化州一中高二第二学期四月数学线上测试（二）
第 I 卷（选择题)
一、单选题未（50 分)
1．若复数 是纯虚数，其中 是实数，则 =( )
A． B． C． D．
2．已知向量 ，且 ，则实数 （ ）
A．3 B．1 C．4 D．2
3．等差数列 的前 项和为 ，已知 ，则 的值为（ ）
A．38 B．-19 C．-38 D．19
4．已知双曲线 的一个焦点在直线 x＋y＝5 上，则双曲线的渐近线方程为( )
A． B．
C． D．
5．若圆 ： （m， ）始终平分圆 ：
的周长，则 的最小值为（ ）
A． B．9 C．6 D．3
6．命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
7．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
( 1) ( 1)z m m m i= − + − m 1
z
i i− 2i 2i−
( ) ( )2,1 , , 1a b m= = − ( )a a b⊥ − m =
{ }na n nS 1 5 10 15 19 2a a a a a− − − + = 19S
2 2
19
x y
m
− =
3
4y x=± 4
3y x= ±
2 2
3y x= ± 3 2
4y x= ±
1C 2 2 2 4 10 0x y mx ny+ − − − = 0n > 2C
( ) ( )2 21 1 2x y+ + + = 1 2
m n
+
9
2
2(0,1), 0x x x∀ ∈ − <
2(0,1), 0x x x∉∃ − ≥ 2(0,1), 0x x x∃ ∈ − ≥
2(0,1), 0x x x∀ ∉ − < 2(0,1), 0x x x∀ ∈ − ≥
sin
x x
x xy e e−
+= +C． D．
8．已知 在抛物线 （ ）上，且 P 到焦点的距离为 10.则焦点到准线的
距离为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
9．已知直三棱柱 的所有棱长都相等， 为 的中点，则 与 所成
角的余弦值为( )
A． B． C． D．
10．若函数 在区间 上不是单调函数，则函数 在 R
上的极小值为（ ）.
A． B． C．0 D．
二、多选题（10 分)
11．（多选）已知函数 ，则下列对于 的性质表述正确的是（ ）
A． 为偶函数
B．
C． 在 上的最大值为
D． 在区间 上至少有一个零点
12．定义在区间 上的函数 的导函数 图象如图所示，则下列结论正确的是
（ ）
( )8,P a 2 2y px= 0p >
1 1 1ABC A B C− M 1 1AC AM 1BC
15
3
5
3
6
4
10
4
3 21( ) 1 23 2
bf x x x bx = − + + [ 3,1]− ( )f x
42 3b − 3 2
2 3b − 2 31
6b b−
( ) 2
2
1
1
xf x x
−= +
( )f x
( )f x
( )1f f xx
= −
( )f x [ ]2,3 3
5-
( ) ( )g x f x x= + ( )1,0−
1 ,42
−
( )f x ( )f x′
A．函数 在区间 单调递增
B．函数 在区间 单调递减
C．函数 在 处取得极大值
D．函数 在 处取得极小值
第 II 卷（非选择题)
三、填空题（20 分)
13．函数 的定义域为_________________________
14．直线 与 平行，则 的值为_________.
15．已知双曲线 C： 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的
两条渐近线分别交于 A，B 两点．若 ， ，则 C 的离心率为____________．
16．将正整数 12 分解成两个正整数的乘积有 1×12，2×6，3×4 三种，其中 3×4 是这三种分解
中两数差的绝对值最小的，我们称 3×4 为 12 的最佳分解．当 p×q（p≤q 且 p、q∈N*）是正整
数 n 的最佳分解时，我们定义函数 f（n）=q-p，例如 f（12）=4-3=1，则数列{ }的前 2019
项和为______．
四、解答题（70 分)
17．（10 分）自 2017 年 2 月底,90 多所自主招生试点高校将陆续出台 2017 年自主招生简章,某
校高三年级选取了在期中考试中成绩优异的 100 名学生作为调查对象,对是否准备参加 2017
年的自主招生考试进行了问卷调查,其中“准备参加”“不准备参加”和“待定”的人数如表:
( )f x ( )0,4
( )f x 1 ,02
−
( )f x 1x =
( )f x 0x =
( ) ( )1 ln 1
2
f x x
x
= + +
−
1 : 6 0l x ay+ + = ( )2 : 2 3 2 0l a x y a− + + = a
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
1F A AB=
1 2 0F B F B⋅ =
(3 )nf准备参加 不准备参加 待定
男生 30 6 15
女生 15 9 25
(1)在所有参加调查的同学中,在三种类型中用分层抽样的方法抽取 20 人进行座谈交流,则在“准
备参加”“不准备参加”和“待定”的同学中应各抽取多少人?
