陕西省安康中学2020届高三数学（理）第三次模拟试题（Word版含解析）

2020 届安康中学高三第三次模拟考试卷 理 科 数 学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集为实数集 ，集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知 ，若 与 互为共轭复数，则 （ ） A． B． C． D． 3．若双曲线 的离心率为 ，则实数 的值为（ ） A． B． C． D． 4．若 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 5 ． 在 中 ， ， ， 在 边 上 随 机 取 一 点 ， 则 事 件 “ ”发生的概率为（ ） A． B． C． D． 6．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 7．已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上任意一点 ，且 轴于点 ，则 的 最小值为（ ） A． B． C． D． 8．“ ”含有两个数字 ，两个数字 ，“ ”含有两个数字 ，两个数字 ，则含有两个数 字 ，两个数字 的四位数的个数与含有两个数字 、两个数字 的四位数的个数之和为（ ） A． B． C． D． 9．已知函数 的两个零点之差的绝对值的最小值为 ，将函数 的 图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，则下列说法正确的是（ ） ①函数 的最小正周期为 ；②函数 的图象关于点 对称； ③函数 的图象关于直线 对称；④函数 在 上单调递增． A．①②③④ B．①② C．②③④ D．①③ 10．杨辉三角是二项式系数在只角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉 年所著的《详 解九章算法》一书中就有出现．在欧洲，帕斯卡( )在 年发现这一规律，比杨辉要 迟了 年．如图所示，在“杨辉三角”中，从 开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列： ， ， ， ， ， ， ， ， ，则在该数列中，第 项是（ ） A． B． C． D． 11．已知双曲线 （ ， ）的右焦点为 ，过原点 作斜率为 的直线交 R 2{ | 2 8 0}A x x x= + − > 2{ | log 1}B x x= < ( )A B =R  [ 4,2]− [ 4,2)− ( 4,2)− (0,2) ,a b∈R ia + 3 ib− 2( i)a b− = 8 6i+ 8 6i− 8 6i− − 8 6i− + 2 2 2 2 1( 0)2 x y mm m − = >+ 2 m 1 1 3 2 3 π 1cos( )3 6 α + = − π 2π 6 3 α< < 7πsin( )12 α + = 70 2 12 + 70 2 12 − 2 70 12 − 70 2 12 +− ABCRt△ 90A = ° AB AC a= = BC D 10 4AD a> 3 4 2 3 1 2 1 3 3π 6+ x 4 5 6 7 2 4y x= F P PQ y⊥ Q PQ PF⋅  1 4 − 1 2 − 1− 1 2020 0 2 2121 1 2 0 2 1 2 8 9 10 12 π( ) sin( )( 0)6f x xω ω= + > π 2 ( )f x π 3 ( )g x ( )g x π ( )g x 7π( ,0)12 ( )g x 2π 3x = ( )g x π[ ,π]3 1261 1623 1662～ 1654 393 1 1 2 3 3 6 4 10 5 … 37 153 171 190 210 2 2 2 2: 1x yC a b − = 0a > 0b > F O 4 3 C 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 的右支于点 ，若 ，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 12．设函数 的定义域为 ， 是其导函数，若 ，则不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知函数 ，则 ________． 14．已知 ，则 ________． 15．已知抛物线 的焦点为 ，其准线与 轴相交于点 ， 为抛物线上的一点，且满足 ，则点 到直线 的距离为___________． 16．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ，则 的面积的最大值是________． 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ． 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤． 17．（12 分）在等差数列 中， ，且 成等比数列． （1）求数列 的通项公式； （2）若数列 的公差不为 ，设 ，求数列 的前 项和 ． 18．