宁夏育才中学2020届高三理科数学第一次月考试题（Word版含解析）

宁夏育才中学高三年级第一次月考 理科数学试题 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合 A＝{x|x＜4}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则（∁RA）∩B 等于（　　） A. {0,1,2,3} B. {5,6} C. {4,5,6} D. {3,4,5,6} 【答案】C 【解析】 【分析】 根据集合的补运算以及交运算，即可求得结果. 【详解】根据集合的运算，容易知 . 故 . 故选：C. 【点睛】本题考查集合的补运算和交运算，属基础题. 2.设集合 A＝{﹣1,0,1}，B＝{（x,y）|x∈A，y∈A}，则 B 中所含元素的个数为（　　） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】 根据集合 的定义，写出其中的元素，即可求得. 【详解】根据集合 的定义， 容易知，集合 中的元素为 合计 9 个元素， 故选：C. 【点睛】本题考查对集合的理解，以及集合元素的求解，属基础题. 3.已知命题 p：∀x∈R，x2﹣2x+2≤sinx，则命题 p 的否定是（　　） { | 4}RC A x x= ≥ ( ) { }4,5,6RC A B∩ = B B B ( ) ( ) ( )1, 1 , 1,0 , 1,1− − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0, 1 , 0,0 , 0,1 , 1, 1 , 1,0 , 1,1− −A. 不存在 x0∈R，使 B. C. D. ∀x∈R，x2﹣2x+2＞sinx 【答案】C 【解析】 【分析】 根据全称命题的否定是特称命题，即可容易选择. 【详解】根据全称命题的否定是特称命题，且结论要进行否定， 容易得：命题 p 的否定是 ， 故选：C. 【点睛】本题考查全称命题的否定，属基础题. 4.下列说法正确的是（　　） A. 命题 p： ，则￢p：∀x∈R，x2+x+1＜0 B. 在△ABC 中，“A＜B”是“sinA＜sinB”的既不充分也不必要条件 C. 若命题 p∧q 为假命题，则 p，q 都是假命题 D. 命题“若 x2﹣3x+2＝0，则 x＝1”的逆否命题为“x≠1，则 x2﹣3x+2≠0” 【答案】D 【解析】 【分析】 根据命题否定的求解，且命题真假的判定，逆否命题的求解和充要条件的判断，结合选项， 进行逐一判断即可. 【详解】对 ：命题 的否定是 ，故 错误； 对 ：在△ABC 中，“A＜B”是“sinA＜sinB”的充要条件，故 错误； 对 ：命题 p∧q 为假命题，则 至少有一个为假命题，故 错误； 对 ：“若 x2﹣3x+2＝0，则 x＝1”的逆否命题为“x≠1，则 x2﹣3x+2≠0，故 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查逻辑与命题的基础知识，属综合性基础题. 2 0 0 02 2x x sinx− + ＞ 2 0 0 0 02 2x R x x sinx∃ ∈ − + ≥， 2 0 0 0 02 2x R x x sinx∃ ∈ − +， ＞ 2 0 0 0 02 2x R x x sinx∃ ∈ − +， ＞ 2 0 0 0 1 0x R x x∃ ∈ + +， ＞ A 2 0 0 0 1 0x R x x∃ ∈ + +， ＞ 2, 1 0x R x x∀ ∈ + + ≤ A B B C ,p q C D D5.已知 ，则“ ”是“ ”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分 也不必要 【答案】D 【解析】 【分析】 画出两个不等式所表示的区域，根据其中的包含关系得出正确选项. 【详解】不等式 表示圆内和圆上，不等式 表示直线的右下方.画 出图像如下图所示，由图可知， 点在圆上，而不在直线右下方，故两个部分没有包含关系， 故为不充分不必要条件. 【点睛】本小题主要考查对于圆内、圆上和圆外的表示，考查二元一次不等式表示的区域， 还考查了充要条件的判断.属于基础题. 6.