宁夏2020届高三数学（文）第六次月考试题（Word版含解析）

2020 届高三年级第六次月考 文科数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数除法运算进行化简，从而得出正确选项. 【详解】原式 . 故选：A 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，属于基础题. 2.设集合 ,则 的子集的个数是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】 画出集合 表示的图像，根据图像交点的个数，判断出 元素的个数，由此求得 的子集的个数. 【详解】画出集合 表示的图像如下图所示，由图可知 有两个元素，故有 3 2 i i − =+ 1 i− 2 2i− 1 i+ 2 2i+ ( )( ) ( )( ) 3 2 5 5 12 2 5 i i i ii i − − −= = = −+ − 2 2 {( , ) | 1},9 7 x yM x y= + = {( , ) | 2 }xN x y y= = M N∩ ,M N M N∩ M N∩ ,M N M N∩ 22 4=个子集. 故选：B 【点睛】本小题主要考查集合交集的运算，考查子集的个数求法，考查椭圆的图像和指数函 数的图像，属于基础题. 3.《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注： 从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织 5 尺布，现一月（按 30 天计）共 织 390 尺布”，则第 30 天织布（ ） A. 7 尺 B. 14 尺 C. 21 尺 D. 28 尺 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意利用等差数列前 项和公式列方程，解方程求得第 30 天织布. 【 详 解 】 依 题 意 可 知 ， 织 布 数 量 是 首 项 为 ， 公 差 的 等 差 数 列 ， 且 ，即 ，解得 （尺）. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列的前 项和公式，考查中国古代数学文化，属于基础题. 4.已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C n 1 5a = 5d = 1 30 30 30 3902 a aS += × = ( )3015 5 390a× + = 30 21a = n tan 34 πα + =   sin 2α = 3 5- 10 5 − 4 5 1 3【解析】 【分析】 由两角和的正切公式求出 ，利用 化简 ，代入 即可得解. 【详解】 ， . 故选：C 【点睛】本题考查两角和的正切公式，利用同角三角函数的关系进行化简，属于基础题. 5.若 p： ，q： ，则 p 是 q 的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分 也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】 根据对数函数的单调性、指数函数的单调性解不等式，由解集的包含关系即可判断. 【详解】因为 p： ，q： ， 所以 p 是 q 的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本题考查必要不充分条件的辨析，涉及指数函数、对数函数的单调性，属于基础题. 6.设 是两条不同直线， 是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. B. 且 ，则 C. ，那么 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 tanα 2 2sin cos 1α α+ = sin 2α tanα tan 1 1tan 3 tan4 1 tan 2 π αα αα + + = = ⇒ =  −  2 2 2 2sin cos 2tan 4sin 2 sin cos tan 1 5 α α αα α α α∴ = = =+ + 1 2 log 1a < 11 13 a−  11 1 13 a a −  < ⇒ >   ,m n ,α β , //m m n nα α⊥ ⊥ ⇒ ,m nα β⊥ ⊥ α β⊥ m n⊥ , , / /m n m nα β⊥ ⊥ α β⊥ , , // , // //m n m nα α β β α β⊂ ⊂ ⇒根据线面、面面平行的知识和线线、面面垂直的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于 A 选项，直线 可能在平面 内，故 A 选项错误. 对于 B 选项，由于 且 ，所以 正确，故 B 选项正确. 