(2)在“准备参加”的同学中用分层抽样方法抽取 6 人,从这 6 人中任意抽取 2 人,求至少有一名女
生的概率.
18．（12 分）已知数列 的前 项和为 ，点 在直线 上，
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 。
19．（12 分） 中的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ，
.
（1）求 ；
（2）若 ，点 为边 上一点，且 ，求 的面积.
20．（12 分）在 中， ， 分别为 ， 的中点， ，如图 1.以
为折痕将 折起，使点 到达点 的位置，如图 2.
如图 1 如图 2
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
21．（12 分）已知椭圆 ： 过点 ，且椭圆的离心率为 ．
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
{ }na n nS ( , )n na S 2 2y x= − *n∈N
{ }na
2( 1)logn n nb n a a= + − { }nb n nT
ABC A B C a b c 5 4b c=
2B C=
cos B
5c = D BC 6BD = ADC
ABC∆ D E AB AC 2 2AB BC CD= =
DE ADE∆ A P
BCP ⊥ CEP
DEP ⊥ BCED DP BCP
C ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > ( )0,1A 6
3
C(Ⅱ)斜率为 的直线 交椭圆 于 ， 两点，且 ．若直线 上存
在点 P，使得 是以 为顶角的等腰直角三角形，求直线 的方程．
22．（12 分）已知函数 ．
当 时，求 的单调增区间；
若 在 上是增函数，求 a 得取值范围．
1 l C ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 1 2x x> 3x =
PMN∆ PMN∠ l
( ) 2 lnf x x x ax= + −
( )1 3a = ( )f x
( )2 ( )f x ( )0,1化州一中高二第二学期四月数学线上测试（二）
参考答案
第 I 卷（选择题)
一、单选题未（50 分)
1．若复数 是纯虚数，其中 是实数，则 =( )
A． B． C． D．
【答案】A 【解析】因为复数 是纯虚数，所以 ，则
m=0，所以 ，则 .
2．已知向量 ，且 ，则实数 （ ）
A．3 B．1 C．4 D．2
【答案】A 【解析】 ,根据 得 ,解
得 ,故选 A.
3．等差数列 的前 项和为 ，已知 ，则 的值为（ ）
A．38 B．-19 C．-38 D．19
【答案】C 【解析】等差数列的性质可知
．即
． ．故本题答案选 ．
4．已知双曲线 的一个焦点在直线 x＋y＝5 上，则双曲线的渐近线方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】B 【解析】 根据题意,双曲线的方程为 ，则其焦点在 x 轴上，
( 1) ( 1)z m m m i= − + − m 1
z
i i− 2i 2i−
( ) ( )1 1z m m m i= − + − ( )1 0
1 0
m m
m
− =
− ≠
z i= − 1 1 iz i
= =−
( ) ( )2,1 , , 1a b m= = − ( )a a b⊥ − m =
( )2 ,2a b m − = − ( )a a b⊥ − ( ) ( )2 2 2 0a a b m⋅ − = − + =
3m =
{ }na n nS 1 5 10 15 19 2a a a a a− − − + = 19S
( )1 5 10 15 19 1 19 5 15 10 10 2a a a a a a a a a a a− − − + = + − + − = − =
10 2a = − ( )1 19
19 10
19 19 382
a aS a
+= = = − Ｃ
2 2
19
x y
m
− =
3
4y x=± 4
3y x= ±
2 2
3y x= ± 3 2
4y x= ±
2 2
19
x y
m
− =直线 与 x 轴交点的坐标为 ，则双曲线的焦点坐标为 ，
则有 ，解可得， ，
则双曲线的方程为： ，其渐近线方程为： ，故选 B.
5．若圆 ： （m， ）始终平分圆 ：
的周长，则 的最小值为（ ）
A． B．9 C．6 D．3
【答案】D 【解析】 把圆 ： 化为一般式，得
，又圆 ： （m， ），
两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线 的方程： .
圆 始终平分圆 的周长， 圆心 在直线 上，
，即 .
.
当且仅当 即 时，等号成立. 的最小值为 3.
