2020届高三数学（文）下学期期中试卷（Word版含答案）

秘密★启用前 【考试时间：】 2020 年高 2020 级高三下期期中考试 数学（文科）试题卷 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。 2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。 3. 考试结束后，将答题卡交回。 第 Ⅰ 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 设集合 ， ，则 ( ) A． B． C． D． 2. 已知向量 ， ，若 ，则 ( ) A. B. C. D. 3. 复数 ，若复数 与 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则 ( ) A. B. C. D. 4. 一场考试之后，甲乙丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我 们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多.则可以完全确定的 是( ) A．甲同学三个科目都达到优秀 B．乙同学只有一个科目达到优秀 C．丙同学只有一个科目达到优秀 D．三位同学都达到优秀的科目是数学 5. 2020 年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援 湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出 3 名医生，2 名护士支援湖北，现从这 5 人中任选 2 人定点支 援湖北某医院，则恰有 1 名医生和 1 名护士被选中的概率为( ) A． B． C． D． 6. 已知一组数据 的平均数是 ，方差是 ，将这组数据的每个数都乘以 得到一组新 数据，则下列说法正确的是( ) A．这组新数据的平均数是 B．这组新数据的平均数是 C．这组新数据的方差是 D．这组新数据的标准差是 7. 已知 表示的平面区域为 ，若对 都有 ，则实数 的取值范围是( ) A． B． C． D． 5− 5 3 4i− + 3 4i− { }22P x x x= + ≥ { }3Q x N x= ∈ ≤ P Q = [ 1,2]− [0,2] { }0,1,2 { }1,0,1,2− (1,2)a = ( 1, )b x= − a b ∥ b = 3 2 5 5 5 1 2z i= + 1z 2z 1 2z z = 0.7 0.4 0.6 0.3 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x m n ( 0)a a > m a m+ an a n 1 0 7 7 0 0, 0 x y x y x y − + ≥  − − ≤  ≥ ≥ D ( , )x y D∀ ∈ 2x y a+ ≤ a [ )5,+∞ [ )2,+∞ [ )1,+∞ [ )0,+∞8. 将表面积为 的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为 的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为 ( ) A． B． C． D． 9. 若函数 与函数 在公共点处有共同的切线，则实数 的值为( ) A．4 B． C． D． 10. 已知 是双曲线 的左、右焦点， 是双曲线 右支上一点， 是线段 的中点， 是坐标原点，若 的周长为 （ 为双曲线的半焦距）且 ，则双曲线 的 渐近线方程为( ) A． B． C． D． 11. 已知函数 的图象过点 ，且在 上单调，同时将 的图象向左平移 个单位后与原图象重合，当 且 时 ，则 ( ) A． B． C． D． 12. 已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ， 则函数 的零点个数为( ) A. 20 B. 18 C. 16 D. 14 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 _________. 14. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与该抛物线交于 两点，且点 恰好为线段 的中点，则 _________. 15. 设 为数列 的前 项和，若 ， ，且 （ ），则 _________. ( )f x ( ,0) (0, )−∞ +∞ (0, )x ∈ +∞ 2( 1) ,0 2 ( ) 1 ( 2), 22 x x f x f x x  − < ≤=  − > 2( ) 8 ( ) 6 ( ) 1g x f x f x= − + 36π 2 3 π 18 3 18 2 12 3 24 3 ln) ( )(f x a x a R= ∈ ( )g x x= a 1 2 2 e e 1 2,F F 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yE a ba b − = > > P E M 1F P O 1OF M∆ 3c a+ c 1 3F MO π∠ = E 2 2y x= ± 2y x= ± 1 2y x= ± 2y x= ± ( ) 2sin( )( 0, )2xf x πω ϕ ω ϕ+ > 1 1a = 2 ( )n n nS a a t= + ,t R n N ∗∈ ∈ 100S =16. 