2020 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求得集合 ，解不等式求得集合 ，然后求两个集合的交集.
【 详 解 】 由 ， 解 得 ； 由 ， 解 得 ， 故
.故选 A.
【点睛】本小题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
2.复数 ，若复数 ， 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可知 ，据此结合复数的乘法运算法则计算 的值即可.
【详解】由题意可知 ，所以 ，故选 A．
【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数的对称性，属于基础题.
2{ | 4 0} { | 3 2 6}A x x B x x，= - < = - < < A B =
3( ,2)2
− ( 2,2)− 3( ,3)2
− ( 2,3)−
A B
2 4 0x − < 2 2x− < < 3 2 6x− < < 3 32 x− < <
3 ,22A B ∩ = −
1 2z i= + 1z 2z 1 2z z =
5− 5 3 4i− + 3 4i−
2 2z i= − + 1 2z z
2 2z i= − + 2
1 2 (2 i)( 2 i) 4 i 5z z = + − + = − + = −3.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在 上单调递增 函数是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：A：函数 为偶函数，在 上单调递减，
B：函数 为偶函数，在 上单调递减，
C：函数 为偶函数，在 上单调递增，
D：函数 为奇函数．
所以综上可得：C 正确．
考点：函数奇偶性、函数的单调性．
4.若 ， ，且 ，则 与 的夹角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相互垂直的向量数量积为零，求出 与 的夹角.
【详解】由题有 ，
即 ，
故 ，
因为 ，所以 .
故选：B.
【点睛】本题考查了向量的数量积运算，向量夹角的求解，属于基础题.
的( ,0)−∞
2( )f x x= | |( ) 2 xf x = 2
1( ) log | |f x x
=
( ) sinf x x=
2y x= ( ),0−∞
2 xy = ( ),0−∞
2
1logy x
= ( ),0−∞
siny x=
2a = 2b = ( )− ⊥ a b a a b
6
π
4
π
3
π
2
π
a b
( ) 2 0a b a a b a− ⋅ = − ⋅ =
2 2b a a⋅ = =
2cos 2 cos 2b a a b θ θ⋅ = × × = ⇒ =
[ ]0,θ π∈
4
πθ =5.为了坚决打赢新冠状病毒的攻坚战，阻击战，某小区对小区内的 名居民进行模排，各
年龄段男、女生人数如下表.已知在小区的居民中随机抽取 名，抽到 岁~ 岁女居民的概
率是 .现用分层抽样的方法在全小区抽取 名居民，则应在 岁以上抽取的女居民人数
为（ ）
岁— 岁 岁— 岁 岁以上
女生
男生
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据抽到 岁~ 岁女居民的的概率是 ，可求出 岁~ 岁女居民的人数， 进而求
出 岁以上的女居民的人数为 ，根据全小区要抽取 人，再根据分层抽样法，即可求
出结果．
【详解】因为在全小区中随机抽取 1 名，抽到 岁~ 岁女居民的概率是 0.19 即：
， ∴ ． 岁 以 上 的 女 居 民 的 人 数 为
， 现用分层抽样的方法在全小区抽取 名
居民， 应在应在 岁以上抽取的女居民人数为 名．
故选：C.
【点睛】本题考查分布的意义和作用，考查分层抽样，属于基础题．
6.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三
视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为 2 和 6，高为 2，则该刍童的体积
为（ ）
2000
1 20 50
0.19 64 50
1 20 20 50 50
373 X Y
377 370 250
24 16 8 12
20 50 0.19 20 50
50 250 64
20 50
0.192000
x = 380x = 50
2000 373 380 377 370 250 250Y = − − − − − = 64
50 64 250 82000
× =A. B. C. 27 D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】
由题得几何体为正四棱台，再利用棱台的体积公式求解.
【详解】由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为 2 和 6，高为 2，
所以几何体体积 .
