豫南九校 2019-2020 学年上期第一次联考
高一数学试题
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1.已知集合 ，则下列关系式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：根据选项由元素与集合关系即可求解.
详解:由题可知：元素与集合只有属于与不属于关系，集合与集合之间有包含关系，所以可得
正确，故选 C.
点睛：考查集合与元素，集合与集合之间的关系，属于基础题.
2.函数 y＝ 在[2，3]上的最小值为( )
A. 2 B.
C. D. －
【答案】B
【解析】
y＝ 在[2，3]上单调递减，所以 x=3 时取最小值 ，选 B.
3. 的值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
为
{0,1}M =
{0} M∈ {0} M∉ 0 M∈ 0 M⊆
0 M∈
1
1x −
1
2
1
3
1
2
1
1x −
1
2
lg 5 lg 20+
2 1 1
2
1
2
−
根据对数的运算性质，可直接得出结果.
【详解】 .
故选 B
【点睛】本题主要考查对数的运算，熟记运算性质即可，属于基础题型.
4.下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据奇函数的定义，排除 AD，再根据单调性，即可得出结果.
【详解】对于 A， 时， 显然不是奇函数，排除 A；
对于 B， 时， 时，奇函数，但 ，因此在定义域内，不是减函数，排除 B；
对于 C， 时， ，满足奇函数定义，所以 是奇函数；
令 ， ，任取 ，且 ，
则 ，
因为 ，所以 ， ，
因此 ，即 ，
故 在 上单调递减；故 C 正确；
对于 D， 时， ，所以 为偶函数，排除 D
故选 C
【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性确定解析式，熟记函数奇偶性与单调性的定义
lg 5 lg 20 lg 100 1+ = =
1
2
x
y =
1y x
= 3y x= −
2 3y x=− +
1
2
x
y =
1 22
− =
x
x
1y x
= 1 1= −−x x
1 1
2 2
> −
3y x= − 3 3( )− − =x x 3y x= −
3( )f x x= − x∈R 1 2,x x R∈ 1 2x x< ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 3( ) ( ) ( ) 2 4 − = − + = − + + = − + + x xf x f x x x x x x x x x x x x 1 2x x< 2 1 0x x− >
2 2
1 1
2
3 02 4
+ + >
x xx
1 2( ) ) 0(f x f x− > 1 2( ) ( )f x f x>
3( )f x x= − x∈R
2 3y x=− + 2 2( ) 3 3− − + = − +x x 2 3y x=− +
即可，属于常考题型.
5.已知 ， ， ，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性，先确定 ， ， 的大致范围，即可得出结果.
【详解】因为 ， ， ，
所以 .
故选 A
【点睛】本题主要考查比较指数幂的大小，熟记指数函数的性质即可，属于常考题型.
6.已知函数 ，则 的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由于 ，所以 .
7.已知函数 y=f（x）定义域是[-2，3]，则 y=f（2x-1）的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
∵函数 y=f(x)定义域是[−2,3]，
4
32a =
01
3b =
1
325c
−=
a b c> > b c a> > a c b> > c a b> >
a b c
4
132 2 2= > =a
01 13
= = b
1
3
3
125 1
25
−= =>
( 1) 3 2f x x+ = + ( )f x
( ) 3 1f x x= − ( ) 3 1f x x= + ( ) 3 2f x x= +
( ) 3 4f x x= +
( ) ( )1 3 1 1f x x+ = + − ( ) 3 1f x x= −
50, 2
[ ]1,4− 1 ,22
−
[ ]5,5−
∴由−2⩽2x−1⩽3，
解得− ⩽x⩽2，
即函数的定义域为 ，
本题选择 C 选项.
8.已知 是定义在 上的偶函数，对任意 都有 ，且 ，
则 的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 的奇偶性，与 ，得到 ；再由 确定函数
的周期，从而可求出结果.
【详解】因为 是定义在 上的偶函数，且 ，
所以 ；
又对任意 都有 ，
所以函数 是以 为周期的函数，
因此 .
故选 C
【点睛】本题主要考查由函数的周期性与奇偶性求函数值，熟记函数奇偶性与周期性即可，
属于常考题型.