对于 C 选项， 可能平行，故 C 选项错误. 对于 D 选项， 可能相交，故 D 选项错误. 故选：B 【点睛】本小题主要考查线面平行、面面平行、线线垂直、面面垂直的知识，属于基础题. 7. 某工厂甲、乙、丙、丁四个车间生产了同一种产品共计 2800 件，现要用分层抽样的方法从 中抽取 140 件进行质量检测，且甲、丙两个车间共抽取的产品数量为 60，则乙、丁两车间生 产的产品共有（ ） A. 1000 件 B. 1200 件 C. 1400 件 D. 1600 件 【答案】D 【解析】 试题分析：因为 ，所以甲、丙两车间产品的数量为 ，从而乙、丁 两车间产品的数量为 1600. 考点：分层抽样法. 8.若 满足约束条件 ，则 的最小值是（ ） A. 0 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 可行域为一个三角形 及其内部,其中 ，所以直线 过点 时取最小值 ，选 B. 9.已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|< )的部分图像如图所示，则 f(x)的解 析式是(　　) n α ,m nα β⊥ ⊥ α β⊥ m n⊥ ,α β ,α β 2800 20140 = x y， 0 2 3 2 3 x x y x y ≥  + ≥  + ≤ z x y= − 3− 3 2 ABC 3(0, ), (0,3), (1,1)2A B C z x y= − B 3− 2 πA. f(x)＝sin(3x＋ ) B. f(x)＝sin(2x＋ ) C. f(x)＝sin(x＋ ) D. f(x)＝sin(2x＋ ) 【答案】D 【解析】 由图象知 ，所以 ， ，又图象过点 ，代入解析式得： ，又 ，所以 ，故选 D. 10.已知 在 上是可导函数,则 的图象如图所示，则不等式 的 解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据 图像判断 的符号，由此求得不等式 的解集. 【 详 解 】 由 的 图 像 可 知 ， 在 区 间 上 ， 在 区 间 ， .不等式 可化为 ，所以其解集为 3 π 3 π 3 π 6 π 1 5 -4 12 6 4T π π π= = T π= 2ω = ( ,1)6 π sin( ) 13 π ϕ+ = 2 πϕ < 6 π=ϕ ( )f x R ( )f x ( )2 2 3 ( ) 0x x f x′− − > ( , 2) (1, )−∞ − +∞ ( , 2) (1,2)−∞ −  ( , 1) ( 1,0) (2, )−∞ − ∪ − ∪ +∞ ( , 1) ( 1,1) (3, )−∞ − ∪ − ∪ +∞ ( )f x ( )'f x ( )2 2 3 ( ) 0x x f x′− − > ( )f x ( ) ( ), 1 , 1,−∞ − +∞ ( )' 0f x > ( )1,1− ( )' 0f x < ( )2 2 3 ( ) 0x x f x′− − > ( ) ( ) ( )'3 1 0x x f x− ⋅ + ⋅ >. 故选：D 【点睛】本小题主要考查函数图像与导数符号的关系，考查不等式的解法，属于基础题. 11.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【 详 解 】 该 几 何 体 的 体 积 为 的 圆 锥 体 积 与 三 棱 锥 的 体 积 之 和 ， 即 选 D. 12.点 P 是双曲线 （ ， ）的右支上一点，其左，右焦点分别为 ， ，直线 与以原点 O 为圆心，a 为半径的圆相切于 A 点，线段 的垂直平分线恰好过 点 ，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. ( , 1) ( 1,1) (3, )−∞ − ∪ − ∪ +∞ 3 4 π 2 4 π + 1 2 π + 3 2 4 π + 3 4 p ADBV − 23 1 1 1 1 3 +2= 1 3 + 3 = .4 3 2 3 4V ππ ×× × × × × ×几何体 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > 1F 2F 1PF 1PF 2F 3 2 4 3 5 3 5 4【答案】C 【解析】 【分析】 运用线段的垂直平分线的性质可得 ，设 的中点为 M，由中位线定理可 得 ，再由勾股定理的和双曲线的定义可得 ，结合 a，b，c 的关系可得 a，c 的关系，即可求得离心率. 【详解】因为线段 的垂直平分线恰好过点 ，所以 ， 因为直线 与以原点 O 为圆心，a 为半径的圆相切于 A 点，所以 ， 设 的中点为 M，由中位线定理可得 ， 在直角三角形 中， ，则 ， 由双曲线的定义可得 ，所以 ，即 ， 所以 ， 解得 ， 所以 . 故选：C 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，涉及垂直平分线的性质，中位线定理，属于中档 题. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知 ， ，若 ，则 m 等于______. 【答案】 2 1 2 2PF F F c= = 1PF 2 2MF a= 4 2 2b c a− = 1PF 2F 2 1 2 2PF F F c= = 1PF | |OA a= 1PF 2 2MF a= 2PMF 2 2| | 4 4 2PM c a b= − = 1 4PF b= 1 2 2PF PF a− = 4 2 2b c a− = 2b a c= + ( )2 2 2 2 24 ( ) 4 ( )b a c c a a c=⇒= + − + 3 5a c= 5 3 ce a = = ( )2,1a = ( )3,b m= ( )a a b⊥ −   1−【解析】 【分析】 求出 的坐标，由 推出 ，列出方程即可求得 m. 详解】 ， ， ，解得 故答案为： 【点睛】本题考查向量的坐标表示，两垂直向量的数量积关系，属于基础题. 14.已知抛物线 , 为坐标原点,直线 与抛物线 交于 两点,若 的重心为抛物线 的焦点 ,则 ___________________； 【答案】 【解析】 由题意得 ，由抛物线定义得 15.在等比数列 中， ,则数列 的前 项和为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 先求得数列 的通项公式，由此求得数列 的通项公式，进而求得其前 项和. 【详解】由于等比数列 中， ，所以 ，解得 ，所以 ，所以 ，所以数列 是首项为 ，公差为 等差数列，其前 项和为 . 故答案为： 【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前 项和，属于基础 题. 【 的 a b−  ( )a a b⊥ −   ( ) 0a a b⋅ − =   ( 1,1 )a b m− = − −  ( )a a b⊥ −    ( ) 0 2 ( 1) 1 (1 ) 0a a b m∴ ⋅ − = ⇒ × − + × − =   1m = − 1− 2: 8C y x= O x m= C ,A B OAB∆ C F AF = 5 2 2, 33 A A x x= = 2 5.AAF x= + = { }na 2 53, 81a a= = { }3log na n 2 2 n n− { }na { }3log na n { }na 2 53, 81a a= = 1 4 1 3 81 a q a q =  = 1 1, 3= =a q 13 −= n na 3log 1na n= − { }3log na 0 1 n 20 1 2 2 n n nn + − −⋅ = 2 2 n n− n16.在平面直角坐标系 中，对于点 ，若函数 满足： ， 都有 ，就称这个函数是点 A 的“限定函数”.以下函数：① ，② ， ③ ，④ ，其中是原点 O 的“限定函数”的序号是______.已知点 在函数 的图象上，若函数 是点 A 的“限定函数”，则实数 a 的取值范围是______. 【答案】 (1). ①③ (2). 【解析】 【分析】 (1)当 ，求出各序号中 y 的取值范围 A，若 则此函数是原点的“限定函数”； (2) 由题意知 ，当 时 ，若 是点 A 的“限定函 数”，则 ，由集合的包含关系列出不等式组即可求得 a 的取值范围. 【详解】(1)①当 时， ，因为 ，所以函数①是原 点的“限定函数”； ②因为 在 上单调递减，在 上单调递增，所以当 时， ，因为 ，所以②不是原点的“限定函数”； ③因为 在 上单调递增，所以当 时， ，因 为 ，所以③是原点的“限定函数”； ④因为 在 上单调递增，所以当 时， ， 因为 ，所以④不是原点的“限定函数”. (2)因为点 在函数 的图象上，所以 ， 因为 是点 A 的“限定函数”，并且当 时， ， 所以 ，解得 . 故答案为：①③； 【点睛】本题考查函数的概念与性质，涉及基本初等函数及正弦函数的单调性，根据集合的 xOy ( ),A a b ( )y f x= [ ]1, 1x a a∀ ∈ − + [ ]1, 1y b b∈ − + 1 2y x= 22 1y x= + siny x= ( )ln 2y x= + ( ),A a b 2xy = 2xy = 0a ≤ [ 1,1]x∈ − [ 1,1]A ⊆ − 2ab = [ ]1, 1x a a∈ − + 1 12 [2 ,2 ]x a ay − += ∈ 2xy = 1 1[2 ,2 ] [2 1,2 1]a a a a− + ⊆ − + [ 1,1]x∈ − 1 1 1[ , ]2 2 2y x= ∈ − 1 1[ , ] [ 1,1]2 2 − ⊆ − 22 1y x= + [ 1,0)− (0,1] [ 1,1]x∈ − 22 1 [1,3]y x= + ∈ [1,3] [ 