在三棱锥 中， ，若 与底面 所成的角 为 ，则点 到底面 的距离是_________；三棱锥 的外接球的表面积是_________. （本小题第一空 2 分，第二空 3 分） 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（12 分）如图， 是等边三角形， 是 边上的动点（不含端点）， 记 , . （1）求 的最大值； （2）若 ，求 的面积. 18.（12 分）如图，在直三棱柱 中， ， 是 的中点， . （1）求证： ； （2）若异面直线 和 所成角为 ，求四棱锥 的体积. 19.（12 分）某市场研究人员为了了解产业园引进的 甲公司前期的经营状况，对该公司 2019 年连续六个 月（5—10 月）的利润进行了统计，并根据得到的数 据绘制了相应的折线图，如右图所示. （1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月 利润 （单位：百万元）与月份代码 之间的关系， 求 关于 的线性回归方程，并据此预测该公司 2020 年 5 月份的利润； （2）甲公司新研制了一款产品，需要采购 一批新型材料，现有 两种型号的新型 材料可供选择，按规定每种新型材料最多 可使用 个月，但新材料的不稳定性会导 致材料损坏的年限不同，现对 两种型 使用寿命/材料类型 1 个月 2 个月 3 个月 4 个月 总计 A 20 35 35 10 100 B 10 30 40 20 100 P ABC− 2, 1, 90PA PC BA BC ABC °= = = = ∠ = PA ABC 60° P ABC P ABC− ABC∆ D BC BAD∠ =α ADC β∠ = 2cos cosα β− 11,cos 7BD β= = ABD∆ 1 1 1ABC A B C− 1 1 1 1A B AC⊥ D 1 1B C 1 1 1 2A A A B= = 1 1AB ACD∥平面 1AB BC 60° 1 1A CDB B− y x y x ,A B 4 ,A B C1 C D A1 A B B1 月份代码 月利润（百万元） 9月8月7月 10月6月5月 20 15 6541 2 3O 5 1113 16 21 α β C A B D (表 1)号的新型材料对应的产品各 100 件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计表（表 1）. 若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好？ 参考数据： ； . 参考公式：回归直线方程 ，其中 ， 20.（12 分）已知椭圆 的长轴长为 4，且经过点 . （1）求椭圆 的方程； （2）直线 的斜率为 ，且与椭圆交于 两点（异于点 ），过点 作 的角平分线交椭圆于另一 点 . 证明：直线 与坐标轴平行. 21.（12 分）已知函数 （1）当 时，求函数 的极值； （2）若对于任意实数 ，当 时，函数 的最大值为 ，求实数 的取值范围. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分. 22. [选修 4—4：坐标系与参数方程] （10 分） 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数). 以原点 为极点，以 轴的非负 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）求曲线 的极坐标方程； （2）设点 的极坐标为 ，射线 分别交 、 于点 （ 异于极点），当 时，求 的值. 23. [选修 4—5：不等式选讲] （10 分） 已知 ， ， . （1）求证： ； （2）若 ，求证： . 6 1 96i i y = =∑ 6 1 371i i i x y = =∑ ˆˆ ˆy bx a= + ( )( ) ( ) 1 1 2 22 1 1 ˆ = n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx = = = = − − − ⋅ = − − ∑ ∑ ∑ ∑ ˆ .ˆˆa y xb= − 2 2 2 2: 1 ( 0)x yC a ba b + = > > 2( 2, )2P C l 1 2 ,A B P P APB∠ Q PQ ( ) ( ) 2ln 1 , .f x x ax x a R= + + − ∈ 1 4a = ( )y f x= (1,2)b ∈ ( 1, ]x b∈ − ( )f x ( )f b a xOy 1C 2 2cos 2sin x y ϕ ϕ = +  = ϕ O x 2C 4sinρ θ= 1C M (4,0) (0 )4 πθ α α= < < 1C 2C ,A B ,A B 4AMB π∠ = tanα 0a > 0b > 2 2 14 3a b ab + = + 1ab ≤ b a> 3 3 1 1 1 13a b a b  − > −  C1 E C D A1 BA B1 2020 年高 2020 级高三下期期中考试 数学（文科）试题卷（参考答案） 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A C C D A B C B B C 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17.解：（1） ， 2cos －cos =2cos －cos ＝ sin ， 又 ，故当 时，原式取最大值 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 （2）由 cos β＝ ，得 sin β＝ ，故 sin α＝sin ＝sin βcos －cos βsin ＝ ， 在 中，由正弦定理 ，得 AB＝ BD＝ ×1＝ ， 故 S△ABD＝ AB·BD·sin B＝ . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 18.（1）证明：如图，连 交 于点 ，连 . 因为直三棱柱 中，四边形 是矩形，故点 是 中点， 又 是 的中点，故 ， 又 故 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 （2）解：由（1）知 ，又 ，故 或其补角为异面直线 和 所成角. 设 ，则 ，故 为等腰三角形，故 ， 故 为等边三角形，则有 ，得到 . 故 为等腰直角三角形，故 ，又 ， 7 10 5050 3; 5π , (0, )3 3 π πβ α α= + ∈ ∴ α β α + 3 πα     3 + 3 πα     2(0, ) ( , )3 3 3 3 π π π πα α∈ ∴ + ∈ ， 3 2 π πα + = 3 1 7 4 3 7 3 πβ −   3 π 3 π 3 3 14 ABD∆ sin sin AB BD ADB BAD =∠ ∠ sin sin β α 4 3 7 3 3 14 8 3 1 2 1 8 3 2 312 3 2 3 × × × = 1AC 1AC E DE 1 1 1ABC A B C− 1 1AAC C E 1AC D 1 1B C 1DE AB∥ 1 1 1, ,AB ACD DE ACD⊄ ⊂平面 平面 1 1AB ACD∥平面 1DE AB∥ 1C D BC∥ 1C DE∠ 1AB BC 2AC m= 2 2 1 11, 1, 2C E m C D m DE= + = + = 1C DE∆ 1 60C DE °∠ = 1C DE∆ 2 1 2m + = 1m = 1 1 1A B C∆ 1 1 1A D C B⊥ 1 1 1 1 1 1 1 1B B A B C A D A B C⊥ ⊂平面 ， 平面故 ，又 ，故 ， 又梯形 的面积 ， 则四棱锥 的体积 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 19. 解：（1）由折线图可知统计数据 共有 组，即 ， ， ， ， ， ， 计算可得 ， ， 所以 ， . 所以月度利润 与月份代码 之间的线性回归方程为 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 由题意推得 2020 年 5 月份对应的年份代码为 13，故当 时， （百万元），故预计甲公 司 2020 年 5 月份的利润为 35 百万元. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 （2） 型新材料对应产品的使用寿命的平均数为 （个月）， 型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为 （个月）， ， 采购 型新材料更好. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 注：若采用其他数字特征（如中位数、众数等）进行合理表述，也可酌情给分。 20.（1）解：由条件得： .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 （2）证明：欲证 与坐标轴平行，即证直线 的方程为 或 ， 又因为 平分 ，故只需证明 的斜率都存在时满足 即可. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 当 的斜率不存在时，即点 或 的坐标为 ，而经检验此时直线 与椭圆 C 相切，不满足 题意.故 的斜率都存在，下证 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 1 1A D B B⊥ 1 1 1 1B B C B B= 1 1A D CDB B⊥ 平面 1CDB B 1 1 1 ( 2 2 2) 2 3 2 22CDB BS A D= × + × = =， 1 1A CDB B− 1 1 1 1 3 2 2 23 3CDB BV S A D= = × × = ( ),x y 6 (1,11) (2,13) (3,16) (4,15) (5,20) (6,21) 1 2 3 4 5 6 3.56x + + + + += = y = 6 1 1 1 96 166 6i i y = = × =∑ 6 1 6 22 1 ˆ= i i i i i x y nx y b x nx = = − ⋅ = − ∑ ∑ 371 6 3.5 16 217.5 − ⋅ ⋅ = 16 2 3.5 9a y b x= − = − × =  y x 2 9y x= + 13x = 2 13 9 35y = × + = A 1 20 1 35 2 35 3 10 4 2.35100x × + × + × + ×= = B 2 10 1 30 2 40 3 20 4 2.7100x × + × + × + ×= = 1 2x x  + = −  = − 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2( )( 2) ( )( 2)2 2 2 2 2 2 ( 2)( 2)PA PB y y y x y x k k x x x x − − − − + − − + = + = − − − − 1 2 1 2 1 2 2 1 22 ( ) 2( )2 x x y y x y x y= − + − + + + 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 12 ( ) 2( ) ( ) ( )2 2 2 2 2x x x m x m x x m x x m= − + − + + + + + + + 2 1 2 1 22 2 