9.函数 的图象如图所示，其中 为常数，则下列结论正确的是
1
2
1 ,22
−
( )f x R x∈R ( ) ( )3f x f x+ = ( )1 4f − =
( )2020f
2 3 4 5
( )f x ( )1 4f − = ( )1 4f = ( ) ( )3f x f x+ = ( )f x
( )f x R ( )1 4f − =
( ) 11 ( ) 4= − =f f
x∈R ( ) ( )3f x f x+ =
( )f x 3
( )2020 (1 673 3) (1) ( 1) 4= + × = = − =f f f f
( ) x bf x a −= ,a b
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：∵由函数图象单调递减得：底数 a 满足 0＜a＜1，又 x=0 时，0＜y＜1，∴a-b
＜a0，∴结合指数函数的单调性可知，-b＞0，b＜0，故答案选 C．
考点：本试题主要考查了指数函数的图象与性质的运用。
点评：解决该试题的关键是能通过图象与坐标轴的交点，代点得到参数的范围.
10.设函数 满足 ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先由 ， 确定 ，从而 ，再由二次函数
单调性，即可判断出结果.
【详解】因为 ，
所以 ，
又 ，所以 ，所以 ；
又 ，
所以当 时，函数 单调递增；
的
0 1, 0a b< < > 1, 0a b> < 0 1, 0a b< < < 1, 0a b> >
( ) ( )2 0f x x x a a= + + > ( ) 0f m < ( )1 0f m + = ( )1 0f m + ≤ ( )1 0f m + > ( )1 0f m + < ( )0 ( 1) 0= − = >f f a ( ) 0f m < 1 0m− < < 0 1 1m< + < ( ) ( )2 0f x x x a a= + + >
( )0 ( 1) 0= − = >f f a
( ) 0f m < 1 0m− < < 0 1 1m< + < ( ) 2 2 1 1 2 4 = + + = + + − f x x x a x a 1 2x > − ( )f x
因此 .
故选 C
【点睛】本题主要考查由函数单调性判断函数值的大小，熟记二次函数单调性即可，属于常
考题型.
11.若函数 是奇函数，则常数 等于（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先由函数解析式，确定函数定义域，再由函数是奇函数，得到 ，解方程，
即可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，即 ；
又函数 是奇函数，
所以 ，
即 ，整理得： ，
解得 .
故选 A
【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数的问题，熟记函数奇偶性即可，属于常考题型.
12.已知函数 的定义域为 ， 为偶函数，且对任意对 当 时，
满足 ，则关于 的不等式 的解集为（）
( )1 (0) 0 ( )+ > > >f m f f m
( ) 32
1
x
x
te tf x xe
− −= +− t
1− e− 0 1
e
( )1 (1) 0− + =f f
( ) 32
1
x
x
te tf x xe
− −= +− 1 0xe − ≠ 0x ≠
( ) 32
1
x
x
te tf x xe
− −= +−
( )1 (1) 0− + =f f
1
1
2 21 1 01 1
−
−
− − − −− + + =− −
te t te t
e e
+1 01
t te e
e
− − =−
1t = −
( )y f x= R ( )2f x + 1 2,x x 1 2 2x x< ≤ ( ) ( )2 1 2 1 0f x f x x x − a 0a >
{ } { }2| 2 0 , 0,1A x x x B= − = = A B∪
8
{ }0,1,2A B∪ = 3 8
14.函数 的最大值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用导数判断函数的单调性，即可求出最大值。
【详解】 ，所以 在 上递增，在 上递减，
故 的最大值为 。
【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值。
15.设函数 对 的一切实数都有 ，则 =___________
【答案】-2017
【解析】
【分析】
分别令 和 代入等式，解方程组得到 的值.
【详解】 时， ，当 时，
即 ，解得 .
故填：-2017.
