2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学（理）（三）（Word版含答案）

2020 届百校联考高考百日冲刺金卷 全国 I 卷·理数(三) 注意事项： 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。 3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.本试卷满分 150 分，测试时间 120 分钟。 5.考试范围：高考全部内容。 第 I 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 (1)已知集合 A＝{x|2x>2}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则( A)∩B＝ (A)[0，1) (B)(0，2) (C)(－∞，1] (D)[0，1] (2)已知 i 是虚数单位，z(1－ i)＝ i，则|z|＝ A. B. C. D. (3)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，且 S9－S7＝30，a2＝2，则 a2019＝ (A)2017 (B)2019 (C)4036 (D)4038 (4)如图，长方形内部的阴影部分为六个全等的小正三角形顶点连接组成的图形 T，在长方形 内随机取一点，则此点取自阴影部分 T 的概率是 A. B. C. D. (5)已知 O 为坐标原点，双曲线 C： 的右焦点为 F，点 A，B 分别在 双曲线 C 的两条渐近线上，AF⊥x 轴， ，四边形 OAFB 为梯形，则双曲线 C 离 R 1 2 1 2 1 5 5 5 1 25 5 25 1 8 1 4 1 2 2 3 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 0BO BA⋅ b>0，ab＝1，设 x＝ ，y＝log2(a＋b)，z＝a＋ ，则 logx2x，logy2y，logz2z 的大 小关系为 (A)logx2x>logy2y>logz2z (B)logy2y>logz2z>logx2x (C)logx2x>logz2z>logy2y (D)logy2y>logx2x>logz2z (9)执行如图所示的程序框图，则输出的结果为 (A)31 (B)39 (C)47 (D)60 2 3 3 2 3 3 3 3 2 3 3 π − 2 2 3 π − 2 3 π 4 1 3 π − 2a b 1 b(10)已知圆 O：x2＋y2＝3 与抛物线 C：y2＝2px(p>0)相交于 A，B 两点，且|AB|＝2 ，若抛 物线 C 上存在关于直线 l：x－y－2＝0 对称的相异两点 P 和 Q，则线段 PQ 的中点坐标为 (A)(1，－1) (B)(2，0) (C)( ，－ ) (D)(1，1) (11)已知三棱柱 ABC－A1B1C1 内接于一个半径为 的球，四边形 A1ACC1 与 B1BCC1 均为正 方形，M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，C1M＝ A1B1，则异面直线 BM 与 AN 所成角的余 弦值为 A. B. C. D. (12)设函数 f(x)＝asinωx＋bcosωx(ω>0)在区间[ ， ]上单调，且 f( )＝f( )＝－f( )， 当 x＝ 时，f(x)取到最大值 4，若将函数 f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍得到 函数 g(x)的图象，则函数 y＝g(x)－ 零点的个数为 (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作 答。第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 (13)已知向量 a＝(2，1)，b＝(m，－1)(m∈R)，且 b⊥(2a－b)，则向量 a 在 b 方向上的投影为 。 (14)已知(x－ )9 的展开式中含 x3 项的系数为－ ，则实数 a＝ 。 (15)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Tn＝a1·a2·a3·a4·…·an，若 a7＝2，a10＝16， 则满足 Sn>Tn 的最大正整数 n 的值为 。 (16)某饮料厂生产 A，B 两种饮料。生产 1 桶 A 饮料，需该特产原料 100 公斤，需时间 3 小时； 生产 1 桶 B 饮料，需该特产原料 100 公斤，需时间 1 小时，每天 A 饮料的产量不超过 B 饮料 产量的 2 倍，每天生产两种饮料所需该特产原料的总量至多 750 公斤，每天生产 A 饮料的时 间不低于生产 B 饮料的时间，每桶 A 饮料的利润是每桶 B 饮料利润的 1.5 倍，若该饮料厂每 天生产 A 饮料 m 桶，B 饮料 n 桶时(m，n∈N*)利润最大，则 m＋n＝ 。 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 2 1 2 3 2 3 1 2 3 10 30 10 7 10 70 10 6 π 2 π 2 π 2 3 π 6 π 12 π 3x π+ 1 ax 21 2(17)(本小题满分 12 分) 在△ABC 中，AB＝2 ，D 为 BC。上一点，且 BC＝3BD，AD＝2。 (I)若 B＝30°，∠ADB 为钝角，求 CD 的长； (II)若 ，求△ABC 的周长。 (18)(本小题满分 12 分) 已知某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过 1kg 的包裹收费 10 元；重量超过 1kg 的包 裹，在收费 10 元的基础上，每超过 1kg(不足 1kg，按 1kg 计算)需再收 5 元。该快递公司承揽 了一个工艺品厂家的全部玻璃工艺品包裹的邮寄事宜，该厂家随机统计了 100 件这种包裏的 两个统计数表如下： (I)估计该快递公司对每件包裏收取快递费的平均值； (II)将包裏重量落入各组的频率视为概率，该工艺品厂家承担全部运费，每个包裹只有一件产 品，如果客户收到有损坏品的包裹，该快递公司每件按其出厂价的 90%赔偿给厂家。现该厂 准备给客户邮寄重量在区间(2，3]和(3，4]内的工艺品各 1 件，求该厂家这两件工艺品获得利 润的分布列和期望。 (19)(本小题满分 12 分) 如图，在三棱锥 A－BCD 中，ABD 是等边三角形，BC⊥CD，BC＝CD＝ ，E 为三棱锥 A －BCD 外一点，且△CDE 为等边三角形。 3 sin 3 sin 3 BAD CAD ∠ =∠ 2(I)证明：AC⊥BD； (II)若平面 ABD⊥平面 BCD，平面 ABD 与平面 ECD 所成锐二面角的余弦值为 ，求 BE 的 长。 (20)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C1： 的一个短轴端点为 M(0，1)，过椭圆 C 的一个长轴端点 作圆 C2：x2＋y2＝b2 的两条切线，且切线互相垂直。 (I)求椭圆 C1 的方程； (II)过点 M 分别作出直线 MA，MB 交椭圆 C 1 于 A，B 两点，设这两条直线的斜率分别为 kMA，kMB，且 kMA＋kMB＝4，求圆 C2 上一点 P 到直线 AB 所过定点 Q 的最小距离。 (21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)＝lnx－ax(a∈R)的最大值为－1。 (I)求函数 f(x)的解析式； (II)若方程 f(x)＝2－x－ 有两个实根 x1，x2，且 x11。 请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右 侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选 考题的首题进行评分。 (22)(本小题满分 10 分)[选修 4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数)，以坐标原点为极 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 A，B，C 的极坐标分别为(4， )，(4， )，(4， )，且△ABC 的顶点都在圆 C2 上，将圆 C2 向右平移 3 个单位长度后，得到曲 3 3 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 2x 21 2 21 2 x t y t  = −  = + 6 π 5 6 π 3 2 π线 C3。 (I)求曲线 C3 的直角坐标方程； (II)设 M(1，1)，曲线 C1 与 C3 相交于 P，Q 两点，求|MP|·|MQ|的值。 (23)(本小题满分 10 分)[选修 4－5：不等式选讲] 已知函数 f(x)＝|3x－1|＋|x－2|。 (I)求不等式 f(x)≥3 的解集； (II)若 m>1，n>1，对 x∈R，不等式 恒成立，求 mn 的最小值。∀ ( )2 2 53log logm n f x ⋅ ≥