陕西省安康中学2020届高三数学（文）第三次模拟试题（Word版含解析）

2020 届安康中学高三第三次模拟考试卷 文 科 数 学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．若集合 ， ，则集合 不可能是（ ） A． B． C． D． 2．已知 是虚数单位，则 等于（ ） A． B． C． D． 3．过点 且垂直于直线 的直线方程为（ ） A． B． C． D． 4．下列函数 中，满足“对任意的 ，当 时，总有 ”的是 （ ） A． B． C． D． 5．设等差数列 的前 n 项和为 ，若 ，则 （ ） A．2 B． C．9 D． 6．将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，则 的表达 式可以是（ ） A． B． C． D． 7．设 是 中任意两个不同的数，那么复数 恰好是纯虚数的概率为（ ） A． B． C． D． 8．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为 的等腰三角形，侧视图是半径为 1 的半圆， 则该几何体的表面积是（ ） A． B． C． D． 9．阅读如图的程序框图，若输入 ，则输出 的值为（ ） A． B． C． D． 10．在 所在的平面内有一点 P，如果 ，那么 的面积与 的面积之比是（ ） A． B． C． D． ( )f x 1 2, ( ,0)x x ∈ −∞ 1 2x x< 1 2( ) ( )f x f x> 2( ) ( 1)f x x= + ( ) ln( 1)f x x= − 1( )f x x = ( ) xf x e= { }na nS 25 9 9 25 2 3 4 5 4 3 2 1 3 1 3 2 { }0A y y= ≥ A B B= B { }, 0y y x x= ≥ 1 ,2 x y y x    = ∈      R { }log , 0y y x x= > ∅ i 1 2i 2 i − + i 4 i5 − 4 3i5 5 − i− ( )2,3A 052 =−+ yx 052 =+− yx 072 =−+ yx 032 =+− yx 042 =+− yx 5 35a a= 9 5 S S = cos2y x= π 4 ( ) siny f x x= ⋅ ( )f x xxf cos2)( −= xxf cos2)( = xxf 2sin2 2)( = )2cos2(sin2 2)( xxxf += ,x y 0,1,2,3,4,5 ix y+ 1 6 1 3 1 5 1 30 2 2(π 3)+ 2π 3+ π 3+ π 2 3+ 6n = k ABC△ 2PA PC AB PB+ = −    PBC△ ABC△ 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 11．已知四面体 的外接球的球心 在 上，且 平面 ， ，若四 面体 的体积为 ，则该球的体积为（ ） A． B． C． D． 12．已知定义在 R 上奇函数 满足①对任意 x，都有 成立；②当 时， ，则 在 上根的个数是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y（万元），有如下的统计资料： x 2 3 4 5 6 y 2．2 3．8 5．5 6．5 7．0 若由资料可知 y 对 x 呈线性相关关系，且线性回归方程为 ，其中已知 ，请估计 使用年限为 20 年时，维修费用约为_________． 14．设 ， 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值是 12， 则 的最小值为________． 15．已知数列 的前项和为 ，且 ， ，则 ． 16．已知双曲线 的左右焦点是 ，设 是双曲线右支上一点， 在 上的投影的大小恰好为 ，且它们的夹角为 ，则双曲线的离心率 是 ． 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ． 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤． 17．（12 分）设函数 ．直线 与函数 图 象相邻两交点的距离为 ． （1）求 的值； （2）在 中，角 所对的边分别是 ．若点 是函数 图象的 一个对称中心，且 ，求 外接圆的面积． 18．（12 分）为了增强学生的环境意识，某中学随机抽取了 50 名学生举行了一次环保知识竞赛， 本次竞赛的成绩（得分均为整数，满分 100 分）整理，制成下表： 成绩 频数 2 3 14 15 14 4 （1）作出被抽查学生成绩的频率分布直方图； （2）若从成绩在 中选一名学生，从成绩在 中选出 2 名学生，共 3 名学生召开座谈 会，求 组中学生 A1 和 组中学生 B1 同时被选中的概率？ P ABC− O AB PO ⊥ ABC 2 3AC AB= P ABC− 3 2 ( 0, 0)z ax by a b= + > > 2 2 9 4 a b+ 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1 2,F F P 1 2F F 1F P e 3π 2π 2 2π 4 3π )(xf )()3( xfxf =+ ]2 3,0[∈x |22 3|2 3)( xxf −−= || 1)( xxf = [ ]4,4− ˆy bx a= + 23.1=b x y 3 6 0 2 0 0, 0 x y x y x y − − ≤  − + ≥  ≥ ≥ { }na nS 1 1a = ( )* 1 2n n na a n+ = ∈⋅ N 2020S = 1F P π 6 2π( ) sin( ) 2cos 1( 0)6 2f x x x ωω ω= − − + > 3y = ( )y f x= π ω ABC△ A B C、 、 a b c、 、 )0,2(B ( )y f x= 3b = ABC△ [ )50,40 [ )60,50 [ )70,60 [ )80,70 [ )90,80 [ )100,90 [ )50,40 [ )100,90 [ )50,40 [ )100,9019 ．（ 12 分 ） 如 图 ， 是 边 长 为 4 的 正 方 形 ， 平 面 ， ， ． （1）求证： 平面 ； （2）设点 是线段 上一个动点，试确定点 的位置，使得 平面 ，并证明你的结 论． 20．（12 分）设椭圆 的左、右焦点分别为 F1、F2，上顶点为 A，离心率 ABCD DE ⊥ ABCD DEAF // 4DE AF= AC ⊥ BDE M BD M //AM BEF )0(1: 2 2 2 2 >>=+ bab y a xC，在 x 轴负半轴上有一点 B，且 ． （1）若过 A、B、F2 三点的圆恰好与直线 相切，求椭圆 C 的方程； （2）在（1）的条件下，过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 与椭圆 C 交于 M、N 两点，在 x 轴上是否 存在点 p（m，0），使得以 PM，PN 为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出 m 的取值范围； 如果不存在，说明理由． 21．（12 分）已知函数 ． （1）若函数 在其定义域内为增函数，求实数 a 的取值范围； （2）设 ， 存在两个零点 m，n 且 ，证明： 函数 处的切线不可能平行于 x 轴． 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10 分）【选修 4-4：极坐标与参数方程】 在极坐标系中，已知点 到直线 的距离为 3． 1 2e = 2 12BF BF=  033: =−− yxl l′ 2( ) 2ln(2 )f x x x= + ( ) ( )g x f x ax= + 2( ) 2 ( ) 3 ( )h x f x x kx k= − − ∈R ( )h x若 02x m n= + 0 0( ) ( , ( ))h x x h x在 ( 2,0)A π: sin( ) ( 0)4l m mρ θ − = >（1）求实数 的值； （2）设 是直线 上的动点， 在线段 上，且满足 ，求点 的轨迹方程，并指 出轨迹是什么图形． 23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】 已知 ． （1）当 时，解不等式 ； （2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围． m P l Q OP | | | | 1OP OQ⋅ = Q ( ) 2f x x x a= − − 1a = ( ) 2f x x< − (0,1]x∈ 21( ) 12f x x< − a____________________________________________________________________________________________ 答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项 中， 只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】∵ ，∴ ，选项 C 中， ，故不满足 ． 2．【答案】D 【解析】 ． 3．【答案】D 【解析】设垂直于直线 的直线方程为 ， 又直线过点 ，∴ ，解得 ， 故所求直线的方程为 ． 4．【答案】C 【解析】由题意知函数 在 上是减函数，故选 C． 5．【答案】C 【解析】∵ ，又 ． 6．【答案】B 【解析】∵将函数 的图象向右平移 个单位得 ， ∴ ． 7．【答案】A A B B= B A⊆ { }|y y∈R B A⊆ ( ) ( ) (1 2i) 2 i1 2i 5i= i2 i (2 i) 2 i 5 − −− −= = −+ + − 052 =−+ yx 2 0x y m− + = ( )2,3A 2 2 3 0m− × + = 4m = 042 =+− yx ( )f x ( ,0)−∞ 5 35a a= 1 9 9 1 9 5 1 55 1 5 3 9( ) 9( ) 9 22 95( ) 5( ) 5 2 2 a a S a a a a aS a a a + + ×= = = =+ + × cos2y x= π 4 πcos2( )4y x= − πcos(2 ) sin 2 2sin cos2x x x x= − = = ( ) 2cosf x x=____________________________________________________________________________________________ 【解析】有题意知本题是一个古典概型， 实验发生包含的事件是从 6 个数字中任取 2 个数字，共有 种结果， 满足条件的事件是复数 恰好是纯虚数，即实部是 0，这样虚部有 5 中结果， ∴复数 恰好是纯虚数的概率为 ． 