函数 的图象与直线 的交点有几个 （ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 试题分析：由函数的概念，每一个自变量 的值都有唯一的函数值与之对应，因此若函数定义 ,x y R∈ 2 2( 2) 8x y+ − ≤ 6 0x y− + > ( )22 2 8x y+ − ≤ 6 0x y− + > A ( )y f x= 2x = 1 0 0 1 1 2 x域包含 则对应的函数值只有一个，即图像只有一个交点，若函数定义域不包含 则 图像无交点，故选 C 考点：函数的概念 7.函数 f（x） 的单调增区间为（　　） A. [2，+∞） B. C. D. （﹣∞，﹣1] 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复合函数的单调性，即可求解. 【详解】令 ， 故 在区间 上单调递减，在 上单调递增； 又函数 在定义域上单调递增， 故可得函数 f（x） 在区间 上单调递增. 故选：C. 【点睛】本题考查复合函数单调性的判断，属基础题. 8.若 是 上周期为 5 的奇函数，且满足 ，则 A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 【答案】A 【解析】 ∵f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数 ∴f(3)=f(3-5)=f(-2)=-f(2)=-2 f(4)=f(4-5)=f(-1)=-f(1)=-1, f(3)-f(4)=-2+1=-1 9.已知函数 ，对任意的 总有 ，且 ，则 2x = 2x = 2 2x x= − + 1 2  −∞  ， 1 2  + ∞ ， 2 2t x x= − + t 1, 2  −∞   1 ,2  +∞   y t= 2 2x x= − + 1 ,2  +∞  ( )f x R ( ) ( )1 1, 2 2f f= = ( ) ( )3 4f f− = ( ) ( )f x g x x= + x∈R ( ) ( )f x f x− = − ( 1) 1g − =（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由题意，f（﹣x）+f（x）=0 可知 f（x）是奇函数， ∵ ，g（﹣1）=1， 即 f（﹣1）=1+1=2 那么 f（1）=﹣2． 故得 f（1）=g（1）+1=﹣2， ∴g（1）=﹣3， 故选：B 10.已知 ，则在下列区间中， 有实数解的是（ ） A. （－3，－2） B. （－1，0） C. （2，3） D. （4，5） 【答案】B 【解析】 试题分析： 在区间（a，b）有实数解,则有 f(a)·f(b)0 且 a≠1． （1）若 f（x）的图象经过点 ，求 a 的值； （2）求函数 y=f（x）（x≥0）的值域． 【答案】（1） ；（2）见解析． 【解析】 【分析】 （1）由题意函数 图象过点 ，代入即可求解 得值； （2）由函数 ，可得 ，再分 两种情况讨论，即可求解函 数的值域. 【详解】（1）由题意函数 图象过点 ， 所以 ，则 ； （2）f（x）=ax–1（x≥0）， 由 x≥0 得 x–1≥–1， 当 0 ( ]1,2a∈ 1 4a ≥ − 2 2a− ≤ [ )0,a∈ +∞ [ )0,1a∈ 12 2     ， 1 2a = ( ) 1xf x a −= 1(2, )2 a ( ) 1xf x a −= 1 1x − ≥ − 0 1, 1a a< < > ( ) 1xf x a −= 12 2     ， 2 1 1 2a − = 1 2a =数函数的定义和指数函数的图象与性质，合理运算是解答本题的关键，着重考查了推理与运 算能力. 19.设 f（x）＝loga（1+x）+loga（3﹣x）（a＞0，a≠1）且 f（1）＝2． （1）求 a 的值及 f（x）的定义域； （2）求 f（x）在区间[0, ]上的最大值和最小值． 【答案】（1）a＝2，定义域为（﹣1,3）；（2）最大值为 f（1）＝2，最小值为 f（0）＝ log23． 【解析】 【分析】 （1）根据 ，代值计算即可求得 ，再根据真数大于零，求得函数定义域； （2）先求解 的值域，再据此求函数的值域. 【详解】（1）由题意知， ， 解得﹣1＜x＜3； 故 f（x）的定义域为（﹣1,3）； 再由 f（1）＝2 得， loga（1+1）+loga（3﹣1）＝2； 故 a＝2. 