6．命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B 【解析】因为全称命题的否定是特称命题，只需要将全称量词改为存在量词，然
后否定结论.故命题“ ”的否定是
5x y+ = ( )5,0 ( )5,0
9 25m+ = 16m =
2 2
19 16
x y− = 4
3y x= ±
1C 2 2 2 4 10 0x y mx ny+ − − − = 0n > 2C
( ) ( )2 21 1 2x y+ + + = 1 2
m n
+
9
2
2C ( ) ( )2 21 1 2x y+ + + =
2 2 2 2 0x y x y+ + + = 1C 2 2 2 4 10 0x y mx ny+ − − − = 0n >
l ( ) ( )1 2 1 5 0m x n y+ + + + =
1C 2C ∴ ( )2 1, 1C − − l
( ) ( )1 2 1 5 0m n∴− + − + + = ( )12 3, 2 13m n m n+ = ∴ + =
( )1 1 2 22 53 3
1 2 1 2 1 21 n mm n m nm n m n m n
∴ + = + × = + ×
+ = + +
( )1 2 2 15 2 5 2 2 33 3
n m
m n
≥ + × = + × =
2 3
2 2
m n
n m
m n
+ = =
1m n= = 1 2
m n
∴ +
2(0,1), 0x x x∀ ∈ − <
2(0,1), 0x x x∉∃ − ≥ 2(0,1), 0x x x∃ ∈ − ≥
2(0,1), 0x x x∀ ∉ − < 2(0,1), 0x x x∀ ∈ − ≥
2(0,1), 0x x x∀ ∈ − < 2(0,1), 0x x x∃ ∈ − ≥7．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B 【解析】解：因为 ，所以
，
得 ，所以 为奇函数，排除 C；
设 ， 恒成立，所以在 ， 单调
递增，所以 ，
故 在 上恒成立，排除 AD，
8．已知 在抛物线 （ ）上，且 P 到焦点的距离为 10.则焦点到准线的
距离为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B 【解析】抛物线 （ ）的准线方程为 ，
由抛物线的定义可知，点 P 到焦点的距离等于点 P 到准线的距离，
.所以焦点到准线的距离为 .
9．已知直三棱柱 的所有棱长都相等， 为 的中点，则 与 所成
角的余弦值为( )
A． B． C． D．
【答案】D 【解析】由题意，取 的中点 ，连接 ，则 ,
所以异面直线 与 所成角就是直线 与 所成角，
sin
x x
x xy e e−
+= +
sin( ) x x
x xy f x e e−
+= = +
( )sin sin( ) x x x x
x x x xf x e e e e− −
− + − − −− = =+ +
( ) ( )f x f x= − − sin
x x
x xy e e−
+= +
( ) sing x x x= + ' ( ) 1 cos 0g x x∴ = − ≥ [0, )+∞ ( ) sing x x x= +
( ) 0 sin 0 0g x ≥ + =
sin 0x x
x xy e e−
+= ≥+ [0, )+∞
( )8,P a 2 2y px= 0p >
2 2y px= 0p >
2
px = −
8 10, 42
p p ∴ − − = ∴ = 4
1 1 1ABC A B C− M 1 1AC AM 1BC
15
3
5
3
6
4
10
4
AC N 1C N 1/ /AM C N
AM 1BC AM 1C N设正三棱柱的各棱长为 ,则 ，
设直线 与 所成角为 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即异面直线 与 所成角的余弦值为 ，故选 D．
10．若函数 在区间 上不是单调函数，则函数 在 R
上的极小值为（ ）.