故选 B
【点睛】本题主要考查三视图还原几何体原图，考查棱台体积的计算，意在考查学生对这些
知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将问题中的角 看作未知角，条件中的角 看作已知角，由未知角与已知角的关系
，可以用已知角表示未知角，然后通过利用诱导公式以及二倍角公式即可
求解未知角的正弦值.
【详解】因为 ，
又因为 ，所以 ，则有
100
3
104
3
1 104(4 36 4 36) 23 3V = + + × × =
2sin( ) 34
π α+ = sin 2α =
1
2
3
2
1
2
− 3
2
−
2α
4
απ +
2( ) 24 2
π πα α+ − =
3sin 4 2
π α + =
2( ) 24 2
π πα α+ − = 2 2( )4 2
π πα α= + −故选 A.
【点睛】本题考查了三角函数值的求解问题，属于给值求值类型，常常利用角的关系对问题
进行等价转化，再运用相关的诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行求
解，属于基础题.
8.已知数列 为等差数列，前 项和为 ，且 则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等差数列的前 项和公式和等差中项的概念，即可求出结果.
【详解】因 数列 为等差数列且 ，所以 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查了等差数列的前 项和公式和等差中项的概念的应用，属于基础题.
9.函数 f（x）= 的大数图象为（ ）
A. B.
为
2
sin 2 sin 2( )4 2
sin 2( )2 4
cos2( )4
1 2sin ( )4
1
2
π πα α
π π α
π α
π α
= + −
= − − +
= − +
= − − +
=
{ }na n nS 5 5a = 9S =
25 90 50 45
n
{ }na 5 5a = ( )1 9
9 5
9 9 =452
a aS a
+ ×= =
n
33
4 4x
x
−C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数 是奇函数，图象关于原点对称，排除 C、D 项；再由当 时，函数
的值小于 0，排除 B，即可得到答案.
【详解】由题知，函数 满足 ，所以函数
是奇函数，图象关于原点对称，排除 C、D 项；
又由当 时，函数 的值小于 0，排除 B，故选 A.
【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的取值
范围，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
10.在三角形 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，若 ， ，
则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
( )f x ( )0,1x∈ ( )f x
( )f x ( )3 33( ) 3( )
4 4 4 4x x
x xf x f x−
−− = = − = −
− −
( )f x
( )0,1x∈ ( )f x
ABC a b c A B C 1b = 3c = 2
3C
π=
ABCS∆ =
3 3
4
3
2
3
4首先根据余弦定理，即可求出 ，然后再根据 ，即可求出结果.
【 详 解 】 由 余 弦 定 理 可 知 ， ， 即 ， 所 以 ， 所 以
.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形的中应用，同时考查了三角形面积公式的应用，
属于基础题.
11.已知椭圆 的两个焦点分别是 ， ，过 的直线交椭圆于 ，
两点，若 且 ，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意作出草图，设点 ，从而由 可写出点 ；
再 由 椭 圆 第 二 定 义 可 得 ， 从 而 可 得
，从而化简得到 ，再由 及
椭圆的第二定义可得 ，从而解得．
【详解】由题意作出草图，如下图所示，
的
1a = 1 sin2ABCS ab C∆ =
2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 23 + 1a a= + 1a =
1 3sin2 4ABCS ab C∆ = =
2 2
2 2 1x y
a b
+ = ( 0)a b> > 1F 2F 1F P Q
2 1 2PF F F= 1 12 3PF QF=
3
4
4
5
3
5
3 2
5
( )0 0,Q x y 1 12 3PF QF= 0 0
5 3 3,2 2 2P c x y− − −
1 1
c cPF MP QF QAa a
= =，
2 2
0 0
5 33 2 2 2
a ax c xc c
+ = − − +
2 2
0
5
6
c ax c
+= − 2 1 2PF F F=
2 23 5 8 0a c ac+ − =其中 是椭圆的准线，设点 ，
∵ ， ∴点 ；
又∵ ， ∴ ，
又∵ ， ， ∴ ，
解得， ，
∵ ，∴ ； 将 代入化简可得，
， 即 ； 解得 (舍去)或 ，所以椭圆的
离心率为 .