（12 分）如图，三棱柱 中，侧面 是菱形， ， ， 点 在平面 上的投影为棱 的中点 ． （1）求证：四边形 为矩形； （2）求二面角 的平面角的余弦值． A | | | |OA OF= 3 5 2 3 1+ ( )f x R ( )f x′ 3 ( ) ( ) 0 (0) 1f x f x f+ ′ > =， 3( ) xf x e> － (0, )+∞ (1, )+∞ ( ,0)−∞ (0,1) 3log ( 1) 2, 0( ) ( 3), 0 x xf x f x x + − ≥=  + > O C C 2 2x y+ = C C l C F l C A B AB x P ABP△ 2( ) xf x e x kx= − − e k k ( )f x 1请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】 已知在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 ( 为参数)，以坐标原点 为极点， 轴 非 负 半 轴 为 极 轴 且 取 相 同 的 单 位 长 度 建 立 的 极 坐 标 系 中 ， 曲 线 的 方 程 为 ． （1）求曲线 的直角坐标方程； （2）若直线 与曲线 相交于 两点，且 ，求 的值． 23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数 ． （1）若 ，解不等式 ； （2）若函数 的图象与 轴围成的三角形的面积为 ，求 的值． l 1 x t y bt =  = − + t O x C 22sin cos 0θ ρ θ− = C l C A B， 4AB = b ( ) 3 2 1| | | | ( 0)f x x m x m−= + − > 1m = ( ) 4f x ≥ ( )f x x 20 3 m____________________________________________________________________________________________ 答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项 中， 只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D 【解析】依题意， ， ，则 ． 2．【答案】B 【解析】因为 ， ，所以 ． 3．【答案】A 【解析】由题意，得 ，解得 （ 舍去）． 4．【答案】B 【解析】因为 ，所以 ，所以 ， 所以 ， 所以 ． 5．【答案】C 【解析】设事件事件“ ”为 ， 设 的中点为 ，则 ，解得 ， 所以 ． 6．【答案】A 【解析】由三视图知，该几何体由四分之一个圆锥与三棱锥组成， [ 4,2]A = −R (0,2)B = ( ) (0,2)A B =R  3a = 1b = 2(3 i) 8 6i− = − 2 2 2 2m m m + + = 1m = 1m = − π 2π 6 3 α< < π π π2 3 α< + < πsin( ) 03 α + > 2π 1 35sin( ) 1 ( )3 6 6 α + = − − = 7π π π π π π πsin( ) sin( ) sin( )cos cos( )sin12 3 4 3 4 3 4 α α α α+ = + + = + + + 35 2 1 2 70 2 6 2 6 2 12 −= × − × = 10 4AD a> M BC P 2 2 2 22 10( )2 4AD AP DP a DP a= + = + > 2 4DP a> 2 22( ) 12 4( ) 22 a a P M a − = =____________________________________________________________________________________________ 所以体积为： ，解得 ． 7．【答案】A 【解析】因为 ，设点 ，则 ， 则 ， ， 则 ． 8．【答案】B 【解析】第一类：含有两个数字 、两个数字 的四位数的个数为 ， 第二类：含有两个数字 ，两个数字 的四位数的个数为 ， 由分类加法计数原理，得满足题意的个数为 ． 9．【答案】B 【解析】由题意知函数 的最小正周期为 ，则 ， 所以 ． 将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，即 ， 则 的最小正周期为 ，故①正确； 令 ，解得 ， 令 ，得函数 的图象关于点 对称，故②正确； 令 ，解得 ． 令 ，得函数 的图象关于直线 ， 对称，故③错误； 令 ，得 ， 所以函数 在 上单调递增，故④错误． 21 1 1 1π 3 3 3 3π 64 3 3 2V x x= × × × × + × × × × = + 4x = (1,0)F 2( ,2 )P m m (0,2 )Q m 2( ,0)PQ m= − 2(1 , 2 )PF m m= − − 2 4 2 21 1 1( )2 4 4PQ PF m m m⋅ = − + = − − ≥ −  0 2 2 3C 3= 1 2 2 4C 6= 3 6 9+ = π( ) sin( )( 0)6f x xω ω= + > π 2π 2π ω = = π( ) sin(2 )6f x x= + ( )f x π 3 π π 5πsin[2( ) ] sin(2 )3 6 6y x x= + + = + 5π( ) sin(2 )6g x x= + ( )g x 2π π2T = = 5π2 π( )6x k k+ = ∈Z π 5π ( )2 12 kx k= − ∈Z 2k = ( )g x 7π( ,0)12 5π π2 π ( )6 2x k k+ = + ∈Z π π ( )2 6 kx k= − ∈Z 1,2k = ( )g x π 3x = 5π 6x = π 5π π2 π 2 2 π ( )2 6 2k x k k− ≤ + ≤ + ∈Z 2π ππ π ( )3 6k x k k− ≤ ≤ − ∈Z ( )g x π 5π[ , ]3 6____________________________________________________________________________________________ 10．