调查中学生每天玩游戏的时间是否与性别有关，随机抽取了男、女学生各 50 人进行调查，根据其日均玩游戏的时间绘制了如下的频率分布直方图. （Ⅰ）求所调查学生日均玩游戏时间在 分钟的人数； （II）将日均玩游戏时间不低于 60 分钟的学生称为“游戏迷”，已知“游戏迷”中女生有 6 人； ①根据已知条件，完成下面的 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下 认为“游戏迷”和性别关系； 非游戏迷 游戏迷 合计 男 女 ( )0 1 21 1 112 4 2 n n n n n nnC C C C− + − + − = 1 1 1ABC A B C− 1AB = 2BC = 5AC = 1 3,AA M= 1BB 1AM MC+ 1AMC∆ [40,50) 2 2×合计 ②在所抽取的“游戏迷”中按照分层抽样的方法抽取 10 人，再在这 10 人中任取 9 人进行心理 干预，求这 9 人中男生全被抽中的概率. 附： （其中 为样本容量）. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 18．（12 分）在 中，设内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 . （Ⅰ）求角 的大小； （II）求 的取值范围. 19．（12 分）如图，三棱柱 - 的底面是边长为 2 的等边三角形， 底面 ， 点 分别是棱 ， 上的点，且 （Ⅰ）证明：平面 平面 ； （II）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值． 20．（12 分）已知 ， ． Ⅰ 讨论 的单调性； Ⅱ 当 时， 恒成立，求实数 a 的取值范围． 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + 2 0( )P K k≥ 0k ABC∆ A B C a b c 2 cos cos a c C b B − = B 23cos sin cos2 2 2 C A A− a R∈ ( ) 2 lnf x x a x= − ( ) ( )f x ( ) 1x ≥ ( ) 2 1xf x x≥ +21．（12 分）已知圆 ，点 ， 是圆上一动点，点 在线段 上，点 在半径 上，且满足 . （Ⅰ）当 在圆上运动时，求点 的轨迹 的方程； （II）设过点 的直线 与轨迹 交于点 （ 不在 轴上），垂直于 的直线交 于点 ，与 轴交于点 ，若 ，求点 横坐标的取值范围. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （ ）． （Ⅰ）分别写出直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程； （II）已知点 ，直线 与曲线 相交于 两点，若 ，求 的值． 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 . （Ⅰ）求证： ； （II）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 2 2:( 1) 16C x y+ + = (1,0)F P E FP Q CP 2 , 0FP EP EQ FP= ⋅ =    P Q Γ (2,0)A l Γ B B x l l M y H 0FB FH⋅ =  M xOy l 22 2 21 2 x t y t  = +  = − + t x C 2 2 cos( )4a πρ θ= + 5 6a > l C (2, 1)P − l C ,M N 2| | 6 | | | |MN PM PN=  a 2( ) | | | 2 3|f x x m x m= + + - - ( ) 2f x ≥ (2) 16f ≤ m2020 年春四川省泸县第四中学高三第二学月考试 理科数学参考答案 1．C 2．C 3．B 4．B 5．B 6．A 7．A 8．B 9．A 10．C 11．A 12．C 13． 14．3 15． 16． 17．解：（1）日均玩游戏时间在 分钟的频率为 ， 所以，所调查学生日均玩游戏时间在 分钟的人数为 . （2）“游戏迷”的频率为 ， 共有“游戏迷” 人，由于“游戏迷”中女生有 6 人，故男生有 14 人. ①根据男、女学生各有 50 人，得列联表如下： 非游戏迷 游戏迷 合计 男 36 14 50 女 44 6 50 合计 80 20 100 . 故能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“游戏迷”和性别有关. ②“游戏迷”中女生有 6 人，男生有 14 人，按照分层抽样的方法抽取 10 人，则女生有 3 人， 男生有 7 人. 从中任取 9 人，只剩 1 人，则共有 10 种基本情况，记这 9 人中男生全被抽中为事件 A， 则有两名女生被选中,共有 种基本情况，因此所求事件 A 的概率 . 18．解：（1）由 得到 ， 即 ，即 ， 1 18 1 256 3 [45,50) 1 (0.010 0.008 0.012 0.014 0.020 0.014 0.004 0.002) 10 0.16− + + + + + + + × = [45,50) 100 0.16 16× = (0.014 0.004 0.002) 10 0.20+ + × = 0.20 100 20× = 2 2 2 ( ) 100 (36 6 44 14) 4 3.841( )( )( )( ) 50 50 80 20 n ad bcK a b c d a c b d − × × − ×= = = >+ + + + × × × 9 10C = 2 3 3C = 3( ) 10P A = 2 cos cos a c C b B − = 2sin sin cos sin cos A C C B B − = ( )2sin cos sinA B B C= + 2sin cos sinA B A=又∵ 为三角形内角，∴ ，所以 ，从而 . （2） ， ∵ ，∴ ， ∴ ，所以 . 