1,1]⊄ − siny x= ( , )2 2 π π− [ 1,1]x∈ − sin [ sin1,sin1]y x= ∈ − [ sin1,sin1] [ 1,1]− ⊆ − ( )ln 2y x= + ( 2, )− +∞ [ 1,1]x∈ − ( )ln 2 [0,ln3]y x= + ∈ [0,ln3] [ 1,1]⊄ − ( ),A a b 2xy = 2ab = 2xy = [ ]1, 1x a a∈ − + 1 12 [2 ,2 ]x a ay − += ∈ 1 1 1 1 2 2 1[2 ,2 ] [2 1,2 1] 2 2 1 a a a a a a a a − − + +  ≥ −⊆ − + ⇒  ≤ + 0a ≤ 0a ≤包含关系求参数，属于中档题. 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题 为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分） 17.设 的内角 的对边分别为 ，且 （1）求角 的大小； （2）若 ， ，求 的面积． 【答案】（1） ；（2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，求得 值，进而求得角 的大小. （2）利用正弦定理求得 ，进而求得角 的可能取值，由此求得角 ，进而求得 的面积. 详解】（1）由已知及正弦定理可得 ， 整理得 ， 所以 ． 又 ，故 ． （2）由正弦定理可知 ，又 ， ， ， 所以 ． 又 ，故 或 ． 若 ，则 ，于是 ； 若 ，则 ，于是 ． 的 【 ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 sin( ) (2sin 3sin ) (2sin 3sin ) .a B C B C b C B c+ = − + − A 4a = 4 3b = ABC∆ 6A π= cos A A sin B B C ABC∆ 22 (2 3 ) (2 3 )a b c b c b c= − + − 2 2 2 3b c a bc+ − = 2 2 2 3 3cos 2 2 2 b c bcA bc bc a+= = =− (0, )A π∈ 6A π= sin sin a b A B = 4a = 4 3b = 6A π= 3sin 2B = 5(0, )6B π∈ 3B π= 2 3 π 3B π= 2C π= 1 8 32ABCS ab∆ = = 2 3B π= 6C π= 1 sin 4 32ABCS ab C∆ = =【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础 题. 18.如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ， 平面 ， ，点 E，F 分别为 和 的中点. （1）求证：直线 平面 ； （2）求点 F 到平面 的距离. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）由中位线定理推出 且 、 且 ，所以 且 ，从而推出 ，由线线平行即可证明线面平行；（2）由（1），点 F 到平 面 的距离等于点 A 到平面 的距离，利用等体积法列出 ，即可得解. 【详解】（1）设 的中点为 Q，连接 ， ， 由题意，因为 是 的中位线，所以 且 ， P ABCD− ABCD 60DAB∠ = ° PD ⊥ ABCD 2PD AD= = AB PD //AF PEC PEC 30 10 //FQ DC 1 2FQ CD= AE CD 1 2AE CD= //AE FQ AE FQ= //AF EQ PEC PEC A PEC P AECV V− −= PC EQ FQ FQ PDC△ //FQ DC 1 2FQ CD=因为底面 为菱形且 E 为 AB 的中点，所以 且 故 且 ，所以，四边形 为平行四边形， 则 ，又 平面 ， 平面 ， 所以， 平面 （2）连接 DE，由（1），点 F 到平面 的距离等于点 A 到平面 的距离，设为 d， 由条件易求 ， ， ， ， 在 中， ， 易知 为等边三角形，则 ， ， 因为 平面 且 平面 ，所以 , 所以 ， 因为 ，所以 为等腰三角形， ， 所以 ， 故 ， 所以由 得 ，解得 . 【点睛】本题考查线面平行的判定及性质，点到平面的距离问题，属于中档题. 19.2014 年 7 月 18 日 15 时，超强台风“威马逊”登陆海南省.