8．【答案】A 【解析】三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分， 然后把截面放在平面上，两底面相对接的图形， 圆锥的底面半径为 1，母线长为 2， 该几何体的表面积就是圆锥的侧面积与轴截面面积的 2 倍的和， 圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形，高为 ， ． 9．【答案】B 【解析】 时， ； 时， ， ； 时， ， ； 时， ， ； 时， ； ∴ ． 10．【答案】A 【解析】∵ ， ∴ ， ∴点 P 在边 AC 上，且 ，∴ ， 设 的 AC 边上的高为 ，∴ ． 6 5 30× = ix y+ ix y+ 5 1 30 6 = 3 ( )1 12 =2 2 3 2π 1 2 2 3 π2 2S S S= + × × × + × × × = +截面 圆锥侧 6n = 0k = 2 6 1 13n = × + = 13 100< 1k = 2 13 1 27n = × + = 27 100< 2k = 2 27 1 55n = × + = 55 100< 3k = 2 55 1 111n = × + = 111 100< 3k = 2PA PC AB PB AB BP AP+ = − = + =       2 3PA PC AP PA PC+ − = + = 0     3| | | |PA PC= | | 3 | | 4 PC AC = ABC△ h 1 | | | | 32 1 | | 4| |2 PBC ABC PC hS PC S ACAC h ⋅ = = = ⋅ △ △____________________________________________________________________________________________ 11．【答案】D 【解析】由题意，O 为 AB 的中点， 为直角三角形， 设 ，由于 ，∴ ， ． 又 ，O 为球心，∴ ， ，∴ ， ． 12．【答案】B 【解析】由①知函数 的最小正周期是 3， 由②得 ， 画出函数 及 的图像即得． P A B C P A B C O )(xf || 1)( xxf = x y O-4.5 -3 -1.5 1.5 4.53 ABC△ 2AB R= 2 3AC AB= 3AC R= BC R= PO ABC⊥平面 OP OA OB R= = = 31 1 3 333 2 6 2P ABCV R R R R− = × × ⋅ ⋅ = = 3 3R = 34= π 4 3π3V R⋅ =球 )(xf 32 (0 )4( ) 3 33 2 ( )4 2 x x f x x x  ≤ ≤=   − < ≤____________________________________________________________________________________________ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．【答案】24．68 【解析】∵ ， ∴当 时， ， 故答案为 24．68． 14．【答案】 【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分， 当直线 过直线 与直线 的交点 时， 目标函数 取得最大 12， 即 ，即 ， 则 ， 故答案为 ． 15．【答案】 【解析】∵数列 满足 ， ， ∴ ，解得 ， 2.2 3.8 5.5 6.5 7 2 3 4+5+61.23 =0.085 5a y bx + + + + + += − = − × 20x = 1.23 20 0.08 24.68y = × + = 1 2 ( 0, 0)ax by z a b+ = > > 2 0x y− + = 3 6 0x y− − = (4,6) ( 0, 0)ax by z a b+ = > > 4 6 12a b+ = 2 3 6a b+ = 2 2 2 2 21 3 1 1 1(3 ) ( 1)9 4 9 2 4 2 2 2 a b bb b+ = − + = − + ≥ 1 2 10103 2 3⋅ − { }na 1 1a = 1 2 ( )n n na a n ∗ + ⋅ = ∈N 2 1 2a a⋅ = 2 2a =____________________________________________________________________________________________ 当 时， ， ∴数列 的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为 2． 则 ， 故答案为 ． 16．【答案】 【解析】∵ 上的摄影的大小恰好为 ，∴ ， 又因为它们的夹角为 ，∴ ， ∴在 中， ，∴ ， ， 根据双曲线的定义 ，∴ ， 所以 ，故答案为 ． 三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤． 17．