故选：C．
【点睛】本题考查了椭圆的性质应用及数形结合的思想应用，属于中档题．
12.已知定义在 上的函数满足 ， 时， ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，分析可得 ，即 是周期为 的周期函数，结合函数的解析式
求 出 的 值 ， 分 析 可 得 的 值 ， 进 而 可 得
，又由 ，分析
可得答案．
1 2,l l ( )0 0,Q x y
1 12 3PF QF= 0 0
5 3 3,2 2 2P c x y− − −
1 1
c cPF MP QF QAa a
= =， 2 3MP QA=
2
0
5 3
2 2
aMP c x c
= − − +
2
0
aQA x c
= +
2 2
0 0
5 33 2 2 2
a ax c xc c
+ = − − +
2 2
0
5
6
c ax c
+= −
2 1 2PF F F=
2
0
5 3 22 2
a cc x cc a
+ + =
2 2
0
5
6
c ax c
+= −
2 23 5 8 0a c ac+ − =
2 85 3 0c c
a a
−
+ =
1c
a
= 3
5
c
a
=
3
5
R ( 2) ( )f x f x+ = − 2( ]0,x∈ ( ) sinf x x xπ= −
2020
1
( )
i
f i
=
=∑
6 4 2 0
( ) ( )4f x f x+ = ( )f x 4
( ) ( )1 , 2f f ( ) ( )3 , 4f f
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 0f f f f+ + + = ( ) ( ) ( ) ( )( )2020
1
( ) 505 1 2 3 4
i
f i f f f f
=
= + + +∑【详解】根据题意，函数 满足 ， 则 ，即 是
周期为 的周期函数，
当 时， ，则 ， ，
又由 ，则 ， ，
所以 ，
所以 .
故选：D．
【点睛】本题考查函数的周期性的应用，关键是分析函数的周期，属于基础题．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
作可行域，结合目标函数所表示的直线确定最优解，解得结果．
【详解】作出 满足约束条件 的可行域，如下图：
当直线 经过点 时， ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属中档题．
( )f x ( ) ( )2f x f x+ = − ( ) ( )4f x f x+ = ( )f x
4
( ]0 2x∈ ， ( ) sinf x x xπ= − ( )1 1 sin 1f π= − = ( )2 2 sin 2 2f π= − =
( ) ( )2f x f x+ = − ( ) ( )3 1 1f f= − = − ( ) ( )4 2 2f f= − = −
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 0f f f f+ + + =
( ) ( ) ( ) ( )( )2020
1
( ) 505 1 2 3 4 0
i
f i f f f f
=
= + + + =∑
x y
2 1 0
2 7 0
2 3 5 0
x y
x y
x y
− − ≥
+ − ≤
+ − ≥
2 3z x y= −
5−
,x y
2 1 0
2 7 0
2 3 5 0
x y
x y
x y
− − ≥
+ − ≤
+ − ≥
2 3z x y= − ( )2 3A ， min 2 2 3 3 5z = × − × = −
5−14.如图，y=f（x）是可导函数，直线 l: y=kx+2 是曲线 y= f（x）在 x=3 处的切线，令 g（x）=xf
（x），其中 是 g（x）的导函数，则 ＝ ．
【答案】0
【解析】
试题分析：由题意直线 : y=kx+2 是曲线 y=f（x）在 x=3 处的切线，由图像可知其切点为
（ 3,1 ） 代 入 直 线 方 程 得 k= ,
, 所 以
.
考点：导数的运算.
15.已知双曲线的方程为 ，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为
（c 为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率 e 为__________.
【答案】
【解析】
试题分析：由题意可得：双曲线的渐近线方程为 ，所以双曲线的一个焦点到一条渐
近线的距离为 ，即 .
考点：双曲线的定义及性质.
