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高 2020 级高三下学期期中考试
理 科 数 学 试 题 卷
第 I 卷（选择题)
一、选择题：（本大题 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分,每小题有且只有一个选项是正确
的）.
1.已知集合 ， 则 =（ ）
A. (-1,3) B. (-1,3] C. (0,3) D. (0,3]
2．已知复数 满足 （ 为虚数单位），且 ，则正数 的值为（ ）
A. B. C. D.
3.已知某超市 2019 年中的 12 个月的收入与支出数据的折线图如图所示,则下列说法中，错误的是（ ）.
注：收益=收入-支出
A.该超市在 2019 年的 12 个月中，7 月份的收益最高；
B.该超市在 2019 年的 12 个月中，4 月份的收益最低；
C.该超市在 2019 年 7 月至 12 月的总收益比 2109 年 1 月至 6 月的总收益增长了 90 万元；
D.该超市在 2019 年 1 月至 6 月的总收益低于 2109 年 7 月至 12 月的总收益.
(3 题图)
4.冰雹猜想也称奇偶归一猜想：对给定的正整
数进行一系列变换，则正整数会被螺旋式吸入
黑洞(4,2,1)，最终都会归入“4－2－1”的模式.
该结论至今既没被证明，也没被证伪. 右边程序 （4 题图）
框图示意了冰雹猜想的变换规则，则输出的 （ ）
A. B. C. D.
{ }0 1 2 3A = ，，， 2{ | 2 3 0},B x x x= − − ≥ ( )RA B
z i z z a i⋅ = + ⋅ i 2z = a
2 1 2
1
2
i =
4 5 6 7
5.在正方体 中， 分别是 的中点， 为正方形 的中心，则（ ）
A.直线 是异面直线，且 B.直线 是异面直线且
C.直线 是相交直线，且 D.直线 是相交直线且
6.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 ，且 与 的等差中项为 2，则 （ ）
A. B.112 C. D.121
7.空间直角坐标系中的点 满足 ，则恰有两个坐标相同的点 有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.“ ”是“ 为函数 的极小值点”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.函数 的图像大致为（ ）
A B C D
10. 函数 的部分图像如右图所示,
且 的图像过 两点,为了得到 的
图像，只需将 的图像（ ）
A.向右平移 B.向左平移 C.向左平移 D.向右平移
11．已知 分别是双曲线 的中心和右焦点，以 为直径的圆与双曲线的
两条渐近线分别交于 两点（ 异于原点 ），若 ，则双曲线 的离心率 为（ ）
A. B. C. D.
12.已知四棱锥 的棱长都是 ， 为 的中点，则经过 的平面截四
棱锥 所得截面的面积为（ ）
1 1 1 1ABCD A B C D− ,E F 1 1,AD C D O ABCD
1,EF OD 1EF OD= 1 1,OD B B 1 1OD B B≠
1,EF OD 1EF OD= 1 1,OD B B 1 1OD B B=
2 5 33a a a= 4a 79a 5S =
112
3
121
27
( , , )P x y z , ,x y z {2,4,6}∈ P
18 12 9 6
3a ≥ 1x = 3 21( ) ( 3) 12f x x a x ax= − + + − −
22( ) 4 1
x
x
xf x
⋅= −
( ) 2sin( ),( 0, )f x xω ϕ ω ϕ π= + > < ( )f x ( ,1), ( , 1)2A B π π − ( ) 2sing x xω= ( )f x 5 6 π 5 6 π 5 12 π 5 12 π ,O F )0,0(1: 2 2 2 2 >>=− bab
y
a
xC OF
BA, BA, O 3AB b= C e
2 3 2 3
3 2
P ABCD− 12 , ,E F M , ,PA PC AB , ,E F M
P ABCD−
A. B. C. D.
第 II 卷（非选择题)
二、填空题：（本大题 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）.
13.若 ，若 ，则 ．
14.在第 35 届全国中学生数学冬令营中，某市甲、乙两所学校数学冬令营成绩的茎叶图
如下图：已知甲校成绩的中位数、平均分都
比乙校成绩的中位数、平均分少 1 分，则 _____________.
15. 设数列 满足 ，则数列 的
前 40 项和是_____________.
16.已知抛物线 的焦点 ，过其准线与 轴的交点 作直线 ，
(1)若直线 与抛物线相切于点 ，则 =_____________.
(2)设 ，若直线 与抛物线交于点 ，且 ，则 =_____________.
三.解答题：（本大题 6 个小题，共 70 分.各题解答必须在答题卷上作答，在相应题目指定的方框内必须
写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.
17.（本小题满分 12 分）
设函数 .
(1)求 的单调增区间；
(2)在 中，若 ，且 ，求 的值.