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1） ， 因为 的最大值为 ，依题意，函数 的最小正周期为 ， 2n ≥ 1 2 1 2 1 2 22 n n n n n n n n a a a a a a + + + + + = ⇒ = { }na ( ) ( ) ( )10101010 2020 1 3 2019 2 4 2020 2 2 12 1S 2 1 2 1a a a a a a −−= + + + + + + + = +− −  10103 2 3= ⋅ − 10103 2 3⋅ − 3 1+ 1 2F F FP 在 1F P 1 2PF PF⊥ π 6 1 2 π 6PF F = 1 2PF FRt△ 1 2 2F F c= 1 3PF c= 2PF c= 1 2 3 2PF PF c c a− = − = 3 1c a = + 3 1e = + 3 1+ 2=ω 3π π π 1 cos( ) sin cos cos sin 2 16 6 2 xf x x x ωω ω += ⋅ − ⋅ − ⋅ + 3 3 1 3sin cos 3( sin cos )2 2 2 2x x x xω ω ω ω= − = − π3sin( )3xω= − )(xf 3 )(xf π____________________________________________________________________________________________ 由 ，得 ． （2）因为 ，依题意 ， ， ∵ ， ，∴ ， ， 由正弦定理 ， ，∴ ， 外接圆的面积为 ． 18．【答案】（1）见解析；（2） ． 【解析】（1）各组频率分别为 0．04，0．06，0．28，0．30，0．24，0．08， 所以，图中各组的纵坐标分别为 0．004，0．006，0．028，0．03，0．024，0．008． （2）记 中的学生为 A1，A2； 中的学生为 B1，B2，B3，B4， 由题意可得，基本事件为 AlBlB2，A1B1B3，AlBlB4，A1B2B3，A1B2B4，AlB3B4，A2B1B2， A2B1B3，A2B1B4，A2B2B3，A2B2B4，A2B3B4 共 l2 个， 满足 A1B1 同时被选中的事件为 A1B1B2，A1B1B3，A1B1B4 共 3 个， ∴学生 A1 和 B1 同时被选中的概率为 ． 19．【答案】（1）证明见解析；（2） 是 的一个四等分点，证明见解析． 【解析】（1）证明：因为 ，所以 ． 2π πω = 2=ω π( ) 3sin(2 )3f x x= − π3sin( ) 03B − = πsin( ) 03B − = 0 πB< < π π 2 π3 3 3B− < − < π 03B − = π 3B = 2sin b RB = R2 2 3 3 = 3=R ABC△ 2π 3πR = 1 4 [ )40,50 [ )90,100 3 1 12 4P = = M BD DE ABCD⊥ 平面 ACDE ⊥____________________________________________________________________________________________ 因为 是正方形，所以 ， 因为 ，从而 平面 ． （2）当 是 的一个四等分点，即 时， ， 取 上的四等分点 ，使 ，连结 ， ， 则 ，且 ， 因为 ，且 ，所以 ，且 ， 故四边形 是平行四边形，所以 ， 因为 ， ，所以 ． 20．【答案】（1） ；（2）存在， ． 【解析】（1）由题意 ，得 ，所以 ， 又 ，由于 ，所以 为线段 的中点， 所以 ， 所以 的外接圆圆心为 ，半径 ， 又过 三点的圆与直线 相切， 所以 ，解得 ， ， ， 所求椭圆方程为 ． （2）有（1）知 设 的方程为 ， 将直线方程与椭圆方程联立 ， ABCD BDAC ⊥ DE BD D= AC ⊥ BDE M BD 4BM BD= AM BEF∥ 平面 BE N 4BN BE= MN NF DE MN∥ 4DE MN= AF DE∥ 4DE AF= AF MN∥ AF MN= AMNF AM FN∥ AM BEF⊄ 平面 FN BEF⊄ 平面 AM BEF∥ 平面 134 22 =+ yx 1(0, )4 2 1= a c ac 2 1= 1 2F F a= 1 2AF AF a= = 2 12BF BF=  1F 2BF 1 2 1 2AF AF F F a= = = 2ABF△ 1( ,0)2 aF − 1r AF a= = 2A B F、 、 033: =−− yxl a a = −− 2 32 1 2a = 1c∴ = 2 2 2 3b a c= − = 134 22 =+ yx ( )2 1,0F l′ )1( −= xky 2 2 ( 1) 14 3 y k x x y = − + =____________________________________________________________________________________________ 整理得 ， 设交点为 ， ， 因为 ，则 ， ， 若存在点 ，使得以 ， 为邻边的平行四边形是菱形， 由于菱形对角线垂直，所以 ， 又 ， ， ， ， ， 由已知条件知 ， ， ， 故存在满足题意的点 且 m 的取值范围是 ． 21．【答案】（1） ；（2）证明见解析． 