四川泸县二中2020届高三数学（理）下学期第二次月考试题（有答案Word版）

2020 年春四川省泸县第二中学高三第二学月考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．已知集合 ， ，则 A． B． C． D． 2．已知复数 ，则 A． B．3 C．1 D． 3．命题“ ”的否定是 A． B． C． D． 4．等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 的值等于 A． B． C． D． 5．在△ABC 中，设三边 AB，BC，CA 的中点分别为 E，F，D，则 ＝ A． B． C． D． 1 2iz i += | |z = 5 2 i− { }na n nS 3 12S = 6 51S = 9S 66 90 117 127 EC FA + BD BD2 1 AC AC2 16．已知 ，则 A． B． C． D． 7．函数 为奇函数的充要条件是 A． B． C． D． 8．某班有 60 名学生，一次考试的成绩 服从正态分布 ，若 ，估计该班数学成绩在 100 分以上的人数为（ ） A．12 B．20 C．30 D．40 9．函数 在区间 上的最大值与最小值的差记为 ，若 恒成立，则 的取值范围是 A． B． C． D． 10．已知 是 上的偶函数，且在 上单调递减，则不等式 的解集 为 A． B． C． D． 11．已知三棱锥 中， ， ， ，若该三 棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为 A． B． C． D． 12．双曲线 的右焦点为 ， 为双曲线 上的一点，且位于第一象 限，直线 分别交于曲线 于 两点，若 为正三角形，则直线 的斜率 等于 A． B． C． D． tan 2θ = ( ) ( ) sin cos2 sin sin2 π θ π θ π θ π θ  + − −   = + − −   2 2− 0 2 3 ( ) 2 1 1 a xf x x −= + − 0 1a< < 1a > 0 1a< ≤ 1a ≥ ξ ( )290,5N ( )80 90 0.3P ξ≤ < = ( ) 1 xf x x = − [ ]2,5 max minf − max minf −− 2 2a a≥ − a 1 3 2 2     ， [ ]1,2 [ ]0,1 [ ]1,3 ( )f x R [ )0,+∞ ( ) ( )ln 1f x f> ( )1e ,1− ( )1e ,e− ( ) ( )0,1 e,∪ +∞ ( ) ( )10,e 1,− ∪ +∞ A BCD− 5AB CD= = 2= =AC BD 3AD BC= = 3 2 π 24π 6π 6π ( )2 2 2 2: 1 , 0x yC a ba b − = > F P C ,PO PF C ,M N ∆POF MN 2 2− − 3 2− 2 2+ 2 3− −第 II 卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．设函数 ，则 ____________. 14．若 ， 满足约束条件 则当 取最小值时， 的值为 __________． 15．在 的二项展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，且所有 项的系数和为 256，则含 的项的系数为_________． 16．如图所示，在平面四边形 中， ， ， ， ， 则四边形 的面积的最大值是 . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）在 中，角 的对边分别为 ，且 . （I）求角 的大小； （II）若 ， 的面积为 ，求 . 18．（12 分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重. 大气污 染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病。为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机 的对入院 50 人进行了问卷调查得到了如在的列联表:已知在全部 50 人中随机抽取 1 人，抽到 患心肺疾病的人的概率为 . （Ⅰ）请将右面的列联表补充完整；       6x ABC , ,A B C , ,a b c sin sin 3b C c B π = −   B 1 1 3 2a c + = ABC 3 b 3 5患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 5 女 10 合计 50 （Ⅱ）是否有 99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由； （Ⅲ）已知在患心肺疾病的 10 位女性中，有 3 位又患胃病.现在从患心肺疾病的 10 位女性中， 选出 3 名进行其他方面的排查，记选出患胃病的女性人数为 ，求 的分布列以及数学期望. 下面的临界值表供参考: 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式 其中 ） 19．（12 分）在五面体 中， , , ， ，平面 平面 . （I） 证明: 直线 平面 ； （II） 已知 为棱 上的点，试确定 点位置，使二面 角 的大小为 . 20．