【答案】C 【解析】考查从第 行起每行的第三个数： ， ， ， ， 归纳推理可知第 （ ）行的第 个数为 ， 在该数列中，第 项为第 行第 个数， 所以该数列的第 项为 ． 11．【答案】B 【解析】设双曲线左焦点为 ， 因为 ，所以 ， 设点 ，则 ，所以点 ， 所以 ， 所以 ． 12．【答案】A 【解析】令 ，则 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以函数 在 上单调递增， 而 可化为 等价于 ，解得 ， 所以不等式 的解集是 ． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．【答案】 【解析】 ． 14．【答案】 【解析】 ． 3 1 3 1 2= + 6 1 2 3= + + 10 1 2 3 4= + + + k 3k ≥ 3 1 2 ( 2)k+ + + − 37 21 3 37 19(19 1)1 2 19 1902 ++ + + = = F′ OA OF OF c′= = = 90FAF′∠ = ° 4( , )3A m m 216 3( )( )9 5 m c m c m m c= + − ⇒ = 3 4( , )5 5A c c 2 2 2 2 9 16 125 25 c c a b − = 2 2 4 2 2 2 2 169 25 9 9 16 25 251 ee e e e ee − = ⇒ − − = −− 4 2 2 2 29 50 25 0 (9 5)( 5) 0 5 5e e e e e e⇒ − + = ⇒ − − = ⇒ = ⇒ = 3( ) ( )xg x e f x= 3 33 ( )( ) ( )x xe f x e f xg x ′= +′ 3 ( ) ( ) 0f x f x′+ > 3 33 ( ) ( ) 0x xe f x e f x′+ > ( ) 0g x′ > 3( ) ( )xg x e f x= R 3( ) xf x e> － 3 ( ) 1xe f x > ( ) (0)g x g> 0x > 3( ) xf x e> － (0, )+∞ 1− 3( ) ( ) ( 1) (2) log (2 1) 2 12020 2017 f ff f= = = − = = + − = −－ － 84− 5 2 5 2 7C 2 ( 1) 84a = × × − = −____________________________________________________________________________________________ 15．【答案】 【解析】由抛物线 ，可得 ， 设点 到准线的距离为 ，由抛物线定义可得 ， 因为 ，由题意得 ， 所以 ， 所以点 到直线 的距离为 ． 16．【答案】 【解析】由 及正弦定理， 得 ．显然 ， 所以 ．所以 ，所以 ． 又 ，所以 ，所以 ，则 ， 所以 ，当且仅当 时取等号， 所以 的面积： ， 故 的面积的最大值是 ． 三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤． 17．【答案】（1）见解析；（2） ． 【解析】（1）设数列 的公差为 ， 因为 成等比数列，所以 ， 3 32 2 9y x= 9| | 2MF = N d | |d NF= 6 | | 2 | |NF MN= | | 2cos | | | | 6 d NFNMF MN MN ∠ = = = 22 3sin 1 ( ) 36 NMF∠ = − = F MN 9 3 3| | sin 32 3 2MF NMF∠ = × = 3 2( )2cos cos sin sinA C b c B C− = 2 22cos cos sin sin si( n)A C B B C− = sin 0B ≠ 2 22cos cos sinA C C− = 2 22cos sin cos 1A C C= + = 1cos 2A = (0,π)A∈ 3sin 2A = 2 2 22b c bc+ − = 2 24 2bc b c bc+ = + ≥ 4bc ≤ 2b c= = ABC△ 1 1 3 3sin 32 2 2 4S bc A bc bc= = × = ≤ ABC△ 3 1 2 9 9 8 8 n n n nT − = − + − { }na d 2 3 5a a a， ， 2 3 2 5a a a=____________________________________________________________________________________________ 又 ，所以 ， 即 ，解得 或 ． 当 时， ； 当 时， ． （2）若数列 的公差不为 ，由（1）知， ， 则 ， 所以 ． 18．