【解析】（1） ， ， 由已知，得 对一切 恒成立， ，即 对一切 恒成立， ， ， 2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k+ − + − =（ ） 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y 23 4 0k+ > 2 1 2 2 8 3 4 kx x k + = + 2 1 21 ( 2)y y k x x+ = + − ( ,0)P m PM PN ( )PM PN MN+ ⋅ = 0   1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( 2 , )PM PN x m y x m y x y m y y+ = − + − = + − +  ( )1,MN k  的方向向量是 1 2 1 2( ) 2 0k y y x x m+ + + − =故 2 1 2 1 2( 2) 2 0k x x x x m+ − + + − = 2 2 2 2 2 8 8( 2) 2 03 4 3 4 k kk mk k − + − =+ + 0k k≠ ∈R且 2 2 2 1 33 4 4 km k k ∴ = =+ + 10 4m∴ < < P 1(0, )4 ),22[ +∞− ( ) ( ) 2ln 2g x x x ax= + + 2 1( ) 2 2 ( 0)2g x x a x a xx x ′ = + + = + + > 0)( ≥′ xg ),0( +∞∈x 012 ≥++∴ axx      +−≥ xxa 12 ),0( +∞∈x 2212 −≤     +− xx 22−≥∴a____________________________________________________________________________________________ 的取值范围为 ． （2） ， 由已知得 ， ． ，即 ． 假设结论不成立，即 ，则 ， ． 又 ， ， ． 令 ，则有 ． 令 ． ． 在 上是增函数， ∴当 时， ，即 ． ∴当 时， 不可能成立， ∴假设不成立， 在 处的切线不平行于 轴． a∴ ),22[ +∞− ( ) ( ) ( )2 2 22 ln 2 3 2ln 2h x x x x kx x x kx = + − − = − −  0)2ln(2)( 2 =−−= kmmmmh 0)2ln(2)( 2 =−−= knnnnh )()(ln2 22 kmmknnm n +−+=∴ )())((ln2 mnkmnmnm n −+−+= 0)( 0 =′ xh 022 0 0 =−− kxx 0 0 22 −=∴ nmx +=02 ))(22())((ln2 0 0 mnxxmnmnm n −−+−+=∴ ))(4())(( mnnmnmmnmn −−−++−+= mnmn +−= 4)( mn mn m n + −=∴ )(2ln ),1( +∞∈= tm n ( )2 1ln 1 tt t −= + 2( 1)( ) ln , 11 tt t tt γ −= − >+ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2( 1) ( 1)1 1 4 1 4 1( ) 0(1 ) 1 1 1 t t t t tt t t t t t t t t γ + − − ⋅ + + − −′∴ = − = − = = >+ + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )(tγ∴ ),1( +∞ 1>t 0)1()( => γγ t 01 )1(2ln >+ −− t tt 1>t t tt + −= 1 )1(2ln ( )h x∴ 0 0( , ( ))x h x x____________________________________________________________________________________________ 22．【答案】（1） ；（2） ，点 的轨迹是以 为 圆心， 为半径的圆． 【解析】（1）以极点为原点，极轴为 轴的正半轴，建立直角坐标系， 则点 的直角坐标为 ，直线 的直角坐标方程为 ， 由点 到直线 的距离为 ，∴ ． （2）由（1）得直线 的方程为 ， 设 ， ，则 ，① 因为点 在直线 上，所以 ，② 将①代入②，得 ． 则点 的轨迹方程为 ， 化为直角坐标方程为 ， 则点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆． 23．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）当 时，不等式 化为 ， 则可得 或 或 ， 2m = 2 22 2 1( ) ( )8 8 16x y+ + − = Q 1 3π,4 4      1 4 x A ( 2,0) l 2 0x y m− + = A l | 2 2 | 1 3 2 md m += = + = 2m = l πsin( ) 24 ρ θ − = 0 0( , )P ρ θ ( , )Q ρ θ 00 0 0 11 ρρρ ρθ θ θ θ  == ⇒ =  = 0 0( , )P ρ θ l 0 0 πsin( ) 24 ρ θ − = 1 πsin( ) 24 θρ − = Q 1 πsin( )2 4 ρ θ= − 2 22 2 1( ) ( )8 8 16x y+ + − = Q 1 3π,4 4      1 4 { 2}x x < 1( , 6)2 − 1a = ( ) 2f x x< − 1 2 2x x x− − < − 2 ( 1) 2 2 x x x x ≥  − − < − 1 2 ( 1) 2 2 x x x x <