（12 分）已知函数 （I）讨论函数 的单调性； ξ ξ ( )2P K k≥ k ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + ABCDEF AB CD EF  2 2 2CD EF CF AB AD= = = = = 60DCF∠ =  AD CD⊥ CDEF ⊥ ABCD CE ⊥ ADF P BC P P DF A− − 60 ( ) .xf x e= ( ) ( )g x f ax x a= − −（II）证明： . 21．（12 分）已知圆 ，圆 ，动圆 与圆 外切并 与圆 内切，圆心 的轨迹为曲线 . （I）求 的方程； （II）若直线 与曲线 交于 两点，问是否在 轴上存在一点 ，使得当 变 动时总有 ？若存在，请说明理由. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 中，曲线 （ 为参数， ）.在以 为极点， 轴正半 轴为极轴的极坐标系中，直线 . （I）若 与曲线 没有公共点，求 的取值范围； （II）若曲线 上存在点到 距离的最大值为 ，求 的值. 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 , ( ) 3 4lnf x x x x + + > ( )2 2: 1 1M x y+ + = ( )2 2: 1 9N x y− + = P M N P C C ( )1y k x= − C ,R S x T k OTS OTR∠ = ∠ xOy cos ,: sin x tC y α α =  = α 0t > O x : cos 24l πρ θ − =   l C t C l 1 6 22 + t ( ) 2 1 ,f x x x= − ∈R(I)解不等式 (II)若对于 ,有 ,求证: . ( ) 1f x x< + ,x y∈R 1 11 , 2 13 6x y y− − ≤ + ≤ ( ) 1f x sin sin 3B B π = −   1 3sin sin cos2 2B B B= − tan 3B = − ( )0,B π∈ 2 3B π= 1 1 2 3sin sin 32 2 3 4ABCS ac B ac ac π= = = =△ 4ac = 1 1 34 62a c ac a c  + = + = × =   ( )22 2 2 22 cos 36 1 4 2b a c ac B a c ac a c ac= + − = + + = + − = − = ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + ( )2 2 50 20 15 5 10 25 25 30 20K × − ×= × × ×∵ ∴有 99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关 （Ⅲ）根据题意， 的值可能为 0，1，2，3 ， ， ， 分布列如下: 0 1 2 3 则 19．（1）∵ , ∴ ∴四边形 为菱形,∴ ∵平面 平面 ，平面 平面 , ∵ ∴ 平面 ∴ ,又∵ ∴直线 平面 （2）∵ ,∴ 为正三角形，取 的中点 ,连接 ,则 ∴ ,∵平面 平面 , 平面 ，平面 平面 , ∴ 平面 ∵ ∴ 两两垂直以 为原点， 的方向 为 轴， 建立空间直角坐标系∵ , ,∴ 由（1）知 是平面 的法向量∵ , 设 ，则 ． ( )2 2 50 100 25 2 3 1 25 8.333 7.87925 25 30 20 3K × × × × −= = ≈ >× × × ( )2 7.879 0.005P K ≥ = ξ ( ) 3 7 3 10 350 120 CP C ξ = = = ( ) 1 2 3 7 3 10 631 120 C CP C ξ = = = ( ) 2 1 3 7 3 10 212 120 C CP C ξ = = = ( ) 3 3 3 10 13 120 CP C ξ = = = ξ P 7 24 21 40 7 40 1 120 7 21 7 1 90 1 2 324 40 40 120 10Eξ = × + × + × + × = CD EF 2CD EF CF= = = CDEF CE DF⊥ CDEF ⊥ ABCD CDEF ∩ ABCD CD= AD CD⊥ AD ⊥ ACDEF CE AD⊥ AD DF D∩ = CE ⊥ ADF 60DCF∠ =  DEF EF G GD GD EF⊥ GD CD⊥ CDEF ⊥ ABCD GD ⊂ CDEF CDEF ∩ ABCD CD= GD ⊥ ABCD AD CD⊥ , ,DA DC DG D , ,DA DC DG , ,x y z 2CD EF CF= = = 1AB AD= = ( ) ( )0, 1, 3 , 0,1 3E F− ( )0, 3, 3CE = − ADF ( )0,1, 3DF = ( )1, 1,0CB = − ( )( ), ,0 0 1CP aCB a a a= = − ≤ ≤  ( ),2 ,0DP DC CP a a= + = −  设平面 的法向量为 ∵ , ∴ ， 令 ，则 ∴ ∵二面角 为 , ∴ ，解得 ∴ 点靠近 点的 的三等分点处 20．（1）解： ， ①若 时， 在 上单调递减；②若 时，当 时， 单调递减；当 时， 单调递增； 综上，若 时， 在 上单调递减； 若 时， 在 上单调递减；在 上单调递增； （2）证明：要证 ，只需证 ， 由（1）可知当 时， ，即 ， 当 时，上式两边取以 为底的对数，可得 ， 用 代替 可得 ，又可得 ，所以 ， ， 即原不等式成立. 21．解：（1）得圆 的圆心为 ，半径 ；圆 的圆心 ，半径 . 设圆 的圆心为 ，半径为 .