所以 的取值范围为 . 19．（Ⅰ）证明：取 中点 ，连接 ，则 ， 因为 底面 ，所以侧面 底面 ，所以 平面 ． 取 中点 ，连接 ，则 ，且 ， 又因为 ， ，所以 且 ， 所以 且 ，所以四边形 是平行四边形， 所以 ，所以 平面 ．又 平面 ， 所以平面 平面 ． （Ⅱ）以 为原点， 分别为 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为 ， 依题意得 ， ， ， ，所以 ， ， 设平面 的一个法向量为 ， A sin 0A ≠ 1cos 2B = 3B π= ( )2 3 13 cos sin cos cos 1 sin2 2 2 2 2 C A A C A− = + − 3 1 2 3cos sin2 2 3 2C C = − − +   π 3 1 3 1 3cos sin cos4 4 2 2 6 2C C C π = − + = + +   20 3C π< < 5 6 6 6C< + ( )f x 0a ≤ ( )f x ( )0,+∞ 0a > ( )f x 0, 2 a     ,2 a +∞   ( ( ) 2) 1xf x x≥ + ( ) ( )2 1 0xf x x− + ≥ ( ) ( ) ( )2 1g x xf x x= − + ( ) 2 ln 1g x x ax x= − − ( ) ( )' 2 1 lng x x a x= − + ( )'g x ( )f x 0a ≤ ( )'g x [ )1,+∞ ( ) ( )' ' 1 2 0g x g a≥ = − > ( )g x [ )1,+∞ ( ) ( )1 0g x g≥ = 0a > ( )'g x 0, 2 a     ,2 a +∞   0 2a< ≤ 12 a ≤ ( )'g x [ )1,+∞ ( ) ( )' ' 1 2 0g x g a≥ = − ≥ ( )g x ( ) ( )1 0g x g≥ = 2a > 1, 2 a     ( )'g x ( ) ( )' ' 1 2 0g x g a< = − < ( )g x ( ) ( )1 0g x g< = ( ],2−∞ EQ FP所以点 的轨迹是以点 为焦点，焦距为 4，长轴为 4 的椭圆， ， ， ，故点 的轨迹 的方程为 . （2）由题意直线 的斜率存在设为 ,于是直线 的方程为 ， 设 ，联立 ，得 ． 因为 ，由根与系数的关系得 ， ∴ ， ， 设 的横坐标为 ，则 ， 所在直线方程为 ， 令 ，得 ，· 于是 ， 即 ， 整理得 ， ， ∴ ． 22．解：（1）将 （ 为参数）消去参数 可得 ,∴直线 的普通方 程为 . 4 2CP QC QP QC QF CF= + = + = > = Q ,C F 2a = 1c = 3b = Q Γ 2 2 14 3 x y+ = l k l ( )( )2 0y k x k= − ≠ ( )1 1,B x y ( ) 2 2 2 14 3 y k x x y  = − + = ( )2 2 2 23 4 16 16 12 0k x k x k+ − + − = ( )1 1,A x y 2 1 2 16 122 3 4 kx k −= + 2 1 2 8 6 3 4 kx k −= + 1 2 12 3 4 ky k −= + M 0x ( )( )0 0, 2M x k x − MH ( ) ( )0 0 12y k x x xk − − = − − 0x = 0 1 2Hy k x kk  = + −   ( )( )1 1· 1 , · 1, 0HBF HF x y y= − − − =  2 1 1 02 2 8 6 12 11 1 2 03 4 3 4H k kx y y k x kk k k  −  − + = − − + − =  + +    ( ) ( ) 2 0 2 2 9 20 20 11= 1212 1 12 1 kx k k += − + + 2 0k ≠ ( )2 1 0,11k ∴ ∈+ 0 3 5 4 3x< < 22 2 21 2 x t y t  = +  = − + t t 3 0x y− − = l 3y x= − 由 ，得 ， 将 代入上式，得 ， 即 ， ∴曲线 的直角坐标方程为 ． （2）将 代入 中，整理得 ， 设 两点对应参数分别为 ，则 ， ∵ ，∴ ， 又 ， ∴ ，∴ ， ∴ ，即 ， 解得 ，符合题意．∴ ． 23．解：（1）因为 ， 所以 . ,即 （2）由已知， ①当 m≥- 时， 等价于 ,即 ， 解得 所以 ②当 m 1 2 0t t < ( )2 1 2 1 26t t t t− = − ( )2 1 2 1 22 0t t t t+ + = ( ) ( )2 2 2 5 6 0a− + − = 1a = 1a = ( ) ( ) ( )2 2f x x m x 2m 3 x m x 2m 3= + + − − ≥ + − − − ( ) ( )22f x m 2m 3 m 1 2 2≥ + + = + + ≥ 2m 2m 3 16+ + ≤ ( )2m 1 14+ ≤ ( ) 2f 2 m 2 2m 1= + + + 1 2 ( )f 2 16≤ 2m 2m 3 16+ + ≤ ( )2m 1 14+ ≤ 14 1 m 14 1− − ≤ ≤ − 1 m 14 12 − ≤ ≤ − 1 2 ( )f 2 16≤ 2m 2m 1 16− + ≤ 1 2 − m 3, 14 1 − − 