A． B． C．0 D．
【答案】A 【解析】解： ，
∵函数 在区间 上不是单调函数，
，
由 ，解得： 或 ，
由 ，解得： ，
的极小值为 ，
二、多选题（10 分)
11．（多选）已知函数 ，则下列对于 的性质表述正确的是（ ）
A． 为偶函数
2 1 15, 2 2, 3C N BC BN= = =
AM 1C N θ
1BNC∆ 2 2 2( 5) (2 2) ( 3) 10cos 42 5 2 2
θ + −= =
× ×
AM 1BC 10
4
3 21( ) 1 23 2
bf x x x bx = − + + [ 3,1]− ( )f x
42 3b − 3 2
2 3b − 2 31
6b b−
2( ) (2 ) 2 ( )( 2)f x x b x b x b x′ = − + + = − −
( )f x [ 3,1]−
3 1b∴− < <
( ) 0f x′ > 2x > x b<
( ) 0f x′ < 2b x< <
( )f x∴ ( )8 4(2) 4 2 4 23 3f b b b= − + + = −
( ) 2
2
1
1
xf x x
−= +
( )f x
( )f xB．
C． 在 上的最大值为
D． 在区间 上至少有一个零点
【答案】ABCD 【解析】
因为 ，所以其的定义域为 ，
A 选项， ，所以函数 为偶函数，故 A 正确；
B 选项， ，故 B 正确；
C 选项，因为 ，当 ， 单调递增，所以
单调递减，因此 ，故 C 正确；
D 选项，因为 ，所以 ， ，
即 ，由零点存在性定理可得： 在区间 上存在零点，
故 D 正确；
12．定义在区间 上的函数 的导函数 图象如图所示，则下列结论正确的是
（ ）
( )1f f xx
= −
( )f x [ ]2,3 3
5-
( ) ( )g x f x x= + ( )1,0−
( ) 2
2
1
1
xf x x
−= + R
( ) 2 2
2 2
1 ( ) 1 ( )1 ( ) 1
− − −− = = =+ − +
x xf x f xx x
( )f x
2
2
2 2
111 1 ( )111
− − = = = − + +
xxf f xx x
x
( ) 2
2 2
1 211 1
−= = − ++ +
xf x x x
[ ]2,3x∈ 21y x= +
( ) 2
21 1
= − + +f x x
( ) ( )max
2 32 1 1 4 5
= = − + = −+f x f
( ) ( )g x f x x= + ( ) ( )1 1 1 1− = − − = −g f ( ) ( )0 0 0 1= + =g f
( )1 (0) 0− ⋅ ( )f x ( )f x 0x =
( ) ( )1 ln 1
2
f x x
x
= + +
−
1 0
2 0
x
x
+
−
＞
＞
1
2 x−
1 : 6 0l x ay+ + = ( )2 : 2 3 2 0l a x y a− + + = a
1−
1 : 6 0l x ay+ + = ( )2 : 2 3 2 0l a x y a− + + = ( )
( )
2 3
2 6 2
a a
a a
− = ≠ −解得 .
15．已知双曲线 C： 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的
两条渐近线分别交于 A，B 两点．若 ， ，则 C 的离心率为____________．
【答案】2. 【解析】如图，
由 得 又 得 OA 是三角形 的中位线，即
由 ，得 则 有
，
又 OA 与 OB 都是渐近线，得 又 ，得
．又渐近线 OB 的斜率为 ，所以该双曲
线的离心率为 ．
16．将正整数 12 分解成两个正整数的乘积有 1×12，2×6，3×4 三种，其中 3×4 是这三种分解
中两数差的绝对值最小的，我们称 3×4 为 12 的最佳分解．当 p×q（p≤q 且 p、q∈N*）是正整
数 n 的最佳分解时，我们定义函数 f（n）=q-p，例如 f（12）=4-3=1，则数列{ }的前 2019
项和为______．
【答案】 【解析】
由题意，当 为偶数时， ，当 为奇数时， ，
则
．
四、解答题（70 分)
1a = −
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
1F A AB=
1 2 0F B F B⋅ =
1 ,F A AB=
1 .F A AB= 1 2 ,OF OF= 1 2F F B
2 2/ / , 2 .BF OA BF OA=
1 2 0F B F B =
1 2 1, ,F B F B OA F A⊥ ⊥ 1OB OF=
1AOB AOF∠ = ∠
2 1,BOF AOF∠ = ∠ 2 1BOF AOB AOF π∠ + ∠ + ∠ =
0
2 1 60 ,BOF AOF BOA∠ = ∠ = ∠ = 0tan 60 3b
a
= =
2 21 ( ) 1 ( 3) 2c be a a
= = + = + =
(3 )nf
10103 1−
n (3 ) 0nf = n 1
2(3 ) 2 3
n
nf
−
= ×
2 3 2019 3 5 2019(3) (3 ) (3 ) (3 ) (3) (3 ) (3 ) (3 )f f f f f f f f+ + + + = + + + +
1010
0 1 1009 0 1 1009 10101 32 3 2 3 2 3 2 (3 3 3 ) 2 3 11 3
−= × + × + + × = × + + + = × = −− 17．（10 分）自 2017 年 2 月底,90 多所自主招生试点高校将陆续出台 2017 年自主招生简章,某
校高三年级选取了在期中考试中成绩优异的 100 名学生作为调查对象,对是否准备参加 2017
年的自主招生考试进行了问卷调查,其中“准备参加”“不准备参加”和“待定”的人数如表:
准备参加 不准备参加 待定
男生 30 6 15
女生 15 9 25
(1)在所有参加调查的同学中,在三种类型中用分层抽样的方法抽取 20 人进行座谈交流,则在“准
备参加”“不准备参加”和“待定”的同学中应各抽取多少人?