据统计，本次台风造成全省直 接经济损失 119.52 亿元，适逢暑假，小明调查住在自己小区的 50 户居民由于台风造成的经 济损失，作出如下频率分布直方图： ABCD AE CD 1 2AE CD= //AE FQ AE FQ= AEQF //AF EQ EQ ⊂ PEC AF ⊄ AEC //AF PEC PEC PEC 2 2=PC 2 3AC = 1, 2BE BC= = 120EBC∠ =  EBC 2 21 2 1cos 72 1 2 2 ECEBC EC + −∠ = = − ⇒ =× × ADB△ DE AB⊥ 2 2 3DE AD AE= − = PD ⊥ ABCD DE ⊂ ABCD PD DE⊥ 2 2 7PE PD DE= + = PE EC= EPC EQ PC⊥ 2 2 5EQ EC CQ= − = 1 2 2 5 102PECS∆ = × × = 1 31 32 2AECS∆ = × × = A PEC P AECV V− −= 1 1 310 23 3 2d⋅ = ⋅ ⋅ 30 10d =经济损失 4000 元以下 经济损失 4000 元以上 合计 捐款超过 500 元 30 捐款低于 500 元 6 合计 （1）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的 50 户居民捐款情况如上表， 在表格空白处填写正确数字，并说明是否有 以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关？ （2）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进 行维修，李师傅每天早上在 7:00 到 8:00 之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在 7:30 到 8:30 分之间的任意时刻来到小区，求李师傅比张师傅早到小区的概率. 附：临界值表 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 参考公式： ， . 【答案】（1）有把握；（2） . 【解析】 【分析】 (1)由直方图得到 列联表，利用公式求得 的值，与临界值比较即可作出判定，得到结 论.(2)设李师傅、张师傅到小区的时间分别为 ，得到试验的全部结果所构成的区域及事 件 表示“李师傅比张师傅早到小区”， 根据几何概型，利用面积比可求 ，则李师 傅比张师傅早到小区的天数的分布列为二项分布，利用二项分布的期望公式可得结果. 【详解】(1)如下表： 95% 0k 2 0( )P K k≥ 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + 21 8 2 2× 2K ,x y A ( ) 7 8P A =经济损失 4000 元以下 经济损失 4000 元以上 合计 捐款超过 500 元 30 9 39 捐款低于 500 元 5 6 11 合计 35 15 50 所以有 95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元 有关． (2) 设李师傅、张师傅到小区的时间分别为 ，则 )可以看成平面中的点．试验的全部结果 所构成的区域为 ，则 SΩ＝1，事件 A 表示“李师傅比张师 傅早到小区”，所构成的区域为 A＝{(x，y)|y≥x，7≤x≤8,7.5≤y≤8.5}， 即图中的阴影部分面积为 ，所以 ， 李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列为二项分布 ， . 【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用，以及几何概型概率的计算问题，以及二项分布 的数学期望公式的应用，属于中档试题. “求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定 义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二 项分布 ），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式 ( )2 2 50 30 6 9 5 4.046 3.84139 11 35 15K × × − ×= ≈ >× × × ,x y ( ,x y ( ){ , | 7 8,7.5 8.5}Q x y x x= ≤ ≤ ≤ ≤ 1 1 1 71 2 2 2 8AS = − × × = ( ) 7 8 A Q SP A S = = 73, 8Bξ  ∼    7 213 8 8Eξ = × = ( ),X B n p～( )求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度． 20.如图，已知圆 E： 经过椭圆 C： （ ）的左右焦点 ， ，与椭圆 C 在第一象限的交点为 A，且 ，E，A 三点共线. （1）求椭圆 C 的方程； （2）是否存在与直线 （O 为原点）平行的直线 l 交椭圆 C 于 M，N 两点.