【点睛】本题考查了利用方程组求解析式，属于简单题型，一般求解析式的方法分为：
1.待定系数法，适应于已知函数类型；
2.代入法，适用于已知 的解析式，求 的解析式；
3.换元法，适用于已知 的解析式，求 的解析式；
( )f x x x= −
1
4
1 1
2 2( ) 1
x
f x
x x
−
′ = − =
( )f x 10, 4
1 ,4
+∞
( )f x 1 1 1 1( )4 4 4 4f = − =
( )f x 0x ≠ 2019( ) 2 ( ) 3f x f xx
+ = (2019)f
1x = 2019x = ( )2019f
1x = ( ) ( )1 2 2019 3f f+ = 2019x = ( ) ( )2019 2 1 6057f f+ =
( ) ( )
( ) ( )
1 2 2019 3
2019 2 1 6057
f f
f f
+ = + =
( )2019 2017f = −
( )f x ( )f g x
( )f g x ( )f x
4.方程组法，适用于已知 和 的方程，或 和 的方程.
16.已知 ，若存在 ，当 时，有 ，
则 的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先作出函数 的图像，由题意令 ，则 与 有两不同交点，
求出 的范围，再由 ，求出 ，将 化为 ，即可
求出结果.
【详解】作出函数 图像如下：
因为存在 ，当 时，有 ，
令 ，则 与 有两不同交点，
( )f x 1f x
( )f x ( )f x−
1
1 1, 0,2 2( )
12 , ,22
x
x x
f x
x−
+ ∈ = ∈
1 2,x x 1 20 2x x≤ < < ( ) ( )1 2f x f x= ( ) ( )1 1 2x f x f x− 9 16 − ( )f x ( ) ( )1 2f x f x t= = y t= ( )y f x= t ( )1f x t= 1 1 2x t= − ( ) ( )1 1 2x f x f x− 1( )2t t t− − 1 1 1, 0,2 2( ) 12 , ,22 x x x f x x− + ∈ = ∈ 1 2,x x 1 20 2x x≤ < < ( ) ( )1 2f x f x= ( ) ( )1 2f x f x t= = y t= ( )y f x=
由图像可得 ，
由 得 ，解得 ；
所以 ，
因为 ，所以当 时， 取最小值 ，
即 的最小值为
【点睛】本题主要考查函数零点问题，以及二次函数最值问题，通过数形结合与转化 思想，
将问题转化为求二次函数最值的问题，即可求解，属于常考题型.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.计算下列各式：
（1）
（2）
【答案】（1）0.09；（2）3.
【解析】
【分析】
（1）进行分数指数幂的运算即可；
（2）进行对数式的运算即可．
【详解】解：（1）原式 ；
（2）原式
的
2 12 t≤ < ( )1f x t= 1 1 2x t+ = 1 1 2x t= − ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 3 3 9( )2 2 4 16x f x f x t t t t t t − = − − = − = − − 2 12 t≤ < 3t 4 = 2 2 3 3 9 2 4 16t t t − = − − 9 16 − ( ) ( )1 1 2x f x f x− 9 16 − ( ) 1 0.52 3 3 27 70.027 2125 9 − + − ( )22lg 25 lg8 lg5 lg 20 lg 23 + + ⋅ + 5 50.09 0.093 3 = + − = ( ) ( )22lg5 2lg2 lg5 2lg2 lg5 lg2= + + + + ( ) ( )2 22 lg2 lg5 lg5 lg2 lg5 lg2= + ⋅ + + ⋅ + ( ) ( )2 lg5 lg2 lg5 lg2 lg5 lg2= + ⋅ + + ⋅ + 2 lg5 lg2= + + 2 1= +
．
【点睛】考查分数指数幂和对数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.
18.已知集合 ，集合 或 .
（1）求 ；
（2）若 ，且 ，求实数 取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）先化简集合 ，再根据交集的概念，即可求出结果；
（2）根据 ，列出不等式组，求解，即可得出结果.
【详解】（1）因为 ， 或 ，
所以 ；
（2）因为 ， 且 ，
所以 ，解得 .
即实数 的取值范围为 .
【点睛】本题主要考查集合的交集运算，以及由集合间的包含关系求参数，熟记交集的概念，
以及子集的概念即可，属于常考题型.