【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【解析】（1）因为 平面 ，所以 ， 又因为 ， ， ，所以 ， 因此 ，所以 ， 因此 平面 ，所以 ， 从而 ，即四边形 为矩形． （2）如图，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴， 所以 ， ， ， ． 平面 的法向量 ，设平面 的法向量为 ， 由 ，由 ， 4 6a = − 2( 6 ) ( 6 2 )( 6 )d d d− − = − − − + 3 ( 2) 0d d + = 0d = 2d = − 0d = 6na = − 2d = − 4 ( 4) 6 ( 4)( 2) 2 2na a n d n n− = − + − − = −= + { }na 0 2 2na n= − 2 22 2 3 n nb n −= − + 1 2 11 [1 ( ) ](0 2 2 ) 9 99 12 8 81 9 n n nn n nT n −× −+ −= + = − + − − 21 7 − AE ⊥ 1 1BB C C 1AE BB⊥ 1 1 12BE BB= = 2BC = π 3EBC∠ = 3CE = 2 2 2BE CE BC+ = 1CE BB⊥ 1BB ⊥ AEC 1BB AC⊥ 1AA AC⊥ 1 1ACC A E EC 1EB EA x y z (0,0,1)A 1(0,2,1)A 1(0,1,0)B ( 3,0,0)C 1EB C (0,0,1)=m 1 1A B C ( , , )x y z=n 1 3 0 3CB x y y x⊥ ⇒ − + = ⇒ =n 1 1 0B A y z⊥ ⇒ + =n____________________________________________________________________________________________ 令 ， ，即 ， 所以 ， 所以二面角 的余弦值是 ． 19 ．【 答 案 】（ 1 ） 没 有 的 把 握 认 为 ； （ 2 ） 分 布 列 见 解 析 ， ， ． 【解析】（1）由列联表可知 ， 因为 ，所以没有 的把握认为 市使用免费 的情况与年龄有关． （2）由题意可知 ， 的所有可能取值为 ， ， ， ， ． 所以 的分布列为 ， ． 20．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）依题意，得 ，将 代入 ， 由 ， ， 所以椭圆的标准方程为 ． （2）由（1）可得左焦点 ，由题设直线 的方程为 ， 代入椭圆方程，得 ． 1 3x y= ⇒ = 3z = − (1, 3, 3)= −n 3 21cos , 71 7 −< >= = − ×m n 1 1E B C A− − 21 7 − 90% 6( ) 5E X = 18( ) 25D X = 2 2 200 (70 40 60 30) 2.198130 70 100 100K × × − ×= ≈× × × 2.198 2.706< 90% A WiFi 2(3, )5X B X 0,1,2,3 0 3 3 3 27( 0) C ( )5 125P X = = = 1 2 3 2 3 54( 1) C ( ) ( )5 5 125P X = = × = 2 2 3 2 3 36( 2) C ( )5 5 125P X = = × = 3 3 3 2 8( 3) C ( )5 125P X = = = X 2 6( ) 3 5 5E X = × = 2 2 18( ) 3 (1 )5 5 25D X = × × − = 2 2 12 x y+ = 3 6 16 1b = 2 2x y= − 2 2 2( 2) 4 2 4 0a y y a+ − + − = 2 232 4( 2)(4 ) 0Δ a a= − + − = 2 2a = 2 2 12 x y+ = ( 1,0)F − l 1( 0)x my m= − ≠ 2 2( 2) 2 1 0m y my+ − − =____________________________________________________________________________________________ 设 ， ，则 ， ， 所以 ， 的中点为 ， 设点 ，则 ，解得 ， 故 ， 令 ，则 ，且 ， 设 ，则 ， 所以 ，即 的面积的最大值为 ． 21．【答案】（1） ；（2）证明见解析． 【解析】（1） ，由 ， 记 ， ， 由 ， 且 时 ， ， 单 调 递 减 ， ； 时， ， 单调递增， ， 由题意，方程 有两个不同解，所以 ． （2）解法一：由（1）知 在区间 上存在极大值点 ，且 ， 所以 的极大值为 ， 记 ，则 ， 因为 ，所以 ， 所以 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增， 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 2 2 2 my y m + = + 1 2 2 1 2y y m −= + 1 2 1 2 2 4( ) 2 2x x m y y m −+ = + − = + AB 2 2 2( , )2 2 mQ m m − + + 0( ,0)P x 2 02 ( 2)PQ mk mm x −= = −+ + 0 2 1 2x m −= + 2 2 20 1 2 1 2 1 2 2 2 | 1|1 2( 1) 1| | | | ( ) 42 2 ( 2)ABP x m mS PF y y y