16.如图所示，某住宅小区内有一个正方形草地 ，现欲在其中修建一个正方形花坛
，若已知花坛面积为正方形草地面积的 ，则 ________
'(3)g
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > >
5
3
c
ABCD
EFGH 2
3
θ =【答案】 或
【解析】
【分析】
设 ， ，用 ， 表示出草地和正方形的面积，根据面积比列出方程得出
．
【详解】设 ，则 ．
∵花坛面积为正方形草地面积的 ， ∴ ，即 ．
∴ ，解得 或 ，即 或者
∴ 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了解三角形的实际应用，属于基础题．
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题
为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题：共 60 分)
17.记 为等比数列 的前 项和， ， .
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）已知 ，且 的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
12
π 5
12
π
CG x= FC y= x y
x
y
( )CG x FC y x y= = − 1( ) ln 4
xx xx
ϕ = −
2,e e ( ) 2 2 2
2
min ( ) 2 4 4
e e ex eϕ ϕ= = − =
2
min
1( ) 4 4
ef x > > 1
4a <
a 2
1 1 ,2 4e
− +∞ 做的第一题记分.
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，曲线
.
（1）在以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 ， 的极坐标方程；
（2）若射线( 与 的异于极点的交点为 ，与 的交点为 ，求 .
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由曲线 ： ( 为参数)化为普通方程，再结合极坐标与直角坐标的互化
公式，即可求得 ， 的极坐标方程；
（2）分别求得点 对应的的极径 ，根据极经的几何意义，即可求解.
【详解】（1）曲线 ： ( 为参数)可化为普通方程： ，
由 可得曲线 的极坐标方程为 ，
曲线 的极坐标方程为 .
（2）射线 与曲线 的交点 的极径为 ，
射线 与曲线 的交点 的极径满足 ，解得 ，
所以 .
【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，
xOy 1C 1
1 cos: sin
xC y
α
α
= +
=
α
2
2
2 : 12
xC y+ =
O x 1C 2C
( 0)6
πθ ρ= ≥ 1C A 2C B AB
2cosρ θ= ( )2 2 2cos 2sin 2ρ θ θ+ = 2 103 5-
1C 1 cos
sin
x
y
α
α
= +
=
α
1C 2C
,A B 21
2
53, 10p r ==
1C 1 cos
sin
x
y
α
α
= +
=
α ( )2 21 1x y− + =
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
= 1C 2cosρ θ=
2
2
2 : 12
xC y+ = ( )2 2 2cos 2sin 2ρ θ θ+ =
( 0)6
πθ ρ= ≥ 1C A 1 2 36cos pr = =
( 0)6
πθ ρ= ≥ 2C B 2 21 26sin pr æ öç ÷ç ÷è ø
+ = 2
2 10
5r =
1 2
2 103 5AB r r= - = -以及极坐标方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
23.已知关于 的不等式 有解，记实数 的最大值为 .
（1）求 值；
（2）正数 满足 ，求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）利用绝对值不等式可求得 ，所以 ，解这个不等
式可求得 .（2）由（1）得 ，将此式乘以要证明不等式的左边，化简后
利用基本不等式可求得最小值为 .
试题解析：（1） ,
若不等式 有解，
则满足 ，解得 ，
∴ .
（2）由（1）知正数 满足 ，
∴
.当且仅当 ， 时，取等号.
的
x 2 3 1x x m− − + ≥ + m M
M
a b c， ， 2a b c M+ + = 1 1 1a b b c
+ ≥+ +
4M =
2 3 5x x− − + ≤ 1 5m + ≤
4M = 2 14
a b c+ + =
1
( ) ( )2 3 2 3 5x x x x− − + ≤ − − + =
2 3 1x x m− − + ≥ +
1 5m + ≤ 6 4m− ≤ ≤
4M =
a b c， ， 2 4a b c+ + =
( ) ( )1 1 1 1 1
4 a b b ca b b c a b b c
+ = + + + + + + + +
1 24
b c a b
a b b c
+ + = + + + +
1 2 24
b c a b
a b b c
+ +≥ + ⋅ + +
1= a c= 2a b+ =
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