19.已知函数 定义域为 ，
（1）求 的取值范围；
（2）若函数 在 上的最大值与最小值之积为 ，求实数 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
的
3=
1 2 322
xA x
= ≤ ≤
{ 2B x x= < − }2x >
A B
{ }1C x x a= ≤ − A C⊆ a
{ }2 5A B x x∩ = < ≤ 6a ≥ A A C⊆ { }1 2 32 1 52 xA x x x = ≤ ≤ = − ≤ ≤ { 2B x x= < − }2x >
{ }2 5A B x x∩ = < ≤ { }1C x x a= ≤ − { }A= 1 5x x− ≤ ≤ A C⊆ 1 5a − ≥ 6a ≥ a 6a ≥ ( ) 2 2 1f x ax ax= + + R a ( )f x [ ]2,1− 1 a 0 1a≤ ≤ 2 3a =
（1）先由题意得到不等式 恒成立，分别讨论 与 两种情
况，即可得出结果；
（2）由（1）的结果，分 和 两种情况，利用函数单调性，结合题中条件，求出
最大值与最小值，进而可求出结果.
【详解】（1）因为函数 定义域为 ，
所以不等式 恒成立，
当 时，不等式可化为 显然恒成立；
当 时，由不等式 恒成立，可得 ，
解得 ，
综上所述， 的取值范围是 ；
（2）由（1）知 ；
当 时， 不是单调函数，无最值，不满足题意；
当 时，令 ， ，则其对称轴为 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
因此 ，
又 ， ，所以 ，
因为函数 在 上的最大值与最小值之积为 ，
所以 ，整理得 ，解得 （舍）或 .
综上所述， .
【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，以及由函数最值求参数的问题，熟记
一元二次不等式恒成立的条件，以及二次函数的单调性即可，属于常考题型.
20.定义在 上的函数 满足下面三个条件：
2 2 1 0ax ax+ + ≥ x R∀ ∈ 0a = 0a ≠
0a = 0 1a< ≤ ( ) 2 2 1f x ax ax= + + R 2 2 1 0ax ax+ + ≥ x R∀ ∈ 0a = 1 0≥ 0a ≠ 2 2 1 0ax ax+ + ≥ x R∀ ∈ 2 0 4 4 0 a a a >
∆ = − ≤
0 1a< ≤ a 0 1a≤ ≤ 0 1a≤ ≤ 0a = ( ) 2 2 1 1= + + =f x ax ax 0 1a< ≤ ( ) 2 2 1= + +g x ax ax [ ]2,1− 1x = − ( )g x [ )2, 1− − ( ]1,1− ( )f x [ )2, 1− − ( ]1,1− ( )min ( 1) 1= − = −f x f a ( )2 1f − = ( )1 2 1 3 1= + + = +f a a a ( )max( ) 1 3 1= = +f x f a ( )f x [ ]2,1− 1 1 3 1 1− ⋅ + =a a 23 2 0− =a a 0a = 2 3a = 2 3a = ( )0, ∞+ ( )f x
①对任意正数 ，都有 ；
②对于 ，都有 ；
③ .
（1）求 和 的值；
（2）求满足解不等式 的 取值集合.
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】
【分析】
（ 1 ） 根 据 题 意 ， 令 ， 代 入 ， 即 可 求 出 ； 由
，可求出 ；
（2）先由（1）将原不等式化为 ，根据对于 ，都有
，得到 在 上是单调递减函数，由此列出不等式组，即可求出结果.
【详解】（1）因为对任意正数 ，都有 ；
令 ，则 ，解得 ，
由 ，所以 ；
（2）由（1）可得，不等式 可化为 ，
即 ，
即 ；
又因为对于 ，都有 ，
.a b ( ) ( ) ( )f a f b f ab+ =
0 x y< < ( ) ( )f x f y>
1 12f =
( )1f 1
4f
( ) ( )3 2f x f x− + − ≥ − x
( )1 0f = 1 24f =
{ }1 0x x− ≤ < 1a b= = ( ) ( ) ( )f a f b f ab+ = ( )1 0f = 1 12f = 1 1 1 4 2 2 = + f f f ( )( )1 3 (1)4 − − ≥ f x x f 0 x y< < ( ) ( )f x f y> ( )f x ( )0, ∞+
.a b ( ) ( ) ( )f a f b f ab+ =
1a b= = ( ) ( ) ( )1 1 1+ =f f f ( )1 0f =
1 12f =
1 1 1 24 2 2
= + = f f f
( ) ( )3 2f x f x− + − ≥ − ( )( )3 2 0− − + ≥ f x x
( )( ) 13 (1)4
− − + ≥ f x x f f
( )( )1 3 (1)4
− − ≥ f x x f
0 x y< < ( ) ( )f x f y>
所以 在 上是单调递减函数，
所以 ，解得 ，
即原不等式的解集为 .