18.（本小题满分 12 分）
某次数学测验共有 12 道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准
规定：每选对 1 道题得 5 分，不选或选错得 0 分. 在这次数学测验中，考生甲每道选择题都按照规则作答，
并能确定其中有 9 道题能选对；其余 3 道题无法确定正确选项，在这 3 道题中，恰有 2 道能排除两个错误
选项，另 1 题只能排除一个错误选项. 若考生甲做这 3 道题时，每道题都从不能排除的选项中随机挑选一
个选项作答，且各题作答互不影响．在本次测验中，考生甲选择题所得的分数记为
(1)求 的概率；
(2)求 的分布列和数学期望．
19.（本小题满分 12 分）
如 图 ， 在 由 三 棱 锥 和 四 棱 锥 拼 接 成 的 多 面 体 中 ， 平 面
54 2 45 2 72 96
( ,2), ( 1,1)a x b x= = − ( ) ( )a b a b+ ⊥ − x =
0 5≤ ≤ ≤ ≤ ∈( )，8 9， ,x y x y N
x y+ =
{ }na *
1 12( 1), , 2n na a n n N a+ = + + ∈ = { }( 1)n
na− ⋅
2 2 ( 0)y px p= > F x E l
l M EMF∠
6p = l ,A B AB BF⊥ AF BF−
2( ) sin(2 ) 2cos6f x x x
π= + −
( )f x
ABC∆ 5( )2 6 4
Af
π− = − 102 , 10, cos 4CD DA BD ABD= = ∠ = BC
x
55x =
x
E ADF− F ABCD− ABCDEF AE ⊥
,平面 平面 ，且 是边长为 的正方形， 是正三角形.
(1)求证： 平面 ；
(2)若多面体 的体积为 ，求 与平面 所成角的正弦值.
20.（本小题满分 12 分）
已 知 椭 圆 ： 的 右 焦 点 为 ， 过 作 两 条 直 线 分 别 与 圆 ：
相切于 ，且 为直角三角形. 又知椭圆 上的点与圆 上的点的最大距离
为 .
(1)求椭圆 及圆 的方程；
(2)若不经过点 的直线 ： （其中 ）与圆 相切，且直线 与椭圆 交于 ，
求 的周长.
21.（本小题满分 12 分）
已知函数
(1)若 为单调增函数，求实数 的值;
(2)若函数 无最小值，求整数 的最小值与最大值之和.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分 10 分）选修 4 - 4 坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ，( 为参数)，直线 的普通方程为
，设 与 的交点为 ，当 变化时，记点 的轨迹为曲线 . 在以原点 为极点， 轴正半轴
为极轴的极坐标系中，直线 的方程为 .
(1)求曲线 的普通方程；
(2)设点 在 上，点 在 上，若直线 与 的夹角为 ，求 的最大值.
23.（本小题满分 10 分）选修 4 - 5 不等式选讲
已知 ， ， ．
(1)求 的取值范围；
ABCD BCF ⊥ ABCD ABCD 2 3 BCF∆
AE BCF
ABCDEF 16 BF DEF
C
2 2
2 1( 0)3
x y bb
+ = > F F O
2 2 2 ( 0)x y r r+ = > ,A B ABF∆ C O
3 1+
C O
F l y kx m= + 0, 0k m< > O l C ,P Q
FPQ∆
1 21( ) ( 1) , 02
xf x x a e x ax x−= − − − + >
( )f x a
( )f x a
xoy 1l 4x t
y kt
= −
= t 2l
1y xk
= 1l 2l P k P 1C O x
3l : sin( ) 24
πρ θ − =
1C
A 3l B 1C AB 3l 4
π
AB
0a > 0b > 2 3a b+ =
2 2a b+
(2)求证： ．
高 2020 级高三下学期期中考试理科数学参考答案
一.选择题：BACBCD ABACCB;
二.填空题：13. 14. 15. 16.（1） ；（2）
解：(1) ……2 分
……………4 分
…………5 分
的单调增区间为 ……6 分
（2）由 ……7 分
在 中，由正弦定理可得： , 可得 ……8 分
……10 分
在 中，由余弦定理可得： ……12 分
18.解：(1)能排除 2 个选项的试题记为 类试题；设选对一道 类试题为 ，则 ……1 分
能排除 1 个选项的试题记为 类试题；设选对一道 类试题为 ，则 ……2 分
该考生选择题得 55 分的概率为： 对 2 道， 对 0 道,则概率为 ……3 分