使 ，若存在，求直线 l 的方程，不存在说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】 （1）求出圆 E 与 x 轴的交点即可求得 c，由 ，E，A 三点共线推出 为圆 E 的直径且 ，勾股定理求出 ，利用椭圆的定义即可求出 a，进而求出 b，即可求得椭圆的标 准方程；（2）设出直线方程 ，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理求出 、 的表达式，对 进行数量积的坐标运算即可求得参数 m. 【详解】（1）令 ，则 ，解得 ，所以 ， 因为 ，E，A 三点共线，所以 为圆 E 的直径，且 ， 所以 . 因为 ，所以 ， ( )E X np= 2 2 1 9 2 4x y + − =   2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 1F 2F 1F OA 3 2OM ON⋅ = −  2 2 2 2 14 2 x y+ = 2 12y x= ± 1F 1F A 1 3F A = 2F A 2 2y x m= + 1 2x x+ 1 2x x OM ON⋅  0y = 2 2 1 90 2 4x  + − =   2x = ± 2 ( 2,0)F ⇒ 2c = 1F 1F A 1 3F A = 2 1 2F A F F⊥ 2 2 2 2 1 1 2 9 8 1AF AF F F= − = − = 2 1F A =则 ， ， ， 所以椭圆 C 的方程为 . （2）由 ，则 ， 假设存在直线 l： 满足条件， 由 ，得 设直线 l 交椭圆 C 于点 ， ， 则 ， ，且 ，即 ， ， ， ，解得 ， 故存在直线 l： 满足条件 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系综合应用，涉及 韦达定理求直线与椭圆的交点，向量数量积的坐标运算，属于中档题. 21.已知函数 . （1）当 时，求函数 的单调区间； （2）当 时， 恒成立，求 的取值范围. 1 22 4a AF AF= + = 2a = 2 2 2b a c= − = 2 2 2 2 14 2 x y+ = ( )2,1A 2 2OAk = 2 2y x m= + 2 2 2 2 14 2 y x m x y  = +  + = 2 22 2 0x mx m+ + − = ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 1 2 2x x m+ = − 2 1 2 2x x m= − ( )2 22 4 2 0m m∆ = − − > 2 2m− < < 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2OM ON x x y y x x x m x m   ∴ ⋅ = + = + + +         ( ) ( ) ( )2 2 2 1 2 1 2 3 2 3 22 22 2 2 2x x m x x m m m m m= + + + = − + − + ( )23 22 m= − 3 2OM ON⋅ = −   ( )23 322 2m∴ − = − 1m = ± 2 12y x= ± ( ) ( )ln 1 ,f x x a x a R= − − ∈ 1a = ( )f x 1x ≥ ( ) ln 1 xf x x ≤ + a【答案】（1） 的单调递增区间为 ，递减区间为 ；（2） . 【解析】 【详解】（1） 的定义域为 ， 时， 令 ，∴ 上单调递增； 令 ，∴ 在 上单调递减 综上， 的单调递增区间为 ，递减区间为 . （2） ， 令 ， ， 令 ，则 （1）若 ， 在 上为增函数， ∴ 在 上为增函数， ，即 . 从而 ，不符合题意. （2）若 ，当 时， ， 在 上单调递增， ， 同Ⅰ），所以不符合题意 （3）当 时， 在 上恒成立. ∴ 在 递减， . 从而 在 上递减，∴ ，即 . 结上所述， 的取值范围是 . （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做.则按 所做的第一题记分. 在 ( )f x ( )0,1 ( )1,+∞ 1 ,2  +∞  ( )f x ( )0, ∞+ 1a = ( ) 1 xf x x −′ = ( ) 0 0 1f x x′ > ⇒ < < ( )f x ( )0,1 ( ) 0 1f x x′ < ⇒ < ( )f x ( )1,+∞ ( )f x ( )0,1 ( )1,+∞ ( ) ( )2ln 1ln 1 1 x x a xxf x x x − − − =+ + ( ) ( )( )2ln 1 1g x x x a x x= − − ≥ ( ) ln 1 2g x x ax+′ = − ( ) ( ) ln 1 2h x g x x ax= = + −′ ( ) 1 2axh x x −′ = ( )0, 0a h x′≤ > ( )g x′ [ )1,+∞ ( ) ( )1 1 2 0g x g a≥ = −′ >′ ( )g x [ )1,+∞ ( ) ( )1 0g x g≥ = ( ) 0g x ≥ ( ) ln 01 xf x x − ≥+ 10 2a< < 11, 2x a  ∈   ( ) 0h x′ > ( )g x′ 11, 2a      ( ) ( )1 1 2 0g x g a′ ′> = − > 1 2a ≥ ( ) 0h x′ ≤ [ )1,+∞ ( )g x′ [ )1,+∞ ( ) ( )1 1 2 0g x g a≤ = −′ ≤′ ( )g x [ )1,+∞ ( ) ( )1 0g x g≤ = ( ) ln 01 xf x x − ≤+ a 1 ,2  +∞ 22.