【点睛】本题主要考查赋值法求函数值，以及由函数单调性解不等式，熟记函数单调性即可，
属于常考题型.
21.定义在 上的奇函数 ，已知当 时， .
（1）求 在 上的解析式.
（2）若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（ 1 ） 根 据 函 数 奇 偶 性 求 出 ， 再 由 时 ， ， 得 到
，根据 ，即可求出结果；
（2）由题意，将原不等式化 ，令 ，
由指数函数单调性，得到 单调递减，原不等式恒成立，即可转化为 在
上恒成立，从而可求出结果.
【详解】（1）因为 是定义在 上的奇函数， 时， ，
为
( )f x ( )0, ∞+
( )( )1 3 14
0
3 0
x x
x
x
− − ≤
− >
− >
1 0x− ≤ < { }1 0x x− ≤ < [ ]4,4− ( )f x [ ]4,0x∈ − ( ) 1 4 3x x af x = + ( )a R∈ ( )f x [ ]0,4 [ ]2, 1x∈ − − ( ) 1 1 2 3x x mf x −≤ − m ( ) 3 4x xf x = − 17 2m ≥ 1a = − [ ]0,4x∈ [ ]4,0− ∈ −x ( ) 1 1 4 34 3− −− = − = −x x x xf x ( ) ( )f x f x− = − 11 2 1 222 3 2 3 + ≥ + = + ⋅ x xx x xm 1 2( ) 22 3 x x g x = + ⋅ ( )g x ( )≥m g x [ ]2, 1x∈ − − ( )f x [ ]4,4− [ ]4,0x∈ − ( ) 1 4 3x x af x = +
所以 ，解得 ；所以 时， ，
当 时， ，
所以 ，
又 ，所以 ， ，
即 在 上的解析式为 ；
（2）由（1）知， 时， ，
所以 可化为 ，
整理得 ，
令 ，根据指数函数单调性可得， 与 都是减函数，
所以 也是减函数，
因为 时，不等式 恒成立，
等价于 在 上恒成立，
所以，只需 .
【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求解析式，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记函
数奇偶性与函数单调性即可，属于常考题型.
22.已知函数 f(x)＝ .
(1)判断函数 f(x)的奇偶性；
(2)判断并用定义证明函数 f(x)在其定义域上的单调性．
( ) 0 0
10 04 3
= + =af 1a = − [ ]4,0x∈ − ( ) 1 1
4 3
= −x xf x
[ ]0,4x∈ [ ]4,0− ∈ −x
( ) 1 1 4 34 3− −− = − = −x x
x xf x
( ) ( )f x f x− = − ( ) 4 3− = −x xf x ( ) 3 4x xf x = −
( )f x [ ]0,4 ( ) 3 4x xf x = −
[ ]2, 1x∈ − − ( ) 1 1
4 3
= −x xf x
( ) 1
1
2 3x x
mf x −≤ − 1
1 1 1
4 3 2 3x x x x
m
−− ≤ −
11 2 1 222 3 2 3
+ ≥ + = + ⋅
x xx
x xm
1 2( ) 22 3
x x
g x = + ⋅
1
2
x
y =
2
3
x
y =
( )g x
[ ]2, 1x∈ − − ( ) 1
1
2 3x x
mf x −≤ −
( )≥m g x [ ]2, 1x∈ − −
max
9 17( ) ( 2) 4 2 4 2
≥ = − = + ⋅ =m g x g
2 1
2 1
x
x
−
+
(3)若对任意的 t 1，不等式 f( )＋f( )
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