(2)在“准备参加”的同学中用分层抽样方法抽取 6 人,从这 6 人中任意抽取 2 人,求至少有一名女
生的概率.
解：(1)分层抽样时的抽样比为 =0.2,所以,在“准备参加”的同学中应抽取
(30+15)×0.2=9(人),在“不准备参加”的同学中应抽取(6+9)×0.2=3(人),在“待定”的同学中应抽取
(15+25)×0.2=8(人).
(2)在“准备参加”的同学中用分层抽样方法抽取 6 人,
则男生抽 4 人,女生抽 2 人,男生 4 人分别记作 1,2,3,4,女生 2 人分别记作 5,6.
从 6 人中任取 2 人共有以下 15 种情况:
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,4),(3,5),(3,6),
(4,5),(4,6),
(5,6).
其中至少有一名女生的情况共有 9 种:(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6).
所以,至少有一名女生的概率 P= =0.6.
18．（12 分）已知数列 的前 项和为 ，点 在直线 上，
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 。
20
100
9
15
{ }na n nS ( , )n na S 2 2y x= − *n∈N
{ }na
2( 1)logn n nb n a a= + − { }nb n nT解：(1) 点 在直线 上， ， .
当 时， 则 ，
当 时， ,
两式相减，得 , 所以 .
所以 是以首项为 ，公比为 等比数列，所以 .
(2) ,
,
,
两式相减得: ,
所以 .
19．（12 分） 中的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ，
.
（1）求 ；
（2）若 ，点 为边 上一点，且 ，求 的面积.
解：（1） ，
，
在 中，由正弦定理得， ，
又 ，
，
，
（2） ， ， ，
( ),n na S 2 2y x= − *n N∈ ∴ 2 2n nS a= −
1n = 1 12 2,a a= − 1 2a =
2n ≥ S 2 2n na= −
1 12 2n nS a− −= −
12 2n n na a a −= − 12n na a −=
{ }na 2 2 2n
na =
( ) ( )2 21 log 1 log 2 2n n
n n n nb n a a n a n= + − = + − = ⋅
( )1 2 3 11 2 2 2 3 2 1 2 2n n
nT n n
−= × + × + × + + − × + ×
( )2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 1 2 2n n
nT n n += × + × + × + + − × + ×
1 2 3 12 2 2 2 2n n
nT n +− = + + + + − ×
( ) 11 2 2n
nT n += − × +
ABC A B C a b c 5 4b c=
2B C=
cos B
5c = D BC 6BD = ADC
2B C=
∴ sin sin 2 2sin cosB C C C= =
ABC
sin
sin
B b
C c
=
5 4b c=
∴ sin 2 5cos 2sin 2 5
B bC C c
= = =
∴ 2 3cos cos2 2cos 1 5B C C= = − =
5c = 5 4b c= ∴ 4 5b =由余弦定理得， ，
则 ，
化简得， ，
解得 或 （负值舍去），
， ，
， ，
，
的面积 .
20．（12 分）在 中， ， 分别为 ， 的中点， ，如图 1.以
为折痕将 折起，使点 到达点 的位置，如图 2.
如图 1 如图 2
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
解：（1）证明：在题图 1 中，因为 ，且 为 的中点.由平面几何知识，
得 .
又因为 为 的中点，所以
在题图 2 中， ， ，且 ，
所以 平面 ，
所以 平面 .
又因为 平面 ，
所以平面 平面 .