在平面直角坐标系 中，过点 作倾斜角为 的直线 ，以原点 为极点， 轴非 负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，将曲线 上各点的横坐标伸长 为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到曲线 ，直线 与曲线 交于不同的两点 . （1）求直线 的参数方程和曲线 的普通方程； （2）求 的值. 【 答 案 】（1 ） 直 线 的 参 数 方 程 为 ， 曲 线 的 普 通 方 程 为 ；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据直线参数方程的知识求得直线 的参数方程，将 的极坐标方程转化为直角坐标方 程，然后通过图像变换的知识求得 的普通方程. （2）将直线 的参数方程代入曲线 的普通方程，化简后写出韦达定理，根据直线参数的几 何意义，求得 的值. 【详解】 直线 的参数方程为 ， 由 两边平方得 ，所以曲线 的直角坐标方程式 , 曲线 的方程为 ,即 . xOy (1,0)P 6 π l O x 1C 1ρ = 1C 2C l 2C ,M N l 2C 1 1 PM PN + l 31 2 ( 1 2 x t t y t  = +  = 为参数） 2C 2 2 14 x y+ = 2 6 3 l 1C 2C l 2C 1 1 PM PN + (1) l 31 2 ( 1 2 x t t y t  = +  = 为参数） 1ρ = 2 1ρ = 1C 2 2 1x y+ = 2C 2 2( ) 12 x y+ = 2 2 14 x y+ =(2)直线 的参数方程为 ，代入曲线 的方程得： 设 对应得参数分别为 ,则 【点睛】本小题主要考查直线的参数方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查图像 变换，考查直线参数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题. 23. 选修 4—5：不等式选讲 设函数 （1）若 a=1，解不等式 ； （2）若函数 有最小值，求实数 a 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 试题分析：（1）绝对值不等式 ，根据绝对值的定义分类讨论去绝对值符号； （2）函数 是分段函数，它要存在最小值，则 两部分应满足左边是减函数，右边是增函数． 试题解析：（Ⅰ） 时， ． 当 时， 可化为 ，解之得 ； 当 时， 可化为 ，解之得 ． 综上可得，原不等式的解集为 5 分 l 31 2 ( 1 2 x t t y t  = +  = 为参数） 2C 27 4 3 12 0,t t+ − = ,M N 1 2,t t 1 2 1 2 4 3 12, .7 7t t t t+ = − = − 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 41 1 1 1 2 6 .3 t t t t t t t t PM PN t t t t t t t t + − + −∴ + = + = = = = ( ) 3 1 3.f x x ax= − + + ( ) 5f x ≤ ( )f x 1 3{ | }.2 4x x− ≤ ≤ 3 3a− ≤ ≤ 3 1 3 5x x− + + ≤ 1(3 ) 2,( )3( ) 3 1 3 { 1( 3) 4.( )3 a x x f x x ax a x x + + ≥ = − + + = − + < 1a = ( ) 3 1 3f x x x= − + + 1 3x ≥ ( ) 5f x ≤ 3 1 3 5x x− + + ≤ 1 3 3 4x≤ ≤ 1 3x < ( ) 5f x ≤ 3 1 3 5x x− + + + ≤ 1 1 2 3x− ≤ < 1 3{ | }.2 4x x− ≤ ≤（Ⅱ） 函数 有最小值的充要条件为 即 10 分 考点：解绝对值不等式，分段函数的单调性与最值． 1(3 ) 2,( )3( ) 3 1 3 { 1( 3) 4.( )3 a x x f x x ax a x x + + ≥ = − + + = − + < ( )f x 3 0,{ 3 0, a a + ≥ − ≤ 3 3a− ≤ ≤