因为圆 与圆 外切并与圆 内切，所以 PDF ( ), ,n x y z = 0, 0n DF n DP  ⋅ = ⋅ = ( ) 3 0 2 0 y z ax a y  + = + − = 3y a= ( )3 2 ,x a z a= − = − ( )( )3 2 , 3 ,n a a a= − − P DF A− − 60 cos , n CE n CE n CE ⋅ = =   ( )2 2 2 4 3 1 212 3 2 3 a a a a = − + + 2 3a = P B CB ( ) ( ) ( ), 1ax xg x f ax x a e x a g x ae= − − = − =′− − 0a ≤ ( ) ( )0,g x g x′ < R 0a > 1 lnx aa < − ( ) ( )0,g x g x′ < 1 lnx aa > − ( ) ( )0,g x g x′ > 0a ≤ ( )g x R 0a > ( )g x 1, lnaa  −∞ −   1 ln ,aa  − +∞   ( ) 3 4lnf x x x x + + > ( )ln 4 3 0xx x e x+ − + > 1a = 1 0xe x− − ≥ 1xe x≥ + 1 0x + > e ( )ln 1 ( 1)x x x+ ≤ > − 1x − x ln 1( 0)x x x≤ − > 1 1ln 1( 0)xx x ≤ − > 1ln 1 ( 0)x xx ≥ − > ( ) 1ln 4 3 1 1 3 4xx x e x x x xx  + − + > − + + + −   ( )22 2 2 4 1 4 1x x x x x= + + − = + − + ( ) ( )2 2 2 4 1 2 1 0x x x≥ − + = − ≥ M ( )1,0M − 1 1r = N ( )1,0N 2 3r = P ( ),P x y R P M N由椭圆的定义可知，曲线 是以 为左右焦点，长半轴长为 2，短半轴为 的椭圆（左 顶点除外），其方程为 （2）假设存在 满足 .设 联立 得 ，由韦达定理有 ①，其中 恒成立， 由 （显然 的斜率存在），故 ，即 ②， 由 两点在直线 上，故 代入②得： 即有 ③ 将①代入③即有： ④，要使得④与 的取 值无关，当且仅当“ ”时成立，综上所述存在 ，使得当 变化时，总有 22．解：（1）因为直线 的极坐标方程为 ，即 ， 所以直线 的直角坐标方程为 ；因为 （ 参数， ） 所以曲线 的普通方程为 ， 1 2 1 2 4PM PN R r r R r r+ = + + − = + = C ,M N 3 ( )2 2 1 24 3 x y x+ = ≠ − ( ),0T t OTS OTR∠ = ∠ ( ) ( )1 1 2 2, , ,R x y S x y ( ) 2 2 1{ 3 4 12 0 y k x x y = − + − = ( )2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k+ − + − = 2 1 2 2 2 1 2 2 8 3 4{ 4 12 3 4 kx x k kx x k + = + −= + 0∆ > OTS OTR∠ = ∠ ,TS TR 0TS TRk k+ = 1 2 1 2 0y y x t x t + =− − ,R S ( )1y k x= − ( ) ( )1 1 2 21 , 1y k x y k x= − = − ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 2 1 21 2 2 1 1 2 1 2 2 1 21 1 0 k x x t x x tk x x t k x x t x t x t x t x t  − + + +− − + − −  = =− − − − ( )( )1 2 1 22 1 2 0x x t x x t− + + + = ( ) ( )2 2 2 2 2 8 24 1 8 2 3 4 6 24 03 4 3 4 k t k t k t k k − − + + + −= =+ + k 4t = ( )4,0T k OTS OTR∠ = ∠ l cos 24 πρ θ − =   cos sin 2ρ θ ρ θ+ = l 2x y+ = ,x tcos y sin α α =  = α 0t > C 2 2 2 1x yt + =由 消去 得， ， 所以 ，解得 ，故 的取值范围为 . （2）由（1）知直线 的直角坐标方程为 ， 故曲线 上的点 到 的距离 ， 故 的最大值为 由题设得 ，解得 .又因为 ， 所以 . 23．解：(1)不等式 f(x)＜x+1,等价于|2x﹣1|＜x+1,即﹣x﹣1＜2x﹣1＜x+1, 求得 0＜x＜2,故不等式 f(x)＜x+1 的解集为(0,2). (2) , 所以 f(x)=|2x﹣1|=|2(x﹣y﹣1)+(2y+1)|≤|2(x﹣y﹣1)|+|(2y+1)|≤2 + ＜1. 2 2 2 2, 1, x y x yt + = + = x ( )2 2 21 4 4 0t y y t+ − + − = ( )( )2 216 4 1 4 0t t∆ = − + − < 0 3t< < t ( )0, 3 l 2 0x y+ − = C ( )cos ,sint α α l cos sin 2 2 td α α+ −= d 2 1 2 2 t + + 2 1 2 1 6 222 t + + = + 2t = ± 0t > 2t = 1 11 , 2 13 6x y y− − ≤ + ≤因为 1·3 1 6