2 ( 2)( ) 2 2 2 ( 2)( 2 ) 2 2 0m m x x x x m m m m= − + − + + = − + − − + − = 1 4a = ( ) ( ) 21ln 1 ,4f x x x x= + + − 1 1'( ) 11 2f x xx = + −+ ( 1)'( ) ( 1)2( 1) x xf x xx −= > −+ '( ) 0f x = 0x = 1x = x '( ), ( )f x f x x ( 1,0)− 0 (0,1) 1 (1, )+∞ '( )f x + 0 − 0 + ( )f x    ( )y f x= (0) 0f = 3(1) ln 2 4f = − (2 (1 2 ))'( ) 1 x ax af x x − −= + 0a ≤ ( )f x ( 1,0)− (0, )+∞ (1,2)b∈ ( 1, ]x b∈ − ( )f x ( )f b 0a > '( ) 0f x = 1 0x = 2 1 12x a = −（i）当 时，函数 在 上单调递增，显然符合题意. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 （ii）当 即 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递 减， 在 处取得极大值且 ，只需 ，解得 ，又 ，所以此时实 数 的取值范围是 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 （iii）当 即 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减， 要存在实数 ，使得当 时，函数 的最大值为 ，需 ， 代入化简得 令 ，因为 恒成立， 故恒有 ，所以 时， 恒成立， 综上，实数 的取值范围是 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 22.（1）曲线 的普通方程为 将 代入 的普通方程，得到 的极坐 标方程为： .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 （2）设点 的极坐标为 ，点 的极坐标为 . 由 ；由 ， ， . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 是圆 的直径， ，又直角 中 ，故 ， 故 ，即 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 23. （1）证明：由 （当且仅当 ，即 时取得“＝”）. 所以 ，即 ，所以 （当且仅当 时取得“＝”） 5 分 （2） （※）， 1 2a = ( )f x ( 1, )− +∞ 1 1 02a − > 10 2a< < ( )f x ( 1,0)− 1( 1, )2a − +∞ 1(0, 1)2a − ( )f x 0x = (0) 0f = (1) 0f ≥ 1 ln 2a ≥ − 11 ln 2 2 − < a 11 ln 2 2a− ≤ < 1 1 02a − < 1 2a > ( )f x 1( 1, 1)2a − − (0, )+∞ 1( 1,0)2a − (1,2)b∈ ( 1, ]x b∈ − ( )f x ( )f b 1( 1) (1)2f fa − ≤ 1ln 2 ln 2 1 0, (*)4a a + + − ≥ 1 1( ) ln 2 ln 2 1 ( )4 2g a a aa = + + − > 1 1'( ) (1 ) 04g a a a = − > 1 1( ) ( ) ln 2 02 2g a g> = − > 1 2a > (*) a [1 ln 2, )− +∞ 1C 2 2( 2) 4,x y− + = cos , sinx ρ θ ρ θ= 1C 1C 4cosρ θ= A 1( , )ρ θ B 2( , )ρ θ 1 4cos4cos θ α ρ αρ θ = ⇒ = = 1 4sin4sin θ α ρ αρ θ = ⇒ = =  1 20 ,4 πα ρ ρ< < ∴ > ∴ 1 2| | | | | | 4cos 4sinAB OA OB ρ ρ α α= − = − = −  OM 1C ∴ 2OAM π∠ = OAM∆ 4AMB π∠ = | | 4sinAM AB α= = 4cos 4sin 4sinα α α− = 1tan 2 α = 2 210, 3 4 4> + = ≥+ab a b abab 2 24a b= 2 2a b= = ( )21 3 4+ ≥ab ab ( )24 3 1 0− − ≤ab ab 1ab ≤ 22, 2a b= =  3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 3 = 3a b a b a b a ab b a b a b a ab b            − − − = − + + − − − + + −                      因为 ，所以 . 又 ，当且仅当 时取得“＝”，又 ，故 ， 又由（1）知 ，又 ，故 ，故 ，即 ， 故（※）式成立，即原不等式成立. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 0b a> > 1 1 0− > a b 2 2 1 1 1 3 a ab b ab + + ≥ a b= 0b a> > 2 2 1 1 1 3 a ab b ab + + > 1ab ≤ 0b a> > 1 1ab > 2 2 1 1 1 3 3a ab b ab + + > > 2 2 1 1 1 3 0a ab b + + − >