综上所述：函数定义域为 ， . （2）f（x）＝log2（1+x）（3﹣x）， ∵x [0, ]， ∴（1+x）（3﹣x） [3,4]， 故 f（x）在区间[0, ]上的最大值为 f（1）＝2； f（x）在区间[0, ]上的最小值为 f（0）＝log23． 【点睛】本题考查对数型函数定义域的求解，函数最值得求解，属综合基础题. 20.已知幂函数 为偶函数，在区间 上是单调增函数， （1）求函数 的解析式； 3 2 ( )1 2f = a ( )( )1 3x x− − 1 0 3 0 x x +  − ＞ ＞ ( )1,3− 2a = ∈ 3 2 ∈ 3 2 3 2 2 2 3( ) ( )m mf x x m z− + += ∈ (0, )+∞ ( )f x（2）设函数 ，若 恒成立，求实数 q 的 取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【详解】（1） （2） 21.已知函数 . （Ⅰ）当 a=3 时，求函数 在 上的最大值和最小值； （Ⅱ）求函数 的定义域，并求函数 的值域．（用 a 表示） 【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ） 的定义域为 ， 的值域为 ． 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）当 时，求函数 在 上的最大值和最小值，令 ，变形得到该函数的单调性，求出其值域，再由 为增函数， 从而求得函数 在 上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数 的定义域，由对 数函数的真数大于 0 求出函数 的定义域，求函数 的值域，函数 的定义域，即 的定义域，把 的解析式代入 后整理，化为关于 的二次函数，对 分类讨论， 由二次函数的单调性求最值，从而得函数 的值域． ( ) 2 ( ) 8 1g x f x x q= − + − ( ) 0 [ 1,1]g x x> ∈ −对任意 4( )f x x= (7, )+∞ 2 2( ) (0, ) 2 3 0, 2 3 0,f x m m m m+∞ ∴− + + > − − ∈ − ⇔ > ∈ −由 知 对任意 ( )2 min( ) 2 8 1 [ 1,1] , (1) 7, 7 0 7 (7, ). g x x x q g x g q q q q = − + − − = = − ∴ − > > +∞ 又 在 上单调递减 于是 ，即 ，故实数 的取值范围是 2( ) log ( 0, 1)2a xf x a ax −= > ≠+ ( )f x [ 1 , 1]x∈ − ( )f x 2 ( )( ) (2 4) 4f xg x ax x a= − − + + max( ) 1f x = min( ) 1f x = − ( )f x ( 2,2)− ( )g x ( 4( 1),4(1 ))a a− + − 3a = ( )f x [ 1 , 1]x∈ − ( ) 2 2 xu x x −= + ( )( ) logaf x u x= ( )f x [ 1 , 1]x∈ − ( )f x ( )f x ( )g x ( )f x ( )g x ( )f x ( )g x x a ( )g x试题解析：（Ⅰ）令 ，显然 在 上单调递减，故 ， 故 ，即当 时， ，（在 即 时取得） ，（在 即 时取得） (II)由 的定义域为 ，由题易得： ， 因为 ，故 的开口向下，且对称轴 ，于是： 当 即 时， 的值域为（ ； 当 即 时， 的值域为 考点：复合函数的单调性；函数的值域． 22.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 参数为 （α 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ； （1）写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的参数方程； （2）设点 P（m,0），若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且|PA| |PB|＝1，求实数 m 的值. 