2 2 2 2 cosb a c ac B= + −
2 380 25 2 5 5a a= + − ⋅ ⋅ ×
2 6 55 0a a− − =
11a = 5a = −
6BD = ∴ 5CD =
2 5cos 5C = ( )0,C π∈
∴ 2 5sin 1 cos 5C C= − =
∴ ADC
1 1 5sin 5 4 5 102 2 5S DC AC C= ⋅ ⋅ = × × × =
ABC∆ D E AB AC 2 2AB BC CD= =
DE ADE∆ A P
BCP ⊥ CEP
DEP ⊥ BCED DP BCP
2 2AB BC CD= = D AB
90ACB∠ = °
E AC DE BC∥
CE DE⊥ PE DE⊥ CE PE E∩ =
DE ⊥ CEP
BC ⊥ CEP
BC ⊂ BCP
BCP ⊥ CEP（2）解：因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
， .
所以 平面 .
又因为 平面 ，
所以 .
以 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立如图所示
的空间直角坐标系
在题图 1 中，设 ，则 ， ， ， .
则 ， ， ， .
所以 ， ， .
设 为平面 的法向量，
则 ，即
令 ，则 .所以 .
设 与 平面所成的角为 ，
则 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
21．（12 分）已知椭圆 ： 过点 ，且椭圆的离心率为 ．
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
DEP ⊥ BCED DEP BCED DE= EP ⊂
DEP EP DE⊥
EP ⊥ BCED
CE ⊂ BCED
EP CE⊥
E ED EC EP x y z
2BC a= 4AB a= 2 3AC a= 3AE CE a= = DE a=
( )0,0, 3P a ( ),0,0D a ( )0, 3 ,0C a ( )2 , 3 ,0B a a
( ),0, 3DP a a= − ( )2 ,0,0BC a= − ( )0, 3 , 3CP a a= −
( ), ,n x y z= BCP
0,
0,
n BC
n CP
⋅ =
⋅ =
2 0,
3 3 0.
ax
ay az
− =− + =
1y = 1z = ( )0,1,1n =
DP BCP θ
3 6sin sin , cos , 42 2
n DP an DP n DP
an DP
θ
⋅
= = = = =
×
DP BCP 6
4
C ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > ( )0,1A 6
3
C(Ⅱ)斜率为 的直线 交椭圆 于 ， 两点，且 ．若直线 上存
在点 P，使得 是以 为顶角的等腰直角三角形，求直线 的方程．
解：（Ⅰ）由题意得 解得 ． 所以椭圆 的方程为 ．
（Ⅱ）设直线 l 的方程为 y=x+m，
由 得 .
令 ，得 ．
， ．
因为 是以 为顶角的等腰直角三角形，
所以 平行于 轴．
过 做 的垂线，则垂足 为线段 的中点．
设点 的坐标为 ，则 ．
由方程组 解得 ，即 ． 而 ，
所以直线 的方程为 y=x-1．
22．（12 分）已知函数 ．
当 时，求 的单调增区间；
若 在 上是增函数，求 a 得取值范围．
解：（1）当 时， ，
所以 ，由 得， 或 ，
1 l C ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 1 2x x> 3x =
PMN∆ PMN∠ l
2 2 2
1,
6 ,3
.
b
c
a
a b c
=
=
= +
2 3a = C
2
2 13
x y+ =
( )3, PP y
2
2 13
x y
y x m
+ =
= +
， 2 24 6 3 3 0x mx m+ + − =
2 236 48 48 0m m∆ = − + > 2 2m− < <
1 2
3
2x x m+ = − ( )2
1 2
3 14x x m= −
PMN∆ PMN∠
NP x
M NP Q NP
Q ( ),Q Qx y 2
1
3
2Q M
xx x x
+= = =
( )
1 2
2
1 2
2
1
3
2
3 14
3
2
x x m
x x m
xx
+ = −
= −
+ =
，
，
，
2 2 1 0m m+ + = 1m = − ( )1 2 2m = − ∈ − ，
l
( ) 2 lnf x x x ax= + −
( )1 3a = ( )f x
( )2 ( )f x ( )0,1
3a = ( ) 2 ln 3f x x x x= + −
( ) 12 3f x x x
+′ = − ( ) 0f x¢ > 10 2x< < 1x >故所求 的单调递增区间为 .
（2）由 ，
∵ 在 上是增函数，所以 在 上恒成立，即 恒成立，
∵ （当且仅当 时取等号），所以 ，即 .
( )f x ( )10, , 1,2
+∞
( ) 12f x x ax
′ = + −
( )f x ( )0,1 12 0x ax
+ − ≥ ( )0,1 12a x x
≤ +
12 2 2x x
+ ≥ 2
2x = 2 2a ≤ ( ,2 2a ∈ −∞
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