对 1 道， 对 1 道,则概率为 ……4 分
则 ……5 分
(2)该考生所得分数 ……6 分
; ;
;……9 分（每个概率各 1 分）
∴X 的分布列为：
3 3 814 16a b ab+ ≤
1− 8 840 4
π
12
2 3 1 1 cos2( ) sin(2 ) 2cos sin2 cos2 26 2 2 2
xf x x x x x
π += + − = + − ×
( ) sin(2 ) 16f x x
π⇒ = − −
2 2 2 ,2 6 2 6 3k x k k x k k Z
π π π π ππ π π π− + ≤ − ≤ + ⇒ − + ≤ ≤ + ∈
( )f x [ , ],6 3k k k Z
π ππ π− + + ∈
5( )2 6 4
Af
π− = − ⇒ 1 15cos sin4 4A A= ⇒ =
ABD∆ 2sin sin
BD AD ADA ABD
= ⇒ =∠ 2C D D A= 4DC =
1 10 15 6 10cos 4 4 4 4 8BDC∠ = × − × = −
BCD∆ 2 1016 10 2 10 4 36 68BC BC= + + × × × = ⇒ =
A A A 1( ) 2P A =
B B B 1( ) 3P B =
A B 2 2
2
1 2 2( )2 3 12C × =
A B 1 2
2
1 1 2( )2 3 12C × =
2 2 1( 55) 12 12 3P x = = + =
45,50,55,60x =
0 2
2
1 2 1( 45) ( )2 3 6P x C= = × = 1 2 0 2
2 2
1 2 1 1 5( 50) ( ) ( )2 3 2 3 12P x C C= = × + × =
0 2
2
1 1 1( 60) ( )2 3 12P x C= = × =
45 50 55 60
P
.……12 分
（其中分布列 1 分，期望表达式 1 分，计算期望 1 分）
19.证明：（1）设点 为 中点， 是正三角形
，平面 平面 ，
平面 平面 ,则 平面 ……2 分
平面 ，……4 分
平面 , 平面 平面 ……6 分
（2）
……7 分
由题意可知，建立如图直角坐标系，……8 分
是边长为 的正方形， 是正三角形.则
, ，
……10 分
设平面 的法向量为 ，
则 ，……11 分
又 ,若 与平面 所成角为 ，则 ……12 分
20.解：（1）最大距离为 ；……2 分
为直角三角形 ；……3 分
又 ；……4 分
圆 的方程为： ；椭圆 的方程为： ……5 分
（2） 与圆相切：则 ；……6 分
x
1
6
5
12
1
3
1
12
1 5 1 1 15545 50 55 606 12 3 12 3Ex = × + × + × + × =
O BC BCF∆
OF BC⇒ ⊥ ABCD ⊥ BCF
ABCD BCF BC= OF ⊥ ABCD
AE ⊥ ABCD AE OF⇒
OF ⊂ BCF AE ⊄ BCF AE⇒ BCF
ABCDEF F ABCD E ADF F ABCD F ADEV V V V V− − − −= + = +
21 1 1(2 3) 3 ( 2 3 ) 2 3 163 3 2 AE= × × + × × × × = 2AE⇒ =
ABCD 2 3 BCF∆
(2 3,0,0) (0,2 3,0), (0,0,2)D B E， ( 3,2 3,3)F
( 3,2 3,3), ( 2 3,0,2)DF DE= − = −
DEF ( , , )n x y z=
0
0
DF n
DE n
⋅ = ⇒ ⋅ =
(1, 1, 3)n = −
( 3,0,3)BF = BF BEF θ 4 3 2 5sin 55 2 3
n BF
n BF
θ ⋅= = =
×⋅
3 1+ 3 1 1a r r⇒ + = + ⇒ =
ABF∆ 2 2c r c⇒ = ⇒ =
2 2 3 1b c b+ = ⇒ =
O 2 2 1x y+ = C
2
2 13
x y+ =
y kx m= + 2 2 1m k= +
设 ， ,由 得 ……7 分
由 ，得 …（※），且 ……8 分
……10 分
……11 分
的周长为 ……12 分
21.解：(1) ……1 分
函数 为单调函数 ……3 分
经检验， ， 为增函数，故 适合题意……4 分（也可分类讨论）
(2)令 ，
（Ⅰ）当 时，则 在 上为减函数
在 上为增函数
当 时， 有最小值 . 故 不适合题意……5 分
（Ⅱ）当 时，则 在 上为增函数
在 上为增函数
在 上为增函数， 无最小值，故 适合题意……6 分
（Ⅲ）当 时，则 在 上为增函数
在 上为减函数
在 上为增函数……7 分
则 无最小值，故 ……8 分
푔(푎) = 푒푎―1 ― 1