【答案】（1）（x﹣1）2+y2＝1， ，（t 为参数）；（2） 或 1． 【解析】 【分析】 （1）利用 消参即可求得曲线 的普通方程；再将直线的极坐标方程化为 直角方程，再写出其参数方程即可； （2）联立直线的参数方程和曲线 的普通方程，根据直线参方中参数的几何意义即可求得. 【详解】（1）∵曲线 C 的参数为 （α 为参数）， ∴曲线 C 的普通方程为（x﹣1）2+y2＝1， ∵直线 l 的极坐标方程为 ， ∴直线 l 的直角坐标方程为 x y﹣m＝0， 的 2 4 12 2 xu x x −= = −+ + u [ 1,1]x∈ − u ∈ 1[ ,3]3 3log [ 1,1]y u= ∈ − [ 1,1]x∈ − max( ) 1f x = 3u = 1x = − min( ) 1f x = − 1 3u = 1x = 2 0 ( )2 x f xx − > ⇒+ ( 2,2)− 2( ) 2 , ( 2,2)g x ax x x= − + ∈ − 0, 1a a> ≠ ( )g x 1 0x a = > 1 1 (0,2)a ∈ 1( ,1) (1, )2a∈ +∞ ( )g x 1 1( ( 2), ( )] ( 4( 1), ]g g aa a − = − + 2 1 2a ≥ 1(0, ]2a∈ ( )g x ( ( 2), (2)) ( 4( 1),4(1 ))g g a a− = − + − 1x cos y sin α α = +  = 3 0sin cos mρ θ ρ θ− + = ⋅ 3 2 1 2 x t m y t  = +  = 1 2± 2 2sin cos 1α α+ = C C 1x cos y sin α α = +  = 3 0sin cos mρ θ ρ θ− + = 3−∴直线 l 的参数方程为 ，（t 为参数）． （2）把 ，（t 为参数）代入（x﹣1）2+y2＝1， 得 0， 由 0， 解得﹣1＜m＜3， ∴t1t2＝m2﹣2m， ∵|PA| |PB|＝1＝|t1t2|， ∴m＝1 或 m＝1， ∵﹣1＜m＜3， ∴实数 m 的值为 或 1． 【点睛】本题考查参数方程和普通方程之间的转化以及极坐标方程向直角方程的转化，以 及利用参数的几何意义求参数值. 23.已知不等式|x﹣1|+|2x+1|＜3 解集为{x|a＜x＜b}； （1）求 a，b 的值； （2）若正实数 x，y 满足 x+y＝ab+2 且不等式（yc2﹣4）x+（8cx﹣1）y≤0 对任意的 x，y 恒成 立，求实数 c 的取值范围； 【答案】（1）a＝﹣1，b＝1；（2）﹣9≤c≤1． 【解析】 【分析】 （1）分类讨论，即可求得绝对值不等式的解集，比照数据即可求得； （2）根据（1）中所求，利用均值不等式即可求得范围. 【详解】（1）当 x≥1 时，不等式|x﹣1|+|2x+1|＜3 化为（x﹣1）+（2x+1）＜3， 解得 x＜1，此时无解； 的 3 2 1 2 x t m y t  = +  = 3 2 1 2 x t m y t  = +  = ( )2 23 3 2t m t m m+ − + − =  ( )2 2( 3 3) 4 2m m m= − − − ＞ ⋅ 2± 1 2±当 x＜1 时，不等式|x﹣1|+|2x+1|＜3 化为﹣（x﹣1）+（2x+1）＜3， 解得 x＜1，此时 x＜1； 当 时，不等式|x﹣1|+|2x+1|＜3 化为﹣（x﹣1）﹣（2x+1）＜3， 解得 x＞﹣1，此时 ； 故解集为{x|﹣1＜x＜1}， ∴a＝﹣1，b＝1； （2）由（1）有，x+y＝1， 不等式（yc2﹣4）x+（8cx﹣1）y≤0 可化为 xy（c2+8c）≤4x+y， 即 ， 又 ， 当且仅当 y＝2x 时取等号， ∴c2+8c≤9， 解得﹣9≤c≤1． 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，以及应用均值不等式求解最值，属综合基础题. 1 2 − ＜ 1 2 − ＜ 1 2x ≤ − 11 2x− ≤ −＜ 2 4 1 48 x yc c xy x y ++ ≤ = + ( )1 4 1 4 4 45 5 2 9y x y xx yx y x y x y x y  + = + + = + + ≥ + ⋅ =  