y y y m + + += ⋅ − = + − = +△ 2 1( 1)t m t= + > 2 2 1m t= − 3 2 2 3 2 2 2 1( 1)ABP tS t t t t = =+ + + △ 3 2 1( ) ( 1)f x t tt t = + + > 2 2 4 4 2 3 ( 3)( 3)( 1)( ) 1 t t tf t t t t − + +′ = − − = 2 3 6 1616 3 9 ABPS ≤ =△ ABP△ 3 6 16 (2 2ln 2, )− +∞ ( ) 2xf x e x k′ = − − ( ) 0 2xf x e x k′ = ⇒ − = ( ) 2xg x e x= − ( ) 2xg x e′ = − ( ) 0 ln 2g x x′ = ⇒ = ln 2x < ( ) 0g x′ < ( )g x ( ) (2 2ln 2, )g x ∈ − +∞ ln 2x > ( ) 0g x′ > ( )g x ( ) (2 2ln 2, )g x ∈ − +∞ ( )g x k= (2 2ln 2, )k ∈ − +∞ ( )f x ( ,ln 2)−∞ 1x 1 12xk e x= − ( )f x 1 1 12 2 1 1 1 1 1 1( ) ( 2 ) (1 )x x xf x e x e x x x e x= − − − = − + 2( ) (1 ) ( ( ,ln 2))th t t e t t= − + ∈ −∞ ( ) 2 (2 )t th t te t t e′ = − + = − ( ,ln 2)t ∈ −∞ 2 0te− > 0t < ( ) 0h t′ < ( )h t 0t > ( ) 0h t′ > ( )h t____________________________________________________________________________________________ 所以 ，即函数 的极大值不小于 ． 解法二：由（1）知 在区间 上存在极大值点 ，且 ， 所以 的极大值为 ， 因为 ， ，所以 ， 即函数 的极大值不小于 ． 22．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）因为 ，所以 ， 代入 ，得 ，即 ． （2）由 ，得 ， 联立 ，消去 ，得 ， ，解得 或 ， 设 ， ，则 ， ． 又 ，解得 ． 23．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）若 ， ， 当 时， 可化为 ，解得 ； 当 时， 可化为 ，解得 ，无解； 当 时， 可化为 ，解得 ， 综上，不等式 的解集是 ． （2）因为 ， ( ) (0) 1h t h≥ = ( )f x 1 ( )f x ( ,ln 2)−∞ 1x 1 12xk e x= − ( )f x 1 1 12 2 1 1 1 1 1 1( ) ( 2 ) (1 )x x xf x e x e x x x e x= − − − = − + 11 0x− > 1 11xe x≥ + 2 1 1 1 1( ) (1 )(1 ) 1f x x x x≥ − + + = ( )f x 1 2 2x y= 3b = ± 22sin cos 0θ ρ θ− = 2 22 sin cos 0ρ θ ρ θ− = sin cos y x ρ θ ρ θ =  = 22 0y x− = 2 2x y= 1 x t y bt =  = − + 1y bx= − + 2 1 2 y bx x y = − +  = y 2 2 2 0x bx− + = 2( 2 ) 4 2 0Δ b= − − × > 2b > 2b < − 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 2x x b+ = 1 2 2x x⋅ = 2 2 2 2 1 2 1 2| | 1 ( ) 4 1 4 8 4AB b x x x x b b= + ⋅ + − = + ⋅ − = 3b = ± ( ] [ ), 7 1,−∞ − +∞ 2m = 1m = ( ) 3 1| | 2| |2f x x x−= + − 1 3x < − ( ) 4f x ≥ (3 1) (2 2) 4x x− + + − ≥ 7x ≤ − 1 13 x− ≤ < ( ) 4f x ≥ (3 1) (2 2) 4x x+ + − ≥ 1x ≥ 1x ≥ ( ) 4f x ≥ (3 1) (2 2) 4x x+ − − ≥ 1x ≥ ( ) 4f x ≥ ( ] [ ), 7 1,−∞ − +∞ ( ) 3| | |2| 1f x x m x−= + −____________________________________________________________________________________________ 又因为 ，所以 ， 因为 ， ， 所以 的图象与 轴围成的 的三个顶点的坐标为 ， ， ， 所以 ，解得 或 （舍去）． 0m > 2( )3 ( ) 5 2( 1)3 2( 1) mx m x mf x x m x x m x − − − < − = + − − ≤ ( )f x x ABC△ ( 2,0)A m− − 2( ,0)5 mB − 2( , 2)3 3 m mC − − − 21 4( 3) 20| | | |2 15 3ABC C mS AB y += ⋅ = =△ 2m = 8m = −