2푎2 ― (푎 + 1)푒―1,푎 > 1⇒푔′(푎) = 푒푎―1 ―푎 ― 푒―1
由푔′′(푎) = 푒푎―1 ―1 > 0在(1, + ∞)上恒成立⇒푔′(푎) = 푒푎―1 ―푎 ― 푒―1在(1, + ∞)上为增……9 分
且푔′(1) = ― 푒―1 < 0, 푔′(2) = 푒 ― 2 ― 푒―1 > 0⇒푔′(푎) = 0存在唯一的实根푎1 ∈ (1,2)
1 1( , )P x y 2 2( , )Q x y
2
2 13
x y
y kx m
+ =
= +
2 2 2(1 3 ) 6 3 3 0k x kmx m+ + + − =
0∆ > 2 23 1k m+ >
2
1 2 1 22 2
6 3 3,1 3 1 3
km mx x x xk k
−+ = − =+ +
2 2 2
2
2 2
3 1 2 6 12 3 1 3 1 3 1
k m k kPQ k k k
− + += + ⋅ = −+ +
2
1 2 2
2 6 12 ( ) 2 3 3 1
k kPF QF a e x x k
++ = − + = + +
FPQ∆ 2 3PQ PF QF+ + =
1 1
1 2( ) ( ) ( )( 1) '( ) 0, 1,x xf x x a e x a x a e f x x x a− −′ = − − + = − − ⇒ = = =
( )f x 1a⇒ =
1a = ( )f x 1a =
1 2'( ) 0 , 1f x x a x= ⇒ = =
0a ≤ (0,1) '( ) 0x f x∈ ⇒ < ⇒ ( )f x (0,1] (1, ) '( ) 0x f x∈ +∞ ⇒ > ⇒ ( )f x [1, )+∞
1x = ( )f x 1(1) 2f = − 0a ≤
1a = (0,1) '( ) 0x f x∈ ⇒ > ⇒ ( )f x (0,1]
(1, ) '( ) 0x f x∈ +∞ ⇒ > ⇒ ( )f x [1, )+∞
∴ ( )f x (0, )+∞ ( )f x 1a =
1a > (0,1) '( ) 0x f x∈ ⇒ > ⇒ ( )f x (0,1]
(1, ) '( ) 0x a f x∈ ⇒ < ⇒ ( )f x [ ,1]a ( , ) '( ) 0x a f x∈ +∞ ⇒ > ⇒ ( )f x [ , )a +∞
( )f x (0) ( )f f a< 2 1 1 2 11 1 1 ( 1) 02 2 a aa a e e a e ae − − −− −⇒ < − ⇒ − − + 0
⇒푔(푎) = 0存在唯一的实根푎2 ∈ (2,3),푒푎―1 ― 1
2푎2 ― (푎 + 1)푒―1 < 0⇒푎 < 푎2……11 分 无最小值， ,푎2 ∈ (2,3)， 综上， ，푎2 ∈ (2,3)， ，푎푚푖푛 + 푎푚푎푥 = 1 + 2 = 3……12 分 22.解：（1）直线 可化为： ，代入 ，消去 可得： ……4 分 由直线 斜率存在且不为零，则 ，曲线 的普通方程为： ……5 分 （2） 为 ……6 分 设点 到直线 的距离为 ，则 与 的夹角为 ……7 分 ……9 分 ……10 分 【考点】普通方程、参数方程、极坐标方程互化，长度最值. 23.解：（1）∵ ， ， ，∴ ， ，……2 分 ∴ ，……4 分 ∴当 ， 时， 的最小值为 ， ∴ ；……5 分 （2）∵ ， ， ，∴ ， ， 当且仅当 时，取等号，……7 分 ∴ 0a > 0b > 2 3a b+ = 3 2 0a b= − >
2 2 2 2 2 26 9 9(3 2 ) 5 12 9 5( )5 5 5a b b b b b b+ = − + = − + = − + ≥
6
5b = 33 2 5a b= − = 2 2a b+ 9
5
0a > 0b > 2 3a b+ = 3 2 2ab≥ 90 8ab< ≤ 32 2a b= = 3 34a b ab+ 2 2( 4 )ab a b= + 2[( 2 ) 4 ]ab a b ab= + − ( )f x 21 a a< < 21 a a≤ < a Z∈ 1l ( 4)y k x= − − 2l k 2 2 2( 4) 4 0y x x x y x=− − ⇒ + − = 1 2,l l 0y ≠ 1C 2 2 4 0( 0)x y x y+ − = ≠ 3 : sin( ) 24l πρ θ − = 2y x= + B 3l d AB 3l 4 π 2AB d⇒ = max 4 2 2 2 2 2 d = + = + max 4 2 2AB = + 30 2b< < 2 29 95 a b≤ +
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